More Related Content Similar to Basic m4-1-chapter3 Similar to Basic m4-1-chapter3 (20) More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (11) Basic m4-1-chapter31. บทที่ 3
จํานวนจริง
( 14 ชั่วโมง )
ในบทเรียนนี้มุงใหผูเรียนมีความรูเกี่ยวกับจํานวนจริงเพิ่มขึ้นจากชวงชั้นที่ 3 โดยจะใหเห็นวา
เซตของจํานวนจริงประกอบดวยจํานวนชนิดตางๆ สมบัติของจํานวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ
การเทากันและการไมเทากันของจํานวนจริง การแกสมการและอสมการตัวแปรเดียวดีกรีไมเกินสอง
และคาสัมบูรณ โดยมุงใหผูเรียนมีผลการเรียนรู ดังนี้
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. แสดงความสัมพันธของจํานวนตาง ๆ ในระบบจํานวนจริงได
2. เขาใจความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจาก การบวก การลบ การคูณ การหารจํานวนจริง
3. เขาใจสมบัติของจํานวนจริงที่เกี่ยวกับการบวก การคูณ การเทากันและการไมเทากัน และนําไป
ใชได
4. แกสมการและอสมการตัวแปรเดียวดีกรีไมเกินสองได
5. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับคาสัมบูรณของจํานวนจริงและหาคาสัมบูรณของจํานวนจริงได
ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดาน
ความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรม ปญหา หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะ
กระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตนเอง
2. 53
ขอเสนอแนะ
1. การสอนบทนี้นอกจากจะใหผูเรียนไดเห็นวา จํานวนชนิดใดอยูในเซตใดแลว ควรจะชี้แจงให
ผูเรียนเห็นวา จํานวนแตละจํานวนอาจเขียนใหอยูในรูปที่แตกตางกันไดหลายรูปแบบ
เชน 4 อาจเขียนอยูในรูป 2
8
หรือ 16 หรือ ⏐- 4⏐ หรือ 2
)4(− เปนตน
2. จํานวนที่เขียนในรูป b
a
เมื่อ a, b เปนจํานวนเต็ม ตัวสวนคือ b จะเปนศูนยไมไดเพราะถาตัว
สวนเปนศูนยจะเปนการหารดวยศูนยซึ่งในระบบจํานวนจริงกําหนดใหตัวหารตองไมเปนศูนย
ถาใหตัวหารเปนศูนย จะเกิดขอขัดแยงดังตัวอยางตอไปนี้
ให a และ b เปนจํานวนเต็มที่ไมเทากับศูนย และ a = b
จาก a = b
ab = b2
(คูณดวยจํานวนที่เทากัน)
ab – a2
= b2
– a2
(หักออกดวยจํานวนที่เทากัน)
a(b – a) = (b + a)(b – a) (สมบัติการแจกแจง)
a = b + a (หารดวย b – a ทั้งสองขาง)
a = a + a (a = b)
a = 2a
1 = 2 (สมบัติการตัดออกสําหรับการคูณ)
จะเห็นวา การที่ผลลัพธออกมาเชนนี้เนื่องจาก การนํา b – a ซึ่งเทากับ 0 หารทั้งสองขาง
ของสมการ
3. จํานวนอตรรกยะจํานวนหนึ่งที่ผูเรียนมักจะตอบวา เปนจํานวนตรรกยะคือ π เนื่องจากการ
คํานวณในชวงชั้นตน ๆ มักจะใหผูเรียนแทนคา π ดวย 7
22
จึงทําใหผูเรียนสวนมากเขาใจผิด
ไปวา π = 7
22
ดังนั้น ผูเรียนจึงสรุปวา π เปนจํานวนตรรกยะ ซึ่งไมถูกตอง ในบทนี้มี
จุดประสงคจะใหผูเรียนสามารถจําแนกชนิดของจํานวนไดอยางถูกตอง ดังนั้น ผูสอนจะตองให
ผูเรียนระมัดระวังและชี้ใหเห็นวา คาที่ใชในการคํานวณไมวาจะเปน 7
22
หรือ 3.1416 ก็ตาม
ลวนเปนคาประมาณของ π ดวยเหตุผลในทํานองเดียวกันนี้ ผูเรียนจะเห็นวาแมจะใช 1.414
แทน 2 ในการคํานวณ แตแทจริงแลว 2 เปนจํานวนอตรรกยะ
3. 54
4. เรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามและการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว เปนเนื้อหาสาระที่
จัดไวใหเปนพื้นฐานสําหรับผูเรียนที่เรียนคณิตศาสตร เฉพาะรายวิชาพื้นฐานในชวงชั้นที่ 3
ผูเรียนที่เรียนรายวิชาคณิตศาสตรเพิ่มเติมในชวงชั้นที่ 3 มาแลว อาจจะไดเรียนเนื้อหานี้แลว
ดังนั้นผูสอนในเนื้อหาสาระนี้ควรพิจารณาผูเรียนวามีพื้นฐานความรูของเนื้อหาสาระนี้มากนอย
เพียงใด ถาผูเรียนไดเรียนเนื้อหาสาระนี้แลว ผูสอนอาจจะเพียงทบทวนใหผูเรียนหรือปรับบทเรียน
ใหมีความเหมาะสมกับผูเรียน
5. ผูเรียนบางคนอาจจะสับสนกับเรื่องคาสัมบูรณของจํานวนจริง a ใด ๆ ที่อธิบายไววา
เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ
a เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวกหรือศูนย
⏐a⏐ =
- a เมื่อ a เปนจํานวนจริงลบ
ผูเรียนควรเขาใจวา ⏐a⏐ มีคาเปนจํานวนบวกหรือศูนยเสมอ กลาวคือ
เมื่อ a เปนจํานวนบวก เชน 5.25 จะได ⏐5.25⏐ = 5.25
เมื่อ a เปนศูนย จะได ⏐0⏐ = 0
เมื่อ a เปนจํานวนลบ เชน - 8 จะได ⏐- 8⏐ = – (-8) = 8
ผูสอนควรใหผูเรียนมีความเขาใจวา เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ ⏐a⏐ ตองไมเปนจํานวนลบ
6. เรื่องคาสัมบูรณของจํานวนจริง การใหความหมายของคาสัมบูรณของจํานวนจริงใด ๆ ดวยระยะ
ของจุดที่แทนจํานวนจริงนั้นอยูหางจากจุดที่แทน ศูนย บนเสนจํานวน จะทําใหผูเรียนเขาใจ
ความหมายของอสมการ ⏐x⏐ < a และ ⏐x⏐ > a ดีขึ้น กลาวคือ
จํานวนจริง x ที่ทําใหอสมการ ⏐x⏐ < a เปนจริง ไดแก จํานวนจริงทุกจํานวนที่มีระยะ
หางจาก 0 บนเสนจํานวนนอยกวา a ซึ่งแสดงไดดังนี้
นั่นคือ x แทนจํานวนจริงทุกจํานวนที่อยูระหวาง -a และ a หรือ เขียนไดเปน - a < x< a
จํานวนจริง x ที่ทําใหอสมการ ⏐x⏐ > a เปนจริง ไดแก จํานวนจริงทุกจํานวนที่มีระยะ
หางจาก 0 บนเสนจํานวนมากกวา a ซึ่งแสดงไดดังนี้
นั่นคือ x แทนจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา a และนอยกวา - a หรือ เขียนไดเปน x > a
และ x < - a
-a 0 a
-a 0 a
4. 55
ปญหา ก. ข.
4ab 400
400 ab4
ใหจํานวนที่อยูใน แทนคําตอบของปญหา ก. และ ข.
ถาคําตอบทั้งสองมีคาเทากัน
จงหาวา a และ b แทนเลขโดดใด และคําตอบที่เทากันนั้นคือจํานวนใด
กิจกรรมเสนอแนะ
กิจกรรมที่ 1 และ 2 ที่เสนอไวตอไปนี้ผูสอนอาจใชเปนกิจกรรมเสริมสรางทักษะ
กระบวนการแกปญหา การใหเหตุผล และการสื่อสาร สําหรับกิจกรรมที่ 3 ผูสอนสามารถใชเปน
กิจกรรมประกอบการเรียนการสอน เพื่อใหผูเรียนมีความเขาใจเกี่ยวกับการคูณดวยจํานวนที่นอยกวา
ศูนย ของอสมการไดดียิ่งขึ้น ทั้งนี้ผูสอนสามารถปรับกิจกรรมที่เสนอไวไดตามความเหมาะสมของ
ผูเรียน
กิจกรรมที่ 1
จากปญหาขางตน ผูสอนอาจใชคําถามตอไปนี้เพื่อชวยแนะนําใหผูเรียนหาคําตอบไดดวย
ตนเองดังนี้
1. ใชความรูพื้นฐานเกี่ยวกับการลบ
1) พิจารณาจากสิ่งที่โจทยกําหนดใหใน ข. เลขโดดในหลักหนวยของผลลัพธ
ควรเปนจํานวนใด
4 0 0
a b 4
?
ข.
