1. บทที่ 3
วงกลม (21 ชั่วโมง)
3.1 วงกลม (1 ชั่วโมง)
3.2 มุมที่จุดศูนยกลางและมุมในสวนโคงของวงกลม (6 ชั่วโมง)
3.3 คอรด (7 ชั่วโมง)
3.4 เสนสัมผัสวงกลม (7 ชั่วโมง)
เนื้อหาในบทนี้มีจุดมุงหมายใหนักเรียนรูจักสมบัติของวงกลมในรูปของทฤษฎีบท ในการพิสูจน
ทฤษฎีบทอาศัยความรูพื้นฐานที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
เสนขนาน รูปสามเหลี่ยมคลาย และทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม สาระที่เสนอไว
สวนใหญอยูในรูปของกิจกรรมที่ใหนักเรียนศึกษาสมบัติของวงกลม เพื่อนําไปสูทฤษฎีบทซึ่งบางทฤษฎีบท
ไดมีการพิสูจนไว บางทฤษฎีบทไมไดแสดงการพิสูจนแตมีคําถามที่นําไปสูการพิสูจนได และบาง
ทฤษฎีบทก็ใหนักเรียนยอมรับโดยไมมีการพิสูจน นอกจากนี้ยังมีกิจกรรมที่ใหนักเรียนเห็นการนําสมบัติ
ของวงกลมไปใชในการสรางและใชแกปญหาที่กําหนดได
การจัดการเรียนการสอนที่อยูในรูปของกิจกรรม ครูควรใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติจริง เพื่อฝกให
นักเรียนมีความสามารถในการสรางขอความคาดการณเกี่ยวกับสมบัติทางเรขาคณิต สําหรับการพิสูจน
ทฤษฎีบทหรือสมบัติของวงกลมใหอยูในดุลพินิจของครูวาควรใหนักเรียนพิสูจน หรือใหนักเรียนยอมรับ
ทฤษฎีบทนั้นไปใชอางอิงไดโดยไมจําเปนตองพิสูจนอยางเปนทางการก็ได
การเขียนเหตุผลอางอิงในแตละขั้นตอนของการพิสูจน ครูอาจใหนักเรียนเขียนเหตุผลเหลานั้นอยาง
สมบูรณหรือเขียนอยางยอที่ไดสาระครบถวนก็ได สําหรับแนวคิดในการใหเหตุผลที่แสดงไวในสวนเฉลย
คําตอบของกิจกรรมหรือแบบฝกหัด ไดเขียนไวในลักษณะรวบลัดขั้นตอน ถาครูเนนการเขียนพิสูจนอยาง
เปนระบบ ควรใหนักเรียนเขียนขั้นตอนเพิ่มเติมตามเหตุและผลที่ควรจะเปน อยางไรก็ตามแนวคิดที่ใหไว
ในสวนเฉลยเปนเพียงแนวคิดหนึ่งในการหาคําตอบ นักเรียนอาจมีแนวคิดที่แตกตางก็ได สําหรับแบบฝกหัด
มีทั้งอยูในแตละกิจกรรมและอยูในชุดแบบฝกหัด ครูควรเลือกใหนักเรียนทําตามความเหมาะสมกับ
ความสามารถของนักเรียนและเวลา
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
ใชสมบัติเกี่ยวกับวงกลมในการใหเหตุผลและแกปญหาที่กําหนดใหได

2. 46
แนวทางในการจัดการเรียนรู
3.1 วงกลม (1 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถระบุสวนตาง ๆ ที่กําหนดใหเกี่ยวกับวงกลมได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับวงกลมที่ปรากฏอยูในสิ่งแวดลอมรอบตัว อาจใหนักเรียน
ชวยกันยกตัวอยางวัสดุหรือสิ่งที่มีลักษณะเปนวงกลม เพื่อโยงไปสูความหมายของวงกลม เมื่อกลาวถึง
วงกลมซึ่งเปนรูปเรขาคณิตรูปหนึ่ง จะเรียกชื่อวาวงกลมโดยไมมีคําวารูปนําหนาเหมือนชื่อรูปเรขาคณิต
อื่น ๆ เชน รูปสามเหลี่ยม หรือรูปสี่เหลี่ยม
2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนเพื่อแนะนําสวนตาง ๆ ของวงกลม ครูควรแนะนําทีละ
ชุด โดยแนะนําชุดที่เปนเสนตรงหรือสวนของเสนตรงที่เกี่ยวของกับวงกลม เชน คอรด เสนสัมผัส
วงกลม แลวตรวจสอบความเขาใจโดยใหนักเรียนทํากิจกรรม “บอกไดไหม” ตอจากนั้นจึงแนะนําชุดของ
มุมตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับวงกลม เชน มุมที่จุดศูนยกลาง มุมในสวนโคงของวงกลม และใชกิจกรรม
“ยังบอกไดไหม” ตรวจสอบความเขาใจอีกครั้ง สําหรับความหมายของสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลาง
หรือรองรับมุมในสวนโคงของวงกลมไมไดใหความหมายไวเปนกิจลักษณะ ครูควรอธิบายและชี้ใหเห็นวา
สวนโคงดังกลาวมีจุดปลายอยูบนแขนทั้งสองของมุมที่กลาวถึง เชน
BAC
∧
เปนมุมในสวนโคงของวงกลม ซึ่งมี BC อยูตรงขามมุม
เปนสวนโคงที่รองรับมุม BAC
∧
สังเกตไดวา จุด B และจุด C
อยูบนวงกลม จุด B อยูบนแขน AB และจุด C อยูบนแขน
AC
3. การทบทวนและแนะนําเกี่ยวกับสวนตาง ๆ ของวงกลมในหัวขอนี้ มีเจตนาเพียงเพื่อให
นักเรียนเขาใจและเปนพื้นฐานในการศึกษาสาระในหัวขอตอ ๆ ไป ครูไมควรนําสาระในหัวขอนี้ไปวัดผล
B
C
A

3. 47
3.2 มุมที่จุดศูนยกลางและมุมในสวนโคงของวงกลม (6 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถนําทฤษฎีบทหรือสมบัติของวงกลมที่เกี่ยวกับมุมที่จุดศูนยกลางและ
มุมในสวนโคงของวงกลมไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. สาระสวนใหญในหัวขอนี้เสนอไวในรูปของกิจกรรมเชนกิจกรรม “มุมในครึ่งวงกลม”
ครูควรใหนักเรียนไดปฏิบัติกิจกรรมจริง ๆ และเขียนขอความคาดการณที่นักเรียนคนพบจากกิจกรรม
สําหรับการพิสูจนยืนยันขอความคาดการณในกิจกรรมนี้ไดกลาวไวในรูปของทฤษฏีบท ครูอาจให
นักเรียนชวยกันบอกแนวคิดในการพิสูจนบนกระดานดํา และบอกเหตุผลโดยใชการอธิบายดวยวาจาแทน
การเขียน หลังจากนั้นจึงใหนักเรียนศึกษารายละเอียดของการพิสูจนในหนังสือเรียนอีกครั้งก็ได
2. สําหรับตัวอยางที่ 1 แสดงใหนักเรียนเห็นวาโจทยปญหาเกี่ยวกับการคํานวณหาขนาดของมุม
ที่กําหนดให ถาตองการแสดงเหตุผลประกอบจะทําไดอยางไร
สําหรับโจทยปญหาที่ใหหาขนาดของมุมที่กําหนดใหในทุก ๆ เรื่องของบทนี้ ในกรณีที่ไม
ตองแสดงเหตุผล ครูอาจแนะนําใหนักเรียนเขียนขนาดของมุมตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับการคํานวณหาคําตอบไว
ในรูป เพื่อครูจะไดตรวจสอบรองรอยการคิดคํานวณและการนําสมบัติของวงกลมมาใชวาถูกตองหรือไม
เชน
กําหนดให AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม O และ
ACO
∧
= 35o
จงหาขนาดของ OBC
∧
จากรูป จะเห็นแนวคิดของนักเรียนที่มีรองรอยของขนาดของมุม
ตาง ๆ ที่เกี่ยวของกันตามสมบัติทางเรขาคณิตที่นํามาใช ซึ่งจะ
ทําใหได OBC
∧
= 55o
3. การดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในกิจกรรมอื่น ๆ เชนกิจกรรม “มุมที่จุดศูนยกลาง”
หรือ “มุมในสวนโคงของวงกลม” ก็อาจจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในทํานองเดียวกับกิจกรรม
“มุมในครึ่งวงกลม”
สําหรับการพิสูจนวาขอความคาดการณ “มุมที่จุดศูนยกลาง จะมีขนาดเปนสองเทาของ
ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน”
ถาครูเห็นสมควรใหนักเรียนพิสูจน ครูอาจแนะนําแนวคิดในการพิสูจน ในกรณีที่มุมใน
สวนโคงมีลักษณะเปนดังรูป ก และรูป ค ดังนี้
35o
C
O
A B
55o
55o

