1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ตรีโกณมิติ
(เนื้อหาตอนที่ 5)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
โดย
รองศาสตราจารย์ จิตรจวบ เปาอินทร์
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
6. เนื้อหาตอนที่ 5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
12. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรีโกณมิติ
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว
ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของ
คู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตรีโกณมิติ (ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 5 (5 / 8)
หัวข้อย่อย 1. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
2. สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจและสามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมได้
2. เข้าใจและสามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสองเท่าได้
3. เข้าใจและสามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสามเท่าได้
4. เข้าใจและสามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมครึ่งเท่าได้
5. เข้าใจและสามารถประยุกต์สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อใช้ใน
การแก้ปัญหาได้
ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายและประยุกต์สูตรการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม เพื่อใช้
ในการแก้ปัญหาได้
2. อธิบายและประยุกต์สูตรการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสองเท่า สามเท่า และครึ่งเท่า
เพื่อใช้ในการแก้ปัญหาได้
3. อธิบายและประยุกต์สูตรการหาผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อใช้ใน
การแก้ปัญหาได้
4. อธิบายและหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 15 และ 75 ได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาทั้งหมด
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก
และผลต่างของมุม
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม
นักเรียนได้ทราบค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมบางมุม (30, 45 และ 60) มาแล้วจากเนื้อหาตอนที่ 2
ซึ่งสรุปวิธีจาค่าต่าง ๆ เป็นตารางได้ 2 วิธีดังนี้
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในสื่อการสอนตอนที่ 5 นี้ นักเรียนจะได้รู้จักและรู้ที่มาของสูตรต่าง ๆ พร้อมทั้งนาสูตรที่ได้ไป
ประยุกต์ใช้ต่อ โดยเฉพาะได้นาสูตรไปใช้หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมอื่นนอกจากมุม 30, 45
และ 60 ดังนี้
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปได้ว่าเราควรจะหาสูตรต่อไปนี้
เริ่มจากการหาสูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมกันก่อน
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การกาหนดมุม ,  ในรูปแบบนี้ เพื่อให้นักเรียนได้เห็นภาพอย่างชัดเจน ซึ่งความจริงแล้วมุม 
ไม่จาเป็นต้องอยู่ในจตุภาคที่ 2 และมุม  ไม่จาเป็นต้องอยู่ในจตุภาคที่ 1
หรือแม้ < ก็ได้เช่นกัน เพราะ cos ( – ) = cos (–( – )) = cos ( –)
ต่อไปเราจะหาสูตรอื่น ๆ กัน
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เราได้สูตรสาคัญ ๆ เกี่ยวกับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ฟังก์ชันไซน์ โคไซน์และแทนเจนต์) ของผลบวกและผลต่าง
ของมุมรวม 8 สูตร ดังนี้
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เพื่อให้นักเรียนได้จาสูตรต่าง ๆ ได้เร็วขึ้น จะมีเพลงช่วยดังนี้
ต่อไปเป็นตัวอย่างของการใช้สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ตัวอย่าง จงหาค่า sin (105) และ cos (105)
วิธีทา เนื่องจาก 105 = 60 + 45
ใช้สูตร sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin 
sin 105 = sin 60 cos 45 – cos 60 sin 45
3 2 1 2 6 2
=    =
2 2 2 2 4
ใช้สูตร cos ( + ) = cos  cos  – sin  cos 
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
cos 105 = cos 60 cos 45 – sin 60 sin 45
1 2 3 2 2 6
=    =
2 2 2 2 4
6 2
หมายเหตุ sin (105) = sin (180 – 75) = sin 75 =
4
 6 2 2 6
cos (105) = cos (180 – 75) = – cos 75 = –   =
 4  4
 
