15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง

จานวนจริง
(เนื้อหาตอนที่ 2)
การแยกตัวประกอบ

โดย

ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ


สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง จานวนจริง
2. เนื้อหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง
- ระบบจานวนจริง
- สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ
- การแยกตัวประกอบ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม
- สมการพหุนามกาลังหนึ่ง
- สมการพหุนามกาลังสอง
- สมการพหุนามกาลังสูง
- การประยุกต์สมการพหุนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ
- เส้นจานวนและช่วง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังหนึ่ง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังสูง
7. เนื้อหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ
- อสมการในรูปเศษส่วน
- การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง
- การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร
- การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์
- ค่าสัมบูรณ์
- สมการค่าสัมบูรณ์

1


9. เนื้อหาตอนที่ 8 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
- อสมการค่าสัมบูรณ์
- โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
10. เนื้อหาตอนที่ 9 กราฟค่าสัมบูรณ์
- กราฟค่าสัมบูรณ์
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่เกินสี่)
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง จานวนจริง
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว
ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของ
คู่มือฉบับนี้

2


เรื่อง จานวนจริง (การแยกตัวประกอบ)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2/9)

หัวข้อย่อย 1. การแยกตัวประกอบโดยวิธีการดึงตัวร่วม
2. การแยกตัวประกอบโดยวิธีสามพจน์สองวงเล็บ
3. การแยกตัวประกอบโดยวิธีกาลังสมบูรณ์
4. การแยกตัวประกอบโดยวิธีผลต่างกาลังสอง
5. การแยกตัวประกอบโดยวิธีกาลังสามสมบูรณ์
6. การแยกตัวประกอบโดยวิธีผลต่างกาลังสามและผลบวกกาลังสาม

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. ได้ทบทวนการแยกตัวประกอบโดยวิธีการดึงตัวร่วม
2. ได้ทบทวนการแยกตัวประกอบโดยวิธีสามพจน์สองวงเล็บ
3. ได้ทบทวนการแยกตัวประกอบโดยวิธีกาลังสมบูรณ์
4. ได้ทบทวนการแยกตัวประกอบโดยวิธีผลต่างกาลังสอง
5. ได้ทบทวนการแยกตัวประกอบโดยวิธีกาลังสามสมบูรณ์
6. ได้ทบทวนการแยกตัวประกอบโดยวิธีผลต่างกาลังสามและผลบวกกาลังสาม
7. สามารถเลือกวิธีการแยกตัวประกอบที่เหมาะสม ในการแยกตัวประกอบพหุนาม

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. แยกตัวประกอบโดยวิธีการดึงตัวร่วมได้
2. แยกตัวประกอบโดยวิธีสามพจน์สองวงเล็บได้
3. แยกตัวประกอบโดยวิธีกาลังสมบูรณ์ได้
4. แยกตัวประกอบโดยวิธีผลต่างกาลังสองได้
5. แยกตัวประกอบโดยวิธีกาลังสามสมบูรณ์ได้
6. แยกตัวประกอบโดยวิธีผลต่างกาลังสามและผลบวกกาลังสามได้
7. เลือกวิธีการแยกตัวประกอบที่เหมาะสม และนาไปใช้ในวิธีการนั้นในการแยกตัวประกอบพหุนามได้

3


เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

4


1. การแยกตัวประกอบโดยวิธีดึงตัวร่วม

5


1. การแยกตัวประกอบโดยวิธดึงตัวร่วม
ี

ในสื่อตอนนี้ ผู้เรียนจะได้ทบทวนวิธีการแยกตัวประกอบโดยวิธีการดึงตัวร่วม ที่ผู้เรียนควรจะรู้มาก่อนที่
จะเริ่มเรียนวิธีการแยกตัวประกอบโดยทฤษฎีบทแยกตัวประกอบ
แต่ก่อนอื่นผู้สอนควรทบทวนผู้เรียนให้ทราบความหมายของพหุนาม และความสาคัญของการแยกตัว
ประกอบเสียก่อน