4. 48
ลาก CO ใหตัดวงกลมที่จุด E
จะได 1
∧
= 2
∧
+ 3
∧
= 2(2
∧
) --------- 1
4
∧
= 5
∧
+ 6
∧
= 2(5
∧
) --------- 2
จาก 1 + 2 จะได 1
∧
+ 4
∧
= 2(2
∧
+5
∧
)
ดังนั้น ในรูป ก AOB
∧
= 2(ACB
∧
) และในรูป ค มุมกลับ AOB = 2(ACB
∧
)
ในกรณีที่มุมในสวนโคงมีลักษณะดังรูป ข ครูอาจแนะนําแนวคิดในการพิสูจน ดังนี้
โดยลาก CO ใหตัดวงกลมที่จุด D
จะได 1
∧
= 2
∧
+ 3
∧
= 2(2
∧
) ------ 1
1
∧
+ 4
∧
= (2
∧
+5
∧
)+ 6
∧
= 2(2
∧
+5
∧
)
= 2(2
∧
)+ 2(5
∧
) ------ 2
จาก 2 – 1 จะได 4
∧
= 2(5
∧
)
ดังนั้น AOB
∧
= 2(ACB
∧
)
4. สําหรับแบบฝกหัด 3.2 ข ขอ 2 เปนสมบัติที่ครูควรใหนักเรียนพิสูจน และแนะนําให
นักเรียนจดจําทฤษฎีบทนี้ไปใชในการใหเหตุผลอางอิงตอไป
สําหรับแบบฝกหัดขอ 3 หลังจากพิสูจนขอความดังกลาวแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปเปน
สมบัติของวงกลมที่สามารถนําไปใชอางอิงไดเชนกัน อาจใหจดบันทึกเปนทฤษฎีบทดังนี้
ในวงกลมวงหนึ่ง ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมออกไป ขนาดของ
มุมภายนอกจะเทากับขนาดของมุมภายในที่อยูตรงขาม
A
B
O
C
2 5
641
3
E
รูป ก
1
A
E
B
C
O
4 6
523
รูป ค
(ขนาดของมุมภายนอกของ
รูปสามเหลี่ยมเทากับผลบวก
ของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิด
ของมุมภายนอกนั้น)
(เหตุผลเชนเดียว
กันกับขางตน)
OD
B3
A
1 4 2 5
6
C
รูป ข

5. 49
3.3 คอรด (7 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถนําทฤษฎีบทหรือสมบัติของวงกลมที่เกี่ยวกับคอรดและสวนโคงของ
วงกลมไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. สาระในกิจกรรม “คอรดและสวนโคงของวงกลม” เสนอไวในรูปคําถามซึ่งมีคําตอบนําไปสู
การใหเหตุผลเพื่อการพิสูจนยืนยันทฤษฎีบทที่เกี่ยวของได ครูอาจใหนักเรียนสํารวจ ตอบคําถามและ
ชวยกันสรุปเปนขอความคาดการณ แลวใหนักเรียนพิสูจนทฤษฎีบทนั้นเปนการบานก็ได
2. สําหรับกิจกรรม “รูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทาแนบในวงกลม” มีเจตนาใหนักเรียนไดนํา
ความรูเกี่ยวกับความสัมพันธของมุมที่จุดศูนยกลาง สวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางและคอรดมาใชใน
การสรางรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทาบางรูปแนบในวงกลมและการใหเหตุผลยืนยัน ครูอาจใหนักเรียน
รวมกันอภิปรายหาขอสรุปเพื่อตอบคําถามหลังกิจกรรมการสราง
3. สําหรับกิจกรรม “คอรดกับจุดศูนยกลางของวงกลม” การพิสูจนในกิจกรรมขอ 1 และ
ขอ 2 ทําไดงาย ครูอาจใหนักเรียนพิสูจนเปนการบานและนํามาอภิปรายรวมกันในชั้นเรียนอีกครั้งก็ได
4. การพิสูจนสมบัติของวงกลมเกี่ยวกับจุดศูนยกลางของวงกลมที่อยูบนเสนตรงที่ตั้งฉากและ
แบงครึ่งคอรดของวงกลมคอนขางเขาใจยาก ครูควรนํามาอภิปรายในชั้นเรียนและชี้ใหนักเรียนเห็นวา
สมบัติดังกลาวนี้มีประโยชนในการนําไปใชแกปญหาเกี่ยวกับการหาตําแหนงของจุดศูนยกลางของวงกลม
ในกิจกรรม “หาจุดศูนยกลาง” ตอไป
สําหรับกิจกรรมการหาจุดศูนยกลางของวงกลมที่กําหนดคอรดสองคอรดขนานกัน ครูอาจ
เพิ่มเติมความรูโดยใชคําถามใหนักเรียนคิดวา ในกรณีเชนนี้ในทางปฏิบัติจะทําอยางไรจึงจะทราบตําแหนง
ของจุดศูนยกลางของวงกลม
คําตอบของนักเรียนอาจเปนดังนี้
จากรูปที่มี AB // CD และ EF ตั้งฉากและแบงครึ่ง
AB และ CD อาจลาก AD แลวสรางเสนตรง
ตั้งฉากและแบงครึ่ง AD จะไดจุดตัดของเสนตรง
กับ EF เปนจุดศูนยกลางของวงกลม
F
AB
C D
E

