การแจกแจงปกติ

28,310 views

Published on

การแจกแจงปกติ

  1. 1. บทที่ 2 การแจกแจงปกติ (20 ชั่วโมง)ผลการเรียนรูที่คาดหวัง1. นําความรูเรื่องคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล2. หาพื้นที่ใตเสนโคงปกติและนําความรูเกี่ยวกับพื้นที่ใตเสนโคงปกติไปใชไดขอเสนอแนะ 1. ความสําคัญของคะแนนมาตรฐาน คะแนนมาตรฐานจะบอกใหทราบวาคาสังเกตนันๆ อยูหางจากคาเฉลียเลขคณิตเปนกีเ่ ทา ้   ่ของสวนเบียงเบนมาตรฐาน และอยูในทิศทางใดเมือเทียบกับคาเฉลีย เนืองจาก Z = X − µ ่  ่ ่ ่ σ คาสังเกตทีมคามากกวาคาเฉลียจะมีคะแนนมาตรฐานเปนบวกสวนคาสังเกตทีมคานอยกวา ่ี ่ ่ีคาเฉลียเลขคณิตจะมีคะแนนมาตรฐานเปนลบ คาสังเกตทีมคาเทากับคาเฉลียเลขคณิตพอดีจะมีคะแนนมาตรฐาน ่ ่ี ่เปนศูนย สวนใหญแลวเราจะแปลงคาสังเกตหรือหาคะแนนมาตรฐานของคาสังเกตแตละชุดทีมี ่การแจกแจงแบบสมมาตรเพือใหมมาตรวัดเดียวกันเนืองจากคะแนนมาตรฐานเปนคะแนนทีไมมหนวย ่ ี ่ ่ ีจากนั้นจึงทําการเปรียบเทียบคาสังเกตโดยพิจารณาจากคะแนนมาตรฐานของคาสังเกตนั้นๆ เชนเปรียบเทียบสวนสูงของนักเรียนสองคนที่มีอายุตางกันโดยการแปลงสวนสูงของนักเรียนแตละคนใหเปนคะแนนมาตรฐานเมื่อเทียบกับคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนในกลุมอายุนั้น ๆ คะแนนมาตรฐานของสวนสูงจะบอกใหทราบวานักเรียนแตละคนมีความสูงอยูในตําแหนงใดในการแจกแจงของกลุมนักเรียนอายุเดียวกันนั้น การแปลงหรือหาคะแนนมาตรฐานเปนการแปลงแบบเชิงเสน (linear transformation)การแปลงแบบเชิงเสนนี้ไมทําใหการแจกแจงของคาสังเกตกอนและหลังการแปลงเปลี่ยนแปลงไปและคาเฉลียเลขคณิตและสวนเบียงเบนมาตรฐานของขอมูลหลังการแปลงก็หาไดโดยวิธงายๆ อนึงคาทีได ่ ่ ี ่ ่จากการแปลงแบบเชิ ง เสนของขอมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติจะยังคงมีการแจกแจงแบบปกตินอกจากนี้คะแนนมาตรฐานของการแจกแจงแบบใดๆ ก็ตามที่คํานวณจากขอมูลประชากรทั้งหมด(กลาวคือใชสตร Zi = Xi − µ เมื่อ i คือ 1, 2, 3, ..., N) คะแนนมาตรฐานนั้นจะมีคาเฉลี่ยเลขคณิต ู σ( µ ) เปน 0 และสวนเบียงเบนมาตรฐาน ( σ ) เปน 1 ทําใหไดวาคะแนนมาตรฐานจากขอมูลเดิมทีมการ ่  ่ีแจกแจงแบบปกติมีคาเฉลี่ยเลขคณิต µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ที่มีคาใดๆ จะมีการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต µ = 0 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = 1
  2. 2. 68 การแจกแจงของคะแนนมาตรฐานของขอมูลไมจาเปนตองมีการแจกแจงแบบปกติ ขึนอยูกบ ํ ้ ัลักษณะของขอมูลชุดนั้นๆ เวนเสียแตวาขอมูลเดิมมีการแจกแจงแบบปกติ 2. ตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีหลายแบบกลาวคือ (1) แสดงเพียงครึ่งดานขวาการแจกแจง โดยแสดงคา z ที่เปนศูนยเปนตนไป (z ≥ 0)และคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เริ่มจาก z = 0 ถึง คา z ที่ตองการ ใหสังเกตเมื่อ z = 0.00 คาที่แสดงคือ .0000 (2) แสดงเพียงดานขวาของการแจกแจง โดยแสดงคา z ที่เปนศูนยเปนตนไป และคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เริ่มจาก z = − ∞ ถึง คา z ที่ตองการ ใหสังเกตเมื่อ z = 0.00 คาที่แสดงคือ .5000
  3. 3. 69 (3) แสดงการแจกแจงทั้งหมด โดยแสดงคา z ที่เปนลบดวย เชน –3.40 เปนตนไปและคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เริ่มจาก z = − ∞ ถึง คา z ที่ตองการ 3. การแจกแจงของขอมูลมีหลายชนิด การแจกแจงของอายุการใชงาน มักมีการแจกแจงแบบอืนทีไมใช ่ ่แบบปกติ เชน การแจกแจงแบบชีกาลัง การแจกแจงแบบสม่าเสมอ ้ํ ํ การแจกแจงแบบปกติ (normal) การแจกแจงแบบสม่ําเสมอ (uniform) การแจกแจงแบบชี้กําลัง (exponential)