3 3
ตัวอย่าง กาหนดให้ sin  =  เมื่อ <  <
5 2
1 3
และ cos  = เมื่อ <  < 2
5 2
จงหาค่า sin ( + ) และ cos ( – )
sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin 
วิธีทา ใช้สูตร cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin 
9 4
หา cos  จาก cos  =  1  sin 2  =  1  = 
25 5
1 2
หา sin  จาก sin  =  1  cos 2  =  1  = 
5 5
 3  1  4  2  3 8 1
เมื่อแทนค่าต่าง ๆ จะได้ว่า sin ( + ) =            
 5  5  5  5 5 5 5 5 5
 4  1  3  2  4 6 2
และ cos ( – ) =             
 5  5  5  5 5 5 5 5 5 5
สูตรตรีโกณมิติที่นักเรียนได้เรียนในตรีโกณมิติตอนที่ 4 ซึ่งกล่าวถึงความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ของมุมในจตุภาคต่าง ๆ ดังนี้
sin  = sin ( – ) cos  = – cos ( – ) เมื่อ  อยู่ในจตุภาคที่ 2
sin  = – sin ( – ) cos  = – cos ( – ) เมื่อ  อยู่ในจตุภาคที่ 3
sin  = – sin (2 – ) cos  = cos (2 – ) เมื่อ  อยู่ในจตุภาคที่ 4
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
และ
sin ( – ) = sin  cos ( – ) = – cos 
sin ( + ) = – sin  cos ( + ) = – cos  เมื่อ  อยู่ในจตุภาคที่ 1
sin (2 – ) = – sin  cos (2 – ) = cos 
จะสอดคล้องกับสูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม ซึ่งแสดงได้ดังนี้
สาหรับค่าจริงหรือมุม  ใด ๆ
sin ( – ) = sin  cos  – cos  sin  = 0 – (–1) sin  = sin 
sin ( – ) = sin  cos  – cos  sin  = sin (–1) – 0 = – sin 
sin (2 – ) = sin 2 cos  – cos 2 sin  = 0 – sin  = – sin 
และ
cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin  = (–1) cos  + 0 = – cos 
cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin  = cos (–1) + 0 = – cos 
cos (2 – ) = cos 2 cos  + sin 2 sin  = cos  + 0 = cos 
สาหรับค่าจริงหรือมุม  ใด ๆ
sin ( – ) = sin  cos ( – ) = – cos 
sin (2 – ) = – sin  cos (2 – ) = cos 
และ
sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  = 0 + (– 1) sin  = – sin 
cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin  = (– 1) cos  – 0 = – cos 
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าสูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม ก็เพียงพอที่จะสรุปสูตร
ตรีโกณมิติในตรีโกณมิติตอนที่ 4 และขยายค่า  และ  เป็นค่าจริงใด ๆ หรือมุมใด ๆ
ต่อไปเราจะหาความสัมพันธ์ระหว่าง tan กับ cot ในแบบเดียวกับความสัมพันธ์ระหว่าง sin
กับ cos
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างเพิ่มเติม
5 
ตัวอย่าง จงหาค่า cot และ sec
12 12
5   5    
วิธีทา จาก cot = tan    = tan = tan   
12  2 12  12 3 4
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
tan   tan 
tan ( – ) =
สูตร 1  tan  tan 
 