6. 50
5. สําหรับกิจกรรม “วงกลมผานจุดที่กําหนด” มีเจตนาใหเปนกิจกรรมสํารวจ ครูควรให
นักเรียนไดลงมือปฏิบัติจริง เพื่อใหไดขอสรุปที่สําคัญตามที่เสนอไวทายกิจกรรมนี้
6. กิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม” เปนกิจกรรมที่ตองการใหนักเรียนเห็นการนําความรูจาก
กิจกรรม “หาจุดศูนยกลาง” ไปใชในการสรางวงกลมลอมรูปสามเหลี่ยม ครูอาจตั้งคําถามแลวให
นักเรียนชวยกันสรางและใหเหตุผลรวมกันในชั้นเรียนก็ได
7. กิจกรรม “รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม” เปนกิจกรรมที่ตองการใหนักเรียนทราบทฤษฎีบท
ของวงกลมที่นาสนใจอีกทฤษฎีบทหนึ่งซึ่งเปนบทกลับของทฤษฎีบทที่กลาววา “ผลบวกของขนาดของ
มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ 180 องศา” ครูควรนํามาอธิบายและชี้ใหเห็นวาแนวคิด
ในการพิสูจนจะแตกตางจากแนวการพิสูจนที่นักเรียนคุนเคย คือใหเหตุผลเพื่อแสดงวาผลที่ตองการเปนจริง
แตในการพิสูจนบทกลับนี้จะพิสูจนโดยสมมติใหผลที่ตองการพิสูจนเปนเท็จ แลวใหเหตุผลจนเกิดขอ
ขัดแยงกับสิ่งที่กําหนดใหหรือสิ่งที่ทราบวาเปนจริง จึงไดขอสรุปวา ที่สมมติใหผลที่ตองการพิสูจนเปน
เท็จนั้นเปนไปไมได ดังนั้นผลที่ตองการจึงเปนจริง การพิสูจนลักษณะนี้เปนการพิสูจนทางออม
8. สําหรับกิจกรรม “คอรดที่ยาวเทากัน” หลังจากครูใหนักเรียนตอบคําถามและชวยกันสรุป
คําตอบที่จะนําไปสูการพิสูจนแลว ครูอาจใหนักเรียนเขียนการพิสูจนอีกครั้งเปนการบานดวยก็ได
9. สําหรับแบบฝกหัด 3.3 ค ขอ 6 หลังจากนักเรียนพิสูจนแลว ครูควรแนะนําใหนักเรียน
ทราบวา เราสามารถนําสมบัตินี้ไปใชอางอิงในการใหเหตุผลตอไปได
3.4 เสนสัมผัสวงกลม (7 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถนําทฤษฎีบทหรือสมบัติของวงกลมที่เกี่ยวกับเสนสัมผัสวงกลมไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนเกี่ยวกับเสนสัมผัสวงกลมและรัศมี ครูควรนําทฤษฏีบทที่
เปนประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไขทั้งสองประโยคมาอธิบายและทําความเขาใจแนวการ
พิสูจน เนื่องจากแนวการพิสูจนบทกลับเปนการพิสูจนทางออมซึ่งอาจเปนเรื่องที่เขาใจยากสําหรับนักเรียน
บางคน
2. สําหรับสาระเกี่ยวกับการสรางเสนสัมผัสวงกลมแสดงใหเห็นการสราง 2 แบบคือ แบบ
กําหนดจุดสัมผัสบนวงกลมมาใหและกําหนดจุดภายนอกวงกลมมาให ซึ่งเปนความรูที่นักเรียนควรทราบ
ครูอาจใหนักเรียนเขียนการพิสูจนยืนยันการสรางดวย ทั้งนี้เพราะในแบบฝกหัดที่กําหนดใหสรางเสนสัมผัส
ไมไดใหมีการพิสูจน
3. สําหรับกิจกรรม “ลองคิดดู” มีเจตนาใหนักเรียนไดฝกคิดวิเคราะหและใชความรูทาง
เรขาคณิต พีชคณิตและการวัดมาเชื่อมโยงในการแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนคิดและนําเสนอแนวคิดบน
ปายนิเทศก็ได

7. 51
4. สําหรับกิจกรรม “นารู” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติมและใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยง
ความรูโดยนําสมบัติของวงกลมมาใชในการอธิบายทางภูมิศาสตรเกี่ยวกับการกําหนดตําแหนงของเสนรุง
ครูอาจใหนักเรียนศึกษาดวยตนเองก็ได
5. สําหรับกิจกรรม “วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการนําความรู
เกี่ยวกับเสนสัมผัสวงกลมและรัศมีมาใชในการวิเคราะหการสรางวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม
ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูอาจเขียนรูปที่ตองการสรางอยางคราว ๆ ซึ่งเปนรูป
ที่มีวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยมกอน แลวใชคําถามใหนักเรียนคิดวิเคราะหยอนจากผลที่ตองการไปสู
จุดเริ่มตนของการสราง ดังตัวอยางคําถามตอไปนี้
1) ถาจุด D, E และ F เปนจุดสัมผัสของวงกลม แลว OD, OE และ OF ตอง
เกี่ยวของกับวงกลม O อยางไรบาง [แตละสวนของเสนตรงเปนรัศมีของวงกลม O
มีความยาวเทากัน และตั้งฉากกับกับเสนสัมผัส]
2) ถาตองการใหมีผลวา OD = OE เหตุที่จะทําใหเกิดผลดังกลาว ควรไดจากความรู
เรื่องใด [ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม]
3) ถาใชความรูเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม สิ่งที่จะใชเปนเงื่อนไข
ในการพิจารณา 3 ประการนาจะมีอะไรบาง [BD = BE, BO = BO และ
DBO
∧
= EBO
∧
]
4) จากเงื่อนไข 3 ประการในขอ 3) มีสิ่งใดที่นักเรียนคิดวายังบอกไมไดวามีความเทากัน
หรือไม [ขนาดของ DBO
∧
และขนาดของ EBO
∧
]
5) นักเรียนสามารถสรางให DBO
∧
= EBO
∧
ไดหรือไม [ได โดยการสรางเสนแบง
ครึ่งมุม]
จากคําถาม 5 ขอขางตน นักเรียนควรเห็นแลววาทําไมการสรางวงกลมแนบในรูป
สามเหลี่ยมจึงตองอาศัยการแบงครึ่งมุมของรูปสามเหลี่ยม
จากนั้นครูจึงใชคําถามตอเนื่อง เชน
E
O
F
A
CB
D

8. 52
6) ถาสรางเฉพาะเสนแบงครึ่งมุม ABC
∧
มุมเดียวจะหาจุดศูนยกลางของวงกลมไดหรือไม
[ไมได]
7) นักเรียนตองสรางเสนแบงครึ่งมุมของรูปสามเหลี่ยมกี่มุม จึงจะไดตําแหนงของ
จุดศูนยกลางของวงกลม [2 มุม]
8) จําเปนตองสรางเสนแบงครึ่งมุมของมุมที่สามอีกหรือไม เพราะเหตุใด
[ไมจําเปน เพราะจากการสรางเสนแบงครึ่งมุม 2 มุมก็สามารถพิสูจนไดแลววา
DO = EO = FO และ DO, EO, FO แตละเสนจะตั้งฉากกับดานทั้งสามของ
รูปสามเหลี่ยม ทําใหสรุปไดวาจุด E, F และ G เปนจุดสัมผัสของวงกลม]
6. ทฤษฎีบทในกิจกรรม “เสนสัมผัสและคอรด” เปนอีกทฤษฏีบทหนึ่งที่มีการนําไปใชมาก
หลังจากนักเรียนตอบคําถามขอ 1 แลว ครูควรใหนักเรียนพิสูจนเปนทฤษฎีบทโดยทํากิจกรรมขอ 2 ดวย
7. สําหรับกิจกรรม “ไกลแคไหน” มีเจตนาใหเห็นการนําความรูเรื่องเสนสัมผัสไปใชเพื่อ
เชื่อมโยงกับความรูทางภูมิศาสตรอีกกิจกรรมหนึ่ง ครูอาจใหนักเรียนศึกษาและทําเปนการบานก็ได แต
ควรไดมีการอภิปรายกันถึงสถานการณปญหาที่ตองการใหเห็นแนวคิดในการหาสูตรการคํานวณ เพื่อใชใน
การคํานวณระยะทางในทางภูมิศาสตรโดยประมาณ ครูไมควรนําเรื่องนี้ไปวัดผล
8. สําหรับกิจกรรม “ระยะรอบโลก” เปนอีกกิจกรรมหนึ่งที่ตองการใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยง
ความรูทางคณิตศาสตรกับภูมิศาสตร ตองการจุดประกายใหนักเรียนเห็นความสามารถของนักคณิตศาสตร
ในอดีตที่มีความคิดสรางสรรค เปนคนชางสังเกต ใฝรู และมีความพยายามในการแกปญหา
นวนิยายเรื่อง 80 วันรอบโลกเสนอไวในกิจกรรมนี้เพื่อเสริมกิจกรรมใหนาสนใจ ภาพยนตร
เรื่องนี้สนุก ตื่นเตน ครูอาจหาภาพยนตรเรื่องนี้มาใหนักเรียนชมก็ได
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม”
1.
1) หลายเสนนับไมถวน
2) ไมเปน เพราะรัศมีของวงกลมตัดวงกลมที่จุดจุดเดียว
3) หลายเสนนับไมถวน
4) ได
5) หลายเสนนับไมถวน
6) ไมได