หลังจากชมสื่อแล้ว ผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม

ตัวอย่าง กาหนดให้ f  x   x4  5x2  5x  1 จงหา
1. f  1
2. f  3  f 1

วิธีทา
1. f  1   1  5  1  5  1  1  12
4 2

2. f  3  f 1  34  5  3  5  3  1  14  5 1  5 1  1
2 4
   
 112  2
#
 110

6


ตัวอย่าง จงหาค่า x ที่สอดคล้องกับสมการ  x  1 x  2  0

วิธีทา จาก  x  1 x  2  0 จะได้ว่า
x  1  0 หรือ x  2  0
x  1 หรือ x  2 #

ต่อไปผู้เรียนจะได้ทบทวนวิธีการแยกตัวประกอบโดยวิธีดึงตัวร่วม

ผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1. a  x  y   b  x  y 
2. 32 x  64 x 2 y  8xy 2

7


วิธีทา
1. a  x  y   b  x  y    a  b  x  y 
2. 32 x  64 x 2 y  8 xy 2  8 x  4  8 xy  y 2  #

ตัวอย่าง จงทาให้เป็นรูปอย่างง่าย
12 x 2 y 2  36 xy 2
1.
6 xy
2 x y  2 xy 2
3
2.
3x3  3xy

วิธีทา
12 x 2 y 2  36 xy 2 12 xy  xy  3 y 
1.   2  xy  3 y 
6 xy 6 xy

2 x3 y  2 xy 2 2 xy  x  y 
2
2y
2.   #
3 x3  3xy 3x  x 2  y  3

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การแยกตัวประกอบ (การดึงตัวร่วม)

จงแยกตัวประกอบต่อไปนี้
1. x 2  2 x 2. 3x 2  2 x
3. 4 x3  2 x 2 4. y2  8 y
5. 3x3  6 x 2  9 x 6. 8 x 2 y  2 xy 2
7. 14 x3 y  7 xy3 8. 3xyz 2  6 x 2 yz
9. 5xy 2 z  x2 yz  xy 2 z 10. 5 x 2 y 2 z 2  10 x3 y 2 z 3  15x 4 y 3 z 2

8


ต่อไปจะเป็นเทคนิคการแยกตัวประกอบโดยวิธีดึงตัวร่วมของพหุนามที่มีสี่พจน์

เรื่องการแยกตัวประกอบ (สี่ พจน์ สอง วงเล็บ)

จงแยกตัวประกอบ
1.  a  b  c   a  b  d 2. x2  a  b   2  a  b 
3. 5  a  b    a  b  c 4. a 2  2ab  ac  2bc
5. x 2  ax  5 x  5a 6. x 2  2 x  xy  2 y
7. x 4  x3  2 x  2 8. 4 x 4  x3  8 x  2
9. x3  x 2  x  1 10. a 2  ab  ac  bc

9



10



ในหัวข้อนี้ เราจะทบทวนเทคนิคการแยกตัวประกอบที่เรียกว่า สามพจน์สองวงเล็บ

ผู้สอนควรทบทวนการแยกตัวประกอบแบบ สามพจน์สองวงเล็บ ในกรณีที่สัมประสิทธ์ของ x 2 ไม่ใช่ 1
ด้วย ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบต่อไปนี้
1. 2 x 2  3x  1
2. 6 x 2  7 x  3
3. 6  7 x  3x 2

วิธีทา
1. 2 x2  3x  1   2 x  1 x  1
2. 6 x2  7 x  3   2 x  3 3x  1
3. 6  7 x  3x2   2  3x 3  x  #

เรื่องการแยกตัวประกอบ (สามพจน์สองวงเล็บ)