  4. 4. 70กิจกรรมเสนอแนะกิจกรรมที่ 1 คะแนนมาตรฐาน ใหนักเรียนเก็บขอมูลคะแนนสอบวิชาใดวิชาหนึ่งของทุกคนในหองแปลงคะแนนดิบเหลานั้นใหเปนคะแนนมาตรฐานโดยสูตร Zi = Xi − µ (หรือใหนักเรียนแตละคนหาคะแนน σมาตรฐานของคะแนนสอบทีตนเองได โดยผูสอนคํานวณคาเฉลียเลขคณิตและสวนเบียงเบนมาตรฐาน ่  ่ ่ไวให) จากนั้นใหรวมกันตอบคําถามตอไปนี้  1. มีนกเรียนกีคนทีไดคะแนนมาตรฐานเปนบวก คิดเปนรอยละเทาใดของนักเรียนทังหมด ั ่ ่ ้และคะแนนมาตรฐานที่เปนบวกนี้หมายความวาอยางไร 2. มีนกเรียนกีคนทีไดคะแนนมาตรฐานเปนลบ คิดเปนรอยละเทาใดของนักเรียนทังหมด ั ่ ่ ้และคะแนนมาตรฐานที่เปนลบนี้หมายความวาอยางไร 3. ผูที่ไดคะแนนมาตรฐานระหวาง –1 ถึง 1 มีกี่คน คิดเปนรอยละเทาใดของทั้งหมดและผูที่ไดคะแนนในชวงนี้หมายความวาอยางไร 4. ตีความหมายคะแนนมาตรฐานของนักเรียนแตละคน 5. หาคาเฉลียเลขคณิต ( µ ) และหาสวนเบียงเบนมาตรฐาน ( σ ) ของคะแนนมาตรฐาน ่ ่ของนักเรียนทังหอง (ใหใชสตรทีคานวณจากขอมูลระดับประชากร) สังเกตคาเฉลียเลขคณิตและสวน ้ ู ่ํ ่เบียงเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานวามีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนศูนยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ่เปนหนึ่งหรือไม แนวคิดในการทํากิจกรรมนี้ หากนักเรียนในหองมีจานวนมากพอและการแจกแจงของคะแนน ํสอบคอนขางสมมาตรหรือใกลเคียงกับการแจกแจงแบบปกติ ผูที่ไดคะแนนมาตรฐานเปนบวกและลบจะมีพอๆ กัน หรือรอยละ 50 ของนักเรียนทั้งหมด (ถามีการแจกแจงเปนแบบปกติจริง) ผูที่มีคะแนนมาตรฐานอยูระหวาง –1 ถึง 1 ควรมีประมาณ รอยละ 68 อยางไรก็ตามไมวาการแจกแจงของคะแนนสอบจะเปนอยางไร คาเฉลียเลขคณิตของคะแนนมาตรฐานจะตองเปนศูนยและสวนเบียง ่ ่เบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานตองเปนหนึงเสมอ่หมายเหตุ คาสของ Zi ขางตน อาจเรียกไดหลายชื่อ เชน คะแนน z (z score) หรือคา z (z value) หรือคะแนนมาตรฐาน (standard score) หรือ คามาตรฐาน ซึ่งเปนชื่อกลาง ๆ ใชไดทั่วไป ไมวาคาของ xi จะเปนคะแนนหรือไมเปนคะแนน เชนอาจเปนน้ําหนักตัว หรือ ราคา สินคา ฯลฯกิจกรรมที่ 2 รูปกราฟของการแจกแจงแบบปกติ หากนักเรียนสามารถเขาถึงอินเทอรเน็ตได ใหคนและศึกษารูปการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตตางๆ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานตางๆ เปรียบเทียบกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนศูนยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปนหนึ่ง เว็บไซตทแนะนํา ซึงมีภาพเคลือนไหวแสดงรูปรางของการแจกแจงแบบปกติตางๆ รวมทัง ี่ ่ ่  ้ความสัมพันธกับฟงกชันของการแจกแจงแบบปกติเมื่อกําหนดคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบน
  5. 5. 71มาตรฐานไดแก http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html แลวคลิกที่ Flash Demo byJuha Puranen ภายใตหัวขอ Other Sites หรือไปที่ http://noppa5.pc.helsinki.fi/koe/flash/flash.html โดยตรง ไปที่หัวขอ Distributions จากนั้นเลือก Normal distributionกิจกรรมที่ 3 (เพิ่มเติมในกรณีท่มีเวลาพิเศษ) ี ใหนกเรียนลองหาพืนทีใตเสนโคงปกติมาตรฐาน กรณีทมตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสม ั ้ ่ ี่ ีแบบตางๆ ตามที่เสนอไวในขอเสนอแนะการประเมินผล เนืองจากในการเรียนการสอนเรือง การแจกแจงแบบปกติ ใหความสําคัญกับการนําความรู ่ ่เรืองคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล และการหาพืนทีใตเสนโคงปกติและนําความรูเ กียวกับ ่ ้ ่ ่พื้นที่ใตเสนโคงปกติไปใชได ดังนั้นในการประเมินผลผูสอนอาจประเมินจากแบบฝกหัด ขอสอบที่เนนการนําความรูเรื่องคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล ความหมายของคามาตรฐานที่คํานวณได ความสัมพันธระหวางคะแนนดิบและคะแนนมาตรฐาน และการหาพื้นที่ใตเสนโคงปกติ นอกจากนั้นอาจประเมินผลโดยพิจารณาจากกิจกรรมกลุมที่ใหคํานวณคะแนนมาตรฐานความหมายของคาทีได และการหาพืนทีใตเสนโคงปกติมาตรฐานกรณีทมตารางแจกแจงความนาจะเปน ่ ้ ่ ี่ ีสะสมแบบตางๆ หากมีเวลาในการสอนเพิ่มเติมเกี่ยวกับตารางเหลานี้ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. สมมุติวา คะแนนทดสอบ IQ สําหรับผูที่มีอายุระหวาง 20 ถึง 34 ป มีการแจกแจงที่ประมาณไดวาเปนแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต ( µ ) 110 และ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( σ ) 25 1.1 จะมีรอยละเทาใดของผูที่อยูในชวงอายุน้ที่มีคะแนน IQ มากกวา 