9. 53
2.
1) AC
2) AO, BO และ CO
3) AC, BC, CD และ DH
4) AC
5) EF
6) CF
7) ABC และ ADC
คําตอบกิจกรรม “ยังบอกไดไหม”
1. AOB, BOC, AOC,
∧ ∧ ∧
มุมกลับ AOB และมุมกลับ BOC
2. ADC
∧
3. BAC, BAD, CAD, ADB, ADC, BDC, ACD
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
และ ABD
∧
4. AB, BC, ABC, ADC, ADB หรือ ACB, BAC หรือ BDC
5. ABC
6. BC, BD, CD, AB, AC และ AD
คําตอบกิจกรรม “มุมในครึ่งวงกลม”
คําตอบในกิจกรรม
4. 90o
5. ใช
คําตอบแบบฝกหัด
1. 25o
2. 55o
3. 37o

10. 54
คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ก
1. 54o
แนวคิดในการใหเหตุผล
1. ABC
∧
= 180 – 90 – 18 = 72o
2. AOD
∧
= ABC
∧
= 72o
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน
และมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูบน
ขางเดียวกันของเสนตัด มีขนาดเทากัน)
3. ∆ ADO เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
4. ADO
∧
= DAO
∧
= 180 72
2
−
= 54o
2. แนวคิดในการพิสูจน
1. ABC
∧
= BAD
∧
= CDA
∧
= DCB
∧
= 90o
(มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา)
2. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
3. แนวคิดในการพิสูจน
1. ∆ ABC ≈ ∆ ADC (ม.ม.ด.)
2. AB = AD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
คําตอบกิจกรรม “มุมที่จุดศูนยกลาง”
คําตอบในกิจกรรม
3. ได
4. ขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย
สวนโคงเดียวกัน
18o
O B
CD
A
A
B
D
C
B
D
C
A

11. 55
6. ได
7. ไดเชนเดียวกัน
8. จากรูป ข ได AOB
∧
= 2(ACB
∧
)
จากรูป ค ได มุมกลับ AOB = 2(ACB
∧
)
9. ใช
คําตอบแบบฝกหัด
1. 45o
2. 55o
3. แตละมุมมีขนาด 40o
4.
1) 200o
2) 160o
3) 80o
4) 180o
5) 180o
คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ข
1. 122.5o
แนวคิดในการใหเหตุผล
1. มุมกลับ AOB = 360 – 115 = 245o
2. มุมกลับ AOB = 2(ACB
∧
) = 245o
(มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ
ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง
เดียวกัน)
3. ACB
∧
= 245
2 = 122.5o
(สมบัติของการเทากัน)
B
115o
C
A
O

12. 56
2. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก DO และ BO
1. DOB
∧
= 2(DAB
∧
) และมุมกลับ DOB = 2(DCB
∧
)
(มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ
ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง
เดียวกัน)
2. 2(DAB
∧
) + 2(DCB
∧
) = DOB
∧
+ มุมกลับ DOB = 360o
3. DAB
∧
+ DCB
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน)
ในทํานองเดียวกันสามารถพิสูจนไดวา ABC
∧
+ ADC
∧
= 180o
3. แนวคิดในการพิสูจน
1. BAD
∧
+ DCB
∧
= 180o
(ผลบวกของขนาดของมุม
ตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ 180 องศา)
2. DCB
∧
+ BCE
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
3. BCE
∧
= BAD
∧
(สมบัติของการเทากัน)
คําตอบกิจกรรม “มุมในสวนโคงของวงกลม”
คําตอบในกิจกรรม
1. AOC
∧
= 2(ABC
∧
)
2. AOC
∧
= 2(ADC
∧
)
3. ABC
∧
= ADC
∧
4. มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาดเทากัน
5. ใช
คําตอบแบบฝกหัด
1. 62o
2. 75o
3. 29o
4. 53o
A
O
B
D
C
A
B
D
C
E

13. 57
คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ค
1. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก AO และ CO
1. AOC
∧
= 2(ABC
∧
) และ AOC
∧
= 2(ADC
∧
)
(มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ
ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง
เดียวกัน)
2. 2(ABC
∧
) = 2(ADC
∧
) (สมบัติของการเทากัน)
3. ABC
∧
= ADC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
2. 76o
แนวคิดในการใหเหตุผล
1. BCD
∧
= ABC
∧
= 50o
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน
และมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
2. BAD
∧
= BCD
∧
= 50o
(มุมในสวนโคงของวงกลมที่
รองรับดวยสวนโคงเดียวกันจะมีขนาดเทากัน)
3. BAC
∧
= 50 + 26 = 76o
3. 36o
4. แนวคิดในการพิสูจน
พิจารณา ∆ ABX และ ∆ CDX
1. ABX
∧
= CDX
∧
และ BAX
∧
= DCX
∧
(มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน
จะมีขนาดเทากัน)
2. AXB
∧
= CXD
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว
มุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
A
B D
C
O
X
B
D
C
A
C
50°
26°
A
D
B

14. 58
3. ∆ ABX ∼ ∆ CDX ----- ขอ 1
(ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ
สามคู แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเปนรูปสามเหลี่ยมที่
คลายกัน)
4. BX
DX = AX
CX (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย) ----- ขอ 2
5. BX CX⋅ = DX AX⋅
(สมบัติการคูณไขวของอัตราสวน) ----- ขอ 3
คําตอบกิจกรรม “มุมและสวนโคงที่รองรับมุม”
1.
2) ทับกันไดสนิท
3) เทากัน
4) ถามุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะ
ยาวเทากัน
5) ใช
2.
2) ทับกันไดสนิท
3) เทากัน
4) ถามุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะ
ยาวเทากัน
5) ใช
3.
1)
(1) เทากัน
(2) เทากัน
(3) ถามุมในสวนโคงของวงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะ
ยาวเทากัน
(4) ใช
(5) แนวคิดในการพิสูจน

15. 59
A
B
O
C
D
พิจารณา วงกลม O และวงกลม R ที่เทากันทุกประการ
1. ACB
∧
= EDF
∧
(กําหนดให)
2. AOB
∧
= 2(ACB
∧
) และ ERF
∧
= 2(EDF
∧
)
(มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ
ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง
เดียวกัน)
3. AOB
∧
= ERF
∧
(สมบัติของการเทากัน)
4. m(AB) = m(EF)
(ในวงกลมที่เทากันทุกประการ ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาด
เทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะยาว
เทากัน)
2) แนวคิดในการพิสูจน
ลาก AO, BO และ DO
1. ACB
∧
= ACD
∧
(กําหนดให)
2. AOB
∧
= 2(ACB
∧
) และ AOD
∧
= 2(ACD
∧
)
(มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ
ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง
เดียวกัน)
3. AOB
∧
= AOD
∧
(สมบัติของการเทากัน)
4. m(AB) = m(AD) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่
จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่
จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
คําตอบกิจกรรม “มุมและสวนโคงที่รองรับมุม (ตอ)”
1.
2) ทับกันไดสนิท
3) เทากัน
4) ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาด
เทากัน
A
B
O
C
E
F
R
D