1. x 2  3x  2 2. x 2  9 x  18
3. x 2  10 x  24 4. x2  x  6
11


5. x 2  3x  4 6. x 2  12 x  85
7. 2  x  x2 8. 14  5x  x 2
9. x 2  3x  4 10. a 2  4ab  3b 2
11. a 2b 2  4ab  5 12. 2 x2  x  6
13. 4 x2  5x  9 14. 3 x 2  10 x  3
15. 8x2  2 x  3 16. 4 x 2  18 x  8
17. 6x2  7 x  2 18. 9 x 2  3x  2
19. 8  6x  2x2 20. 2  5 x  3x 2

12


3. การแยกตัวประกอบโดยวิธกาลังสองสมบูรณ์
ี

13


3. การแยกตัวประกอบ โดยวิธีกาลังสองสมบูรณ์

ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ทบทวนเทคนิคการแยกตัวประกอบโดยวิธี กาลังสองสมบูรณ์

ผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้ เพื่อให้ผู้เรียนเห็นถึงการประยุกต์ใช้สูตรกาลังสองสมบูรณ์

1 1
ตัวอย่าง กาหนดให้ x 2 แล้ว x2  มีค่าเท่ากับเท่าไร
x x2
1
วิธีทา เนื่องจาก x 2
x
2

ดังนั้น  x  1   22
 
 x
1
x2  2  2  4
x
1
x2  2  2 #
x

ตัวอย่าง จงเติมพจน์ใน เพื่อทาให้พหุนามที่กาหนดสามารถจัดรูปกาลังสองสมบูรณ์ได้
1. x2  3x 
2. 4 x2  2 x 
3. x2  16
4. 9 x2  16 x 
1
5. x 
4
เฉลย
64
1. 9 2. 1
3. 8x 4. 5. x 2
4 4 9
14


วิธีทา 1. จาก  น+ ล = น2 + 2นล+ ล2  x 2  3x 
2

จะเห็นได้ว่า น = x และ
2นล = 3x
2 xล = 3x
ล= 3
2
9
ดังนั้น ล 2
 #
4

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 42 3

เนื่องจาก  
2
วิธีทา 3 1  4  2 3

ดังนั้น 4  2 3  3 1 #

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 9  2 18

เนื่องจาก  
2
วิธีทา 6 3  9  2 18

ดังนั้น 9  2 18  6  3 #

เรื่องการแยกตัวประกอบ (กาลังสองสมบูรณ์)
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1. x 2  4 x  4
2. x 2  10 x  25
3. x2  6 x  9
4. 2 x 2  8 x  8
5. 4 x 2  8 x  4
6. 1 x 2  x  1
4
7-10 จงเติมพจน์ใน เพื่อทาให้พหุนามต่อไปนี้ สามารถจัดให้อยู่ในรูปกาลังสองสมบูรณ์ได้
7. x 2  49
8. 4 x 2  5
9.  80 y  16
1 2 1
10. x  
4 9

15


4. การแยกตัวประกอบโดยวิธผลต่างกาลังสอง
ี

16


4. การแยกตัวประกอบ โดยวิธีผลต่างกาลังสอง
ในข้อนี้ผู้เรียนจะได้นาสูตรของผลต่างกาลังสอง มาช่วยในการแยกตัวประกอบ

การพิสูจน์สูตร a 2  b2   a  b  a  b 

พิสูจน์  a  b  a  b   a2  ab  ba  b2
 a 2  b2

1. x 4  1
2. x 4  x 2

วิธีทา
1. x 4  1   x 2  1 x 2  1
  x  1 x  1  x 2  1
2. x 4  x 2  x 2  x 2  1
 x 2  x  1 x  1 #
1. x2  y 2  x  y
2. 500 a 2b  20b3

17


วิธีทา
1. x2  y 2  x  y   x2  y 2    x  y 
  x  y  x  y    x  y 
  x  y  x  y  1

2. 
500 a 2b  20b3  20b 25a  b
2 2

 20b  5a  b  5a  b  #

เรื่องการแยกตัวประกอบ (ผลต่างกาลังสอง)

