More Related Content Similar to Basic m4-1-chapter2 Similar to Basic m4-1-chapter2 (20) More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (11) Basic m4-1-chapter21. บทที่ 2
การใหเหตุผล
( 8 ชั่วโมง )
การใหเหตุผลเปนสาระใหมของวิชาคณิตศาสตรในชวงชั้นที่ 4 (มัธยมศึกษาปที่ 4 – 6) ซึ่ง
เปนเนื้อหาที่มีความสําคัญ เพราะการดําเนินชีวิตของคนเราตองขึ้นอยูกับเหตุผล ไมวาจะเปนความเชื่อ
การโตแยง การตัดสินใจ ตองใชเหตุผลประกอบทั้งสิ้น อีกทั้งยังเปนพื้นฐานที่สําคัญในการหาความรู
ของศาสตรตางๆ
สาระเรื่องการใหเหตุผลที่จะกลาวถึงในหนังสือเรียนประกอบดวยเรื่อง การใหเหตุผลแบบ
อุปนัย และการใหเหตุผลแบบนิรนัย โดยมุงใหผูเรียนมีผลการเรียนรู ดังตอไปนี้
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. เขาใจและใชการใหเหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัยได
2. บอกไดวาการอางเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไมโดยใชแผนภาพแทนเซต
ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดาน
ความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรม ปญหา หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะ
กระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตัวเอง
2. 29
ขอเสนอแนะ
1. การใหเหตุผลแบบอุปนัยเปนการใหเหตุผลเพื่อหาขอสรุป โดยการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ
ครั้ง ผูสอนควรเริ่มสอนจากตัวอยางที่งาย ๆ กอน เพื่อที่จะใหผูเรียนเกิดความเขาใจในความหมาย
ของการใหเหตุผลแบบอุปนัย เชน
ใหผูเรียนพิจารณาตัวอยางตอไปนี้
1, 2, 4, 8, …
ผูสอนอาจถามผูเรียนวา พจนถัดไปของแบบรูปนี้คือจํานวนใด หรือสองพจนถัดไป
ของแบบรูปนี้คือจํานวนใด เมื่อผูเรียนตอบคําถามแลวผูสอนควรใหผูเรียนแสดงเหตุผลดวยวา
คําตอบที่ผูเรียนตอบนั้นไดมาอยางไร ถาผูเรียนใหเหตุผลวาเกิดจากสังเกตแบบรูปของขอมูลที่มีอยู
ผูสอนควรจะสรุปดวยวาการสังเกตของผูเรียนเพื่อหาคําตอบนั้นเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัย
2. การเรียนเรื่อง การใหเหตุผลแบบอุปนัย นอกจากผูสอนจะยกตัวอยางการใหเหตุผลที่เกี่ยวของ
กับวิชาคณิตศาสตรแลว ผูสอนควรยกตัวอยางการใหเหตุผลที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวันและ
ใหผูเรียนฝกการยกตัวอยางดวย เพื่อผูเรียนจะไดเห็นถึงความสําคัญของเนื้อหาสาระ อีกทั้งไดฝก
ทักษะกระบวนการใหเหตุผลและมีความคิดริเริ่มสรางสรรค
3. หลังจากที่ผูสอนสอนเรื่องการใหเหตุผลแบบอุปนัยแลว ผูสอนควรสรุปใหผูเรียนมีความเขาใจวา
การสรุปผลจากการสังเกตเหตุการณหรือการทดลองหลาย ๆ ครั้ง ผลสรุปที่ไดอาจจะไมจริงเสมอ
ไป ซึ่งอาจขึ้นอยูกับ ลักษณะของขอมูล ความคิดหรือประสบการณเดิมของผูใหเหตุผล เชน
น้ําฝนสังเกตเห็นไขเปดที่คุณแมซื้อมาจากตลาดมีสีขาว แลวน้ําฝนสรุปวาไขเปดทุกฟองมีสีขาว
ซึ่งเปนผลสรุปที่ผิดเพราะมีไขเปดบางฟองมีสีเทาอมเขียว
4. ในการสอนเรื่อง การใหเหตุผลแบบนิรนัย ผูสอนควรสอนใหผูเรียนเขาใจวา การใหเหตุผล
แบบนิรนัยนั้นเราตองยอมรับวา เหตุ เปนจริงเสมอ ถึงแมวาเหตุนั้นจะขัดกับความเปนจริงทาง
โลก ก็ตาม เชน ขอความ “ คนทุกคนเปนลิง ” “ แมวทุกตัวลอยน้ําได ”
5. การเรียนเรื่อง การใหเหตุผลแบบนิรนัย หลังจากแนะนําใหผูเรียนรูจักตัวอยางของการใหเหตุผล