16. 60
5) ใช
2.
2) ทับกันไดสนิท
3) เทากัน
4) ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาด
เทากัน
5) ใช
3.
1) แนวคิดในการพิสูจน
พิจารณาวงกลม O และวงกลม R ที่เทากันทุกประการ
ลาก AO, BO, DR และ FR
1. m(AB) = m(DF) (กําหนดให)
2. AOB
∧
= DRF
∧
(ในวงกลมที่เทากันทุกประการ
ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
3. 2(ACB
∧
) = 2(DEF
∧
) (มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม
จะมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของ
วงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน)
4. ACB
∧
= DEF
∧
(สมบัติของการเทากัน)
2) แนวคิดในการพิสูจน
ลาก AO, BO และ CO
1. m(AB) = m(AC) (กําหนดให)
2. AOB
∧
= AOC
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคง
ยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงนั้น
จะมีขนาดเทากัน)
3. 2(ACB
∧
) = 2(ABC
∧
) (มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม
จะมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของ
วงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน)
4. ACB
∧
= ABC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
A
B O
C
A
B
O
C
D
F
R
E

17. 61
คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ง
1. ABC
∧
= 95o
และ BCD
∧
= 82o
แนวคิดในการใหเหตุผล
1. ADC
∧
+ ABC
∧
= 180o
(ผลบวกของขนาดของ
มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ
180 องศา)
2. ABC
∧
= 180 – 85 = 95o
3. BAD
∧
+ BCD
∧
= 180o
(ผลบวกของขนาดของ
มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ
180 องศา)
4. BCD
∧
= 180 – 98 = 82o
2. ADB
∧
= 25o
และ AEB
∧
= 25o
แนวคิดในการใหเหตุผล
1. ADB
∧
= ACB
∧
= 25o
(ในวงกลมวงเดียวกัน มุมใน
สวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมี
ขนาดเทากัน)
2. AEB
∧
= ACB
∧
= 25o
(ในวงกลมวงเดียวกัน มุมใน
สวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมี
ขนาดเทากัน)
3. m(DE)
แนวคิดในการใหเหตุผล
1. BAC
∧
= EAD
∧
(กําหนดให)
2. m(BC) = m(DE) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมใน
สวนโคงของวงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับ
มุมทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน)
B
C
A
D 98o
85o
A
D B
E
25o
C
D
B
E
C
A

18. 62
4. BDC
∧
= 60o
และ CAD
∧
= 50o
5. ADC
∧
= 43o
และ BCD
∧
= 43o
6. AOC
∧
= 70o
และ BOD
∧
= 70o
7. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(AD) = m(BC) (กําหนดให)
2. ABD
∧
= CDB
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคงยาว
เทากัน แลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
3. AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
8. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(BD) = m(BC) (กําหนดให)
2. m(ADB) = m(ACB) (สวนโคงครึ่งวงกลมของวงกลม
วงเดียวกัน ยาวเทากัน)
3. m(ADB) – m(BD) = m(ACB) – m(BC) หรือ
m(AD) = m(AC) (สมบัติของการเทากัน)
4. ACD
∧
= ADC
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคง
ยาวเทากัน แลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
5. AD = AC (ถามุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
มีขนาดเทากัน แลวดานที่อยูตรงขามมุมทั้งสองนั้นจะยาว
เทากัน)
6. ∆ ADC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
9. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(AX) = m(DX) (กําหนดให)
2. AOX
∧
= DOX
∧
(ในวงกลมวงเดียวกน ถาสวนโคง
ยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงนั้น
จะมีขนาดเทากัน)
C
A
B
D
B
C
A
D
BC
A D
O
X

19. 63
3. AOC
∧
= BOD
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว
มุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
4. AOC
∧
+ AOX
∧
= BOD
∧
+ DOX
∧
(สมบัติของการเทากัน)
5. ∆ COX ≅ ∆ BOX (ด.ม.ด.)
10. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก AO, BO, CO, DO และ EO
1. AOB
∧
+ BOC
∧
+ COD
∧
+ DOE
∧
+ EOA
∧
= 360o
(มุมรอบจุดจุดหนึ่งมีขนาดเทากับ 360 องศา)
2. 2(ADB
∧
) + 2(BEC
∧
) + 2(CAD
∧
) + 2(DBE
∧
) + 2(
∧
ECA)
= 360o
(สมบัติของการเทากัน)
3. ADB
∧
+ BEC
∧
+ CAD
∧
+ DBE
∧
+ ACE
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน)
4. A
∧
+ B
∧
+C
∧
+D
∧
+E
∧
= 180o
คําตอบกิจกรรม “คอรดและสวนโคงของวงกลม”
1.
1) เทากันทุกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ AB = CD
ดังนั้น ∆ AOB ≅ ∆ COD (ด.ด.ด.)
2) เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน
3) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่
รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน
4) เทากัน เพราะ ความยาวของแตละสวนโคงเกิดจากความยาวของเสนรอบวงของวงกลม
ลบดวยความยาวที่เทากันของสวนโคงของวงกลม
5) ใช
6) ใช
B
C
A
D
E
O

20. 64
7) แนวคิดในการพิสูจน
กําหนดให วงกลม O และวงกลม R เทากันทุกประการ
คอรด AB และคอรด DE ยาวเทากัน
ลาก AO, BO, DR และ ER
1. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ด.ด.)
2. AOB
∧
= DRE
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
3. m(AB) = m(DE) (ในวงกลมที่เทากันทุกประการ
ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับ
มุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
4. m(AB)+ m(ACB) = m(DE)+ m(DFE)
(ตางก็มีความยาวเทากับความยาวของเสนรอบวงของวงกลม
ที่เทากันทุกประการ)
5. m(ACB) = m(DFE) (สมบัติของการเทากัน)
2.
1) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่
รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน
2) เทากันทุกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ AOB
∧
= COD
∧
(ด.ม.ด.)
3) AB = CD เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน
4) ใช
5) ใช
6) แนวคิดในการพิสูจน
กําหนดใหวงกลม O และวงกลม R เทากันทุกประการ
และ m(AB) = m(DE)
ลาก AO, BO, DR และ ER
1. m(AB) = m(DE) (กําหนดให)
2. AOB
∧
= DRE
∧
(ในวงกลมที่เทากันทุกประการ
ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
3. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ม.ด.)
BA
C
O
ED
F
R
BA
C
O
ED
FR

21. 65
4. AB = DE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
คําตอบกิจกรรม “รูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทาแนบในวงกลม”
คําตอบแบบฝกหัด
1.
1) ยาวเทากัน
2) ตั้งฉากกันและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน
3) แนวการสราง
1. สรางวงกลม O ใหมีรัศมียาวเทากับ 10
2 = 5 เซนติเมตร
2. ลาก AB เปนเสนผานศูนยกลาง
3. สราง XY ตั้งฉากกับ AB ที่จุด O ตัดวงกลมที่จุด C และจุด D
4. ลาก AC, BC, BD และ AD
จะได ADBC เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเสนทแยงมุม AB ยาว 10 เซนติเมตร
A B
C
D
O 5 ซม.
Y
X

22. 66
2.
2) เปน
3)
(1) เปน เพราะ ความยาวของแตละดานเทากับรัศมีของวงกลม
(2) 60o
เพราะ เปนขนาดของมุมภายในแตละมุมของรูปสามเหลี่ยมดานเทา
(3) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน
แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน
(4) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหได
สวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน
(5) 60o
เพราะ FOA
∧
มีขนาดเทากับขนาดของมุมรอบจุด O ลบดวยผลบวก
ของขนาดของมุมในขอ (2) FOA
∧
= 360 – (5 × 60)
(6) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน
แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน
(7) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหได
สวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน
(8) เปน เพราะ ทุกดานมีความยาวเทากัน
(9) 120o
เพราะ แตละมุมมีขนาดเทากับผลบวกของขนาดของมุมภายในสองมุม
ของรูปสามเหลี่ยมดานเทาที่เรียงตอกัน
(10) เปน
4)
(1) 120o
(2) 720o
คําตอบแบบฝกหัด
1) 3 มุม แตละมุมมีขนาด 120o
2) 8 มุม แตละมุมมีขนาด 45o
3) 12 มุม แตละมุมมีขนาด 30o
4) 16 มุม แตละมุมมีขนาด 22.5o