1. x 2  9 2. x 2  25
3. x 2  3 4. 4b 2  1
5. x2 y 2  9 6. x3  x
7. x 4  81 8. a 5b 4  9 a
9.  x 2  y 2    x  y  10. 49 z 2  81

18



19



ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ศึกษาการนาสูตร กาลังสามสมบูรณ์ มาช่วยในการแยกตัวประกอบ

1 1
ตัวอย่าง กาหนดให้ x  1 แล้ว x 3  3 มีค่าเท่ากับเท่าไร
x x
วิธีทา เนื่องจาก
3
 1
 x   1
3

 x
2
1 1 1
 3   x  3   x 2  x3  1
x x
3
x
1 3
3
  3x  x3  1
x x
1 1 
 3   x   x3  1
x 
3
x
1
3
 3  x3  1
x
1
ดังนั้น x 3  3  2 #
x
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ
1. 8x3  12 x2 y  6 xy 2  y3
2. x3  6 x2 y  12 xy 2  8 y3

วิธีทา
1. 8 x3  12 x 2 y  6 xy 2  y 3   2 x   3  2 x  y  3  2 x  y 2  y 3
3 2

  2x  y 
3

20


2. x3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3  x3  3  x 2   2 y   3x  2 y    2 y 
2 3

  x  2y
3
#

เรื่องการแยกตัวประกอบ (กาลังสามสมบูรณ์)

1-7 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1. x3  3x 2  3x  1
2. 8 x3  12 x 2  6 x  1
3. 8 x3  6 x 2  3 x  1
2 8
4. 2x  6x  6x  2
3 2

5. 1  9 x  27 x 2  27 x 3
4 8 3
6. x3  2 x 2 y  xy 2  y
3 27
7. 27 x3  135 x 2 y  225 y 2  125 y 3

8. กาหนดให้ x  1  1 แล้ว x 3  13 มีค่าเท่ากับเท่าไร
x x

จงหาค่าของ 8 x  12 x  6 x  1
3 2
9.
2x 1
10. จงหาค่าของ  x  1  3  x  12  3  x  1  1
3

21


6. การแยกตัวประกอบ
โดยวิธีผลบวกกาลังสาม และผลต่างกาลังสาม

22


6. การแยกตัวประกอบโดยวิธีผลบวกกาลังสาม และผลต่างกาลังสาม

ในข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ทบทวนการแยกตัวประกอบ โดยใช้สูตรผลบวกกาลังสาม และผลต่างกาลังสาม

1. a3  b3  a  b
2. 128  x  y 3  2

วิธีทา
1. a 3  b3  a  b   a 3  b3    a  b 
  a  b   a 2  ab  b 2    a  b 
  a  b   a 2  ab  b 2  1

2. 3

128  x  y   2  2 64  x  y   1
3


 2  4  x  y   1 16  x  y   4  x  y   1
2
 #

ตัวอย่าง จงหาค่าของ  x  1 3  1  x  1 3   x  1 3  1
1 2 1

     

วิธีทา เนื่องจาก น3 + ล3 =  น+ ล  น2  นล+ ล2 
3

 x  1 3  1  x  1 3   x  1 3  1    x  1 3   13
 
1 2 1 1
จะได้ว่า   
    
  x  1  1
 x #
23


เรื่องการแยกตัวประกอบ (ผลต่างกาลังสามและผลบวกกาลังสาม)

1. a 3  1 2. a3  1
3. b3  27 4. b3  8
5. a 3b3  27 6. x3  64 y 3
7. 8  1000x 6 8. 8 x 3  1000
9. y 6  729 10. 8 x3  27 y 3 #

24


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

25


สรุปสารสาคัญประจาตอน

เมื่อผู้เรียนได้ทบทวนวิธีการแยกตัวประกอบทั้ง 6 วิธีแล้ว ผู้สอนอาจให้ผู้เรียนทดลองทาแบบฝึกหัดระคน
ดังตัวอย่างต่อไปนี้