tan  tan

ได้ tan = 3

4

12 1  tan tan
3 4
5 3 1 3 1 3 1
ดังนั้น cot =   = 2– 3
12 1  3(1) 3 1 3 1
 
วิธีที่ 1 sec = 1  tan 2  1  (2  3) 2  8  4 3  1.035
12 12
 1 1
วิธีที่ 2 sec =

=
12  
cos cos   
12 3 4
1 1 4
= = =
    1 2 3 2 2 6
cos cos  sin sin   
3 4 3 4 2 2 2 2
= 6  2  1.035
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
cot  cot   1
1. จงแสดงว่า cot ( + ) =
cot   cot 
cot  cot   1
cot ( – ) =
cot   cot 
2. จงหาค่าของ tan 15 , cosec 15 , sec 15 และ cot 15
3. จงหาค่าของ tan 75 , cosec 75 , sec 75 และ cot 75
3
4. กาหนดให้ sin 37 = จงหาค่าของ sin 8 , cos 8 และ tan 8
5
4
5. กาหนดให้ cos 37 = จงหาค่าของ sin 83 , cos 83 และ tan 83
5
3
6. กาหนดให้ tan 37 = จงหาค่าของ sin 67 , cos 67 และ tan 67
4
3
7. กาหนดให้ sin 37 = จงหาค่าของ sin 16 , cos 16 และ tan 16
5
8. กาหนดให้ sin  =
5
และ cot  = 24 เมื่อ  <  <  และ  <  < 3
13 7 2 2
จงหาค่าของ sin ( + ) , cos ( + ) และ tan ( + )
9. จงแสดงว่า
sin (A + B + C) = sin A cos B cos C – sin A sin B sin C
+ cos A sin B cos C + cos A cos B sin C
cos (A + B + C) = cos A cos B cos C – cos A sin B sin C
– sin A sin B cos C – sin A cos B sin C
tan A  tan b  tan C  tan A tan B tan C
tan (A + B + C) =
1  tan A tan B  tan B tan C  tan C tan A
จากตัวอย่างและแบบฝึกหัดของเรื่องค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมทาให้
นักเรียนได้ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมอื่นที่นอกจากมุม 30 45 และ 60
และเขียนเป็นตารางแสดงค่าต่าง ๆ ซึ่งนักเรียนอาจจาไปใช้ได้เลย ดังนี้
 0 15 30 45 60 75 90
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
sin  0 6 2 1 2 3 6 2 1
4 2 2 2 4
cos  1 6 2 3 2 1 6 2 0
4 2 2 2 4
tan  0 2 3
1 1 3 2 3 –
3
cosec  6 2 2 2
6 2 1
– 2
3
sec  1 6 2
2 2 6 2
2 –
3
cot  – 2 3 3 1 1
2 3 0
3
จากตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ หาค่า sin 37 ได้เท่ากับ 0.6018
ถ้าเราประมาณ sin 37 ด้วยค่า 0.6 หรือ 3 จะทาให้เราประมาณค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของมุม 37
5
ได้จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เราคุ้นเคย ดังนี้
5 3
37
4
และจากแบบฝึกหัดของเรื่องค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม ทาให้ได้ค่าประมาณของ
ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 8 , 16 , 67 , 83 และ 82, 74 , 23 , 7 ได้ดังนี้
 7 8 16 23 37 53 67 74 82 83
sin  3 34 2 7 4 3 3 3 4 43 3 24 7 2 4 3 3
10 10 25 10 5 5 10 25 10 10
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
cos  4 3 3 7 2 24 43 3 4 3 4 3 3 7 2 3 34
10 10 25 10 5 5 10 25 10 10
นักเรียนไม่ต้องจาตารางนี้ เพราะเป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. สูตรผลคูณ ผลบวกและผลต่าง
ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
2. สูตรผลคูณ ผลบวกและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
จากสูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม จะนาไปใช้ในการหาสูตรผลคูณของ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติกันก่อน โดยเราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปเป็นสูตรผลคูณของฟังก์ชันไซน์กับไซน์ โคไซน์กับโคไซน์ และไซน์กับโคไซน์ ดังนี้
ต่อไปเราจะหาสูตรผลบวกและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดังนี้
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างการใช้สูตรผลคูณและผลบวกของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ตัวอย่าง จงหาค่าของ cos 75 cos 15
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1
วิธีทา ใช้สูตร cos  cos  = (cos ( + ) + cos ( – ))
2
1
cos 75 cos 15 = (cos 90 + cos 60)
2
1  1 1
= 0   
2  2 4
ตัวอย่าง จงหาค่าของ sin 20 sin 40 sin 80
1
วิธีทา sin 20 sin 40 sin 80 = (cos 20 – cos 60) sin 80
2
1 1 
=  cos 20 sin 80  sin 80 
2 2 
=
11
 1
 sin100  sin 60  sin 80 
22 2 


