1. บทที่ 2
กราฟ (15 ชั่วโมง)
2.1 กราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณที่มีความสัมพันธเชิงเสน (3 ชั่วโมง)
2.2 กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร (7 ชั่วโมง)
2.3 กราฟกับการนําไปใช (5 ชั่วโมง)
นักเรียนเคยศึกษากราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดมาแลว ในบทนี้นักเรียนจะได
ศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับกราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดที่มีความสัมพันธเชิงเสน กราฟของ
สมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มีกราฟเปนเสนตรง ทั้งยังกลาวถึงการอานและแปลความหมายของกราฟที่มี
ลักษณะอื่น ๆ ซึ่งอาจพบเห็นในชีวิตประจําวันทั้งทางดานวิทยาศาสตรและสังคมศาสตร
เนื้อหาของบทนี้ นอกจากจะเนนการเขียนกราฟของความสัมพันธเชิงเสนและสมการเชิงเสนสอง
ตัวแปร การอานและแปลความหมายกราฟที่กําหนดใหแลว ยังตองการเนนใหนักเรียนสามารถแปล
ความหมายของภาพรวมของกราฟไดอีกดวย การแปลความหมายของภาพรวมของกราฟเปนสาระใหมที่ครู
ตองใหความสําคัญ และควรใหนักเรียนไดฝกฝนในการแปลความหมาย ฝกคิดวิเคราะหขอมูลจากกราฟ
ที่กําหนดใหอยางมีขั้นตอน เพื่อนําไปสูการแปลความหมายที่ถูกตองและสมเหตุสมผล
ในการอานคาตาง ๆ จากกราฟ ครูไมควรเขมงวดกับคําตอบที่นักเรียนอานไดวาตองตรงกับที่ให
ไวในหนังสือเรียนหรือที่เฉลยไวในคูมือครู นักเรียนอาจตอบเปนคาที่แทจริงหรือคาประมาณก็ไดตาม
ความเหมาะสมของขอมูลและสถานการณตามแนวคิดของนักเรียน เพื่อใหนักเรียนไดฝกทักษะในการอาน
และวิเคราะหกราฟ ครูอาจหากราฟแบบตาง ๆ มาใหนักเรียนไดศึกษาเพิ่มเติม ซึ่งจะชวยใหนักเรียนมี
การพัฒนาทางดานความรูสึกเชิงกราฟมากยิ่งขึ้น
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. เขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดที่มีความสัมพันธเชิงเสนได
2. เขียนกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรได
3. อานและแปลความหมายกราฟที่กําหนดใหได

2. 30
แนวทางในการจัดการเรียนรู
2.1 กราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณที่มีความสัมพันธเชิงเสน (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดที่มีความสัมพันธ
เชิงเสนและแปลความหมายของกราฟได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับปริมาณสองชุดที่มีความสัมพันธเชิงเสนที่พบในชีวิตประจําวัน เชน
จํานวนผูโดยสารกับคาโดยสารรถประจําทางที่คิดราคาเดียวกันเปนรายหัว ปริมาณน้ํามันกับราคาน้ํามัน
ครูอาจใหนักเรียนนําเสนอความสัมพันธของปริมาณสองชุดที่สัมพันธกันแบบเชิงเสนเพิ่มเติม พรอมทั้ง
เขียนกราฟของความสัมพันธนั้น แลวชวยกันสรุปวาความสัมพันธเชิงเสนระหวางปริมาณสองชุดอาจมี
กราฟเปนเสนตรง หรือเปนสวนหนึ่งของเสนตรง หรือเปนจุดที่เรียงกันอยูในแนวเสนตรงเดียวกันซึ่งจุด
เหลานี้อาจมีจํานวนจํากัดหรือไมจํากัดก็ได
2. ในการจัดกิจกรรมเกี่ยวกับการเขียนและการอานกราฟ ครูควรใหนักเรียนใชกระดาษกราฟ
เพราะจะชวยใหเขียนกราฟไดเร็ว และอานกราฟไดถูกตองตามความเปนจริง
3. ครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตวา กราฟในตัวอยางที่ 1 มีลักษณะเปนจุดที่เรียงอยูในแนวเสนตรง
เดียวกันโดยเขียนจุดตอกันเปนเสนประ ทั้งนี้เพราะวาจํานวนน้ําฝรั่งมีหนวยเปนขวดซึ่งเปนจํานวนนับ
และเงินลงทุนและรายไดมีหนวยเปนบาท ซึ่งเปนจํานวนนับเชนกัน อีกทั้งขอมูลเหลานี้มีจํานวนจํากัด
อยางไรก็ตามเพื่อดูแนวโนมของขอมูล จึงไดใสลูกศรไวที่ปลายของกราฟแตละเสน
ครูควรฝกใหนักเรียนดูกราฟในภาพรวม เชน ในตัวอยางที่ 1 หลังจากตอบคําถามแลวครู
ควรใหนักเรียนอภิปรายรวมกันเพื่อใหไดขอสรุปวา ในระยะเริ่มตนเสนกราฟแสดงเงินลงทุนอยูเหนือ
เสนกราฟแสดงรายได และเมื่อผลิตน้ําฝรั่ง 200 ขวด เงินลงทุนและรายไดจะเทากับ 4,000 บาทเทากัน
ซึ่งเปนจุดคุมทุน และเมื่อผลิตน้ําฝรั่งมากกวา 200 ขวดขึ้นไป เสนกราฟแสดงรายไดจะอยูเหนือเสนกราฟ
แสดงเงินลงทุน จากลักษณะของเสนกราฟทั้งสองขางตนจะสรุปไดวา ถาผลิตน้ําฝรั่งนอยกวา 200 ขวด
ก็จะขาดทุนและเมื่อผลิตมากกวา 200 ขวด จะมีกําไร
4. ในตัวอยางที่ 2 กอนตอบคําถาม ครูควรใหนักเรียนชวยกันพิจารณาและอภิปรายวากราฟแต
ละเสนสอดคลองกับสถานการณของโจทยอยางไร เชน รถยนตคันที่หนึ่งเดินทางดวยอัตราเร็วที่แตกตางกัน
เปนชวง ๆ และมีการหยุดพัก ดังนั้น กราฟแสดงการเดินทางของรถยนตคันที่หนึ่งจึงเปนสวนของเสนตรง
สามสวนเชื่อมตอกัน ครูควรใชคําถามใหนักเรียนอภิปรายกราฟในชวงเวลา 10.00 น. ถึง 11.00 น. ซึ่งได
กราฟเปนสวนของเสนตรงที่ขนานกับแกน X ซึ่งแสดงวาเวลาผานไปแตระยะทางที่ไดยังคงเทาเดิม