แบบนิรนัยแลว กอนที่ผูสอนจะสอนเรื่อง การอางเหตุผล (สําหรับเรื่องการอางเหตุผลของ
หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานนี้จะมีความแตกตางจากเรื่องการอางเหตุผลที่ผูสอนเคยสอนมาใน
3. 30
รายวิชา ค011 (หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533)
โดยการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของขอความจะใชแผนภาพแทนเซตของเวนน – ออยเลอร
ตรวจสอบ) ผูสอนควรสอนใหผูเรียนฝกการเขียนแผนภาพแทนขอความ ซึ่งเปนไปตามรูปแบบที่
กําหนดไวในหนังสือเรียนจนเกิดความเขาใจ แลวจึงสอนวิธีการตรวจสอบความสมเหตุสมผล
ของขอความ เชน
ขอความ นักเรียนทุกคนเปนคนฉลาด
ให A แทนเซตของนักเรียน
B แทนเซตของคนฉลาด
เขียนแผนภาพแทนขอความ ไดดังนี้
ขอความ ปลาบางตัวบินได
ให M แทนเซตของปลา
N แทนเซตของสัตวที่บินได
เขียนแผนภาพแทนขอความ ไดดังนี้
6. การตรวจสอบผลสรุปของขอความที่สมเหตุสมผลนั้น จะตองตรวจสอบแผนภาพทุกแผนภาพที่
เปนไปไดทุกกรณี สวนขอความที่มีผลสรุปไมสมเหตุสมผล ไมจําเปนตองวาดแผนภาพทั้งหมด
ทุกกรณี เพียงยกตัวอยางกรณีที่ผลสรุปนั้นไมสอดคลองเพียงกรณีเดียวก็พอ
กิจกรรมเสนอแนะ
ผูสอนสามารถใชกิจกรรมนี้เสริมสรางทักษะการใหเหตุผลและการแกปญหา ซึ่งอาจใช
ประกอบการเรียนการสอนไดทั้งกอนหรือหลังการเรียนเรื่อง การใหเหตุผลแบบนิรนัย
(1) (2) (3)
ฟ ลฟ ล ฟ ล
A
B
M N
4. 31
1) ลูกบอลที่อยูในกลองที่มีปาย ฟ ฟ ปายที่ถูกตองอาจจะเปน ล ล หรือ ฟ ล ก็ได
2) ลูกบอลที่อยูในกลองที่มีปาย ล ล ปายที่ถูกตองอาจจะเปน ฟ ฟ หรือ ฟ ล ก็ได
3) ลูกบอลที่อยูในกลองที่มีปาย ฟ ล ปายที่ถูกตองอาจจะเปน ฟ ฟ หรือ ล ล ก็ได
มีกลองอยู 3 ใบ แตละใบมีลูกบอลอยู 2 ลูก ซึ่งอาจเปนสีฟาทั้ง 2 ลูก หรือสีเหลือง
ทั้ง 2 ลูก หรือสีฟา 1 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก
กลองแตละใบมีปายติดดังนี้
(1) ฟ ฟ หมายถึง มีลูกบอลสีฟาอยู 2 ลูก
(2) ล ล หมายถึง มีลูกบอลสีเหลืองอยู 2 ลูก
(3) ฟ ล หมายถึง มีลูกบอลสีฟา 1 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก
แตไมมีกลองใดเลยที่ติดปายตรงกับความเปนจริง เปนไปไดหรือไมวา
วิธีการดําเนินกิจกรรม
ผูสอนใหผูเรียนทดลองหยิบลูกบอล 1 ลูก จากกลองใดก็ไดที่ผูสอนเตรียมไวใหแลวชวย
กันหาขอสรุปวา ลูกบอลที่อยูในกลองที่เหลือควรจะเปนสีใด เมื่อผูเรียนไดคําตอบแลวผูสอนจึงใหผู
เรียนออกมาแสดงเหตุผล จากนั้นผูสอนและผูเรียนจึงคอยสรุปที่มาของคําตอบอีกครั้ง หรือผูสอนใช
คําถามเพื่อแนะนําใหผูเรียนหาคําตอบไดดวยตนเองดังนี้
1. ผูเรียนสามารถสรุปขอมูลใดไดบางจากสิ่งที่โจทยกําหนดให
คําตอบ เนื่องจากไมมีกลองใดที่ติดปายตรงกับความเปนจริง สรุปไดวา
ถาหยิบลูกบอลจากกลองใดก็ไดมา 1 ลูก แลวสามารถบอกไดวา ที่ถูกตองแลวกลองใด
ควรจะมีลูกบอลสีอะไร และจะตองหยิบลูกบอลจากกลองใดจึงจะไดคําตอบที่ถูกตอง
เมื่อทราบคําตอบแลว ใหติดปายที่ถูกตองดวย
(1) (2) (3)
ฟ ลฟ ล ฟ ล
5. 32
ฟ ล ฟ ฟ
ล ล ฟ ล
2. ถาหยิบลูกบอลจากกลองที่ (1) หรือ (2) จะบอกไดหรือไมวา ลูกบอลอีกลูกในกลอง
ควรเปนสีใด (ใหผูเรียนแสดงเหตุผล)
3. ถาใหผูเรียนหยิบลูกบอลจากกลองที่ (3) ซึ่งมีปาย ฟ ล ติดไว
ถาผูเรียนหยิบไดลูกบอลสีฟา ฟ ความจริงแลวกลองนี้จะตองมีลูกบอลสีใด
คําตอบ จากคําตอบของขอที่ 1. จะไดวากลองนี้ควรจะมีลูกบอลสีฟา 2 ลูก