4 0 0
a b 4
6 10 – 4 = 6
5. 56
ข.
4 0 0
a 6 4
3 6
ควรเทากับ 3 เพราะ 9 – 6 = 3
2) จากคําตอบในขอ 1) สามารถหาคําตอบอื่นไดอีกหรือไม
จากคําตอบในขอ 1) พิจารณาโจทย ก. จะได b - 0 ควรมีคาเทากับ 6 นั่นคือ
b แทน 6
3) จากโจทย ข. ขางตนเลขโดดในหลักสิบของ ข. ควรเปนจํานวนใด
4) จากคําตอบขางตน a ควรมีคาเทาใด และสามารถหาคําตอบอื่นไดอีกหรือไม
จากคําตอบในขอ 3) พิจารณาโจทย ก. จะได a – 0 ควรมีคาเทากับ 3 นั่นคือ
a แทน 3
ก.
4 a b
4 0 0
6
ดังนั้น
ก. ข.
4 a b 4 0 0
4 0 0 a 6 4
6 6
6. 57
2. ใชความรูเรื่องคาประจําหลัก และความรูทางพีชคณิต
สําหรับคําถามที่กลาวมาในกิจกรรมที่ 1 ผูเรียนบางคนอาจจะใชความรูเรื่องคาประจําหลัก
และตัวแปรมาชวยในการหาคําตอบไดดังนี้
จาก ก. 4ab – 400 และ ข. 400 – ab4 จะไดวา
4ab – 400 = (400 + 10a + b) – 400 หรือ 10a + b (1)
และ 400 – ab4 = 400 – (100a + 10b + 4) หรือ 396 – 100a – 10b (2)
เนื่องจากโจทยกําหนดใหผลตางของ (1) และ (2) เทากัน
จะไดวา 10a + b = 396 – 100a – 10b
110a + 11b = 396
10a + b = 36
โดยอาศัยความรูเรื่องคาประจําหลัก จะไดวา a = 3 และ b = 6 จึงจะทําให 10a + b = 36
นอกจากวิธีการที่ไดนําเสนอ อาจจะมีผูเรียนบางคนหรือบางกลุมใชวิธีการอื่นนอกจากนี้ก็ได ซึ่ง
ผูสอนควรใหโอกาสผูเรียนไดนําเสนอวิธีการหาคําตอบที่แตกตางกันใหเพื่อนไดรับทราบดวย เพื่อเปนการ
ฝกทักษะกระบวนการทางดานการสื่อสารใหแกผูเรียน
4 3 6 4 0 0
4 0 0 3 6 4
3 6 3 6
คําตอบ
4 3 6 4 0 0
4 0 0 3 6 4
3 6 3 6
สรุปไดวา a = 3, b = 6 และคําตอบที่เทากันคือ 36
0
a
ก. ข.
a
7. 58
กิจกรรมที่ 2
1. เนื้อหา จํานวนจริงและสมบัติของจํานวนจริง a × 0 = 0
2. เนื้อหา สมบัติของจํานวนจริง
ให x = y
บวกทั้งสองขางของสมการดวย – y
จะได x – y = 0 (1)
คูณทั้งสองขางของสมการ (1) ดวย 2
จะได 2x – 2y = 0 (2)
และ x – y = 2x – 2y ((1) = (2))
(x – y) = 2(x – y)
หารทั้งสองขางของสมการดวย (x – y)
จะได 1 = 2
คําตอบ ขอ 1 คําตอบคือ 0 เนื่องจาก 1 ≤ n ≤ 26 ดังนั้น n จะตองมีคาเทากับคาใดคาหนึ่ง
ที่เปนจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 26 เชน
ถาให n = 1 จะได
(1 – 1)(1 – 2)(1 – 3) ... (1 – 26) = 0
คําตอบขอ 2 จากโจทยขางตน เนื่องจาก x = y
ดังนั้น x – y จึงมีคาเทากับศูนย ทําใหไมสามารถนํา x – y
ซึ่งมีคาเทากับศูนยไปหารทั้งสองขางของสมการ (x – y) = 2(x – y) ได
หมายเหตุ ในระบบจํานวน เราไมใชศูนยเปนตัวหาร
เชน ให 10 × 0 = 100 × 0
ถาหารทั้งสองขางของสมการดวย 0 จะไดวา 10 = 100 ซึ่งไมเปนจริง
ให n เปนจํานวนนับ โดยที่ 1 ≤ n ≤ 26
และ a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26
จงหาผลคูณ (n – a)(n – b)(n – c) ... (n – z)
เพราะเหตุใดคําตอบจึงเปนเชนนี้
8. 59
กิจกรรมที่ 3
ในการแกอสมการโดยใชสมบัติของการคูณดวยจํานวนที่เทากันและไมเปนศูนยจะเปนไป
ตามสมบัติ ดังนี้ เมื่อ a , b และ c เปนจํานวนจริงใด ๆ
จะเห็นวา เครื่องหมายแสดงการไมเทากันจะเปลี่ยนจาก < เปน > ซึ่งผูเรียนบางคน
อาจจะนึกภาพไมออกวาเหตุใดจึงเปนเชนนั้น เพื่อใหผูเรียนมีความเขาใจเรื่องการเปลี่ยนเครื่องหมาย
จาก < เปน > เมื่อคูณดวยจํานวนที่นอยกวาศูนยงายขึ้น ผูสอนอาจใชเสนจํานวนมาชวยอธิบาย
ไดดังนี้
กําหนดให a < b เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริงใด ๆ และให c = –1
1) ถา a < b และ a, b > 0
จากแผนภาพ จะเห็นวา เมื่อ a < b จะไดวา
– a > – b
ตัวอยางเชน 2 < 3 จะไดวา –2 > –3
ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางจํานวน a และ b ที่มากกวาศูนยหลาย ๆ ตัวอยางและใชแผน
ภาพของเสนจํานวนหาคาของ – a และ – b เพื่อหาวา – a > – b จริงหรือไม
0 a b
-b -a 0 a b
ถา a < b และ c < 0 แลว ca > cb
9. 60
2) ถา a < b และ a < 0 แต b > 0
จากแผนภาพ จะเห็นวา – a > – b
ตัวอยางเชน – 1 < 3 จะไดวา 1 > – 3
ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางจํานวน a ที่นอยกวาศูนย และ b ที่มากกวาศูนยหลาย ๆ ตัว
อยางและใชแผนภาพของเสนจํานวนหาคาของ – a และ – b เพื่อหาวา – a > – b จริงหรือไม
3) ถา a < b และ a, b < 0
จากแผนภาพ จะเห็นวา – a > – b
ตัวอยางเชน – 3 < – 1 จะไดวา 3 > 1
ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางจํานวน a และ b ที่นอยกวาศูนยหลาย ๆ ตัวอยาง และใช
แผนภาพของเสนจํานวนหาคาของ – a และ – b เพื่อหาวา – a > – b จริงหรือไม
เมื่อผูเรียนทําความเขาใจกับตัวอยางที่กลาวมาขางตนและพบวา ตัวอยางที่ยกมาเปนจริงทั้งสาม
กรณี ผูสอนจึงคอยสรุปสมบัติการคูณทั้งสองขางของอสมการดวยจํานวนที่เทากันที่เปนจํานวนจริงลบ
ดังนี้
-b a 0 -a b
a 0 b
a b 0 -b -a
a b 0
10. 61
ให a และ b เปนจํานวนจริง
ถา a < b และ c < 0 แลว ac > bc
ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc
กิจกรรมที่กลาวมาคงจะชวยทําใหผูเรียนเขาใจสมบัติของการคูณดวยจํานวนที่เทากัน
ที่ไมเปนศูนยในอสมการไดชัดเจนขึ้น และสามารถนําสมบัติดังกลาวไปใชไดอยางถูกตอง
แบบทดสอบประจําบท
แบบทดสอบที่นําเสนอตอไปนี้เปนตัวอยางแบบทดสอบแสดงวิธีทํา ซึ่งจะใชประเมินผล
ดานเนื้อหาวิชาของผูเรียนเมื่อเรียนจบในเนื้อหาเรื่อง จํานวนจริง ผูสอนสามารถเลือกและปรับแบบ
ทดสอบใหเหมาะสมกับผูเรียนแตละกลุม
ตัวอยางแบบทดสอบ
1. จงยกตัวอยาง
1) จํานวนตรรกยะที่ไมเปนจํานวนเต็ม
2) จํานวนจริงที่ไมเปนจํานวนตรรกยะ
2. จงพิจารณาวาจํานวนตอไปนี้ จํานวนใดเปนจํานวนตรรกยะ จํานวนใดเปนจํานวนอตรรกยะ
4 , 31 ,
2
π
, 0.75, 0, 1.3333 … , –5.50
3. จงหาคําตอบของสมการตอไปนี้
1) x2
+ 6x – 16 = 0
2) x2
+ 4x – 8 = 0
4. จงหาคําตอบของอสมการตอไปนี้
1) –5x – 20 ≥ 0
2) (x – 1)(x + 3) < 0
3) x2
– 4 ≤ 0
5. จงหาคาของ x เมื่อกําหนดให
1) 2x(x + 1) = – ( x + 1) 2) –2x ≤ 1
11. 62
6. จงหาคาของ
1) –⏐–1⏐ + ⏐11⏐ 2)
12
12
−
7. จงแสดงคาของ x บนเสนจํานวน เมื่อ
1) ⏐x⏐ > 1
2) ⏐x – 1 ⏐ = 0
8. โรงงานอุตสาหกรรมผลิตสินคาสงออกแหงหนึ่งเก็บสินคาที่ผลิตไดไวที่โกดังของโรงงานกอนสง
ออกไปขาย โดยโรงงานจะผลิตสินคาไดไมเกินวันละ n ชิ้น ในเดือนพฤศจิกายน โกดังเก็บ
สินคาที่ผลิตไดมากที่สุดจํานวน 27,000 ชิ้น อยากทราบวา โรงงานแหงนี้ผลิตสินคาไดวันละ
ไมเกินกี่ชิ้น
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ
1. 1) 2
9
, 3.5 , 3
2−
, 93.1 &
2) π , 2 , 5.121121112...