3. 31
สําหรับรถยนตคันที่สองแลนดวยอัตราเร็วสม่ําเสมอ กราฟแสดงการเดินทางของรถยนตคันที่
สองจึงเปนสวนของเสนตรงเดียวกัน เพื่อตอบคําถามขอ 4) และดูแนวโนมของการเดินทางของรถยนตทั้ง
สองคัน จึงตอกราฟดวยเสนประและมีลูกศรที่ปลายกราฟ
เพื่อฝกใหนักเรียนมองเห็นภาพรวมของกราฟ หลังจากตอบคําถามที่กําหนดใหแลว ครูควร
ใหนักเรียนชวยกันอภิปรายจนไดแนวคิดในการพิจารณาจากกราฟ จะทราบไดวารถยนตคันใดแลนนําหนา
รถยนตคันในชวงเวลาใด โดยดูเพียงวาเสนกราฟของรถยนตคันใดอยูเหนือเสนกราฟของรถยนตคันใด
5. ในแบบฝกหัด 2.1 ขอ 1 ครูควรแนะนําใหนักเรียนเขียนตารางแสดงคาของจํานวนที่สัมพันธ
กัน หรือเขียนความสัมพันธในรูปสมการกอนจะเขียนกราฟ แลวจึงตอบคําถาม
สําหรับขอ 6 กราฟที่กําหนดใหมีลักษณะพิเศษที่นักเรียนไมเคยพบมากอน ครูควรนําปญหา
ขอนี้มาอภิปรายรวมกันในชั้นเรียนโดยใหนักเรียนทําความเขาใจโจทยและกราฟ ใหรูวาแกน Y แสดง
ระยะทางที่เมือง ก อยูหางจากเมือง ข 240 กิโลเมตร จุดที่กราฟตัดกันเปนจุดที่วิชัยและวิโรจนพบกัน
แกน X แสดงเวลาและเมื่อเวลาผานไปแมการเดินทางของแตละคนจะไดระยะทางมากขึ้น แตการเดินทาง
ของวิชัยจะเขาใกลเมือง ข ไปเรื่อย ๆ แลวนําความรูความเขาใจที่ไดตอบคําถามในหนังสือเรียน
2.2 กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร (7 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บอกคูอันดับที่สอดคลองกับสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่กําหนดใหได
2. เขียนกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่กําหนดใหได
3. บอกลักษณะที่สําคัญบางประการของกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่กําหนดใหได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูยกตัวอยางโจทยที่แสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดที่มีกราฟอยูในแนวเสนตรง
เดียวกัน เริ่มตนอาจกําหนดเงื่อนไขของ x และ y เปนจํานวนเต็มกอน เมื่อเขียนกราฟที่ไดเปนจุดเรียง
กันอยูในแนวเสนตรงแลว ครูอาจเพิ่มเงื่อนไขให x และ y เปนจํานวนจริงใด ๆ ใหนักเรียนเห็นกราฟ
ตอเนื่องเปนเสนตรง แลวจึงแนะนํารูปสมการเชิงเสนสองตัวแปรตามที่ใหไวในหนังสือเรียน
2. กิจกรรม “บอกไดหรือไม” ในขอ 1 ขอยอย 5) ครูอาจแสดงใหนักเรียนเห็นวาสมการ
1.2x + 0y = 3.5 เปนสมการเดียวกับสมการ 1.2x = 3.5 แลวใหนักเรียนสรุปไดเองวา 1.2x = 3.5 เปน
สมการเชิงเสนสองตัวแปร สําหรับขอ 2 ครูควรแนะนําใหนักเรียนเขียนสมการที่กําหนดใหอยูในรูป
Ax + By + C = 0 กอน แลวจึงระบุคา A, B และ C เชน
x – 3y + 5 = 0
เขียนเปน (1)x + (-3)y + 5 = 0
จะได A = 1, B = -3 และ C = 5