1 3
=  sin100  sin 80  
4 2 
1 3
=  2cos90  sin10  
4 2 

1 3 3
= 0  
4 2 
 8
ตัวอย่าง จงหาค่าของ cos 70 + cos 50 – cos 10
วิธีทา cos 70 + cos 50 – cos 10 = (cos 70 + cos 50) – cos 10
= 2 cos 60 cos 10 – cos 10
= 2  1 cos 10 – cos 10
2
= 0
ต่อไปเราจะหาสูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสองเท่าและมุมครึ่งเท่า
เริ่มจากการหาสูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสองเท่า โดยใช้สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกของมุม
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
และจะใช้สูตรฟังก์ชันโคไซน์ของมุมสองเท่า ในการหาสูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมครึ่งเท่าต่อไป
ต่อไปเป็นเพลงเพื่อช่วยให้นักเรียนจาสูตรได้ง่ายขึ้น
ตัวอย่างการใช้สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสองเท่าและมุมครึ่งเท่า
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ถึงแม้ว่านักเรียนจะทราบค่า sin 45 และ cos 45 กันแล้ว แต่ลองใช้สูตรมุมครึ่งเท่ากันอีกวิธี
1  cos90 1 0 1 2
sin 45 =   
2 2 2 2
1  cos90 1 0 1 2
cos 45 =   
2 2 2 2
ต่อไปเราจะหาสูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสามเท่า
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
และเพื่อให้นักเรียนจาสูตรได้ง่ายขึ้น จะมีเพลงให้ร้องช่วยความจา
ตัวอย่างการใช้สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสามเท่า
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ถึงแม้ว่านักเรียนจะทราบค่า sin 30 และ cos 30 กันแล้ว แต่ลองใช้สูตรมุมสามเท่ากันอีกวิธี
sin 90 = sin 3(30) = 3 sin 30 – 4 sin3 30
0 = 3 sin 30 – 4 sin3 30
0 = sin 30 (3 – 4 sin2 30)
3
ได้ sin2 30 = (เพราะว่า sin 30  0)
4
3
ดังนั้น sin 30 =
2
และ cos 90 = cos 3(30) = 4 cos3 30 – 3 cos 30
–1 = 4 cos3 30 – 3 cos 30
0 = 4 cos3 30 – 3 cos 30 + 1
ให้ f(x) = 4x3 – 3x + 1
จะเห็นว่า f(–1) = 0 นั่นคือ x + 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
แล้ว f(x) = (x + 1)(4x2 – 4x + 1) = (x + 1)(2x – 1)2
สรุปได้ว่า 0 = (cos 30 + 1) (2 cos 30 – 1)2
1
ได้ cos 30 = (เพราะว่า cos 30  –1)
2
ตัวอย่างต่อไปจะเป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นการใช้สูตรต่าง ๆ ที่เคยเรียนมาทั้งหมด
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงหาค่าของ cos 20 cos 40 cos 60 cos 80
1
วิธีทา cos 20 cos 40 cos 60 cos 80 = (cos 20 cos 40) cos 80
2
1
= (cos 60 + cos 20) cos 80
4
1 1 
=  cos 80  cos 20 cos 80 
4  2 
=
1 1 1
 
 cos 80  cos 100  cos 60 
4 2 2 

1  1
=  cos 80  cos 100  
8  2
1   1
=  2  cos 90 cos 10   2 
8   
1 1
= 0  
8 2
1
=
16
ตัวอย่าง กาหนดให้ sin 2 =
24
จงหาค่าของ sin4  + cos4 
25
วิธีทา sin4  + cos4  = sin4  + cos4  + 2 sin2  cos2  – 2 sin2  cos2 
(2sin  cos ) 2
= (sin  + cos ) –
2 2 2
2
2
2 1  24  337
= 1 –   
2  25  625
ตัวอย่าง กาหนดให้ tan A =
1
และ sin B =
1
เมื่อ A, B เป็นมุมแหลม
7 10
จงหาค่าของ tan (A + 2B)
tan A  tan 2B
วิธีทา tan (A + 2B) =
1  tan A tan 2B
10
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2 1
2 tan B 3
และ tan 2B =  3 
1  tan B
2
1
2
4
1   B
3 3
1 3

ดังนั้น tan (A + 2B) = 7 4 = 1
 1  3 
1   
 7  4 
4 3
ตัวอย่าง กาหนดให้ cos A = และ cos B = เมื่อ A, B เป็นมุมแหลม
5 5
AB
จงหาค่าของ sin  
 2 
AB 1  cos(A  B)
วิธีทา sin   = 
 2  2
1  cos A cos B  sin A sin B
= 
2
5
3 5 4
A B 3
4
4
แทนค่า cos A , cos B , sin A และ sin B
 4  3   3  4 
1        
AB  5  5   5  5    1
sin   = 
 2  2 2
เนื่องจาก A, B เป็นมุมแหลม ดังนั้น A+B อยู่ในจตุภาคที่ 1 หรือ 2
AB AB
ฉะนั้น อยู่ในจตุภาคที่ 1 นั่นคือ sin   >0
2  2 
AB 1 2
จะได้ sin   = 
 2  2 2
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของสมการ cos  – sin  = cos 2 เมื่อ 0<<
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
วิธีทา (cos  – sin ) – cos 2 = 0
(cos  – sin ) – (cos2 – sin2 ) = 0
(cos  – sin ) (1 – cos  – sin ) = 0
กรณี cos  – sin  = 0 cos  = sin 
tan  = 1

เนื่องจาก 0<< ดังนั้น  =
4
กรณี 1 – cos  – sin  = 0 1 = cos  + sin 
1 = cos2 + 2 sin  cos  + sin2
0 = 2 sin  cos 