23. 67
คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ก
1. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(AB) = m(AC) (กําหนดให)
2. AB = AC (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัด
วงกลม ทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสอง
นั้นจะยาวเทากัน)
3. ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
(มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน)
2. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(AB) = m(BC) (กําหนดให)
2. AB = BC (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัด
วงกลม ทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้น
จะยาวเทากัน)
3. ADB
∧
=
∧
CEB (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคงยาว
เทากัน แลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
4. ∆ ABD ≅ ∆ CBE (ม.ม.ด.)
5. BD = BE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
3. แนวการสราง
1. สรางวงกลม O โดยใชรัศมียาวพอสมควร
2. สราง AOB
∧
และ BOC
∧
ใหแตละมุมมีขนาด 120o
3. ลาก AB, BC และ AC
จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา
C
A
B
A C
D E
O
B
O A
B
C

24. 68
แนวคิดในการพิสูจน
1. AOB
∧
= BOC
∧
= 120o
(จากการสราง)
2. จะได AOC
∧
= 120o
(ขนาดของมุมรอบจุดจุดหนึ่งเทากับ 360 องศา)
3. m(AB) = m(BC) = m(CA) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาด
เทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะ
ยาวเทากัน)
4. AB = BC = CA (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหได
สวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน)
5. ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา
4. แนวการสราง
1. สรางวงกลม O โดยใชรัศมียาวพอสมควร
2. ลากเสนผานศูนยกลาง AE
3. สราง PQ แบงครึ่ง AOE
∧
ตัดวงกลมที่จุด C และจุด G
จะได AOC
∧
= 90o
4. สราง XY แบงครึ่ง AOC
∧
ตัดวงกลมที่จุด B และจุด F
จะได AOB
∧
= 45o
5. สราง MN แบงครึ่ง COE
∧
ตัดวงกลมที่จุด D และจุด H
จะได COD
∧
= 45o
6. ลาก AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH และ HA
จะไดรูป ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลี่ยมดานเทามุมเทา
แนวคิดในการพิสูจน
1. AOB
∧
= BOC
∧
= COD
∧
= DOE
∧
= EOF
∧
= FOG
∧
= GOH
∧
= HOA
∧
= 45o
(จากการสราง และถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามจะมีขนาดเทากัน)
2. m(AB) = m(BC) = m(CD) = m(DE) = m(EF) = m(FG) = m(GH) = m(HA)
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่
จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
C
P
D
E
F
G
H
A
B
X
N
Q
Y
M
O

25. 69
3. AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรด
ทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน)
4. รูป ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลี่ยมดานเทา (มีดานยาวเทากันทุกดาน)
5. ∆ AOB, ∆ BOC, ∆ COD, ∆ DOE, ∆ EOF, ∆ FOG, ∆ GOH และ ∆ HOA
แตละรูปเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่มีมุมยอดขนาด 45 องศา
6. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วแตละรูปมีขนาดเทากับ 180 45
2
−
= 67.5 องศา
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา)
7. ABC
∧
= BCD
∧
= CDE
∧
= DEF
∧
= EFG
∧
= FGH
∧
= GHA
∧
= HAB
∧
= 67.5 × 2 = 135o
8. จะไดรูป ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลี่ยมดานเทามุมเทา (จากขอ 4 และขอ 7)
5. แนวการสรางและพิสูจนทําไดในทํานองเดียวกับขอ 3 จากรูปการสรางขางลางนี้ จะได
รูป ABCDEFGHIJKL เปนรูปสิบสองเหลี่ยมดานเทามุมเทา
คําตอบกิจกรรม “คอรดกับจุดศูนยกลางของวงกลม”
1. แนวคิดในการพิสูจน
1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.)
2. AX = BX (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
BA
O
X
30o
O
A
B
CD
E
F
G
H
I J
K
L

26. 70
2. แนวคิดในการพิสูจน
1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ด.ด.ด.)
2. AXO
∧
= BXO
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่
เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
3. AXB
∧
= AXO
∧
+ BXO
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
4. AXO
∧
= BXO
∧
= 90o
(จากขอ 2 และขอ 3)
คําตอบแบบฝกหัด
1. 16 เซนติเมตร
2. 13 เซนติเมตร
3. 3.9 เซนติเมตร
4.
1) 21 เซนติเมตร
2) มีลักษณะเปนวงกลม
คําตอบกิจกรรม “หาจุดศูนยกลาง”
1. แนวคิด
1. สรางเสนตรง 1 ตั้งฉากและแบงครึ่ง AB
2. สรางเสนตรง 2 ตั้งฉากและแบงครึ่ง BC
3. ใหเสนตรง 1 ตัดกับเสนตรง 2 ที่จุด O
จะไดจุด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม
BA
O
X
O
1
2
A B
C

27. 71
2.
ถาคอรด AB และคอรด CD ขนานกัน เสนตรง 1
และ 2 ที่เปนเสนตั้งฉากและแบงครึ่งคอรดทั้งสอง
จะทับกันเปนเสนตรงเดียวกัน จึงไมสามารถหาจุดตัด
ที่เปนจุดศูนยกลางของวงกลม
คําตอบกิจกรรม “วงกลมผานจุดที่กําหนด”
1. สรางวงกลมผานจุด A ไดจํานวนวงกลมนับไมถวน และจุดศูนยกลางของวงกลมเหลานั้นเปนจุดตาง ๆ
บนระนาบ
2.
สรางวงกลมผานจุด A และจุด B ไดจํานวนวงกลม
นับไมถวน และจุดศูนยกลางของวงกลมเหลานั้นจะเรียง
อยูบนเสนตรงที่ตั้งฉากและแบงครึ่ง AB
3. ตัวอยางการสราง
สรางวงกลมผานจุด A, B และ C ไดวงเดียวและ
จุดศูนยกลางของวงกลมอยูที่จุดตัดของเสนตรงสองเสน
ซึ่งเปนเสนตรงที่ตั้งฉากและแบงครึ่งสวนของเสนตรง
สองเสนที่เชื่อมสองจุดใด ๆ ของจุด A, B และ C
A B
O1
O2
O3
A B
C
BA
D C
1
2

28. 72
4. สรางไมได
5. สรางไมได
คําตอบกิจกรรม “รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม”
1. 180o
เพราะ กําหนดให
2. 180o
เพราะ ผลบวกของขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เทากับ 360 องศา
3. 180o
เพราะ ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ
180 องศา
4. เทากัน เพราะ สมบัติของการเทากัน
5. ได เพราะ สมบัติของการเทากัน
คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ข
1. แนวการสรางและแนวการพิสูจน ทําไดในทํานอง
เดียวกันกับกิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม”
ในหนังสือเรียนหนา 121 – 122
2. ใหจุด A, B และ C เปนตําแหนงของโรงเรียน
โรงพยาบาล และทารถประจําทาง ตามลําดับ
เมื่อใชแนวการสราง และแนวการพิสูจนในทํานอง
เดียวกันกับกิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม” ใน
หนังสือเรียน หนา 121 – 122
จะไดตําแหนงที่สรางตลาดสดอยูที่จุดศูนยกลางของ
วงกลม ที่ผานจุด A, B และ C
A
B
C
O
F
E
1
2
A
B
C
E
F
O
2
1