4. 32
3. ในการเขียนกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร ครูควรย้ํากับนักเรียนใหหาคูอันดับที่
สอดคลองสามจุดกอน เชน ในกรณีที่ทราบวา x และ y เปนจํานวนจริง กราฟของสมการจะเปน
เสนตรง การเลือกคูอันดับที่สอดคลองควรเลือกแทนคา x และ y เปนจํานวนเต็ม ซึ่งงายตอการคํานวณ
และการเขียนกราฟ ครูอาจใหขอสังเกตวา ถากําหนดให x หรือ y เทากับ 0 อาจทําใหการคํานวณหา
สมาชิกของคูอันดับที่สอดคลองกับสมการทําไดงายขึ้น
4. สําหรับกิจกรรม “กราฟของ y = B
C- , B ≠ 0” และ “กราฟของ x = A
C- , A ≠ 0”
ตองการใหนักเรียนสรุปไดวากราฟขนานกับแกน X หรือแกน Y เทานั้น เมื่อใหนักเรียนตอบคําถามแลว
ครูควรใหนักเรียนชวยกันอภิปรายและสรุปลักษณะสําคัญเกี่ยวกับกราฟโดยวิเคราะหจากสมการ เพื่อนําไป
ชวยในการเขียนกราฟตอไป
5. สําหรับกิจกรรม “ลองเขียนดู” มีเจตนาใหนําความรูที่ไดจากกิจกรรมในขอ 3 มาใช ครูควร
ใหนักเรียนชวยกันสรุปรูปแบบทั่วไปของสมการที่มีกราฟขนานกับแกน X และสมการที่มีกราฟขนานกับ
แกน Y
6. สําหรับกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนคนพบเงื่อนไขที่ทําใหกราฟของ
สองสมการเปนเสนตรงที่ขนานกัน สามารถใชเงื่อนไขนี้ไปวิเคราะหกราฟของสมการที่กําหนดใหได
สําหรับกิจกรรม “ตัดกันที่จุดใด” มีเจตนาใหนักเรียนคนพบเงื่อนไขที่ทําใหกราฟของสอง
สมการเปนเสนตรงที่ตัดกัน
หลังจากนักเรียนทํากิจกรรมทั้งสองแลว ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุปเงื่อนไขที่ใชพิจารณา
สมการเพื่อบอกลักษณะของกราฟที่ขนานกันและตัดกันดังขอสรุปที่ใหไวในหนังสือเรียนหนา 98
7. ในแบบฝกหัด 2.2 ข ขอ 1 หลังจากทําแบบฝกหัด ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุปเปนกรณี
ทั่วไปวา กราฟที่ผานจุดกําเนิดจะมีเงื่อนไขอยางไรและในทางกลับกันดวย เพื่อนําความรูที่ไดไปใชงาน
ตอไป
สําหรับขอ 2 – 5 ครูควรใหนักเรียนไดใชประโยชนจากขอสรุปในหนา 98 เกี่ยวกับลักษณะ
สําคัญบางประการมาชวยในการเขียนกราฟและตอบคําถาม
2.3 กราฟกับการนําไปใช (5 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถอานและแปลความหมายของกราฟที่กําหนดใหได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.3
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 มีคําถาม 4 ขอแรกเปนคําถามนําเพื่อไปสูขอสรุปในขอ 5
ซึ่งเปนจุดประสงคที่ตองการใหนักเรียนอธิบายภาพรวมของกราฟได สวนตัวอยางที่ 3 เปนความสัมพันธที่

5. 33
กราฟมีลักษณะเปนขั้นบันไดที่นักเรียนจะพบบอยขึ้นในดานสังคมศาสตร ครูควรทําความเขาใจกับนักเรียน
ในเรื่องการอานและการแปลความหมายกราฟ อาจสุมใหนักเรียนอานกราฟเปนบางชวงเพื่อตรวจสอบ
ความเขาใจ
2. โจทยแตละขอในแบบฝกหัด 2.3 เสนอไวใหนักเรียนไดฝกอาน วิเคราะหและแปล
ความหมายกราฟในภาพรวมได ในขั้นตนของการฝกอธิบายกราฟ ครูควรแนะนําใหนักเรียนพิจารณา
ขอมูลเปนชวง ๆ แลวสรุปเปนภาพรวม ครูอาจใหนักเรียนชวยกันพิจารณาเปนกลุม มีอภิปรายรวมกัน
และชวยกันสรุป
3. สําหรับกิจกรรม “บอลกระทบพื้น” ครูอาจใหนักเรียนทดลองปลอยลูกปงปองลงบนพื้น
ซีเมนต แลวสังเกตการกระดอนของลูกปงปองที่ขึ้นลงเปนชวง ๆ พิจารณาอัตราเร็วในการเคลื่อนที่และ
ระดับความสูงของลูกปงปองเหนือพื้น เพื่อใชเปนแนวในการเขียนอธิบายกราฟ
4. สําหรับกิจกรรม “คูของใคร” มีเจตนาใหเห็นเปนตัวอยางกราฟที่มีการนําไปใชในการ
ประเมินผลเชิงคิดวิเคราะหตามแนวการเรียนรูกราฟแบบใหมมากขึ้น ครูควรฝกใหนักเรียนอานและแปล
ความหมายจากเงื่อนไขในโจทยเปนกราฟและจากกราฟเปนเงื่อนไขในโจทย ฝกการคิดวิเคราะหตามขอมูล
และกราฟที่กําหนดให ในบางกรณีครูอาจตองชี้แนะใหพิจารณาความสัมพันธที่เกี่ยวของกับขอมูลในกราฟ
ดวย เชน
ขอ 1 กราฟแสดงการเดินของปู ปลา และกุง จะเห็นวากราฟกําหนดแกนนอนเปนเวลา และ
แกนตั้งเปนระยะทาง แตนักเรียนตองแปลความหมายกราฟในรูปของอัตราเร็ว ซึ่งนักเรียนตองมีความเขาใจ
เปนพื้นฐานวา อัตราเร็ว = เวลา
ระยะทาง จึงจะสามารถอานวิเคราะหกราฟไดอยางถูกตอง
หลังจากใหนักเรียนตอบคําถามขอ 3 แลว ครูอาจใชคําถามกระตุนใหนักเรียนเกิดความ
อยากรูตอไดอีก เชน จากกราฟสามารถทราบระยะทางโดยประมาณที่นัทใชเวลาขับรถนาน 4 ชั่วโมง
ไดหรือไม โดยครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.3 มาใหความรูเพิ่มเติมเพื่อตอบคําถามดังกลาว