หยิบไดลูกบอลสีฟา
ปายผิด ปายที่ถูกตอง
4. เมื่อหาไดแลววา กลองที่มีปาย ฟ ล ที่ถูกตอง จะตองเปน ฟ ฟ อีก 2 กลองที่เหลือ
ควรจะมีลูกบอลสีใดบาง
(1) (2)
คําตอบ กลองที่เหลือในภาพขางบนจะตองเปนกลองที่มี
(1) ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก ล ล
และ (2) ลูกบอลสีฟา 1 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก ฟ ล
จากขอสรุปขอที่ 1. กลองที่มีปาย ล ล จะตองไมใชกลองที่มีลูกบอลสีเหลือง
2 ลูก เพราะปายที่ติดไวผิด
ดังนั้น ที่ถูกตองแลว กลองที่ติดปาย ล ล จะตองมีลูกบอลสีฟา 1 ลูก
และสีเหลือง 1 ลูก
ปายผิด ปายที่ถูกตอง
ฟ ฟ ล ล
6. 33
ฟ ฟ ล ล
จากขอสรุปขางตนและขอสรุปขอที่ 1. จะไดกลองที่เหลือที่มีปาย ฟ ฟ จะตองมีลูกบอลสี
เหลือง 2 ลูก
ปายผิด ปายที่ถูกตอง
สรุปผลดังนี้
5. ครูใหผูเรียนชวยกันสรุปคําตอบในกรณีที่ผูเรียนหยิบไดลูกบอลสีเหลืองจากกลองที่มีปาย
ฟ ล และใหหาวากลองที่เหลือจะตองมีลูกบอลสีอะไรบาง และติดปายใหมใหถูกตอง
แบบทดสอบประจําบท
แบบทดสอบที่นําเสนอตอไปนี้เปนตัวอยางแบบทดสอบแสดงวิธีทํา ซึ่งจะใชประเมินผล
ดานเนื้อหาวิชาของผูเรียนเมื่อเรียนจบในเนื้อหาเรื่อง การใหเหตุผล ผูสอนสามารถเลือกและปรับ
แบบทดสอบใหเหมาะสมกับผูเรียนได
ฟ
ฟ ฟ ล ฟ ล ล
ลฟ ฟ ฟลล
7. 34
ตัวอยางแบบทดสอบ
1. จงใชวิธีการใหเหตุผลเพื่อหาคําตอบตอไปนี้
1) จงเขียนคําตอบในชองวาง พรอมทั้งอธิบายเหตุผลที่ใชในการหาคําตอบและพิจารณาวา
เปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยหรือนิรนัย
11 × 11 = 121
11 × 12 = 132
11 × 13 = 143
11 × 14 = ___
11 × 15 = ___
11 × 16 = ___
11 × 17 = ___
11 × 18 = ___
2) จงหาวาจํานวนรูปสามเหลี่ยมที่อยูในแถวที่ 5 ถึงแถวที่ 10 มีจํานวนเทาไร พรอมทั้งอธิบาย
เหตุผลที่ใชในการหาคําตอบและพิจารณาวาเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยหรือนิรนัย
2. จงหาจํานวน c จากแบบรูปของจํานวนที่กําหนดให โดยใชการใหเหตุผลแบบอุปนัย
1) -5, 5, -5, 5, c
2) 4, 2, 0, -2, c
3) 6, 12, 18, 24, c
4) 64, 32, 16, 8, c
5) -17, -12, -7, -2, c
3. ถาจํานวนเต็มที่เปนจํานวนคี่ หมายถึง จํานวนที่หารดวย 2 ไมลงตัว
ทานใชเหตุผลแบบใดในการหาขอสรุปวา 11 เปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่
แถวที่ (1) มี 1 รูป
แถวที่ (2) มี 3 รูป
แถวที่ (3) มี......รูป
แถวที่ (5) มี......รูป
แถวที่ (4) มี......รูป
8. 35
4. จงยกตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัยมาอยางละ 1 ตัวอยาง ตามที่ทานเขาใจ
5. จงยกตัวอยางเหตุการณในชีวิตประจําวัน ที่ทําใหทานหรือคนในครอบครัว หรือคนรูจักเคยใช
การใหเหตุผลแบบอุปนัย หรือ นิรนัยมาชวยในการหาขอสรุปเพื่อชวยในการตัดสินใจ
6. เหตุ 1. สัตวเลี้ยงลูกดวยนมบางชนิดไมมีขา
2. งูไมมีขา
ขอสรุป งูเปนสัตวเลี้ยงลูกดวยนม
จงหาวาขอสรุปขางตนสมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพแทนเซต
7. จงตรวจสอบวาผลสรุปตอไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพ
1) เหตุ 1. คนที่ชอบดูภาพยนตรทุกคนไมชอบดูการแขงขันกีฬา
2. อภิรดีชอบดูภาพยนตร
ผล อภิรดีไมชอบดูการแขงขันกีฬา
2) เหตุ 1. คนที่คาขายทุกคนเปนคนขยัน
2. คนที่ขยันเปนคนรวย
ผล คนที่คาขายเปนคนรวย