2.
จํานวนจริง จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ
4
31
2
π
0.75
0
1.3333...
– 5.50
-
-
-
-
-
-
-
3. 1) x2
+ 6x – 16 = 0
(x + 8)(x – 2) = 0
x = – 8, 2
12. 63
2) x2
+ 4x – 8 = 0
(x2
+ 4x) – 8 = 0
(x2
+ 4x + 4) – 8 – 4 = 0
(x + 2)2
– 12 = 0
(x + 2)2
= 12
(x + 2) = 12±
x = – 2 12± หรือ 322 ±−
หมายเหตุ ผูเรียนอาจใชวิธีการอื่นเชนใชสูตรเพื่อหาคา x ก็ได
โดยการใชสูตร x =
a2
ac4bb 2
−±−
= )1(2
)8)(1(444 2
−−±−
=
2
484 ±−
= 2
316)4( ×±−
= 322 ±−
4. จงหาคําตอบของอสมการตอไปนี้
1) –5x – 20 ≥ 0
–5x – 20 + 20 ≥ 0 + 20
–5x ≥ 20
5
x5
− ≥
5
20
– x ≥ 4
x ≤ – 4
2) (x – 1)(x + 3) < 0
พิจารณาตัวอยางคา x ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 1) และ (1, ∞) ในตารางตอไปนี้
ชวง x (x – 1)(x + 3)
(– ∞, – 3)
(– 3, 1)
(1, ∞)
– 5
0
5
(– 6)(– 2) = 12
(– 1)(3) = – 3
(4)(8) = 32
มีคาเปนบวก
มีคาเปนลบ
มีคาเปนบวก
เมื่อกําหนดคา x เพิ่มขึ้นอีกหลาย ๆ จํานวน จะพบวา
คาของ x ที่ทําให (x – 1)(x + 3) < 0 คือ x ที่อยูในชวง (– 3, 1)
–3 1
13. 64
3) x2
– 4 ≤ 0
(x – 2)(x + 2) ≤ 0
พิจารณาตัวอยางของ x ในชวง (– ∞, – 2), (– 2, 2), (2, ∞) และ x = ± 2
ในตารางตอไปนี้
ชวง x (x – 2)(x + 2)
(– ∞, – 2)
(– 2, 2)
(2, ∞)
– 5
0
5
2
– 2
(– 7)(– 3) = 21
(– 2)(2) = – 4
(3)(7) = 21
(0)(4) = 0
(– 4)(0) = 0
มีคาเปนบวก
มีคาเปนลบ
มีคาเปนบวก
มีคาเปนศูนย
มีคาเปนศูนย
เมื่อกําหนดคา x เพิ่มขึ้นอีกหลายๆ จํานวน จะพบวา
คาของ x ที่ทําให x2
– 4 ≤ 0 คือ x ที่อยูในชวง [– 2, 2]
5. 1) 2x(x + 1) = – ( x + 1)
2x2
+ 2x = – x – 1
2x2
+ 3x + 1 = 0
(2x + 1)(x + 1) = 0
จะได x =
2
1
− หรือ – 1
2) –2x ≤ 1
2
x2
− ≤
2
1
หารดวย 2 ทั้งสองขางของสมการ
–x ≤
2
1
x ≥ –
2
1
คูณดวย – 1 ทั้งสองขางของสมการ
6. จงหาคาของ
1) –⏐– 1⏐ + ⏐11⏐ = – 1 + 11 = 10
2)
12
12
−
=
12
12
= 1
–2 2
14. 65
7. จงแสดงคาของ x บนเสนจํานวน เมื่อ
1) ⏐x⏐ > 1
2) ⏐ x – 1 ⏐ = 0
8. โรงงานจะผลิตสินคาไดไมเกินวันละ n ชิ้น และในเดือนพฤศจิกายนโกดังเก็บสินคาที่ผลิตได
มากที่สุดจํานวน 27,000 ชิ้น จะหาวา โรงงานควรจะผลิตสินคาวันละไมเกินกี่ชิ้นไดดังนี้
เนื่องจากเดือนพฤศจิกายน มี 30 วัน
ดังนั้นในเดือนพฤศจิกายนโรงงานแหงนั้นผลิตสินคาไดไมเกิน 30n ชิ้น
แตโกดังเก็บสินคาที่ผลิตไดมากสุด จํานวน 27,000 ชิ้น
จะไดวา 30n ≤ 27,000
30
n30
≤
30
000,27
n ≤ 900
ดังนั้น โรงงานควรจะผลิตสินคาไมเกินวันละ 900 ชิ้น
เฉลยแบบฝกหัด
แบบฝกหัด 3.1
1. 1) – 9 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
2
7
− จํานวนตรรกยะ
5 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
3
2
จํานวนตรรกยะ
2 จํานวนอตรรกยะ
0 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
1 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
15. 66
2) 5 จํานวนอตรรกยะ
– 7 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
3
7
− จํานวนตรรกยะ
3.12 จํานวนตรรกยะ
4
5
จํานวนตรรกยะ
3) 2.01 จํานวนตรรกยะ
0.666... จํานวนตรรกยะ
– 13 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
0.010110111... จํานวนอตรรกยะ
4) 2.3030030003... จํานวนอตรรกยะ
0.7575 จํานวนตรรกยะ
– 4.63 จํานวนตรรกยะ
10 จํานวนอตรรกยะ
5) – π จํานวนอตรรกยะ
3
1
− จํานวนตรรกยะ
3
6
จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
2
2
จํานวนอตรรกยะ
– 7.5 จํานวนตรรกยะ
6) 25 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
– 17 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
5
12
− จํานวนตรรกยะ
9 จํานวนเต็ม, จํานวนนับ, จํานวนตรรกยะ
3.12 จํานวนตรรกยะ
π
2
1
จํานวนอตรรกยะ
16. 67
2. 1) จริง
2) จริง
3) เท็จ
4) จริง
5) จริง
6) เท็จ
7) จริง
8) เท็จ
3. 1) 8 เปนจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่นอยกวา 9
2) ไมมีจํานวนตรรกยะที่มากที่สุดที่นอยกวา 9
3) 2 เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่มากกวา 1
4) ไมมีจํานวนตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 1
แบบฝกหัด 3.2
1. 1) การสลับที่การคูณ
2) การแจกแจง
3) การเปลี่ยนหมูการบวก
4) การสลับที่การคูณ
5) การสลับที่การบวก
6) การสลับที่การคูณ
7) ปดของการบวก
8) ปดของการบวก
9) อินเวอรสของการบวก
10) เอกลักษณการคูณ
2. 1) ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง
2) ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง
3) ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง
4) เปนจริงตามสมบัติการแจกแจง
5) เปนจริงตามสมบัติการแจกแจง
17. 68
3. เซตของจํานวนนับ มีสมบัติขอ 1) และขอ 3)
เซตของจํานวนเต็มลบ มีสมบัติขอ 1)
เซตของจํานวนเต็ม มีสมบัติขอ 1), 2) และขอ 3)
เซตของจํานวนตรรกยะ มีสมบัติขอ 1), 2), และขอ 3)
แบบฝกหัด 3.3.1
1. 1) (x + 1)(x – 1) = x2
+ (–x) + x + (–1)
= x2
– 1
2) (x + 3)(x – 3) = x2
+ (–3x) + 3x+ (–9)
= x2
– 9
3) (2x + 3)(2x – 3) = 4x2
+ (–6x) + (6x) + (–9)
= 4x2
– 9
4) (5x + 4)(5x – 4) = 25x2
+ (–20x) + 20x + (–16)
= 25x2
– 16
5) (3x + 1)(3x – 1) = 9x2
+ (–3x) + 3x + (–1)
= 9x2
– 1
6) (x – 5)(x – 5) = x2
+ (–5x) + (–5x) + 25
= x2
– 10x + 25
7) (5x – 4)(5x – 4) = 25x2
+ (–20x) + (–20x) + 16
= 25x2
– 40x + 16
8) (3x – 1)(3x – 1) = 9x2
+ (–3x) + (–3x) + 1
= 9x2
– 6x + 1
9) (2x + 1)(3x + 2) = 6x2
+ 4x + 3x + 2
= 6x2
+ 7x + 2
10) (4x + 2)(x + 4) = 4x2
+ 16x + 2x + 8