6. 34
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบแบบฝกหัด 2.1
1.
1) กราฟแสดงความสัมพันธ 2y + x = 12 เมื่อ x และ y เปนจํานวนนับ
Y
129 10 118765432
1
2
3
4
5
6
10 X
เปนความสัมพันธเชิงเสน
หรือกราฟแสดงความสัมพันธ y + 2x = 12 เมื่อ x และ y เปนจํานวนนับ
7
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6
Y
X
เปนความสัมพันธเชิงเสน

7. 35
2) กราฟแสดงความสัมพันธ y = x + 5 เมื่อ x และ y เปนจํานวนเต็ม
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 3 4210
-1
X
เปนความสัมพันธเชิงเสน
หรือกราฟแสดงความสัมพันธ y = x – 5 เมื่อ x และ y เปนจํานวนเต็ม
Y
-4
-1
-2
-3
-5
-6
0 1-1
1
2
2 3
3
4 5 6 7 8 X
เปนความสัมพันธเชิงเสน

8. 36
3)
มิลลิเมตร
10
20
30
40
50
60
70
80
80 1 2 3 4 5 6 7
เซนติเมตร
เปนความสัมพันธเชิงเสน
4)
76
10
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ความยาว
ความกวาง
เปนความสัมพันธเชิงเสน

9. 37
2.
1) เมื่อถวงดวยตุมน้ําหนัก 5 กรัม ลวดสปริงจะยาว
3.25 เซนติเมตร
เมื่อถวงดวยตุมน้ําหนัก 25 กรัม ลวดสปริงจะ
ยาว 4.25 เซนติเมตร
2) 15 กรัม
3) ถาตุมน้ําหนักที่ถวงเพิ่มขึ้น แลวความยาวของ
ลวดสปริงเพิ่มขึ้น
1
2
3
4
5
6
7
6050403020100
Y
X
3.
x 3 6 9 12 15 18
y 1 2 3 4 5 6
1)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
1
2
3
4
5
6
7
Y
X
2) ประมาณ 1.7 กิโลเมตร

10. 38
4.
1) 29 ลิตร
2) 230 กิโลเมตร
3) 350 กิโลเมตร
Y
0 30252010 155 4035
50
100
150
200
250
300
350
X
5.
0 200000 300000 400000100000
รายรับ
20000
15000
10000
5000
บริษัทรักเรียน
บริษัทเรียนดี
ยอดขาย
1) เมื่อยอดขายสินคาเปน 200,000 บาท รายรับของพนักงานขายของทั้งสองบริษัทจะเทากัน
2) ถายอดขายสินคานอยกวา 200,000 บาท พนักงานขายของบริษัทรักเรียนจะมีรายรับตอ
เดือนมากกวาพนักงานขายของบริษัทเรียนดี
ถายอดขายสินคาเทากับ 200,000 บาท พนักงานขายของทั้งสองบริษัทจะมีรายรับตอเดือน
เทากัน
ถายอดขายสินคามากกวา 200,000 บาท พนักงานขายของบริษัทเรียนดีจะมีรายรับตอเดือน
มากกวาพนักงานขายของบริษัทรักเรียน