8. สมมติวา ทานพบวา เพื่อนของทานทุกคนที่ตั้งใจเรียนจะไมคุยระหวางเรียน สุภิตา เปนเพื่อน
ในชั้นเรียนของทานที่ไมคุยระหวางเรียน ทานจะสรุปไดหรือไมวาสุภิตาเปนคนตั้งใจเรียน
จงอธิบายวิธีการหาขอสรุปโดยใชแผนภาพแทนเซต
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ
1. 1) โดยการใชเหตุผลแบบอุปนัย จะได
11 × 11 = 121 เหตุผล จากผลลัพธของการคูณของสามสมการ
11 × 12 = 132 แรก เลขโดดในหลักหนวยของผลลัพธคือเลขโดด
11 × 13 = 143 ในหลักหนวยของตัวคูณ เลขโดดในหลักสิบ
11 × 14 = 154 ของผลลัพธจะมากกวาเลขโดดในหลักหนวยอยู 1
11 × 15 = 165 และเลขโดดในหลักรอยคือ 1
11 × 16 = 176
11 × 17 = 187
11 × 18 = 198
9. 36
2)
เหตุผล
แถวที่ 1 มีรูปสามเหลี่ยม 1 รูป
แถวที่ 2 มีรูปสามเหลี่ยม 3 รูป
แถวที่ 3 มีรูปสามเหลี่ยม 5 รูป
แถวที่ 4 มีรูปสามเหลี่ยม 7 รูป
ดังนั้น จํานวนรูปสามเหลี่ยมที่อยูในแถวที่ 5 จะตองมากกวาจํานวนรูปสามเหลี่ยมที่อยู
ในแถวที่ 4 อยู 2 ซึ่งเทากับ 7 + 2 หรือ 9 รูป
สรุปวา แถวที่ 5 จะตองมีรูปสามเหลี่ยม 9 รูป
แถวที่ 6, 7, 8, 9 และ 10 จะมีรูปสามเหลี่ยม 11, 13, 15, 17 และ 19 รูป ตามลําดับ
2. โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย จะได
แบบรูป เหตุผลแบบอุปนัย
1) -5, 5, -5, 5, -5
2) 4, 2, 0, -2, - 4
3) 6, 12, 18, 24, 30
4) 64, 32, 16, 8, 4
5) -17, -12, -7, -2, 3
พิจารณาจากแบบรูปของจํานวนที่กําหนดให พบวา
จํานวนที่อยูในลําดับที่ 1, 3 จะเทากับ -5
ดังนั้น c อยูในลําดับที่ 5 จึงควรมีคาเทากับ -5
จํานวนแตละจํานวนไดจากจํานวนที่อยูขางหนาลบดวย 2
ดังนั้น c = –2 –2 หรือ - 4
จํานวนแตละจํานวนไดจากจํานวนที่อยูขางหนาบวกดวย 6
ดังนั้น c = 24 + 6 = 30
จํานวนแตละจํานวนไดจากการนําจํานวนที่อยูขางหนามาหารดวย 2
ดังนั้น c = 8 ÷ 2 หรือ 4
จํานวนแตละจํานวนไดจากการนําจํานวนที่อยูขางหนาบวกดวย 5
ดังนั้น c = –2 + 5 = 3
หมายเหตุ การใหเหตุผลอาจแตกตางจากตัวอยางของคําตอบขางตนได
แถวที่ (1)มี 1 รูป
แถวที่ (2)มี 3 รูป
แถวที่ (3)มี 5 รูป
แถวที่ (4)มี 7 รูป
แถวที่ (5) มี 9 รูป
เพิ่ม 2 รูป
เพิ่ม 2 รูป
เพิ่ม 2 รูป
10. 37
3. ถาจํานวนเต็มที่เปนจํานวนคี่ หมายถึง จํานวนที่หารดวย 2 ไมลงตัว
เนื่องจาก 11 ÷ 2 ไดผลลัพธเทากับ 5 เศษ 1
ดังนั้น 11 หารดวย 2 ไมลงตัว สรุปไดวา 11 เปนจํานวนคี่
การสรุปวา 11 เปนจํานวนคี่เปนการสรุปโดยอางอิงสิ่งที่ยอมรับวาเปนจริง
ดังนั้น การสรุปขางตนจึงเปนการสรุปโดยใชเหตุผลแบบนิรนัย
4. ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัย
41
– 1 = 3 หรือ 3 × 1
42
– 1 = 15 หรือ 3 × 5
43
– 1 = 63 หรือ 3 × 21
44
– 1 = 255 หรือ 3 × 75
45
– 1 = 1023 หรือ 3 × 341
จะเห็นวา จํานวนที่อยูทางดานขวาของเครื่องหมาย = จะมี 3 เปนตัวประกอบทุกจํานวน
จากตัวอยางขางตน ใชการใหเหตุผลแบบอุปนัยสรุปไดวา จํานวนที่มีคาเทากับ 46
– 1
จะมี 3 เปนตัวประกอบ นั่นคือ 46
– 1 = 4,095 หรือ 3 × 1,365
ตัวอยางการใหเหตุผลแบบนิรนัย
เหตุ 1. คนทุกคนตองการมีเพื่อน
2. อั้มเปนคน
ผล อั้มตองการมีเพื่อน
5. ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัย
เพื่อนบานที่เคยเปนโรคเกี่ยวกับกระดูกหลายคนไปพบแพทยที่รักษาโรคกระดูกที่โรงพยาบาล
แหงหนึ่งแลว ทุกคนบอกวาหมอรักษาไดผลดี ฉันจึงตัดสินใจพาคุณยายซึ่งเปนโรคเกี่ยวกับกระดูก