160 ี 1.2 รอยละ 95 ของผูที่มีอายุในชวงนี้ ซึ่งเปนรอยละที่อยูชวงกลางของการแจกแจงมีคะแนน IQ อยูระหวางคาใด 2. ถาเด็กหญิงคนหนึ่งสอบ SAT วิชาคณิตศาสตรได 680 คะแนน สมมุติวาคะแนนสอบSAT นี้มีก ารแจกแจงแบบปกติที่มีคา เฉลี่ยเลขคณิต 500 คะแนน และสวนเบี่ย งเบนมาตรฐาน100 คะแนน และถาเด็ก ชายคนหนึ่ง ทําคะแนนสอบ ACT วิชาคณิตศาสตรได 27 คะแนน สมมุติวาคะแนนสอบ ACT นีมการแจกแจงแบบปกติทมคาเฉลียเลขคณิต 18 คะแนน และสวนเบี่ยงเบน ้ ี ี่ ี  ่มาตรฐาน 6 คะแนน ถาการทดสอบทังสองแบบวัดความสามารถ เชิงคณิตศาสตรแบบเดียวกัน เด็ก ้ชายหรือเด็กหญิง มีคะแนนสอบดีกวากัน 3. จงใชตารางแจกแจงปกติมาตรฐาน เขียนรูปและแรเงาพืนทีใตโคงเพื่อตอบคําถามตอไปนี้ ้ ่ 3.1 พื้นที่ใตโคงที่มคา z < 2.85 ี 3.2 พื้นที่ใตโคงที่มคา z > 2.85 ี
  6. 6. 72 3.3 พื้นที่ใตโคงที่มีคา z > –1.66 3.4 พื้นที่ใตโคงที่มีคา –1.66 < z < 2.85 4. สมมุตวาความกวางของศีรษะของผูขับขี่มอเตอรไซตรับจางมีการแจกแจงแบบปกติที่ ิมีคาเฉลี่ยเลขคณิต 22.8 นิ้วและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.1 นิ้ว ในการทําหมวกกันน็อคตองทําคราวละมากๆ ใหทกคนใสไดยกเวนผูทมความกวางของศีรษะเล็กเกินไป หรือใหญเกินไป กลุมละ 5% ุ  ี่ ี ซึ่งจะตองสั่งเปนพิเศษ อยากทราบวาผูที่มีขนาดศีรษะเทาใดที่จะตองสั่งหมวกกันน็อคเปนพิเศษ 5. เครื่องกดน้ําอัดลมเครื่องหนึ่งไดถูกตั้งไวใหจายน้ําอัดลมโดยเฉลี่ย 7.00 ออนซ ตอถวยสมมุติวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําอัดลมที่จายคือ 0.10 ออนซ และปริมาณน้ําอัดลมที่จายมีการ แจกแจงแบบปกติจงหา 5.1 เปอรเซ็นตทเี่ ครืองกดน้าอัดลมนีจะจายน้าอัดลมระหวาง 7.10 ถึง 7.25 ออนซ ่ ํ ้ ํ 5.2 เปอรเซ็นตที่เครื่องกดน้ําอัดลมนี้จะจายน้ําอัดลมอยางนอย 7.25 ออนซ 5.3 เปอรเซ็นตทเี่ ครืองกดน้าอัดลมนีจะจายน้าอัดลมระหวาง 6.80 ถึง 7.25 ออนซ ่ ํ ้ ํ 6. ถาฉลากขางกระปองของแฮมที่นําเขามาจากตางประเทศระบุวามีน้ําหนัก 9.00 ปอนดแตในการตรวจสอบพบวาน้ําหนักที่ซึ่งไดมีการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ย เลขคณิต 9.20 ปอนดและสวนเบียงเบนมาตรฐาน 0.25 ปอนด จงหาวา ่ 6.1 จะมีแฮมบรรจุกระปองทีมนาหนักนอยกวาน้าหนักทีระบุไวบนฉลากในสัดสวนเทาใด ่ ี ้ํ ํ ่ 6.2 ถาบริษัทที่นําเขาตองการลดสัดสวนของแฮมบรรจุกระปองที่มีน้ําหนักนอยกวาที่ระบุไวบนฉลากโดยมีทางเลือกสองทางไดแก วิธที่ 1 เพิมน้าหนักโดยเฉลียใหเปน 9.25 ปอนดโดยใหสวนเบียงเบนมาตรฐานมีคาคงเดิม ี ่ ํ ่  ่  วิธีที่ 2 ลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 0.15 ปอนดโดยใหน้ําหนักเฉลี่ยมีคาคงเดิมทานจะแนะนําใหใชทางเลือกใด 7. ถายอดขายประจําปของนวนิยายเรื่องหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติแตไมทราบคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบียงเบนมาตรฐาน อยางไรก็ตามจากขอมูลทีเ่ ก็บมาทราบวารอยละ 40 ของทังหมดมี ่ ้ยอดขายเกิน 470,000 บาท และรอยละ 10 ของทังหมดมียอดขายเกิน 500,000 บาท แลวคาเฉลียเลขคณิต ้ ่และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของยอดขายควรมีคาเทาใด 8. ถาคะแนนสอบเชาวปญญาของผูทมอายุ 20 ถึง 34 ป และผูทมอายุ 60 ถึง 64 ป มีการแจก   ี่ ี  ี่ ีแจงปกติโดยประมาณ โดยกลุมทีมอายุ 20 ถึง 34 ป มีคาเฉลียเลขคณิต 110 คะแนน สวนเบียงเบนมาตร  ่ ี  ่ ่ฐาน 25 คะแนน และกลุมทีมอายุ 60 ถึง 64 ป มีคาเฉลียเลขคณิต 90 คะแนน สวนเบียงเบนมาตรฐาน 25  ่ ี  ่ ่คะแนน นางสาวชวนชืนมีอายุ 30 ป สอบไดคะแนน 135 คะแนน ในขณะทีนางชวนชมซึงเปนแม ่ ่ ่มีอายุ 62 ป สอบได 120 คะแนน ใครสอบไดคะแนนดีกวากันเมือเปรียบเทียบกับผูสอบในกลุมอายุ ่ นั้นๆ (รอยละของผูที่ไดคะแนนต่ํากวาชวนชื่นและชวนชมในกลุมอายุนั้นๆ เปนเทาใด)