11. 39
6.
1) วิชัยเริ่มออกเดินทางเวลา 7.00 นาฬิกา วิโรจนเริ่มออกเดินทางเวลา 9.00 นาฬิกา
2) 240 กิโลเมตร
3) วิชัยและวิโรจนจะพบกันเวลา 11.00 นาฬิกา หางจากเมือง ข 120 กิโลเมตร
4) วิโรจนถึงจุดหมายกอนวิชัย และถึงกอน 1 ชั่วโมง
5) วิชัยเริ่มออกเดินทางจากเมือง ก เวลา 7.00 นาฬิกาดวยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรตอชั่วโมงเปน
เวลา 2 ชั่วโมง แลวหยุดพัก 1 ชั่วโมง จากนั้นจึงเดินทางตอดวยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรตอ
ชั่วโมงจนถึงเมือง ข เวลา 14.00 นาฬิกา
วิโรจนออกเดินทางจากเมือง ข เวลา 9.00 นาฬิกา ดวยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง
เปนเวลา 4 ชั่วโมงจนถึงเมือง ข เวลา 13.00 นาฬิกา
คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม”
1.
1) เปน
2) ไมเปน
3) เปน
4) ไมเปน
5) เปน
2.
1) 5x – 2y – 9 = 0 A = 5, B = -2 และ C = -9
2) -7x + 6.4y + 1 = 0 A = -7, B = 6.4 และ C = 1
3)
2
1 x – y –
3
4 = 0 A =
2
1 , B = -1 และ C = –
3
4
4) -3x – 1.5y = 0 A = -3, B = -1.5 และ C = 0
5) 6y – 3.5 = 0 A = 0, B = 6 และ C = -3.5

12. 40
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก
1.
x 0 2 4
y = x – 4 -4 -2 0
y = x – 4
Y
4
2
-6
-8 -6 -4 -2 8 X62 40
-2
-4
(2, -2)
(0, -4)
(4, 0)
2.
x -3 -2 0
y = -2x – 3 3 1 -3
2x + y = -3
Y
42-4
-4
-2
-2
0
4
2
(0, -3)
(-2, 1)
(-3, 3)
X

13. 41
3.
x -4 -1 2
y = 3
1x −−
1 0 -1
-x – 3y = 1
X
Y
4
-4
-6 640 2-2-4
-2
2
(-1, 0)
(2, -1)
(-4, 1)
4.
x -2 0 2
y = 2x -4 0 4
(2, 4)
-4x + 2y = 0
4
Y
0 2
4
2
-2-4
-4
-2
(0, 0)
(-2, -4)
X

14. 42
5.
x -5 0 5
y = 5
5x −
-2 -1 0
x – 5y = 5
Y
4
2
-4
-8 80 2 4 6-2-4-6
-2
(-5, -2)
(0, -1)
(5, 0)
X
6.
x 0 2 4
y = 2
63x −
-3 0 3
(4, 3)
Y
4
0-2-4 4
X
2
2
-2
-4
(2, 0)
(0, -3)
2y – 3x + 6 = 0

15. 43
7.
x -1 0 1
y = 3x -3 0 3
Y
4
X
y – 3x = 0
0-2-4 2
2
4
-2
-4
(0, 0)
(1, 3)
(-1, -3)
8.
x -1 0 2
y = x2
5
−
2
5
0 -5
Y
2y + 5x = 0
0-2-4 4
X
2
2
4
-2
-4
(-1,
2
5
)
(2, -5)
(0, 0)

16. 44
คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = –C
B
, B ≠ 0”
1. ขนานกับแกน X
2. จุด (0, 3)
3. 3
4. 3
5. 3
6. ขนานกับแกน X และตัดแกน Y ที่จุด (0, -3)
7. ขนานกับแกน X และตัดแกน Y ที่จุด (0,
2
5 )
8. แกน X
9. เสนตรง มีสมการเปน y = 41
เสนตรง มีสมการเปน y = -22
10. เปนเสนตรงขนานกับแกน X หรือเปนแกน X
คําตอบกิจกรรม “กราฟของ x = - C
A
, A ≠ 0”
1. ขนานกับแกน Y
2. จุด (4, 0)
3. 4
4. 4
5. 4
6. ขนานกับแกน Y และตัดแกน X ที่จุด (2, 0)
7. ขนานกับแกน Y และตัดแกน X ที่จุด (-3, 0)
8. แกน Y
9. เสนตรง มีสมการเปน x = 31
เสนตรง มีสมการเปน x = -22
10. เปนเสนตรงขนานกับแกน Y หรือเปนแกน Y

17. 45
คําตอบกิจกรรม “ลองเขียนดู”
1.
1)
4
X0-2-4 2
2
4
-2
-4
Y
x = 0
x = 1
2
1
x = -2
2)
y = -4
Y
4
2
0-2-4 2
-2
-4
y = 0
4
1
2
y =
X

18. 46
2.
0-2-4 42
2
4
-2
-4
Y
X
x = -5 x = 4
2
1
-6 6
y = -5
y = 4
2
1
-6
6
จุดตัดของกราฟคือ จุด (-5, 4
2
1 ), จุด (4
2
1 , 4
2
1 ), จุด (4
2
1 , -5) และจุด (-5, -5)
3. เสนตรง มีสมการเปน y = 61
เสนตรง มีสมการเปน x = -52
เสนตรง มีสมการเปน x = 73
คําตอบกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร”
1. ขนานกัน
2. ขนานกัน
3. ขนานกัน
คําตอบกิจกรรม “ตัดกันที่จุดใด”
1. จุด (1, 2)
2. จุด (0, 2)
3. ตัดกัน