29. 73
3. กําหนดจุด A, B และ C บนขอบจานที่จุดเหลานี้ไมอยูใน
แนวเสนตรงเดียวกัน
เมื่อใชแนวการสราง และแนวการพิสูจนในทํานองเดียวกันกับ
กิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม” ในหนังสือเรียนหนา
121 – 122
จะไดจุดศูนยกลางของจานซึ่งทําใหหาความยาวของรัศมีของ
จานได ตอจากนั้นจึงใชความยาวของรัศมีหาความยาวของ
เสนรอบจาน
4. แนวคิดในการพิสูจน
1. ODC
∧
= OEC
∧
= 90o
(กําหนดให)
2. ODC
∧
+ OEC
∧
= 180o
(จากขอ 1)
3. ODCE แนบในวงกลมได (ถารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มี
ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามเทากับสองมุมฉาก แลว
รูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบในวงกลมวงหนึ่งได)
5. แนวคิดในการพิสูจน
1. ให ABD
∧
มีขนาดเปน xo
2. จะได DBC
∧
= 2xo
(กําหนดให)
3. ABD
∧
= ADB
∧
= xo
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม
หนาจั่วมีขนาดเทากัน)
4. DBC
∧
= DCB
∧
= 2xo
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม
หนาจั่วมีขนาดเทากัน)
5. จะได DAB
∧
+ BCD
∧
= (180 – 2x) + 2x = 180o
6. ABCD แนบในวงกลมได (ถารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มี
ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามเทากับสองมุมฉาก แลว
รูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบในวงกลมวงหนึ่งได)
B
C
D
O
EA
A
(180 – 2x)o
xo 2xo
C
D
B
xo
2xo
A B
C
O

30. 74
คําตอบกิจกรรม “คอรดที่ยาวเทากัน”
1.
1) เทากัน เพราะ สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลมและตั้งฉากกับคอรด
ที่ไมใชเสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรด
2) เทากัน
3) เทากัน เพราะ สมบัติของการเทากัน
4) เทากันทุกประการ เพราะ OEB
∧
= OFC
∧
= 90o
, OB = OC และ BE = CF (ฉ.ด.ด.)
5) เทากัน เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน
6) เทากัน
7) ใช
2.
1) เทากันทุกประการ เพราะ OEB
∧
= OFC
∧
= 90o
, OB = OC และ OE = OF
(ฉ.ด.ด.)
2) เทากัน เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน
3) เทากัน เพราะ สมบัติของการเทากัน
4) เทากัน เพราะ สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใช
เสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรด
5) เทากัน เพราะ สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใช
เสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรด
6) เทากัน เพราะ สมบัติของการเทากัน
7) ใช
คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ค
1. 5 เซนติเมตร
2. แนวคิดในการพิสูจน
1. AD = BD (สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของ
วงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใชเสนผานศูนยกลาง
จะแบงครึ่งคอรด)
2. ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ม.ด.)
D BA
C
O

31. 75
D
B
A C
O
F E
P
3. AC = BC (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
4. AC และ BC อยูหางจากจุด O เทากัน
(ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองเสนยาวเทากัน แลวคอรด
ทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนยกลางของวงกลมเปนระยะ
เทากัน)
3. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก OP
1. OE = OF (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองเสนยาว
เทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนยกลางของ
วงกลมเปนระยะเทากัน)
2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.)
3. EP = FP (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
4. BE = DF (ตางก็ยาวเปนครึ่งหนึ่งของคอรดที่ยาวเทากัน)
5. BE + EP = DF + FP (สมบัติของการเทากัน)
6. BP = DP (สมบัติของการเทากัน)
4. แนวคิดในการพิสูจน
ให O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม ลาก OE และ OF ตั้งฉาก
กับ AB และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ ลาก OP
1. OE = OF (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองเสนยาว
เทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนยกลางของ
วงกลมเปนระยะเทากัน)
2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.)
3. EP = FP (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
4. BE = DF (ตางก็ยาวเปนครึ่งหนึ่งของคอรดที่ยาวเทากัน)
5. EP – BE = FP – DF (สมบัติของการเทากัน)
6. BP = DP (สมบัติของการเทากัน)
B
A
C
D
P
E
F
O

32. 76
5. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก OE และ OF ตั้งฉากกับ AB และ CD ที่จุด E และจุด F
ตามลําดับ ลาก OB และ OD
1. จาก ∆ OEB จะได OB2
= OE2
+EB2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2
= OF2
+FD2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
3. OB = OD (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน)
4. OB2
= OD2
(สมบัติของการเทากัน)
5. OE2
+ EB2
= OF2
+ FD2
(สมบัติของการไมเทากัน)
6. AB > CD (กําหนดให)
7. AB
2 > CD
2 (สมบัติของการไมเทากัน)
8. EB = AB
2 และ FD = CD
2 (สวนของเสนตรงซึ่งผาน
จุดศูนยกลางของวงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใช
เสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรด)
9. EB > FD (จากขอ 7 และขอ 8)
10. EB2
> FD2
(EB และ FD เปนจํานวนบวก)
11. OE2
< OF2
(จากขอ 5 และขอ 10)
12. OE < OF (OE และ OF เปนจํานวนบวก)
13. AB อยูใกลจุดศูนยกลางของวงกลมมากกวา CD
6. แนวคิดในการพิสูจน
สําหรับกรณีวงกลมวงหนึ่ง
ให O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม AB เปนคอรดที่อยูใกล
จุด O มากกวาคอรด CD ลาก OE และ OF ตั้งฉากกับ AB
และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ ลาก OB และ OD
1. จาก ∆ OEB จะได OB2
= OE2
+EB2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2
= OF2
+FD2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
3. OB = OD (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน)
4. OB2
= OD2
(สมบัติของการเทากัน)
5. OE2
+ EB2
= OF2
+ FD2
(สมบัติของการเทากัน)
6. OE < OF (กําหนดให)
7. OE2
< OF2
(OE และ OF เปนจํานวนบวก)
D
B
A
C
O
E
F
D
B
A
C
O
E
F

33. 77
8. EB2
> FD2
(จากขอ 5 และขอ 7)
9. EB > FD (EB และ FD เปนจํานวนบวก)
10. 2(EB) > 2(FD) (สมบัติของการไมเทากัน)
11. AB > CD (สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของ
วงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใชเสนผานศูนยกลาง
จะแบงครึ่งคอรด)
สําหรับกรณีวงกลมที่เทากันทุกประการ จะใชแนวคิดในการพิสูจนทํานองเดียวกัน
คําตอบกิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี”
1. เปน
3. ตั้งฉาก
4. ตั้งฉาก
5. ใช
คําตอบในกิจกรรม
1) PC
2) เปน
คําตอบกิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี (ตอ)”
คําตอบในกิจกรรม
1.
(1) ตั้งฉาก เพราะ ไดสรางให XY ตั้งฉากกับ OB ที่จุด A
(2) เปน เพราะ เสนตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบนวงกลม
จะเปนเสนสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น
C
B
O
D
X
Y
A

34. 78
2.
(1) เปน
(2) 90o
เพราะ แตละมุมเปนมุมในครึ่งวงกลม R ซึ่งมุมในครึ่งวงกลม
มีขนาด 90 องศา
(3) ตั้งฉาก เพราะ OAX
∧
= 90o
และ OBX
∧
= 90o
(4) สัมผัสวงกลม O เพราะ เสนตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบน
วงกลม จะเปนเสนสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น
(5) สองจุด
(6) เทากัน เพราะ
OAX
∧
=
∧
OBX = 90o
(จากขอ (2))
OX = OX (OX เปนดานรวม)
AO = BO (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน)
จะได ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.)
ดังนั้น AX = BX (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)
คําตอบแบบฝกหัด (หนา 135)
1. แนวการสราง ทําไดในทํานองเดียวกันกับในขอ 1 ของ
กิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี (ตอ)” ในหนังสือเรียน
หนา 132 – 133
2. แนวการสราง ทําไดในทํานองเดียวกันกับในขอ 2 ของ
กิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี (ตอ)” ในหนังสือเรียน
หนา 132 – 133
P
Q
O R
X
A
B
X
O
A
P
B
A
B
O X
P
Q
R