ไปพบแพทยที่รักษาโรคกระดูกที่โรงพยาบาลแหงนั้น
ตัวอยางการใหเหตุผลแบบนิรนัย
ขณะนี้อัตราดอกเบี้ยเงินฝากประจําสําหรับเงินตนไมเกิน 500,000 บาท เทากับ 2.75% ตอป
ถาฉันนําเงิน 1 แสนบาทไปฝากในบัญชีฝากประจํา จะไดรับดอกเบี้ย 2,750 บาท เมื่อฝากครบ 1 ป
(ถาธนาคารไมเปลี่ยนแปลงอัตราดอกเบี้ย)
11. 38
6. เหตุ 1. สัตวเลี้ยงลูกดวยนมบางชนิดไมมีขา
2. งูไมมีขา
ขอสรุป งูเปนสัตวเลี้ยงลูกดวยนม
ให A แทนเซตของสัตวเลี้ยงลูกดวยนม
B แทนเซตของสัตวไมมีขา
c แทนงู
แผนภาพที่ 1 แผนภาพที่ 2
จากแผนภาพที่ 1 สรุปไดวา งูเปนสัตวไมมีขาที่ไมเลี้ยงลูกดวยนม
จากแผนภาพที่ 2 สรุปไดวา งูเปนสัตวไมมีขาที่เลี้ยงลูกดวยนม
แผนภาพที่ 1 ขัดแยงกับขอสรุป ดังนั้น ขอสรุปขางตนจึงไมสมเหตุสมผล
7. 1) เหตุ 1. คนที่ชอบดูภาพยนตรทุกคนไมชอบดูการแขงขันกีฬา
2. อภิรดีชอบดูภาพยนตร
ผล อภิรดีไมชอบดูการแขงขันกีฬา
ให A แทนเซตของคนที่ชอบดูภาพยนตร
B แทนเซตของคนที่ชอบดูการแขงขันกีฬา
c แทนอภิรดี
จากแผนภาพ พบวา ขอสรุปที่วาอภิรดีไมชอบดูการแขงขันกีฬา สมเหตุสมผล
2) เหตุ 1. คนที่คาขายทุกคนเปนคนขยัน
2. คนที่ขยันเปนคนรวย
ผล คนที่คาขายเปนคนรวย
ให M แทนเซตของคนที่คาขาย
A แทนเซตของคนที่ขยัน
R แทนเซตของคนที่รวย
จากแผนภาพ พบวา ขอสรุปที่วาคนที่คาขายเปนคนรวย สมเหตุสมผล
A B
c•
A B
c•
A B
• c
M
A
R
12. 39
8. ถาเพื่อนทุกคนที่ตั้งใจเรียนจะไมคุยระหวางเรียน สุภิตาไมคุยระหวางเรียน
ให A แทนเซตของคนที่ตั้งใจเรียน
B แทนเซตของคนที่ไมคุยระหวางเรียน
c แทนสุภิตา
แผนภาพที่ 1 แผนภาพที่ 2
จากแผนภาพที่ 1 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน และสุภิตาตั้งใจเรียน
จากแผนภาพที่ 2 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน แตสุภิตาไมตั้งใจเรียน
เนื่องจาก แผนภาพทั้งสองขัดแยงกัน จึงไมสามารถสรุปวา สุภิตาเปนคนที่ตั้งใจเรียน
เฉลยแบบฝกหัด
แบบฝกหัด 2.1
1. การใหเหตุผลในคําตอบที่ไดแสดงไวเปนเพียงตัวอยางของการใหเหตุผลแบบอุปนัยในการ
หาคา a อาจมีเหตุผลอื่นนอกเหนือจากที่ไดแสดงไวไดอีก
1) 12, 22, 32, 42, a
จากจํานวนแรกคือ 12 = (1 × 10) + 2
22 = (2 × 10) + 2
32 = (3 × 10) + 2
42 = (4 × 10) + 2
จะได a = (5 × 10) + 2 หรือ 52
2) 12, 10, 8, 6, a
จากจํานวนแรกคือ 12 = 6 × 2
10 = 5 × 2
8 = 4 × 2
6 = 3 × 2
จะได a = 2 × 2 หรือ 4
A
B
c•
A
B
c•
13. 40
3) 5, 3, 1, -1, -3, a
จากจํานวนแรกคือ 5 = 7 – 2
3 = 5 – 2
1 = 3 – 2
-1 = 1 – 2
-3 = –1 – 2
จะได a = –3 – 2 หรือ -5
4) 1, -1, 1, -1, 1, a
เหตุผล พิจารณาแบบรูปที่กําหนดใหพบวา จํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคี่ คือ 1
และจํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคู คือ -1
เนื่องจาก a อยูในลําดับที่ 6 ซึ่งเปนจํานวนคู ดังนั้น a ควรเทากับ -1
5) 1, 4, 9, 16, 25, a
จากจํานวนแรกคือ 1 = 12
4 = 22
9 = 32
16 = 42
25 = 52
จะได a = 62
หรือ 36
6) -15, -5, 5, 15, a
จากจํานวนแรกคือ -15
-5 = -15 + 10
5 = -5 + 10
15 = 5 + 10
จะได a = 15 + 10 หรือ 25
7) 1, -1, -3, -5, a
จากจํานวนแรกคือ 1
-1 = 1 – 2
-3 = –1 – 2
-5 = –3 – 2
จะได a = –5 – 2 หรือ -7
14. 41
8) -5, -3, -1, 1, a
จากจํานวนแรกคือ -5
-3 = –5 + 2
-1 = –3 + 2
1 = –1 + 2