19. 47
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข
1.
1) ผานจุดกําเนิด
2) ผานจุดกําเนิด
3) ผานจุดกําเนิด
2x + y = 0
x – y = 0
2.
1)
0-2-4 42
2
4
-2
-4
Y
X
6
-6
6-6
y = 4x
y = 4x + 5
– 3
2 4-2-4 0
y = - 1
2
x y = -
2
4
-2
-4
Y
2
3
x
X

20. 48
2)
y = -x + 3
Y
0-2-4 4
X
2
2
4
-2
-4
y = 2x + 3
3)
-4 -2
y = -3x + 4
Y
y = 4x
0 2 4
-4
-2
2
4
X

21. 49
4)
Y
-4
2x + y + 1 = 0 -x + y – 5 = 0
0 2 4-2
2
4
-2
-4
X
3.
1)
Y
4
2
0
-4
-2
-4 -2 642
x – y = 2
y = 4
X
จุดตัดของกราฟคือ จุด (6, 4)

22. 50
2)
-4 -2
2x + y = 5 x = 2
Y
0 2 4
2
4
-2
-4
X
จุดตัดของกราฟคือ จุด (2, 1)
3)
2x + y = 1
-4 0-2 2 4
4
2
-2
-4
2x – y = 3
Y
X
จุดตัดของกราฟคือ จุด (1, -1)
4.
1) ขนานกัน
2) ตัดกัน
3) ตัดกัน
4) ขนานกัน

23. 51
5. เสนตรง มีสมการเปน y =1
2
7 x + 3
เสนตรง มีสมการเปน y =2
2
7 x
เสนตรง มีสมการเปน y = -x – 33
คําตอบแบบฝกหัด 2.3
1.
1) 0.6 เซนติเมตร
2) 5 วินาที
3) 0.6 เซนติเมตร
4) 1.8 เซนติเมตร
5) ในชวง 0 ถึง 2 วินาที รถยนตเด็กเลนแลนดวยอัตราเร็วที่นอยกวาในชวง 2 วินาทีถึง 4
วินาที
6) ในชวง 2 วินาทีถึง 4 วินาที รถยนตเด็กเลนเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วที่มากกวาในชวง 0 ถึง
2 วินาที
ในชวง 4 วินาทีถึง 6 วินาที รถยนตเด็กเลนเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วที่มากกวาในชวง 2 วินาที
ถึง 4 วินาที
2.
1) ประมาณ 2.2 ตารางเซนติเมตร
2) 4 เซนติเมตร
3) พื้นที่ที่คํานวณจากสมการกับการประมาณจากกราฟจะเทากันหรือใกลเคียงกัน
4) เมื่อความยาวของดานเพิ่มขึ้น พื้นที่ก็จะเพิ่มขึ้น โดยอัตราการเพิ่มของพื้นที่จะมากขึ้นและ
มากขึ้นอยางรวดเร็ว
3.
1) 1,800 เมตร ในเวลา 3 วินาที
2) 1,600 เมตร
3) 1 วินาที และ 5 วินาที
4) เมื่อเริ่มยิงจรวด จรวดจะขึ้นจากพื้นดินดวยอัตราเร็วสูงมากในชวงเวลาแรก ๆ ตอจากนั้นจะ
ชาลงจนถึงจุดสูงสุดที่ความสูง 1,800 เมตร ณ วินาทีที่ 3 แลวจะตกลงในชวงเวลาถัดมา
ดวยอัตราเร็วที่ชาและเร็วมากขึ้นจนถึงพื้นดิน ณ วินาทีที่ 6

24. 52
4.
1) ประมาณ 380 มิลลิกรัม
2) ประมาณ 2.5 ชั่วโมง หรือ 2 ชั่วโมง 30 นาที
3) ประมาณ 90 มิลลิกรัม
4) ประมาณ 300 มิลลิกรัม
5) ประมาณ 12.5 ชั่วโมง หรือ 12 ชั่วโมง 30 นาที
6) ในชวง 0 ถึง 2 2
1
ชั่วโมง ปริมาณยาในรางกายจะลดลงอยางรวดเร็วจาก 500 มิลลิกรัม
เหลือประมาณ 250 มิลลิกรัม
ในชวง 2 2
1
ชั่วโมงถึง 5 ชั่วโมง ปริมาณยาในรางกายจะลดลงชาลงกวาเดิมจากประมาณ
250 มิลลิกรัม เหลือประมาณ 125 มิลลิกรัม
ในชวง 5 ชั่วโมงถึง 7 2
1
ชั่วโมง ปริมาณยาในรางกายจะลดลงชาลงยิ่งขึ้นจากประมาณ
125 มิลลิกรัม เหลือประมาณ 62.5 มิลลิกรัม
ในชวง 7 2
1
ชั่วโมงถึง 10 ชั่วโมง ปริมาณยาในรางกายจะลดชาลงยิ่งขึ้นยิ่งขึ้นจากประมาณ
62.5 มิลลิกรัม เหลือประมาณ 31 มิลลิกรัม ตอจากนั้นปริมาณยาในรางกาย ก็จะลดชาลง
เรื่อย ๆ จนเหลือนอยมาก
5.
1) 30 °C ละลายได 35 กรัม
2) โซเดียมคลอไรด
3) โพแทสเซียมคลอไรด
4) ที่อุณหภูมิ 0°C ขึ้นไปแตไมถึง 30°C โซเดียมคลอไรดจะมีความสามารถในการละลายได
มากกวาโพแทสเซียมคลอไรด ที่อุณหภูมิ 30°C โซเดียมคลอไรดและโพแทสเซียมคลอไรด
จะมีความสามารถในการละลายเทากัน ที่อุณหภูมิสูงกวา 30°C โพแทสเซียมคลอไรดจะมี
ความสามารถในการละลายไดมากกวาโซเดียมคลอไรด
5) โพแทสเซียมคลอไรดมีความสามารถในการละลายไดมากกวาโซเดียมคลอไรด
6.
1) 11 แอมแปร
2) 22 แอมแปร
3) ระบบ 220 โวลต
4) 11 โอหม
5) 22 โอหม