26


ตัวอย่าง จงทาให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
m2  m  12 m 2  m  6
1.  2
m3  64 m  4m  16
a  2a  24 a 2  a  12
2
2.  2
a 2  16 a  6a  9

วิธีทา
m2  m  12 m2  m  6 m2  m  12 m 2  4m  16
1.  2   2
m3  64 m  4m  16 m3  64 m m6

 m  4  m  3  m2  4m  16
 m  4   m2  4m  16   m  3 m  2 
1

m2

a 2  2a  24 a 2  a  12  a  6  a  4   a  4  a  3
2.  2  
a 2  16 a  6a  9  a  4  a  4   a  3
2

a6
 #
a3

1. a 4  a 2b2  b 4
2. 6  x 1  x 

วิธีทา
1. a 4  a 2 b 2  b 4   a 4  2a 2 b 2  b 4   a 2b 2

  a 2  b 2    ab 
2 2

  a 2  ab  b 2  a 2  ab  b 2 

2. 6  x 1  x   6  x  x2
  3  x  2  x 
#

27


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

28


แบบฝึกหัดระคน

1-10 จงแยกตัวประกอบของพหุนามดังต่อไปนี้
1. x 2  5 x  4
2. a 3  3a 2  4a  12
3. x3  y3  xy 2  x2 y
4. 4  x  y 3   x  y 
5.  a  b 3  27
6. x 4  2 x3  8 x  16
7. 3x 2  9 x  12
8. 16  2 x  y 2  4  x  y 2
9. 4 x 2  28 x  40
10. a 2  4b 2  4a  8b  4ab
11.  x  y 2  x  y  2 แยกตัวประกอบได้ตรงกับข้อใด
1.  x  y  2 x  y 1
2.  x  y  2 x  y  1
3.  x  y  2 x  y 1
4.  x  y  2 x  y 1
12. ข้อใดใช้สมบัติการกระจาย
1. x  2  2  x
2.  x  5  2  x  7
3. 2x  4 y  2  x  2 y 
4. x   x  3  2x  3
13. ข้อใดไม่ถูกต้อง
1  a2
1.  1  a เมื่อ a  1
1 a
2. 3x2  9 x  3x   x  3
3. มี a และ b ที่ทาให้ a 2  b 2   a  b 2
4. a 2  b 2   a  b 2 ทุก a, b 
14. ข้อใดไม่ใช่พหุนาม
1. x 2  x  x 1
2.  x  3 x  2

29


3. 5
4. 3  x  1
15. 2x 1 เป็นตัวประกอบของพหุนามใด
1. 6 x 2  x  1
2. 6 x 2  5 x  4
3. 2 x 2  3x  1
4. x 2  x  6
1 1
16. กาหนดให้ x 4 แล้ว x2  มีค่าเท่ากับเท่าไร
x x2
1. 4 2. 16 3. 18 4. ข้อมูลไม่พอ
17. ตัวประกอบของ x 4  2 x3  8 x  16 คือข้อใด
1.  x  2   x3  8 
2.  x  22  x3  2 x  4
3.  x  22  x3  2 x  4
4.  x  2  x  2   x3  2 x  4 
18.  a  b 3  3a2  a  b   a3  3a  a  b 2  มีค่าเท่ากับเท่าใด
   
1. 1 2. a 3 3. b3 4. a 3  b3
19. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. 3  a  12  3  a  2 2  9  2a  1
2. 4x2 1   2x 1 2 x  1
3. a3  a 2  a  1   a  12  a  1
4. x2  2   x  2   x  1
1 1
20. กาหนดให้ xa แล้ว 3
 x3 มีค่าเท่ากับข้อใด
x x
1. a3 2. a 3  3a 3.   a 3  3a  4. a 3  3a

30


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

31


เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม
่
เรื่องการแยกตัวประกอบ (การดึงตัวร่วม)