= 4x2
+ 18x + 8
18. 69
2. 1) x2
– 25x = x(x – 25)
2) x3
– 4x2
= x2
(x – 4)
3) x4
– 4x = x(x3
– 4)
4) 15x2
– 25x = 5x(3x – 5)
5) 81x2
– x = x(81x – 1)
6) 7x2
+ 49x = 7x(x + 7)
7) 88x3
+ 8x2
= 8x2
(11x + 1)
8) 13x4
+ x2
= x2
(13x2
+ 1)
9) 5x3
+ 15x2
= 5x2
(x + 3)
10) 100x4
+ 10x3
= 10x3
(10x + 1)
11) x2
+ 3x – 4 = (x – 1)(x + 4)
12) x2
+ 10x + 25 = (x + 5)(x + 5)
= (x + 5)2
13) x2
+ 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)
= (x + 3)2
14) x2
+ 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)
= (x + 2)2
15) x2
+ 8x – 20 = (x – 2)(x + 10)
16) x2
– 10x + 25 = (x – 5)(x – 5)
= (x – 5)2
17) x2
– 14x + 49 = (x – 7)(x – 7)
= (x – 7)2
18) x2
+ 6x – 16 = (x – 2)(x + 8)
19) x2
+ 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
20) x2
+ x – 30 = (x – 5)(x + 6)
21) x2
+ 13x + 30 = (x + 3)(x + 10)
22) x2
+ 8x + 7 = (x + 1)(x + 7)
23) x2
+ 10x + 21 = (x + 3)(x + 7)
24) x2
– 5x – 50 = (x + 5)(x – 10)
25) x2
+ 9x + 20 = (x + 5)(x + 4)
19. 70
26) x2
– 10x – 11 = (x + 1)(x – 11)
27) x2
+ 14x + 13 = (x + 1)(x + 13)
28) 3x2
+ 10x + 3 = (3x + 1)(x + 3)
29) 2x2
+ x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
30) 2x2
– x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
31) 8x2
– 2x – 3 = (4x – 3)(2x + 1)
32) 25x2
+ 15x + 2 = (5x + 2)(5x + 1)
33) 4x2
+ 5x – 9 = (4x + 9)(x – 1)
34) 3x2
+ 4x – 15 = (3x – 5)(x + 3)
35) 4x2
– 1 = (2x)2
– 12
= (2x – 1)(2x + 1)
36) 25x2
– 1 = (5x)2
– 12
= (5x – 1)(5x + 1)
37) 9x2
– 4 = (3x)2
– 22
= (3x – 2)(3x + 2)
38) x4
– x2
= x2
(x2
– 1)
= x2
(x – 1)(x + 1)
39) x3
– 25x = x(x2
– 25)
= x(x – 5)(x + 5)
40) x4
– 4x2
= x2
(x2
– 4)
= x2
(x – 2)(x + 2)
3. 1) x2
+ 4x – 32 = (x2
+ 4x + 4) – 32 – 4
= (x + 2)2
– 36
= ((x + 2) – 6)((x + 2) + 6)
= (x – 4)(x + 8)
2) x2
– 2x – 3 = (x2
– 2x + 1) – 3 – 1
= (x – 1)2
– 4
= ((x – 1) – 2)((x – 1) + 2)
= (x – 3)(x + 1)
3) x2
– 4x + 2 = (x2
– 4x + 4) + 2 – 4
= (x – 2)2
– 2
20. 71
= [(x – 2) – 2 ][(x – 2) + 2 ]
= [(x – (2 + 2 )][x – (2 – 2 )]
4) x2
+ 8x – 5 = (x2
+ 8x + 16) – 5 – 16
= (x + 4)2
– 21
= [(x + 4) – 12 ][(x + 4) + 21 ]
= [x + (4 – 21 )][x + (4 + 21 )]
5) x2
+ 6x + 2 = (x2
+ 6x + 9) + 2 – 9
= (x + 3)2
– 7
= [(x + 3) – 7 ][(x + 3) + 7 ]
= [x + (3 – 7 )][x + (3 + 7 )]
6) x2
+ 8x + 14 = (x2
+ 8x + 16) + 14 – 16
= (x + 4)2
– 2
= [(x + 4) – 2 ][(x + 4) + 2 ]
= [x + (4 – 2 )][x + (4 + 2 )]
7) x2
– 10x + 7 = (x2
– 10x + 25) – 25 + 7
= (x – 5)2
– 18
= [(x – 5) – 18 ][(x – 5) + 18 )
= [x – (5 + 18 )][x – (5 – 18 )]
8) x2
+ 7x + 11 = (x2
+ 7x +
4
49
) – 11
4
49
+
=
4
5
)
2
7
x( 2
−+
= [(x + 2
7
) – 2
5
][(x + 2
7
) + 2
5
]
= [x + ( 2
57−
)][x + )]
2
57
(
+
9) x2
– 2x = (x2
– 2x + 1) – 1
= (x – 1)2
– 1
= [(x – 1) – 1][(x – 1) + 1]
= [x – (1 + 1)][(x – (1 – 1)]
= (x – 2)(x)
10) x2
+ 4x = (x2
+ 4x + 4) – 4
= (x + 2)2
– 4
= [(x + 2) – 2][(x + 2) + 2]
21. 72
= [x + (2 – 2)][x + (2 + 2)]
= (x)(x + 4)
11) –2x2
– 8x + 8 = –2(x2
+ 4x – 4)
= –2[(x2
+ 4x + 4) – 4 – 4]
= –2(x + 2)2
+ 16
= –2[(x + 2)2
– 8]
= –2[((x + 2) – 8 )((x + 2) + 8 )]
= –2[(x + (2 – 8 ))(x + (2 + 8 ))]
12) 8 + 4x – x2
= –(x2
– 4x – 8)
= –[(x2
– 4x + 4) – 8 – 4]
= – [(x – 2)2
– 12]
= –[((x – 2) – 12 )((x – 2 )+ 12 )]
= –[(x – (2 + 12 ))(x +(– 2 + 12 )]
13) –3x2
+ 6x + 4 = –3(x2
– 2x) + 4
= –3[(x2
– 2x + 1) – 1] + 4
= –3[(x – 1)2
– 1] + 4
= –3(x – 1)2
+ 7
= –3[(x – 1)2
– 3
7
]
= )]
3
7
)1x)((
3
7
)1x[((3 +−−−−
= ))]
3
7
1(x))(
3
7
1(x[(3 −−+−−
14) 4x2
– 4x – 9 = 4(x2
– x) – 9
= 9]
4
1
)
4
1
xx[(4 2
−−+−
= 9]
4
1
)
2
1
x[(4 2
−−−
= 91)
2
1
x(4 2
−−−
= 10)
2
1
x(4 2
−−
= ]
4
10
)
2
1
x[(4 2
−−
= )]
2
10
)
2
1
x)((
2
10
)
2
1
x[((4 +−−−
= ))]
2
101
(x))(
2
101
(x[(4
−
−
+
−
22. 73
15) –3x2
+ 6x + 2 = –3(x2
– 2x) + 2
= –3[(x2
– 2x + 1) – 1] + 2
= –3[(x – 1)2
– 1] + 2
= –3(x – 1)2
+ 3 + 2
= –3(x – 1)2
+ 5
= –3[(x – 1)2
– 3
5
]
= –3[((x – 1) – 3
5
)((x – 1) + 3
5
)]
= –3[(x – (1 + 3
5
))(x – (1 – 3
5
))]
16) –2x2
+ 2x + 1 = –2(x2
– x) + 1
= 1]
4
1
)
4
1
xx[(2 2
+−+−−
= 1]
4
1
)
2
1
x[(2 2
+−−−
= 1
2
1
)
2
1
x(2 2
++−−
=
2
3
)
2
1
x(2 2
+−−
= –2[(x – 2
1
)2
– 4
3
]
= –2[((x – 2
1
) – 2
3
)((x – 2
1
)+ 2
3
)]
= –2[(x – 2
)31( +
)(x – 2
)31( −
)]
แบบฝกหัด 3.3.2
1. 1) x2
+ 7x + 10 = 0 จะได (x + 2)(x + 5) = 0, x = – 2, – 5
2) x2
+ 8x + 12 = 0 จะได (x + 2)(x + 6) = 0, x = – 2, – 6
3) x2
– 3x – 18 = 0 จะได (x + 3)(x – 6) = 0, x = – 3, 6
4) x2
– 6x – 16 = 0 จะได (x + 2)(x – 8) = 0, x = – 2, 8
5) x2
+ 5x – 24 = 0 จะได (x + 8)(x – 3) = 0, x = – 8, 3
6) x2
+ x – 30 = 0 จะได (x + 6)(x – 5) = 0, x = – 6, 5
7) x2
– 14x + 48 = 0 จะได (x – 8)(x – 6) = 0, x = 8, 6
8) 21 – 10x + x2
= 0 จะได (7 – x)(3 – x) = 0, x = 7, 3
9) 2 + x – x2
= 0 จะได (1 + x)(2 – x) = 0, x = – 1, 2
23. 74
10) 2x2
+ 7x + 3 = 0 จะได (2x + 1)(x + 3) = 0, x = –
2
1
, – 3
11) 3x2