25. 53
6) ระบบ 220 โวลต
7) ถาความตานทานเพิ่มขึ้น ปริมาณกระแสไฟฟาที่ไหลผานจะลดลง
8) ถาปริมาณกระแสไฟฟาที่ไหลผานเพิ่มขึ้น จะตองเปลี่ยนความตานทานใหนอยลง
7.
1) 50 บาท
2) 50 บาท
3) 65 บาท
4) 75 บาท
5) 6 ลูกบาศกเมตรขึ้นไป แตไมถึง 7 ลูกบาศกเมตร
6) ไมใชอัตราเดียวกัน กลาวคือ คาน้ําประปาไมถึง 10 ลูกบาศกเมตรแรกคิดลูกบาศกเมตรละ
5 บาท ตั้งแตลูกบาศกเมตรที่ 10 ขึ้นไปคิดลูกบาศกเมตรละ 7.50 บาท
8.
1) 2,000 ชิ้น และ 20,000 ชิ้น
2) ขาดทุน
3) ไดกําไร
4) ขาดทุน
5) 10,000 ชิ้น
6) ถาผลิตสินคาไมถึง 2,000 ชิ้นจะขาดทุน แตเมื่อผลิตสินคา 2,000 ชิ้นจะคุมทุน และเมื่อ
ผลิตสินคาเพิ่มขึ้นจะไดกําไรมากขึ้นจนกระทั่งผลิต 10,000 ชิ้นจะไดกําไรสูงสุด ถาผลิต
สินคาเพิ่มขึ้นมากกวา 10,000 ชิ้นขึ้นไปจะไดกําไรลดลงเรื่อย ๆ จนถึง 20,000 ชิ้นซึ่งเปน
จุดคุมทุน จากนั้นถาผลิตเพิ่มขึ้นมากกวา 20,000 ชิ้นก็จะขาดทุนมากขึ้นเรื่อย ๆ
คําตอบกิจกรรม “บอลกระทบพื้น”
ในชวง 0 ถึง 5 วินาที ลูกบอลถูกปลอยจากความสูง 2.5 เมตรลงพื้น โดยลูกบอลเคลื่อนที่ดวย
อัตราเร็วที่คอย ๆ เพิ่มขึ้นจนกระทบพื้น
ในชวง 0.5 วินาทีถึง 1.1 วินาที ลูกบอลกระดอนขึ้นดวยอัตราเร็วที่นอยกวาอัตราเร็วที่ตกลงพื้น
ครั้งแรก โดยลูกบอลเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วที่คอย ๆ ลดลงจนถึงจุดสูงสุดที่ความสูงนอยลงเหลือประมาณ
1.1 เมตร แลวจึงตกลงดวยอัตราเร็วที่คอย ๆ เพิ่มขึ้นจนกระทบพื้น
ในชวง 1.1 วินาทีถึง 1.5 วินาที และชวงเวลาอื่น ๆ ถัดไป ลูกบอลจะเคลื่อนที่ลักษณะ
เชนเดียวกับในชวง 0.5 วินาทีถึง 1.1 วินาที

26. 54
คําตอบกิจกรรม “คูของใคร”
1. รูป ก แสดงการเดินทางของปู เนื่องจาก กราฟแสดงการเดินทางดวยอัตราเร็วคงที่
รูป ข แสดงการเดินทางของกุง เนื่องจาก กราฟแสดงการเดินทางดวยอัตราเร็วที่ลดลงเรื่อย ๆ
รูป ค แสดงการเดินทางของปลา เนื่องจาก กราฟแสดงการเดินทางดวยอัตราเร็วที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ
2. รูป ค แสดงความสูงของมนุษยเมื่อเทียบกับเวลาเปนปตั้งแตเกิดจนอายุ 25 ปไดดีที่สุด
เพราะรูป ก แสดงความสูงที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อเทียบกับอายุ รูป ข แสดงความสูงที่เพิ่มขึ้นจนถึง
ชวงอายุหนึ่ง แลวความสูงลดลง แตรูป ค แสดงความสูงที่คอย ๆ เพิ่มขึ้นในชวงอายุหนึ่ง และ
เพิ่มขึ้นเร็วขึ้นในชวงอายุถัดไป จากนั้นมีความสูงเทาเดิม จึงนาจะแสดงความสูงของมนุษยตั้งแตเกิด
จนอายุ 25 ปเมื่อเทียบกับเวลาเปนปไดดีที่สุด
3. สถานการณในขอ 3 เพราะกราฟแสดงการเคลื่อนที่ของรถดวยอัตราเร็วจาก 0 กิโลเมตรตอชั่วโมง
จนถึง 80 กิโลเมตรตอชั่วโมงในชวงเวลา 1 ชั่วโมงแรก แลวแลนดวยอัตราเร็วคงที่ 80 กิโลเมตร
ตอชั่วโมงเปนเวลา 1 ชั่วโมง หลังจากนั้นจึงลดอัตราเร็วลงเรื่อย ๆ จนเปน 0 กิโลเมตรตอชั่วโมงใน
เวลา 2 ชั่วโมง