จะได a = 1 + 2หรือ 3
9) 1, 6, 11, 16, a
จากจํานวนแรกคือ 1
6 = 1 + 5
11 = 6 + 5
16 = 11 + 5
จะได a = 16 + 5หรือ 21
10) 8, 14, 20, 26, a
จากจํานวนแรกคือ 8
14 = 8 + 6
20 = 14 + 6
26 = 20 + 6
จะได a = 26 + 6หรือ 32
2. พิจารณาผลคูณที่กําหนดใหตอไปนี้
1 × 9 = 9 6 × 9 = 54 11 × 9 = 99
2 × 9 = 18 7 × 9 = 63 12 × 9 = 108
3 × 9 = 27 8 × 9 = 72 13 × 9 = 117
4 × 9 = 36 9 × 9 = 81 14 × 9 = 126
5 × 9 = 45 10 × 9 = 90 15 × 9 = 135
จากผลคูณที่ไดพบวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณที่ไดมาบวกกัน
ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ เชน 15 × 9 = 135
เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณมาบวกกัน
จะได 1 + 3 + 5 = 9 ซึ่งหารดวย 9 ลงตัว
โดยใชเหตุผลแบบอุปนัยจะสรุปไดวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณ
ของจํานวนเต็มบวกใด ๆ กับ 9 มาบวกกัน ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ
15. 42
3. 1) พิจารณาผลคูณของจํานวนที่มี 142,857 ตอไปนี้
142,857 × 1 = 142,857
142,857 × 2 = 285,714
142,857 × 3 = 428,571
142,857 × 4 = 571,428
จากการสังเกตจํานวนที่เปนผลคูณพบวา ผลคูณที่ไดประกอบดวยเลขโดด 1, 4, 2, 8, 5
และ 7 เสมอ
2) โดยการใชเหตุผลแบบอุปนัย ผลคูณของ 142,857 × 5 และ 142,857 × 6 ควรจะประกอบ
ดวยตัวเลขโดดชุดเดียวกับตัวคูณ 142,857 เมื่อหาผลคูณขางตนพบวา 142,857 × 5 = 714,285
และ 142,857 × 6 = 857,142
3) เนื่องจาก 142,857 × 7 พบวา 7 × 7 = 49 ซึ่งทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวย
แทนดวยเลข 9 ซึ่ง 9 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857
142,857 × 8 พบวา 7 × 8 = 56 ซึ่งทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวยแทนดวย
เลข 6 ซึ่ง 6 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857
ดังนั้น คําตอบที่ไดจากการคูณ 142,857 ดวย 7 หรือ 8 โดยใชขอสรุปขางตนไมเปนจริง
หมายเหตุ 142,857 × 7 = 999,999
และ 142,857 × 8 = 1,142,856
4. พิจารณาผลคูณตอไปนี้
1) 37 × 3 = 11
37 × 6 = 22
37 × 9 = 33
37 × 12 = 44
จากผลคูณในแบบรูปขางตนพบวา
37 × 3 × 1 = 111
37 × 3 × 2 = 222
37 × 3 × 3 = 333
37 × 3 × 4 = 444
16. 43
2) จากแบบรูปขางตน และใชเหตุผลแบบอุปนัย จะไดวา
37 × 3 × 5 = 555
37 × 3 × 6 = 666
37 × 3 × 7 = 777
37 × 3 × 8 = 888
37 × 3 × 9 = 999
5. 1) 9 × 9 + 7 = 88
98 × 9 + 6 = 888
987 × 9 + 5 = 8,888
9,876 × 9 + 4 = 88,888
2) 34 × 34 = 1,156
334 × 334 = 111,556
3,334 × 3,334 = 11,115,556
3) 2 = 4 – 2
2 + 4 = 8 – 2
2 + 4 + 8 = 16 – 2
2 + 4 + 8 + 16 = 32 – 2
4) 3 =
2
)2(3
3 + 6 =
2
)3(6
3 + 6 + 9 =
2
)4(9
3 + 6 + 9 + 12 =
2
)5(12
98,765 × 9 + 3 = 888,888
33,334 × 33,334=1,111,155,556
2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64 –2
3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 2
)6(15
17. 44
5) 5(6) = 6(6 – 1)
5(6) + 5(36) = 6(36 – 1)
5(6) + 5(36) + 5(216) = 6(216 – 1)
หรือ 5(6) + 5(6 × 6) + 5(6 × 6 × 6) + 5(6 × 6 × 6 × 6) = 6(6 × 6 × 6 × 6 – 1)
6. 1) 1 + 2 + 3 + … + 148 + 149 + 150 มีจํานวน 151 ทั้งหมด 75 จํานวน