+ 7x + 2 = 0 จะได (3x + 1)(x + 2) = 0, x = –
3
1
, – 2
12) 5x2
+ 13x + 6 = 0 จะได (5x + 3)(x + 2) = 0, x = –
5
3
, – 2
13) 7x2
+ 3x – 4 = 0 จะได (7x – 4)(x + 1) = 0, x =
7
4
, – 1
14) 9x2
+ 12x + 4 = 0 จะได (3x + 2)(3x + 2) = 0, x =
3
2
−
15) 4x2
+ 8x + 3 = 0 จะได (2x + 3)(2x + 1) = 0, x =
2
3
− ,
2
1
−
16) 4x2
+ 16x + 15 = 0 จะได (2x + 3)(2x + 5) = 0, x =
2
3
− ,
2
5
−
17) x2
– 9 = 0 จะได (x + 3)(x – 3) = 0, x = – 3, 3
18) 25 – x2
= 0 จะได (5 + x)(5 – x) = 0, x = – 5, 5
19) 9x2
– 16 = 0 จะได (3x + 4)(3x – 4) = 0, x =
3
4
− ,
3
4
20) 36x2
– 25 = 0 จะได (6x + 5)(6x – 5) = 0, x =
6
5
− ,
6
5
2. 1) x2
+ 8x + 6 = 0
[x2
+ 2(4)x] + 6 = 0
[x2
+ 2(4)x + 42
] + 6 – 42
= 0
(x + 4)2
– 10 = 0
(x + 4)2
= 10
x + 4 = 10±
x = 104 ±−
2) x2
+ 10x + 3 = 0
[x2
+ 2(5)x] + 3 = 0
[x2
+ 2(5)x + 52
] + 3 – 52
= 0
(x + 5)2
– 22 = 0
(x + 5)2
= 22
x + 5 = 22±
x = 225 ±−
24. 75
3) x2
+ 4x + 2 = 0
[x2
+ 2(2)x] + 2 = 0
[x2
+ 2(2)x + 22
] + 2 – 22
= 0
(x + 2)2
– 2 = 0
(x + 2)2
= 2
x + 2 = 2±
x = 22 ±−
4) x2
+ 6x + 3 = 0
[x2
+ 2(3)x] + 3 = 0
[x2
+ 2(3)x + 32
] + 3 – 32
= 0
(x + 3)2
– 6 = 0
(x + 3)2
= 6
x + 3 = 6±
x = 63 ±−
5) x2
+ 8x – 1 = 0
[x2
+ 2(4)x] – 1 = 0
[x2
+ 2(4)x + 42
] – 1 – 42
= 0
(x + 4)2
– 17 = 0
(x + 4)2
= 17
x + 4 = 17±
x = – 4 17±
6) x2
– 4x – 2 = 0
[x2
– 2(2)x] – 2 = 0
[x2
– 2(2)x + 22
] – 2 – 22
= 0
(x – 2)2
– 6 = 0
(x – 2)2
= 6
x – 2 = 6±
x = 62 ±
25. 76
7) x2
– 6x + 4 = 0
[x2
– 2(3)x] + 4 = 0
[x2
– 2(3)x + 32
] + 4 – 32
= 0
(x – 3)2
– 5 = 0
(x – 3)2
= 5
x – 3 = 5±
x = 53 ±
8) x2
– 10x – 2 = 0
[x2
– 2(5)x] – 2 = 0
[x2
– 2(5)x + 52
] – 2 – 52
= 0
(x – 5)2
– 27 = 0
(x – 5)2
= 27
x – 5 = 27±
x – 5 = 33±
x = 335 ±
9) x2
+ 5x + 1 = 0
1x
2
5
2x2
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
22
2
2
5
1
2
5
x
2
5
2x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
4
21
2
5
x
2
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ = 0
2
2
5
x ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ =
4
21
2
5
x + =
4
21
±
x =
4
21
2
5
±−
x =
2
21
2
5
±−
x =
2
215 ±−
26. 77
10) x2
+ 3x + 2 = 0
2x
2
3
2x2
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
22
2
2
3
2
2
3
x
2
3
2x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
4
1
2
3
x
2
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
2
2
3
x ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ =
4
1
2
3
x+ =
4
1
±
x =
4
1
2
3
±−
x =
2
13 ±−
, x = – 1, – 2
3. 1) x2
– 4x – 21 = 0
a = 1, b = – 4, c = – 21
x =
a2
ac4bb 2
−±−
= )1(2
)21)(1(4)4()4( 2
−−−±−−
=
2
104 ±
= 7, – 3
2) จาก x2
= 4x จะได x2
– 4x = 0
ดังนั้น a = 1, b = – 4, c = 0
x =
a2
ac4bb 2
−±−
= )1(2
)0)(1(4)4()4( 2
−−±−−
=
2
44 ±
= 4, 0
27. 78
3) จาก x2
– 2x = 6 จะได x2
– 2x – 6 = 0
ดังนั้น a = 1, b = – 2, c = – 6
x =
a2
ac4bb 2
−±−
= )1(2
)6)(1(4)2()2( 2
−−−±−−
=
)1(2
2442 +±
=
2
282 ±
=
2
722 ±
= 71±
4) 3x2
+ 2x – 3 = 0
a = 3, b = 2, c = – 3
x =
a2
ac4bb 2
−±−
=
)3(2
)3)(3(422 2
−−±−
=
)3(2
3642 +±−
=
)3(2
402 ±−
=
)3(2
1022 ±−
=
3
101±−
5) จาก 2x2
+ 4x = 1 จะได 2x2
+ 4x – 1 = 0
ดังนั้น a = 2, b = 4, c = – 1
x =
a2
ac4bb 2
−±−
=
)2(2
)1)(2(444 2
−−±−
=
)2(2
8164 +±−
=
)2(2
244 ±−
=
)2(2
624 ±−
=
2
62 ±−
28. 79
6) จาก 2x2
= x + 2 จะได 2x2
– x – 2 = 0
ดังนั้น a = 2, b = – 1, c = – 2
x =
a2
ac4bb 2
−±−
=
)2(2
)2)(2(4)1()1( 2
−−−±−−
=
)2(2
1611 +±
=
4
171±
4. 1) x2
+ (x + 3)2
= (x + 7)2
x2
+ (x2
+ 6x + 9) = x2
+ 14x + 49
2x2
+ 6x + 9 = x2
+ 14x + 49
x2
– 8x – 40 = 0
หาคําตอบของสมการโดยใชสูตรไดดังนี้
x =
)a(2
ac4bb 2
−±−
และ a = 1, b = – 8, c = – 40
= )1(2
)40)(1(4)8()8( 2
−−−±−−
=
2
160648 +±
=
2
2248 ±
=
2
1448 ±
= 1424 ±
เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนบวกเสมอ
ดังนั้น x = 1424 +
จะได AB = 1424 +
BC = 31424 ++ = 1427 +
AC = 71424 ++ = 14211+
2)
x2
+ (x + 2)2
= (x + 6)2
x2
+ x2
+ 4x + 4 = x2
+ 12x + 36
x2
– 8x – 32 = 0
A
B Cx + 3
x + 7x
A
B Cx + 2
x + 6x
29. 80
หาคําตอบของสมการโดยใชสูตรไดดังนี้
x =
)a(2
ac4bb 2
−±−
และ a = 1, b = – 8, c = – 32
=
)1(2
)32)(1(4)8()8( 2
−−−±−−
=
2
128648 +±
=
2
1928 ±
=
2
388 ±
= 344 ±
เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนจํานวนบวกเสมอ
ดังนั้น x = 344 +
จะได AB = 344 +
BC = 2344 ++ = 346 +
AC = 6344 ++ = 3410 +
3)
x2
+ (2x + 3)2
= (3x + 1)2
x2
+ 4x2
+ 12x + 9 = 9x2
+ 6x + 1
5x2
+ 12x +9 = 9x2
+ 6x + 1
4x2
– 6x – 8 = 0
หาคําตอบของสมการโดยใชสูตร ไดดังนี้
x =
a2
ac4bb 2
−±−
และ a = 4, b = – 6, c = – 8
=
)4(2
)8)(4(4)6()6( 2
−−−±−−
=
)4(2
128366 +±
=
)4(2
1646 ±
x
A
B C2x + 3
3x + 1
30. 81
=
)4(2
4126 ±
=
4
413 ±
เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนจํานวนบวกเสมอ
ดังนั้น x =
4
413 +
จะได AB =
4
413 +
BC = 3
4
413
2 +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +
=
2
)419( +
AC = 1
4
413
3 +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +
=
4
)41313( +
5.