  7. 7. 73 9. พืนทีใตโคงปกติมาตรฐานตังแตควอรไทลทหนึงไปทางดานซายมือมีพนทีเ่ ทาใด ควอรไทลทหนึง ้ ่ ้ ี่ ่ ื้ ี่ ่และควอรไทลที่สามของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีคาเทาใดเฉลยแบบทดสอบประจําบท1. 1.1 ประมาณ 2.28 % 1.2 ระหวาง 60 ถึง 1602. เด็กหญิงมีคะแนนมาตรฐาน 1.8 สวนเด็กชายมีคะแนนมาตรฐาน 1.5 ดังนั้นเด็กหญิงสอบได คะแนนดีกวาเด็กชาย3. 3.1 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9978 3.2 พื้นที่ใตโคงคือ 0.0022 3.3 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9515 3.4 พื้นที่ใตโคงคือ 0.94934. ผูที่มีขนาดศีรษะนอกชวง 22.8 ± 1.81 นิ้ว หรือผูที่มีศีรษะเล็กกวา 21 นิ้ว หรือใหญกวา 24.6 นิ้ว โดยประมาณจะตองสั่งหมวกกันน็อคเปนพิเศษ5. 5.1 15.25% (จากคา z เทากับ 1 ถึง 2.5) 5.2 0.62% 5.3 97.10% (จากคา z เทากับ -2 ถึง 2.5)6. 6.1 รอยละ 21.19 6.2 การเพิ่มน้ําหนักเฉลี่ย ทําใหไดคา z เทากับ –1.00 และใหคาสัดสวนคือ 0.1587 การลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานทําใหไดคา z เทากับ –1.33 และใหคาสัดสวนคือ 0.0918 ดังนั้นการลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานลงจะเปนทางเลือกที่ดีกวาเพราะทําใหมีสดสวนของ ั แฮมบรรจุกระปองที่มีน้ําหนักต่ํากวามาตรฐานนอยกวา 470, 000 − µ 500, 000 − µ7. จาก = 0.25 และ = 1.28 ทําใหไดคาเฉลี่ยเทากับ 462,719 บาท σ σ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 29,126 บาทโดยประมาณ8. คะแนนมาตรฐานของชวนชื่นคือ 1 ขณะที่คะแนนมาตรฐานของชวนชมคือ 1.2 ดังนั้นแมของ ชวนชืนมีคะแนนสัมพัทธทสงกวา (แตชวนชืนมีคะแนนดิบสูงกวา) หรือพิจารณาจากเปอรเช็นไทล ่ ่ี ู ่ ของชวนชื่นคือ 84 ขณะที่เปอรเซ็นไทลของชวนชมคือ 88.5 โดยประมาณ9. พืนทีนบตังแตควอรไทลทหนึงไปทางซายมือของการแจกแจงแบบใดๆ ตองเปน 0.2500 ควอรไทล ้ ่ ั ้ ี่ ่ ที่หนึ่งและควอรไทลที่สามของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานคือ –0.675 และ 0.675 โดย ประมาณ
  8. 8. 74 เฉลยแบบฝกหัด 2.1 75 − 701. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 15 = = 1 3 80 − 80 คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.4 = 20 = 0 คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 สูงกวาคามาตรฐานของ คะแนนในชั้น ม.4 แสดงวาวิชัยเรียนคณิตศาสตรในชั้น ม.3 ไดดีกวา 12 − µ2. ถาให µ คือคาเฉลี่ยเลขคณิตจะไดวา 1 = 1.1 µ = 12 – 1.1 µ = 10.9 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเปน 10.9 วินาที 80 − 85 13. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทย = 15 = − 3 60 − 75 3 คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ = 20 = − 4 70 − 65 คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร = 5 = 1 ดังนั้น จิตราเรียนวิชาวิทยาศาสตรไดดีที่สุด x − 254. คามาตรฐานของอายุคนงาน 2 = 2 x = 4 + 25 x = 29 ดังนั้น คนงานที่มีอายุต้งแต 29 ปขึ้นไป จึงจะมีโอกาสไดรับเลือกเขาเปนคนงานของโรงงานนี้ ั 70 − 705. คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนาย ก = 5 = 0 75 − 70 1 คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนาย ก = 10 = 2 75 − 80 1 คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนาย ก = 15 = − 3
  9. 9. 75 0+ 1 −1 2 3 ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยของวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนาย ก = 3 = 1 18 75 − 70 คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนางสาว ข = 5 = 1 50 − 70 คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนางสาว ข = 10 = –2 95 − 80 คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนางสาว ข = 15 1= 1− 2 +1 ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยอขงวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนางสาว ข = 3 = 0 แตเกณฑของหนวยงานผูสอบคัดเลือกไดจะตองไดคามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนทั้ง 3 วิชา ไมต่ํากวา 0 ดังนั้น นาย ก และนางสาว ข จะสอบคัดเลือกไดทั้งสองคน 650 − µ6. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ σ จะไดวา 3 = σ µ + 3σ = 650 (1) 540 − µ และ 1.9 = σ µ + 1.9σ= 540 (2) จาก (1) และ (2) จะได 1.1σ = 110 σ = 100 และ µ = 650 – 300 µ = 350 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ 350 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนสอบคือ 100 คะแนน 90 − 2897. (1) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐอลาสกา = 54 = –3.69 ดังนั้น โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมีความรุนแรงนอยกวารัฐอื่น ๆ