27. 55
กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

28. 56
กิจกรรมเสนอแนะ 2.3
กิจกรรมนี้ตองการเชื่อมโยงความรูเรื่องกราฟกับพื้นที่ เพื่อใชแสดงความสัมพันธ
ระหวางเวลาที่ใชในการเดินทางและอัตราเร็ว กับระยะทางที่ได
แนวการจัดกิจกรรม
1. ครูใหนักเรียนพิจารณากราฟแสดงความสัมพันธระหวางเวลาที่ใชในการเดินทางและอัตราเร็ว
จากรูป ก เปรียบเทียบกับพื้นที่สวนที่แรเงาของรูป ข แลวใชคําถามเพื่อใหนักเรียนมองเห็นความสัมพันธ
และคําตอบดังตอไปนี้
อัตราเร็ว (กิโลเมตร / ชั่วโมง) อัตราเร็ว (กิโลเมตร / ชั่วโมง)
A B
210
CD
0 1 2
BA50 50
รูป ก รูป ข
เวลา (ชั่วโมง) เวลา (ชั่วโมง)
1) กราฟรูป ก AB แสดงการเดินทางดวยอัตราเร็วคงที่ 50 กิโลเมตรตอชั่วโมง เปนเวลา
2 ชั่วโมง จะไดวา
ระยะทางในการเดินทาง = อัตราเร็ว × เวลา
= 50 × 2
= 100 กิโลเมตร
2) กราฟรูป ข แสดงพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่อยูระหวาง AB กับแกน X ในชวงเวลา
0 ถึง 2 ชั่วโมง จะไดวา ความกวางของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนดวย DA ซึ่ง
DA = 50 กิโลเมตรตอชั่วโมง
ความยาวของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนดวย DC ซึ่ง DC = 2 ชั่วโมง
พื้นที่ของ ABCD = กวาง × ยาว
= 50 × 2
= 100 กิโลเมตร

29. 57
2. ครูใหนักเรียนชวยกันสรุปความเกี่ยวของระหวางกราฟรูป ก และกราฟรูป ข และใหได
ขอสรุปวา เมื่อมีกราฟแสดงความสัมพันธระหวางเวลาที่ใชในการเดินทางกับอัตราเร็ว จะสามารถหา
ระยะทางในการเดินทางทั้งหมดได โดยอาศัยการหาพื้นที่ของรูปปดที่อยูระหวางกราฟกับแกน X
3. ครูยกตัวอยางสถานการณเพิ่มเติมพรอมตัวอยางแนวคิด ดังนี้
จากรูป กราฟแสดงความสัมพันธระหวางเวลาในการเดินเทา
ของศักดิ์กับอัตราเร็ว จงหา
อัตราเร็ว (เมตรตอนาที)
1) ระยะทางทั้งหมดที่ศักดิ์เดินเทาในเวลา 60 นาที
2) อัตราเร็วเฉลี่ยในการเดินเทา
40 A B
200
C
50 60
D
เวลา (นาที)
1) ระยะทางทั้งหมดที่ศักดิ์เดินเทา เทากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD
เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = 2
1 × (AB + DC) × 40
จะไดระยะทางทั้งหมด = 2
1 × (30 + 60) × 40
= 1,800 เมตร
ดังนั้น ศักดิ์เดินไดระยะทางทั้งหมด 1,800 เมตร
2) อัตราเร็วเฉลี่ยในการเดินเทาของศักดิ์ เทากับ 60
800,1
= 30 เมตรตอนาที
4. ใหนักเรียนหาระยะทางทั้งหมดและอัตราเร็วเฉลี่ยในการขับรถของนัท จากกราฟขอ 3
ในกิจกรรม “คูของใคร” ในหนังสือเรียน หนา 117
[ระยะทางทั้งหมด 200 กิโลเมตรและอัตราเร็วเฉลี่ยเทากับ 50 กิโลเมตรตอชั่วโมง]
5. ครูอาจใหโจทยเพิ่มเติมโดยนักเรียนหาระยะทางทั้งหมดในการเดินทางและอัตราเร็วเฉลี่ยจาก
กราฟที่กําหนดให เชน
กราฟแสดงความสัมพันธระหวางเวลาที่ใชในการเดินทางและอัตราเร็วในการขับรถของสินชัย
เปนดังนี้

30. 58
อัตราเร็ว (กิโลเมตร / ชั่วโมง)
100
210 3
เวลา (ชั่วโมง)
[ระยะทางทั้งหมด 125 กิโลเมตรและอัตราเร็วเฉลี่ยเทากับ 50 กิโลเมตรตอชั่วโมง]