ถากลองกระดาษในรูปขางบน มีความจุ 320 ลูกบาศกเซนติเมตร
จะหาวา กลองใบนี้ซึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีความกวางเทาใดไดดังนี้
ปริมาตรของกลอง = 5⋅x⋅x หรือ 5x2
5x2
= 320
x2
=
5
320
หรือ 64
จะได x = ± 8
เนื่องจากความกวางของกลองตองเปนจํานวนจริงบวก
ดังนั้น ฐานของกลองจะมีความกวางเทากับ 8 เซนติเมตร
5 x
x
31. 82
6.
(1) (2)
กลองในรูปที่ (1) ทําจากกระดาษในรูปที่ (2) ซึ่งมีพื้นที่เทากับ x2
+ 4ax กําหนดให
a x2
+ 4ax
4
1 20
1 165
2
1 80
หาคาของ x ไดดังนี้
1) จาก a =
4
1
จะได x2
+ 4ax = x2
+ x
และ x2
+ x = 20
x2
+ x – 20 = 0
(x + 5)(x – 4) = 0
x = 4, – 5
เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวก
ดังนั้น x = 4 เซนติเมตร
2) a = 1 จะได x2
+ 4ax = x2
+ 4x
และ x2
+ 4x = 165
x2
+ 4x – 165 = 0
(x + 15)(x – 11) = 0
x = 11, – 15
เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวก
ดังนั้น x = 11 เซนติเมตร
a
x
x
ax
ax
ax
ax
x2
32. 83
3) a =
2
1
จะได x2
+ 4ax = x2
+ 2x
และ x2
+ 2x = 80
x2
+ 2x – 80 = 0
(x + 10)(x – 8) = 0
x = 8, – 10
เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวก
ดังนั้น x = 8 เซนติเมตร
7. ถาความสูง (h) ของลูกเทนนิส เมื่อวัดจากพื้นขณะที่นักกีฬาตีลูกขึ้นไปนาน t วินาที
หาไดจากสูตร h = 1 + 15t – 5t2
จะหาวา นานเทาใดหลังจากที่นักกีฬาตีลูกเทนนิส แลวลูกเทนนิสอยูสูงจากพื้นดิน 10 เมตร
จาก h = 10
จะได 1 + 15t – 5t2
= 10
5t2
– 15t + 9 = 0
จาก t =
a2
ac4bb 2
−±−
และ a = 5, b = – 15, c = 9
t =
)5(2
)9)(5)(4()15()15( 2
−−±−−
=
10
4515 ±
=
10
5315 ±
≈
10
7.615 ±
≈ 0.83 หรือ 2.17 วินาที
เขียนภาพแทนการตีลูกเทนนิสของนักกีฬาไดดังนี้
0 t1 t2
h
33. 84
นอกจากการหาคาของ t โดยใชสูตรแลว อาจจะใชวิธีการประมาณคาของ 1 + 5t – 15t2
ที่มีคาใกล 10 มากที่สุด โดยใชเครื่องคิดเลขไดดังตัวอยางตอไปนี้
t (วินาที) 1 + 15t – 5t2
(เมตร)
1
0.9
0.8
0.85
0.84
*0.83
0.82
11
10.45
9.8
10.13
10.07
*10.0055
9.938
จากตารางพบวา คาประมาณของ t ที่เทากับ 0.83 วินาที เปนคาที่ทําให 1+ 5t – 5t2
มีคา
ใกล 10 เมตร มากที่สุด
8. ตนทุนในการผลิตสินคาบริษัทแหงหนึ่งเทากับ1 600x–5x2
เมื่อx แทนราคาตนทุนสินคาตอหนวย
และถาตนทุนสินคาตอหนวยสูงกวา 50 บาท ถาตองการกําไรชิ้นละ 25% โดยมีตนทุนในการ
ผลิตเทากับ 16,000 บาท จะหาวาตองขายสินคาในราคาชิ้นละเทาใดไดดังนี้
ให 600x – 5x2
= 16,000
5x2
– 600x + 16,000 = 0
x2
– 120x + 3,200 = 0
จาก x =
a2
ac4bb 2
−±−
และ a = 1, b = – 120, c = 3,200
จะได x =
)1(2
)200,3)(1(4)120()120( 2
−−±−−
=
2
800,12400,14120 −±
=
2
600,1120 ±
=
2
40120 ±
จะได x = 80 หรือ 40
จากโจทย ราคาสินคาตอหนวยตองสูงกวา 50 บาท
ดังนั้น ราคาสินคาตอหนวย จะตองเทากับ 80 บาท
ตองการกําไร 25% จะหาไดจาก
100
25
80× หรือ 20 บาท
นั่นคือ จะตองขายสินคาชิ้นละ 80 + 20 หรือ 100 บาท
34. 85
9. ถาผลคูณของจํานวนถัดไปที่เปนจํานวนคี่ที่เปนบวกสองจํานวนมีคาเทากับ 35
จะหาจํานวนทั้งสองไดโดย
ให x เปนจํานวนคี่จํานวนแรก
ให x + 2 เปนจํานวนคี่ที่เปนบวกที่เปนจํานวนถัดไป
จะได x(x + 2) = 35
x2
+ 2x – 35 = 0
(x + 7)(x – 5) = 0
x = – 7, 5
เนื่องจากโจทยกําหนดจํานวนคี่เปนจํานวนบวก ดังนั้น x จะตองเทากับ 5
สรุปวา จํานวนแรก คือ 5 และจํานวนที่สองคือ 7
ตรวจสอบคําตอบ 5 × 7 = 35
10. 1) ถา x2
+ 10x + c = 0 และ c < 0
ให c = –24
จะได x2
+ 10x – 24 = 0
(x + 12)(x – 2) = 0
และ x = –12 หรือ 2 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ
2) ถา x2
+ 10x + c = 0 และ c > 0
ให c = 9
จะได x2
+ 10x + 9 = 0
(x + 9)(x + 1) = 0
และ x = –9 หรือ –1 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ
3) ถา x2
+ bx + 9 = 0 และ b > 6
ให b = 10
จะได x2
+ 10x + 9 = 0
(x + 9)(x + 1) = 0
และ x = –9 หรือ –1 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ
35. 86
11. ถาระยะเบรกของรถคันหนึ่งแทนดวยสูตร d =
20
s
s
2
+ เมตร
เมื่อ d คือ ระยะเบรก และ s คืออัตราเร็วของรถมีหนวยเปนกิโลเมตร / ชั่วโมง
หาระยะเบรกของรถคันนี้เมื่อรถคันนี้วิ่งดวยอัตราเร็วตางกัน ไดดังนี้
1) s = 40 กิโลเมตร / ชั่วโมง
d =
20
)40(
40
2
+ = 40 + 80 เมตร
= 120 เมตร
2) s = 100 กิโลเมตร / ชั่วโมง
d =
20
)100(
100
2
+ = 100 + 500 เมตร
= 600 เมตร
12.
หยุด
x
35 ซม.
x
ถาตัดปายรูปแปดเหลี่ยมจากแผนโลหะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหไดปายรูปแปดเหลี่ยมที่แตละ
ดานยาว 35 ซม. จะหาวา ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสควรจะยาวดานละเทาใด จึงจะไดปายตาม
ขนาดที่เขียนไวในรูปไดดังนี้
หาความยาวของ x โดยใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
35
x
จาก x2
+ x2
= 352
x
2x2
= 352
x2
=
2
352
จะได x =
2
35
หรือ
2
235
จะไดวา รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสควรจะมีความยาวดานละ 2x + 35 หรือ 35
2
235
2 +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ซึ่งมีคาประมาณ 84.50 ซม.