151
151
151
จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 150 = 151 × 75 หรือ 11,325
2) 1 + 2 + 3 + … + 298 + 299 + 300 มีจํานวน 301 ทั้งหมด 150 จํานวน
301
301
301
จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 300 = 301 × 150 หรือ 45,150
3) 1 + 2 + 3 + … + 498 + 499 + 500 มีจํานวน 501 ทั้งหมด 250 จํานวน
501
501
501
จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 500 = 501 × 250 = 125,250
4) 1 + 2 + 3 + … + 998 + 999 + 1,000 มีจํานวน 1,001 ทั้งหมด 500 จํานวน
1,001
1,001
1,001
จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 1,000 = 1,001 × 500 = 500,500
5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(216 × 6) = 6(1,296 – 1)
18. 45
7. 1) 2 + 4 + 6 + … + 96 + 98 + 100 มีจํานวน 102 ทั้งหมด 25 จํานวน
102
102
102
จะไดวา 2 + 4 + 6 + … + 1,000 = 102 × 25 หรือ 2,550
2) 1 + 2 + 3 + … + 122 + 123 + 124 + 125 มีจํานวน 125 ทั้งหมด 62 จํานวน
125
125
125
จะไดวา 1 + 2 + 3 + ... + 125 = (125 × 62) + 125 หรือ 7,875
3) 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n เมื่อ n เปนจํานวนนับที่เปนจํานวนคี่ จะเทากับ
[(n – 1) + 1] บวกกัน
2
1n −
จํานวน แลวบวกกับ n
1 + 2 + 3 + ... + n = [(n – 1) + 1] ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2
1n
+ n
= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2
1n
n + n
8.
1 3 6 10 15 21
จากจํานวนสามเหลี่ยมที่กําหนดให จะหาจํานวนสามเหลี่ยมถัดไปอีกสองจํานวนไดดังนี้
1) จํานวนสามเหลี่ยมที่อยูถัดจาก 21 อีก 2 จํานวน ไดแก จํานวน 28 และ 36 ซึ่งแสดง
ดวยภาพไดดังนี้
28 36
19. 46
2) จํานวนจุดในแตละแถวตามแนวนอนจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 จุด จากรูปที่อยูกอนเปน 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 หรือแถวที่ n จะมีจํานวน n จุดเมื่อ n เปนจํานวนนับ
3) พิจารณาวา 72 เปนจํานวนสามเหลี่ยมหรือไม ไดดังนี้
พิจารณาจากจํานวนแรกคือ 1 จะพบความสัมพันธของจํานวนดังนี้
3 = 1 + 2
6 = 3 + 3
10 = 6 + 4
15 = 10 + 5
21 = 15 + 6
28 = 21 + 7
36 = 28 + 8
45 = 36 + 9
55 = 45 + 10
66 = 55 + 11
78 = 66 + 12
จากการหาผลบวกขางตน พบวา 72 ไมใชจํานวนสามเหลี่ยม
9. 1) ผลคูณของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ จะหารดวย 2 ลงตัวเสมอ ไมเปนจริง เพราะ
1 และ 11 เปนจํานวนนับ
1 × 11 = 11
แต 11 หารดวย 2 ไมลงตัว
2) จํานวนนับใด ๆ ที่มีคามากกวา 4 จะเขียนไดในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไป
สองจํานวน หรือมากกวาสองจํานวน ไมเปนจริง เพราะ
8 เปนจํานวนนับ และ 8 มีคามากกวา 4
แต 8 ไมสามารถเขียนในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไปไดโดยพิจารณาจากผลบวก
ของจํานวนตอไปนี้
พิจารณาผลบวกของจํานวนถัดไปที่มีคาเทากับ 9 และ 10 มีดังนี้
1 + 2 + 3 + 4 = 10
2 + 3 + 4 = 9 และ 4 + 5 = 9
แตผลบวกของจํานวนนับที่มีคาเทากับ 8 มีดังนี้
20. 47
8 = 4 + 4
= 3 + 5
= 2 + 6
= 1 + 7
3) กําลังสองของจํานวนนับใด ๆ จะเปนจํานวนคูเสมอ
ไมเปนจริง เพราะ
1 เปนจํานวนนับ และ 12
= 1
แต 1 ไมเปนจํานวนคู
10.