  10. 10. 76 240 − 289 (2) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐคาลิฟอรเนีย = 54 = –0.91 166 − 200 คามาตรฐานของผูปวยโรคมะเร็งในรัฐคาลิฟอรเนีย = 31 = –1.10 ดังนั้น ในรัฐคาลิฟอรเนียโรคหัวใจมีความรุนแรงมากกวาโรคมะเร็ง เมื่อเทียบกับที่พบ ในรัฐอื่น ๆในระดับประเทศ x i −µ8. เนื่องจาก zi = σ x − 20 (1) 2 = 5 x = 10 + 20 x = 30 x − 25 (2) –1 = 3 x = –3 + 25 x = 22 x − 100 (3) –1.5 = 10 x = –15 + 100 x = 85 x − ( −10 ) (4) 2.5 = 0.2 0.5 = x + 10 x = 0.5 – 10 x = –9.5
  11. 11. 77 เฉลยแบบฝกหัด 2.21. (1) ให x เปนคาของขอมูล โดยกําหนดให µ = 400 และ σ = 100 x −µ จาก z = σ 538 − 400 จะได z = 100 = 1.38 0 1.38 Z จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.38 เทากับ 0.4162 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเมื่อ z > 1.38 เทากับ 0.5 – 0.4162 = 0.0838 นั่นคือ มีขอมูล 8.38% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 538 179 − 400 (2) จะได z = 100 = –2.21 Z -2.21 0 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –2.21 ถึง z = 0 เทากับ 0.4864 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > –2.21 เทากับ 0.5 + 0.4865 = 0.9864 นั่นคือ มีขอมูล 98.64% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 179
  12. 12. 78 356 − 400(3) จะได z = 100 = –0.44 Z -0.44 0 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.44 ถึง z = 0 เทากับ 0.1700 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.44 เทากับ 0.5 – 0.1700 = 0.3300 นั่นคือ มีขอมูล 33% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 356 621 − 400(4) จะได z = 100 = 2.21 Z 0 2.21 จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.21 เทากับ 0.4864 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปก เมื่อ z < 2.21 เทากับ 0.5 + 0.4864 = 0.9864 นั่นคือ มีขอมูล 98.65% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 621
  13. 13. 79 318 − 400(5) จะได z1 = 100 = –0.82 671 − 400 z2 = 100 = 2.71 Z -0.82 0 2.71 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.71 เทากับ 0.4966 จะไดพ้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.82 ถึง z = 0 เทากับ 0.2939 ื ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –0.82 < z < 2.71 เทากับ 0.4966 + 0.2939 = 0.7905 นั่นคือ มีขอมูล 79.05% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 318 และ 671 484 − 400(6) จะได z1 = 100 = 0.84 565 − 400 z2 = 100 = 1.65 Z 0 0.84 1.65 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.84 เทากับ 0.2995 จะไดพ้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.65 เทากับ 0.4505 ื ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ 0.84 < z < 1.65 เทากับ 0.4505 – 0.2995 = 0.1510 นั่นคือ มีขอมูล 15.09% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 484 และ 565