36. 87
แบบฝกหัด 3.4.1
1. 1) n < 5 จะได n = 0 , 1, – 2
2) n > – 4 จะได n = 6, – 1, 0
3) n < 0 จะได n = – 2, – 5
4) n ≤ 0 จะได n = 0, – 4, – 1
5) n ≤ 2 จะได n = – 2, 2, 0
6) – 1 < n ≤ 3 จะได n = 2, 3, 0
7) – 10 < n < 4 จะได n = – 1, 0
8) 0 ≤ n ≤ 5 จะได n = 1, 0, 5
2. 1) x + 2 > 2
x + 2 – 2 > 2 – 2
x > 0
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x > 0}
2) x – 4 ≤ 2
x – 4 + 4 ≤ 2 + 4
x ≤ 6
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≤ 6}
3) 3 + y < 7
3 + y – 3 < 7 – 3
y < 4
เซตคําตอบของอสมการคือ {y⏐y < 4}
-3 -2 -1 0 1 2 3
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
37. 88
4) y – 2 ≥ –1
y – 2 + 2 ≥ –1 + 2
y ≥ 1
เซตคําตอบของอสมการคือ {y⏐y ≥ 1}
5) x + 3 < 2
x + 3 – 3 < 2 – 3
x < –1
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x < –1}
6) x – 9 ≤ 0
x – 9 + 9 ≤ 0 + 9
x ≤ 9
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≤ 9}
7) 2x ≥ 4
)
2
1
(4)
2
1
(x2 ≥
x ≥ 2
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≥ 2}
8) 3x
3
1
≥
33)3(x
3
1
×≥
x ≥ 9
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≥ 9}
-2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
6 7 8 9 10 11 12
-2 -1 0 1 2 3 4
6 7 8 9 10 11 12
38. 89
9) 1
2
x
−≤
)2(1)2(
2
x
−≤
x ≤ –2
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≤ –2}
10) 10 ≤ 5x
)
5
1
(x5)
5
1
(10 ≤
2 ≤ x
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≥ 2}
11) 0
7
x
>
)7(0)7(
7
x
>
x > 0
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x > 0}
12) 0
4
x
<
)4(0)4(
4
x
<
x < 0
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x < 0}
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2 3 4
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
39. 90
13)
2
1
1x ≤−
x – 1 + 1 ≤ 1
2
1
+
2
3
x ≤
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐
2
3
x ≤ }
14) 5x + 1 ≤ 4
5x + 1 – 1 ≤ 4 – 1
5x ≤ 3
)
5
1
(3)
5
1
(x5 ≤
x ≤
5
3
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐
5
3
x ≤ }
15) –3 + 3x ≤ 2
–3 + 3x + 3 ≤ 2 + 3
3x ≤ 5
x ≤
3
5
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐ x ≤
3
5
}
แบบฝกหัด 3.4.2
1. –3x ≥ 9
)
3
1
(9)
3
1
(x3 −≤−−
x ≤ –3
0 1 2 3
2
3
0 1 2 3
5
3
0 1 2 3
3
5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
40. 91
2. 2
3
x
≤−
)3(2)3)(
3
x
( −≥−−
x ≥ –6
3. 1
6
x
<−
)6(1)6)(
6
x
( −>−−
x > –6
4. – 4x ≤ 20
)
4
1
(20)
4
1
)(x4( −≥−−
x ≥ –5
5. 18 + 6x > 0
18 + 6x – 18 > 0 – 18
6x > –18
6
x6
>
6
18−
x > –3
6. 0
5
x
≥−
)5(0)5)(
5
x
( −≤−−
x ≤ 0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0 1 2 3
41. 92
7. –3x ≥ 12
)
3
1
(12)
3
1
(x3 −≤−−
x ≤ – 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
8. 1
7
x
<−
)7(1)7(
7
x
−>−−
x > –7
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4
9. –3x – 21 ≥ 0
–3x – 21 + 21 ≥ 0 + 21
–3x ≥ 21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
3
1
x3 ≤ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
3
1
21
x ≤ –7
10. 01
2
x
>−−
1011
2
x
+>+−−
1
2
x
>−
)2(1)2)(
2
x
( −<−−
x < –2
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
42. 93
แบบฝกหัด 3.4.3
1. 1) 4x + 2 > x + 7
4x + 2 – x > x + 7 – x
3x + 2 > 7
3x + 2 – 2 > 7 – 2
3x > 5
)
3
1
(x3 > )
3
1
(5
x >
3
5
2) 2x – 1 < x + 9
2x – 1 – x < x + 9 – x
x – 1 < 9
x – 1 + 1 < 9 + 1
x < 10
3) 8x – 5 ≥ 3x + 15
8x – 5 – 3x ≥ 3x + 15 – 3x
5x – 5 ≥ 15
5x – 5 + 5 ≥ 15 + 5
5x ≥ 20
)
5
1
(x5 ≥ )
5
1
(20
x ≥ 4
4) 3x – 2 ≤ x
3x – 2 – x ≤ x – x
2x – 2 ≤ 0
2x – 2 + 2 ≤ 0 + 2
2x ≤ 2
)
2
1
(x2 ≤ )
2
1
(2
x ≤ 1
6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7
-2 -1 0 1 2 3 4
0 1 2 3
3
5
43. 94
5) 8 – 3x > x
8 – 3x + 3x > x + 3x
8 > 4x
)
4
1
(x4)
4
1
(8 >
2 > x หรือ x < 2
6) 5 – 3m ≤ 6 – 4m
5 – 3m + 4m ≤ 6 – 4m + 4m
5 + m ≤ 6
5 + m – 5 ≤ 6 – 5
m ≤ 1
7) 6 – 3m ≥ 3m
6 – 3m + 3m ≥ 3m + 3m
6 ≥ 6m
)
6
1
(6 ≥ )
6
1
)(m6(
1 ≥ m
m ≤ 1
8) 3m < m – 2
3m – m < m – 2 – m
2m < –2
)
2
1
(m2 < )
2
1
(2−
m < –1
9) 4(m – 3) ≤ 3(m – 2)
4m – 12 ≤ 3m – 6
4m – 12 – 3m ≤ 3m – 6 – 3m
m – 12 ≤ – 6
m – 12 + 12 ≤ – 6 + 12
m ≤ 6
-2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4 5 6 7 8 9
44. 95
10) m + 2 < 6(2 + m)
m + 2 < 12 + 6m
m + 2 – m < 12 + 6m – m
2 < 12 + 5m
2 – 12 < 12 + 5m – 12
–10 < 5m
)
5
1
(10− < 5m )
5
1
(
–2 < m หรือ m > –2
11) x2
< 9
x2
– 9 < 0
(x – 3)(x + 3) < 0
พิจารณาคาของ (x – 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 3)(x + 3) คาของ (x – 3)(x + 3)
(– ∞, – 3) – 5 (– 8)(– 2) = 16 มีคาเปนบวก
(– 3, 3) 0 (– 3)(3) = – 9 มีคาเปนลบ
(3, ∞) 5 (2)(8) = 16 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x + 3) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (–3, 3)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
12) x2
> 4
x2
> 4
x2
– 4 > 0
(x – 2)(x + 2) > 0
พิจารณาคาของ (x – 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2), (– 2, 2), (2, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
-4 -3 -2 -1 0 1 2
(x – 3)(x + 3) < 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
45. 96
ชวง x (x – 2)(x + 2) คาของ (x – 2)(x + 2)
(– ∞, – 2) –3 (– 5)(– 1) = 5 มีคาเปนบวก
(– 2, 2) 0 (– 2)(2) = – 4 มีคาเปนลบ
(2, ∞) 3 (1)(5) = 5 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 2)(x + 2) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 2) ∪ (2, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
(x – 2)(x + 2) > 0 (x – 2)(x + 2) > 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
13) x2
+ 2x > 3
x2
+ 2x – 3 > 0
(x – 1)(x + 3) > 0
พิจารณาคาของ (x – 1)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 1), (1, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 1)(x + 3) คาของ (x – 1)(x + 3)
(– ∞, – 3) – 5 (– 6)(– 2) = 12 มีคาเปนบวก
(– 3, 1) 0 (– 1)(3) = –3 มีคาเปนลบ
(1, ∞) 5 (4)(8) = 32 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 1)(x + 3) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 3) ∪ (1, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
(x – 1)(x + 3) > 0 (x – 1)(x + 3) > 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
46. 97
14) x2
– 4x < 5
x2
– 4x – 5 < 0
(x – 5)(x + 1) < 0
พิจารณาคาของ (x – 5)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 5), (5, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 5)(x + 1) คาของ (x – 5)(x + 1)
(– ∞, – 1) – 2 (– 7)(– 1) = 7 มีคาเปนบวก
(– 1, 5) 0 (– 5)(1) = – 5 มีคาเปนลบ
(5, ∞) 15 (10)(16) = 160 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 5)(x + 1) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (– 1, 5)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
15) (x – 1)(x + 1) > 0