1)
2)
แบบฝกหัด 2.2
1. เหตุ 1) กบทุกตัววายน้ําได
2) สัตวที่วายน้ําได จะบินได
ผล กบทุกตัวบินได
ให A แทน เซตของกบทุกตัว
B แทน เซตของสัตวที่วายน้ําได
C แทน เซตของสัตวที่บินได
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา กบทุกตัวบินได สมเหตุสมผล
(1)
(2)
(3)
(4)
(1) (2)
(3)
(4)
AC B
21. 48
2. เหตุ 1) จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม
2) จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนจริง
ผล จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริง
ให A แทน เซตของจํานวนนับ
B แทน เซตของจํานวนเต็ม
C แทน เซตของจํานวนจริง
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริง สมเหตุสมผล
3. เหตุ 1) คนที่มีสุขภาพดีทุกคนเปนคนที่มีความสุข
2) ก มีความสุข
ผล ก มีสุขภาพดี
ให A แทนเซตของคนมีสุขภาพดี
B แทนเซตของคนมีความสุข
c แทน ก
(1) (2)
จากแผนภาพ (1) ก เปนคนมีความสุข แต ก สุขภาพไมดี
จากแผนภาพ (2) ก เปนคนมีความสุข และ ก มีสุขภาพดี
แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา ก มีความสุข แลว ก มีสุขภาพดี จึงไมสมเหตุสมผล
4. เหตุ 1) จํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว ทุกจํานวนเปนจํานวนคู
2) 7 หารดวย 2 ลงตัว
ผล 7 เปนจํานวนคู
ให A แทนเซตของจํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว
B แทนเซตของจํานวนคู
c แทน 7
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา 7 เปนจํานวนคู สมเหตุสมผล
A
CB
A
c•
B
A
c B
•
A
c•
B
22. 49
5. เหตุ 1) สุนัขบางตัวมีขนยาว
2) มอมเปนสุนัขของฉัน
ผล มอมเปนสุนัขที่มีขนยาว
ให A แทนเซตของสุนัขA
B แทนเซตของสิ่งที่มีขนยาว
c แทนมอมc
B
•
(1)
จากแผนภาพ (1) พบวา มอมเปนสุนัข แตขนไมยาว
จากแผนภาพ (2) พบวา มอมเปนสุนัขขนยาว
แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป
A
c•
B
(2) ดังนั้น ผลสรุปที่วา มอมเปนสุนัขที่มีขนยาว ไมสมเหตุสมผล
6. เหตุ 1) มาทุกตัวมี 4 ขา
2) ไมมีสัตวที่มีสี่ขาตัวใดที่บินได
ผล ไมมีมาตัวใดบินได
ให A แทนเซตของมา
B แทนเซตของสัตวที่มี 4 ขา
C แทนเซตของสัตวที่บินได
A
CB
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา ไมมีมาตัวใดบินได สมเหตุสมผล
7. เหตุ 1) ไมมีจํานวนเฉพาะตัวใดหารดวย 2 ลงตัว
2) 21 หารดวย 2 ไมลงตัว
ผล 21 เปนจํานวนเฉพาะ
ให A แทนเซตของจํานวนเฉพาะ
B แทนเซตของจํานวนที่หารดวย 2 ลงตัว
c แทน 21
(1) จากแผนภาพ (1) จะเห็นวา 21 ไมเปนจํานวนเฉพาะ
A
• c
B
จากแผนภาพ (2) จะเห็นวา 21 เปนจํานวนเฉพาะ
แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา 21 เปนจํานวนเฉพาะไมสมเหตุสมผล
A
c•
B
(2)
23. 50
8. เหตุ 1) วันที่มีฝนตกทั้งวัน จะมีทองฟามืดครึ้มทุกวัน
2) วันนี้ทองฟามืดครึ้ม
ผล วันนี้มีฝนตกทั้งวัน
ให A แทนเซตของวันที่มีฝนตกทั้งวัน
B แทนเซตของวันที่มีทองฟามืดครึ้ม
A
c•
B
(1) (2) c แทนวันนี้
A
c• B
จากแผนภาพ (1) พบวา วันนี้เปนวันที่ทองฟามืดครึ้ม แตฝนไมไดตกทั้งวัน
จากแผนภาพ (2) พบวา วันนี้ฝนตกทั้งวัน และทองฟามืดครึ้ม
แผนภาพ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา วันนี้ฝนตกทั้งวัน ไมสมเหตุสมผล
9. เหตุ 1) แมวบางตัวมีสองขา
2) นกทุกตัวมีสองขา
ผล นกบางตัวเปนแมว
ให A แทนเซตของแมว
B แทนเซตของสัตวที่มีสองขา
C แทนเซตของนก
(1) (2) (3)
A
C
BA
C
B A
C
B
จากแผนภาพ (1) พบวา นกทุกตัวเปนแมว
จากแผนภาพ (2) พบวา นกบางตัวเปนแมว
จากแผนภาพ (3) พบวา นกทุกตัวไมเปนแมว
แผนภาพที่ (3) ไมสอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา นกบางตัวเปนแมว ไมสมเหตุสมผล
10. เหตุ 1) ชายไทยทุกคนตองรับการเกณฑทหาร เมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ
2) มานะเปนชายไทย
ผล มานะจะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุ 21 ปบริบูรณ
24. 51
ให A แทน เซตของผูที่ตองเขารับการเกณฑทหาร
B แทน เซตชายไทยที่อายุครบ 21 ปบริบูรณ
c แทน มานะ
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา มานะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ สมเหตุสมผล
B
c•
A