  14. 14. 80 249 − 400 (7) จะได z1 = 100 = –1.51 297 − 400 z2 = 100 = –1.03 Z -1.51 -1.03 0 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.51 ถึง z = 0 เทากับ 0.4345 จะไดพ้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.03 ถึง z = 0 เทากับ 0.3485 ื ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.51 < z < –1.03 เทากับ 0.4345 – 0.3485 = 0.0860 นั่นคือ มีขอมูล 8.6% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 249 และ 2972. (1) ให x เปนน้ําหนักของกาแฟ (กรัม) โดยกําหนด µ = 115.5 และ σ = 0.3 x −µ จาก z = σ 115 − 115.5 จะได z1 = 0.3 ≈ –1.667 115.5 − 115.5 z2 = 0.3 = 0 Z -1.667 0 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.66 เทากับ 0.4515 และ z = 0 ถึง z = 1.67 เทากับ 0.4525 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.001 × 0.007 0.4515 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.4522 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  15. 15. 81 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.667 < z < 0 เทากับ 0.4522 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 45.22% ของขวดกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนัก ระหวาง 115 กรัม และ 115.5 กรัม 114.9 − 115.5(2) จะได z1 = 0.3 = –2 115.5 − 115.5 z2 = 0.3 = 0 Z -2 0 จะไดพ้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2 < z < 0 เทากับ 0.4772 ื นั่นคือ มีขวดกาแฟ 47.72% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 114.9 กรัม และ 115.5 กรัม 115.2 − 115.5(3) จะได z1 = 0.3 = –1 115.9 − 115.5 z2 = 0.3 ≈ 1.333 Z -1 0 1.333 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.33 เทากับ 0.4082 และ z = 0 ถึง z = 1.34 เทากับ 0.4099 จะได พื้นที่เสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.333 เทากับ 0.0017 × 0.003 0.4082 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.4087 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  16. 16. 82 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1 ถึง z = 0 เทากับ 0.3413 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1 < z < 1.333 เทากับ 0.4087 + 0.3413 = 0.75 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 75% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 115.2 กรัม และ 115.9 กรัม 114.7 − 115.5(4) จะได z1 = 0.3 ≈ –2.667 115 − 115.5 z2 = 0.3 ≈ –1.667 Z -2.667 -1.667 0 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.66 เทากับ 0.4961 และ z = 0 ถึง z = 2.67 เทากับ 0.4962 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.667 เทากับ 0.4961+0.00007=0.49617 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2.667 < z < –1.667 เทากับ 0.49617–0.4522 = 0.0440 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.4% ของกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 114.7 กรัม และ 115 กรัม 115.5 − 115.5(5) จะได z = 0.3 = 0 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > 0 เทากับ 0.5 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 50% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา 115.5 กรัม Z 0
  17. 17. 83 115 − 115.5 (6) จะได z = 0.3 ≈ –1.667 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1.667 เทากับ 0.5 – 0.4522 = 0.0478 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.78% ขวดกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา 115 กรัม Z -1.667 03. (1) ให x เปนคะแนนสอบของนายไผท โดยกําหนด µ = 64 และ σ =8 x − µ จาก z = σ 62 − 64 จะได z = 8 = –0.25 Z -0.25 0 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.25 ถึง z = 0 เทากับ 0.0987 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.25 เทากับ 0.5 – 0.0987 = 0.4013 นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนไผท คือ 40.13 ในกลุมนักเรียนชาย