พิจารณาคาของ (x – 1)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 1), (1, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 1)(x + 1) คาของ (x – 1)(x + 1)
(– ∞, – 1) – 2 (– 3)(– 1) = 3 มีคาเปนบวก
(– 1, 1) 0 (– 1)(1) = – 1 มีคาเปนลบ
(1, ∞) 2 (1)(3) = 3 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 1)(x + 1) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 1) ∪ (1, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
(x – 5)(x + 1) < 0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
(x – 1)(x + 1) > 0 (x – 1)(x + 1) > 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
47. 98
16) x2
– 6x + 9 < 0
(x – 3)(x – 3) < 0
พิจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 3)(x – 3) คาของ (x – 3)(x – 3)
(– ∞, 3) 0 (– 3)(– 3) = 9 มีคาเปนบวก
(3, ∞) 5 (2)(2) = 4 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x – 3) ≥ 0 เสมอ จึงไมมีคา x ที่ทําให
(x – 3)2
มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย
แสดงวา ไมมีจํานวนจริงใดที่ทําให (x – 3)2
< 0
17) x2
+ 6x + 9 < 0
(x + 3)(x + 3) < 0
พิจารณาคาของ (x + 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x + 3)(x + 3) คาของ (x + 3)(x + 3)
(– ∞, – 3) –5 (– 2)(– 2) = 4 มีคาเปนบวก
(– 3, ∞) 0 (3)(3) = 9 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา คาของ (x + 3)(x + 3) ≥ 0 เสมอ เมื่อ x อยู
ในชวง (– ∞, – 3] ∪ [– 3, ∞) หรือ (– ∞, ∞)
จึงไมมีคา x ที่ทําให (x + 3)(x + 3) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย
(x – 3)2
≥ 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2
+ 6x + 9 ≥ 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
48. 99
18) x2
+ 4x + 4 ≥ 0
(x + 2)(x + 2) ≥ 0
พิจารณาคาของ (x + 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2], [– 2, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x + 2)(x + 2) คาของ (x + 2)(x + 2)
(– ∞, – 2] – 5 (– 3)(– 3) = 9 มีคาเปนบวก
[– 2, ∞) 0 (2)(2) = 4 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x + 2)(x + 2) มีคามากกวาหรือเทากับศูนย
เมื่อ x เปนจํานวนจริง หรือ เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, –2 ] ∪ [–2 , ∞) หรือ (– ∞, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
x2
+ 4x + 4 ≥ 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
19) (x – 3)2
> 0
(x – 3)(x – 3) > 0
พิจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 3)(x – 3) คาของ (x – 3)(x – 3)
(– ∞, 3) 0 (– 3)(– 3) = 9 มีคาเปนบวก
(3, ∞) 5 (2)(2) = 4 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือก x คาอื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x – 3) มีคาเปนบวกหรือมากกวาศูนย
เมื่อ x เปนจํานวนจริง ที่ไมเทากับ 3 หรือ เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, 3) ∪ (3, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
(x – 3)2
> 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(x – 3)2
= 0
49. 100
20) x2
– 9x – 10 < 0
(x – 10)(x + 1) < 0
พิจารณาคาของ (x – 10)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 10), (10, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 10)(x + 1) คาของ (x – 10)(x + 1)
(– ∞, – 1) – 2 (– 12)(– 1) = 12 มีคาเปนบวก
(– 1, 10) 0 (– 10)(1) = – 10 มีคาเปนลบ
(10, ∞) 11 (1)(12) = 12 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือก x คาอื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 10)(x + 1) มีคาเปนลบหรือนอยกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (–1, 10)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
2. ลิฟทของที่ทํางานแหงหนึ่งสามารถจุคนได n คน โดยที่น้ําหนักเฉลี่ยของแตละคนเทากับ
80 กิโลกรัม ถาลิฟทตัวนี้บรรทุกน้ําหนักไดมากที่สุด 1,650 กิโลกรัม
ให n แทนจํานวนคนที่อยูในลิฟท
จะได 80 n ≤ 1650
)
80
1
(n80 ≤ )
80
1
(1650
n ≤
8
5
20
สรุปไดวา ลิฟทตัวนี้บรรจุคนไดไมเกิน 20 คน
3. ที่จอดรถของศูนยการคาแหงหนึ่งมีพื้นที่ไมเกิน 8,000 ตารางเมตร และจะตองแบงเปนทางเดิน
ของรถ 950 ตารางเมตร กําหนดใหพื้นที่สําหรับจอดรถ 1 คัน เทากับ 20 ตารางเมตร
จะหาจํานวนรถที่ลูกคานํามาจอดในที่จอดรถไดมากที่สุดไดดังนี้
ให x เปนจํานวนรถที่นํามาจอดในบริเวณที่จอดรถ
จะได 20x < 8,000 – 950
20x < 7,050
x2
– 9x – 10 < 0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
50. 101
)
20
1
(x20 < )
20
1
(050,7
x <
2
1
352
สรุปไดวา ลูกคานํารถมาจอดไดมากที่สุด 352 คัน
4. บริษัท ก คิดคาเชารถวันละ 1,800 บาท โดยไมคิดคาใชจายอื่นอีก
บริษัท ข คิดคาเชารถวันละ 1,000 บาท และคิดคาเชาเพิ่มจากจํานวนกิโลเมตรที่นํารถไปใช
อีกกิโลเมตรละ 2 บาท
1) ใหจํานวนระยะทางที่รถวิ่งแทนดวย x
จะได 1000 + 2x ≤ 1800
2x ≤ 800
x ≤ 400
สรุปวา ถาเชารถจากบริษัท ข โดยจายคาเชา 1,800 บาท/วัน จะใชวิ่งไดมากที่สุด 400 กิโลเมตร
2) ถาตองการใชรถวันละประมาณ 600 กิโลเมตร
ถาเชารถจากบริษัท ก จะตองจายคาเชารถ 1,800 บาท
ถาเชารถจากบริษัท ข จะตองจายคาเชารถ 1,000 + 2(600) หรือ 2,200 บาท
ดังนั้น ถาตองการใชรถวันละประมาณ 600 กิโลเมตร ควรเชารถจากบริษัท ก
จึงจะประหยัดคาเชารถ
5. แมคาขายไกยางตัวละ 80 บาท โดยมีคาใชจายที่เปนคาเชารานวันละ 100 บาท และคาใชจายอื่น
รวมทั้งคาไกสดคิดเปนตนทุนแลวตัวละ 60 บาท
ให x แทนจํานวนไก (ตัว) ที่ขายไดในหนึ่งวัน
ขายไกยาง 1 ตัว ตองการกําไร 80 – 60 = 20 บาท
20x – 100 ≥ 500
20x ≥ 600
x ≥ 30
ดังนั้น ถาตองการกําไรจากการขายไกยางวันละไมต่ํากวา 500 บาท ตองขายไกยางใหได
มากกวาวันละ 30 ตัว
51. 102
แบบฝกหัด 3.5
1. จงหาคาของ
1) ⏐8⏐ +⏐3⏐ = 8 + 3 = 11 10) ⏐0⏐ = 0
2) ⏐9⏐ – ⏐2⏐ = 9 – 2 = 7 11) ⏐3 – π⏐ = – (3 – π) = π – 3
3) ⏐– 8⏐+ ⏐2⏐ = 8 + 2 = 10 12) ⏐4 – π⏐ = 4 – π
4) ⏐– 12⏐+ ⏐–6⏐ = 12 + 6 = 18 13)
5
5
−
−
=
5
5−
= – 1
5) ⏐– 6⏐–⏐6⏐ = 6 – 6 = 0 14) –3 – ⏐–3⏐ = – 3 – 3 = – 6
6) ⏐– 13⏐–⏐– 5⏐ = 13 – 5 = 8 15) –3 ⏐3⏐ = – 3(3) = – 9
7) ⏐4 + 9⏐ = 13 16) ⏐–1⏐–⏐–2⏐ = 1 – 2 = – 1
8) ⏐10 – 10⏐ = 0 17) –⏐16.25⏐+ 20 = –16.25 + 20 = 3.75
9) ⏐– 10⏐ = 10 18) 2⏐33⏐ = 2(33) = 66
2. กําหนดให x = ⏐– 2⏐ และ y = ⏐5⏐
1) x – 2 = ⏐– 2⏐– 2 = 2 – 2 = 0
2) y – 5 = ⏐5⏐– 5 = 5 – 5 = 0
3) 2x = 2⏐– 2⏐ = 2(2) = 4
4) y2
= (⏐5⏐)2
= 52
= 25
5) x + y = ⏐– 2⏐+ ⏐5⏐ = 2 + 5 = 7
6) x – y = ⏐– 2⏐– ⏐5⏐ = 2 – 5 = – 3
7) xy = ⏐– 2⏐⏐5⏐ = 2(5) = 10
8)
y
x
=
5
2−
=
5
2
3. 1) ⏐–3⏐ > –⏐–3⏐ 2) ⏐– 4⏐ = ⏐4⏐
3) –5 = –⏐5⏐ 4) –⏐4⏐ < ⏐4⏐
5) –⏐–6⏐ < ⏐–6⏐ 6) –⏐–2⏐ = –2
4. 1) ⏐x⏐ = 7 ∴ x = –7, 7
2) ⏐x⏐ > 7 ∴ x < –7 , x > 7
-14 -7 0 7 14
-14 -7 0 7 14
52. 103
3) ⏐x⏐ ≥ 7 ∴ x ≤ – 7 , x ≥ 7
-14 -7 0 7 14
-14 -7 0 7 14
4) ⏐x⏐ > 0 ∴ x < 0 , x > 0
5) ⏐x⏐ ≤ 4 ∴ – 4 ≤ x ≤ 4
-8 -4 0 4 8
-8 -4 0 4 8
6) ⏐x⏐ < 4 ∴ – 4 < x < 4
5. กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย
1) ⏐x⏐ = – x เปนเท็จ เพราะมีคา x บางคา เชน x = 1, ⏐1⏐ = 1 แต – x = – 1
และ –1 ≠ 1
2) –⏐x⏐ < x เปนเท็จ เพราะมีคา x บางคา เชน x = –2 , –⏐–2⏐ = –2 แต –2 < –2
3) ⏐x⏐ > x เปนเท็จ เพราะมี x = 2, ⏐2⏐ = 2 แต 2 > 2
4) ⏐x⏐ < x เปนเท็จ เพราะมี x = –1, ⏐–1⏐= 1 แต 1 < –1