1. x  x  2  2. x  3x  2
3. 2 x2  2 x 1 4. y  y  8
5. 3x  x 2  2 x  3 6. 2 xy  4x  y 
7. 7 xy  2 x 2  y 2  8. 3xyz  z  2x 
9. xyz 5 y  x  y  10. 5 x 2 y 2 z 2 1  2 xz  3x 2 y 

่
เรื่องการแยกตัวประกอบ (สี่ พจน์ สอง วงเล็บ)

1.  a  b  c  d  2.  x 2  2   a  b  3.  5  c  a  b 
4.  a  2b  a  c  5.  x  5 x  a  6.  x  y  x  2
7.  x3  2   x  1 8.  x3  2   4 x  1 9.  x 2  1  x  1
10.  a  c  a  b

่
เรื่องการแยกตัวประกอบ (สาม พจน์ สอง วงเล็บ)

1.  x  1 x  2 2.  x  3 x  6 3.  x  4 x  6
4.  x  3 x  2 5.  x  1 x  4 6.  x 17  x  5
7.  2  x 1  x  8.  2  x  7  x  9.  x  4 x  1
10.  a  b  a  3b  11.  ab 1 ab  5 12.  x  2 2x  3
13.  x 1 4 x  9 14.  x  33x 1 15.  2 x  1 4 x  3
16. 2  2 x  1 x  4 17.  2 x  1 3x  2 18. 3x  23x  1
19. 2  4  x 1  x  20.  2  x 1  3x 

32


่
เรื่องการแยกตัวประกอบ (กาลังสองสมบูรณ์)

1.  x  2 2 2.  x  52 3.  x  32
2
1 
4. 2  x  2  2
5. 4  x  1 2
6.  x  1
2 
7. 14x 8. 4 5x 9. 100 y 2
x
10. 
3

่
เรื่องการแยกตัวประกอบ (ผลต่างกาลังสอง)
1.  x  3 x  3 2.  x  5 x  5
3.  x  3  x  3  4.  2b 1 2b  1
5.  xy  3 xy  3 6. x  x 1 x  1
7.  x  3 x  3  x 2  9  8. a  a 2b 2  3 a 2b 2  3
9.  x  y  1 x  y  10.  7 z  9 7 z  9

่
เรื่องการแยกตัวประกอบ (กาลังสามสมบูรณ์)

1.  x  13 2.  2 x  13
3
 1
3.  2x   4. 2  x  13
 2
3
 2 
5. 1  3x 3 6. x y
 3 
7.  3x  5 y 3 8. 4
9. 4 x 2  4 x  1 10. x3

33


่
เรื่องการแยกตัวประกอบ (ผลต่างกาลังสามและผลบวกกาลังสาม)

1.  a  1  a 2  a  1 2.  a  1  a 2  a  1
3.  b  3  b 2  3b  9  4.  b  2   b 2  2b  4 
5.  ab  3  a 2b 2  3ab  9  6.  x  4 y   x 2  4 xy  16 y 2 
7. 8 1  5 x 2 1  5 x 2  25 x 4  8. 8  x  5   x 2  5 x  25 
9. y 2
 9  y 4  9 y 2  81 10.  2 x  3 y   4 x 2  6 xy  9 y 2 

เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1.  x  1 x  4
2.  a  2 a  2 a  3
3.  x  y   x2  y 2 
4.  x  y  2x  2 y 1 2x  2 y  1
5.  a  b  3   a  b   3  a  b   9 
2

6.  x  2  x2  2 x  4
2

7.  x  43x  3
8. 4  5x  y  3x  3 y 
9. 4  x  2  x  5
10.  a  2b  4 a  2b 
11. 2 12. 3 13. 4 14. 1 15. 3
16. 3 17. 2 18. 3 19. 4 20. 2

34


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

35


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

36


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

37


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

38

15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ

Similar to 15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ (20)

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