  18. 18. 84(2) ให x เปนคะแนนสอบของอาภัสรา โดยกําหนด µ = 60 และ σ = 10 73 − 60 จาก z = 10 = 1.3 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.3 เทากับ 0.4032 Z 0 1.3 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.3 เทากับ 0.5 + 0.4032 = 0.9032 นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 90.32 ในกลุมนักเรียนหญิง คะแนนของอาภัสราในกลุมนักเรียนชาย โดยกําหนด 73 − 64 จะได z = 8 = 1.125 Z 0 1.125 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.12 เทากับ 0.3686 และ z = 0 ถึง z = 1.13 เทากับ 0.3708 0.0022 × 0.005 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงระหวาง z = 0 ถึง z = 1.125 เทากับ 0.3686 + ⎛ 0.01 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 0.3697 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.125 เทากับ 0.5 + 0.3697 = 0.8697 นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 86.97 ในกลุมนักเรียนชาย
  19. 19. 854. (1) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P25 เทากับ 0.25 0.25 Z P25 0 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2518 คา z เทากับ 0.68 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2486 คา z เทากับ 0.67 0.01 × 0.0014 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.25 คา z เทากับ 0.67 + ⎛ 0.0032 ⎞ ≈ 0.6744 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x − µ จาก z = σ x − 72 –0.6744 = 12 x = 72 – 8.0928 x = 63.91 นั่นคือ คะแนน ที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25 คือ 63.91 (2) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P90 เทากับ 0.90 – 0.5 = 0.4 Z 0 P90 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4015 คา z เทากับ 1.29 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3997 คา z เทากับ 1.28 0.01 ×0.0003 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4 คา z เทากับ 1.28 + ⎛ 0.0018 ⎞ ⎜ ⎟ ≈ 1.2817 ⎝ ⎠
  20. 20. 86 x − 72 จาก 1.2817 = 12 x = 72 + 15.3804 x = 87.38 นั่นคือ คะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90 คือ 87.385. ให x เปนความหนาของแผนพลาสติก x −µ จาก z = σ 0.0595 − 0.0625 จะได z1 = 0.0025 = –1.2 0.0659 − 0.0625 z2 = 0.0025 = 1.36 Z -1.2 0 1.36 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.36 เทากับ 0.4131 และจะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.2 เทากับ 0.3849 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.2 < z < 1.36 เทากับ 0.4131 + 0.3849 = 0.7980 นั่นคือ มีแผนพลาสติก 79.8% ของพลาสติกทั้งหมดที่ผลิตไดมีความหนาอยูระหวาง 0.595 เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร6. เพราะวา 50.04% ของนาฬิกาทั้งหมดที่ผลิตไดมีความคลาดเคลื่อนระหวาง x กับ 0.136 วินาที x −µ จาก z = σ 0.136 − 0.00 z = 0.4 = 0.34
  21. 21. 87 50.04% Z X 0 0.136 จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.34 เทากับ 0.1331 จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก z = 0 ถึง x เทากับ 0.5004 – 0.1331 = 0.3673 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3686 คา z เทากับ 1.12 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3665 คา z เทากับ 1.11 0.01 × 0.0008 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3673 คา z เทากับ 1.11 + ⎛ 0.0021 ⎞ ≈ 1.1138 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x − 0.00 จะได –1.1138 = 0.4 x = –0.446 นั่นคือ x เทากับ –0.446 วินาที7. Z X = 11.88 µ = 12.00 จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก x = 11.88 ถึง µ = 12.00 เทากับ 0.5–0.1151 = 0.3849 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3849 คา z เทากับ 1.20 x −µ จาก z = σ 11.88 − 12.00 –1.20 = σ − 0.12 σ = − 1.2 = 0.1 ดังนั้น ความแปรปรวนของน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถ่วที่ผลิตโดยบริษัทนี้เทากับ 0.01 ั