35. 79
3.
1) 63o
2) 117o
คําตอบแบบฝกหัด 3.4 ก
1. 17 เซนติเมตร
2. 104o
3. 130o
4. 55o
5. 40o
6. 40o
7. แนวคิดในการพิสูจน
1. YAO
∧
= PBO
∧
= 90o
(เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ
รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส)
2. XY // PQ (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
8. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก CO และ DO
1. EX AB⊥ (เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของ
วงกลมที่จุดสัมผัส)
2. EXB
∧
= 90o
(จากขอ 1)
3. CYX
∧
= EXB
∧
= 90o
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน
และมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
4. ∆ CYO ≅ ∆ DYO (ฉ.ด.ด.)
5. COY
∧
= DOY
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
A B
O
P
Y Q
X
A B
O
C DY
E
X

36. 80
6. m(CE) = m(DE) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่
จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่
จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
9. แนวคิดในการพิสูจน
1. BAC
∧
+ CAY
∧
= 90o
(เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ
รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส)
2. ACB
∧
= 90o
(มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา)
3. CAY
∧
+ AYB
∧
= 90o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุม
ของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา)
4. BAC
∧
+ CAY
∧
= CAY
∧
+ AYB
∧
= 90o
(สมบัติของการเทากัน)
5. BAC
∧
= AYB
∧
(สมบัติของการเทากัน)
10. แนวคิดในการพิสูจน
1. ABO
∧
= ACO
∧
= 90o
(เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ
รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส)
2. OA = OA (OA เปนดานรวม)
3. AB = AC (สวนของเสนตรงที่ลากมาจากจุดจุดหนึ่ง
ภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมวงเดียวกัน จะยาวเทากัน)
4. ∆ ABO ≅ ∆ ACO (ฉ.ด.ด.)
5. AOB
∧
= AOC
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่
เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
11. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก BO และ CO
1. AOB
∧
= AOC
∧
(จากการพิสูจนในขอ 10)
2. BOD
∧
+ AOB
∧
= COD
∧
+ AOC
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
3. BOD
∧
= COD
∧
(สมบัติของการเทากัน)
A
B
O
C
YX
B
C
O
A
A
B
OD
C

37. 81
4. m(BD) = m(CD) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่
จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่
จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
5. BD = CD (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองคอรดตัด
วงกลมทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้น
จะยาวเทากัน)
12. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก BO และ CO
1. ∆ BOC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
(มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน)
2. AOB
∧
= AOC
∧
(จากการพิสูจนในขอ 10)
3. OD ที่แบงครึ่งมุมยอดของ ∆ OBC จะตั้งฉากและแบงครึ่ง
BC (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว)
คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”
เครื่องหมายกาชาดมีพื้นที่ r2
1
7 2−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ตารางหนวย
แนวคิด ลาก DX ตัด OA ที่จุด E จะได
ODE เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ให DE = a จะได OE = a, DX = QX = 2a
จาก ∆ ODE จะได a2
+ a2
=
2
r
4
2a2
=
2
r
4
A
B
O D
C
A
B
C
O
D
Y
XQP
r a E
r
2 a

38. 82
a = r
2 2
หนวย
ฉะนั้น DX = QX = 2a = r
2
หนวย
พื้นที่ของรูปกาชาด = (PY)(DX) + (PQ + XY)(DX) ตารางหนวย
= (DX)(PY + PQ + XY) ตารางหนวย
และจะไดวา PY = 2 2
2 r a− (สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลม
และตั้งฉากกับคอรดที่ไมใชเสนผานศูนยกลาง
จะแบงครึ่งคอรดนั้น)
PQ + XY = 2 2
2 r a 2a− −
ดังนั้นพื้นที่ของรูปกาชาด = 2a( )2 2 2 2
+2 r a 2 r a 2a− − −
= 2a( )2 2
4 r a 2a− −
= r
2
2
2 r r4 r 8 2
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 2
7r4r r
8 22
−
⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
4r r 7 r
22 2 2
−
⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 2
4 7 r r
4 2−
= r2
1
7 2−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ตารางหนวย
คําตอบกิจกรรม “นารู”
14 องศา

39. 83
คําตอบกิจกรรม “วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม”
คําตอบแบบฝกหัด
1.
แนวการสราง ทําไดในทํานองเดียวกันกับกิจกรรม
“วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม” ในหนังสือเรียน
หนา 141
2.
แนวการสราง ทําไดในทํานองเดียวกันกับกิจกรรม
“วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม” ในหนังสือเรียน
หนา 141
6
D
O
CB
A
108
O
Q R
P
C
D

40. 84
จากรูป
ให CE = x หนวย และ BF = y หนวย
y = 6 – x -------- 1
8 – y = 10 – x -------- 2
จะได 8 – (6 – x) = 10 – x
2 + x = 10 – x
2x = 8
x = 4
แทน x ใน 1 จะได
y = 6 – 4
y = 2
เนื่องจากรัศมีของวงกลม O เทากับ y หนวย ( BEOF เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส)
ดังนั้น รัศมีของวงกลม O เทากับ 2 หนวย
คําตอบกิจกรรม “เสนสัมผัสและคอรด”
1.
1) 90o
2) 90o
3) 90o
4) เทากัน
5) เทากัน เพราะ สมบัติของการเทากัน
6) เทากัน เพราะ ADB
∧
= ACB
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในสวนโคงของวงกลมที่
รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาดเทากัน)
2. แนวคิดในการพิสูจน
ลากเสนผานศูนยกลาง AD และลาก CD
1. ACD
∧
= 90o
(มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา)
2. ADC
∧
+ CAD
∧
= 90o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุม
ของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา)
B
C
X YA
D
10 – x
B C
A
D
F
E
O x
y
x6 – x
8 – y

41. 85
3. CAD
∧
+ CAY
∧
= 90o
(เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ
รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส)
4. ADC
∧
+ CAD
∧
= CAD
∧
+ CAY
∧
(สมบัติของการเทากัน)
5. ADC
∧
= CAY
∧
(สมบัติของการเทากัน)
6. ADC
∧
= ABC
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในสวนโคง
ของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาด
เทากัน)
7. CAY
∧
= ABC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
8. ในทํานองเดียวกัน เมื่อลาก BD จะพิสูจนไดวา
BAX
∧
= ACB
∧
คําตอบแบบฝกหัด 3.4 ข
1. BAC
∧
= 65o
และ ACB
∧
= 80o
2. 44o
3. ADC
∧
= 55o
, ABC
∧
= 125o
และ DCB
∧
= 38o
4. 6 หนวย (แนวคิดของการหาคําตอบทํานองเดียวกันกับแนวคิดของการหาคําตอบขอ 2 ของกิจกรรม
“วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม”)
5. 17 เซนติเมตร
แนวคิด
x = 5 – y จะได y = 5 – x
เนื่องจาก BC = 14 – x + 8 – y
จะได BC = 14 – x + 8 – (5 – x)
BC = 17 เซนติเมตร
B O
C
D
Ax
y
y
(14 – x)
(14 – x)
8 – y
8 – y
(5 – y)