  22. 22. 888. (1) กําหนด σ = 3, x = 6 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.09 0.41 0.09 Z X=6 0 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4099 คา z เทากับ 1.34 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4115 คา z เทากับ 1.35 × 0.0001 ⎞ ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.09 คา z เทากับ 1.34 + ⎛ 0.01 ⎜ ⎟ = 1.3406 ⎝ 0.0016 ⎠ 6−µ จะได –1.3406 = 3 µ = 6 + 4.0218 µ = 10.0218 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตประมาณ 10.0218 เปนคา a ที่ตองการ (2) กําหนด µ = 10, x = 12 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.60 จากรูป พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง µ ถึง x = 12 เทากับ 0.6 – 0.5 = 0.1 µ X = 12 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1026 คา z เทากับ 0.26 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.0987 คา z เทากับ 0.25 0.01 × 0.0013 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1 คา z เทากับ 0.25 + ⎛ 0.0039 ⎞ ⎜ ⎟ ≈ 0.2533 ⎝ ⎠ 12 − 10 จะได 0.2533 = σ 2 σ = 0.2533 σ 7.90 ≈ ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 7.90 เปนคา b ที่ตองการ
  23. 23. 89(3) กําหนด µ = 10, σ = 2 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.18 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1808 คา z เทากับ 0.47 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1772 คา z เทากับ 0.46 X µ 0.01 × 0.0028 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.18 คา z เทากับ 0.46 + ⎛ 0.0036 ⎞ = 0.4678 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x − 10 จะได –0.4678 = 2 x = 10 – 0.9356 x = 9.0644 ดังนั้น คะแนนที่สนใจศึกษาประมาณ 9.06 เปนคา c ที่ตองการ(4) กําหนด µ = 3, σ = 1 และ x = 2 2−3 จะได z = 1 = –1 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1 เทากับ 0.5 – 0.3413 = 0.1587 z = –1 µ ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนนที่ต่ํากวา 2 เทากับ 0.1587 เปนคา d ที่ตองการ
  24. 24. 909. (1) ให x เปนคะแนนสอบ SAT โดยกําหนด µ = 505 และ σ = 111 x −µ จาก z = σ 400 − 505 จะได z1 = 111 = –0.946 600 − 505 z2 = 111 = 0.856 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.94 เทากับ 0.3264 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.95 เทากับ 0.3289 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.946 เทากับ 0.0025 × 0.006 0.3264 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.3279 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Z -0.946 0 0.856 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.85 เทากับ 0.3023 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.86 เทากับ 0.3051 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.856 เทากับ 0.0028 × 0.006 0.3023 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.30398 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่อยูระหวาง 400 และ 600 เทากับ 0.3279 + 0.30398 = 0.63188 700 − 505 (2) จะได z = 111 ≈ 1.757 Z 0 1.757
  25. 25. 91 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.75 เทากับ 0.4599 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.76 เทากับ 0.4608 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.757 เทากับ 0.0009 × 0.0070.4599 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.46053 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่มากกวา 700 เทากับ0.5 – 0.46053 = 0.03947 450 − 505 (3) จะได z = 111 ≈ –0.495 Z -0.495 0 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.49 เทากับ 0.1879 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.50 เทากับ 0.1915 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.495 เทากับ 0.0036 × 0.0050.1879 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.1897 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่นอยกวา 450 เทากับ0.5 – 0.1897 = 0.3103

×