0 = sin 2 ดังนั้น =
2
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง
สูตรผลคูณ ผลบวกและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. จงหาค่าของ
1.1 cos 75 sin 15 1.2 sin 75 sin 15
1.3 cos 15 cos 75 cos 105 cos 195 1.4 sin 40 sin 80 sin 160
1.5 sin 75 – sin 15 1.6 cos 75 + cos 15
5 
1.7 sin sin 1.8 cos 9
2 12 8
1.9 sin 22.5 1.10 tan 22.5
1.11 sin 165 + sin 45 – sin 75 1.12 cos 20 + cos 100 + cos 220
1.13 sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 1.14 cos 40 + cos 80 + cos 160
2. จงแสดงว่า
2.1 cos (x + y) cos (x – y) = cos2x – sin2 y = cos2 y – sin2 x
  1  tan A
2.2 tan   A  
4  1  tan A
  1  tan A
2.3 tan   A  
4  1  tan A
sin(A  B) sin(B  C) sin(C  A)
2.4    0
sin A sin B sin Bsin C sin C sin A
  cot A  1
2.5 cot   A  
4  cot A  1
  cot A  1
2.6 cot   A  
4  cot A  1
AB
tan
sin A  sin B
2.7  2
AB
sin A  sin B tan
2
2.8 cot A – cosec 2A = cot 2A
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.9 cos 4A = 8 cos4 A – 8 cos2 A + 1
2.10 cot A – tan A = 2 cot 2A
4 
3. กาหนดให้ cos 2 = และ 0<< จงหาค่าของ 2 sin  cos 5
5 2
2  3
4. กาหนดให้ cos  = จงหาค่าของ 2 cos cos
3 2 2
7  
5. กาหนดให้ sin  = จงหาค่าของ cos2   
25  4 2
3   
6. กาหนดให้ sin  = และ 0<< จงหาค่าของ sin   
5 2  4 2
3
7. กาหนดให้ tan  = จงหาค่าของ sin 2, cos 2, tan 2
4
3    
8. กาหนดให้ cos  = และ 0<< จงหาค่าของ sin , cos , tan
5 2 2 2 2
1
9. กาหนดให้ cos  = จงหาค่าของ cos 2
2
2
10. กาหนดให้ sin  = จงหาค่าของ cos 2
3
11. จงหาผลเฉลยของสมการต่อไปนี้ เมื่อ 0 <  < 2
11.1 4 sin2 – 1 = 0
11.2 2 sin2 + sin  – 1 = 0
11.3 2 cos2 – 3 cos  + 1 = 0
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เอกสารอ้างอิง
1. ดารงค์ ทิพย์โยธา, เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิกคณิตศาสตร์โลกตรีโกณมิติ,
โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2550.
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด / เนื้อหาเพิ่มเติม
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
3 12 
1. กาหนดให้ sin  = และ tan  = เมื่อ  > 0 ,  > 0 และ + จงหาค่าของ sin( + )
5 5 2
43 54 63 64
ก. ข. ค. ง.
65 65 65 65
3 24
2. กาหนดให้ cos  = และ cot  =  เมื่อ 0 <  < 90 และ 90 <   180
5 7
จงหาค่าของ cos ( + )
44 44 4 4
ก. ข.  ค. ง. 
125 125 5 5
1 3
3. ถ้า sin A = และ cos B = เมื่อ A, B เป็นมุมแหลม แล้ว A+B มีค่าเท่าไร
5 10
   
ก. ข. ค. ง.
4 5 2 6
5 4
4. ถ้า sin A = และ cos (A + B) = เมื่อ A + B เป็นมุมแหลม แล้ว tan B มีค่าเท่าไร
13 5
65 63 63 16
ก. ข. ค. ง.
63 65 16 63
5. จงหาค่าของ sin 70 sin 50 sin 10
1 1 1
ก. 0 ข. ค. ง.
16 8 4
1
6. กาหนดให้ tan  = จงหาค่าของ sin 4
3
4 24 3 2
ก. ข. ค. ง.
5 25 25 25
3  3 A 
7. กาหนดให้ sin A = จงหาค่าของ sin2   
5  2 2
9 4 1
ก. ข. ค. ง. 0
10 5 10
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. ถ้า  และ  เป็นผลเฉลยในช่วง (0, ) ของสมการ 3 tan2x + ( 3 – 1) tan x – 1 = 0
จงหาค่าของ +
11 13 7 
ก. ข. ค. ง.
12 12 12 2
1 
9. กาหนดให้ tan  = เมื่อ 0<< จงหาค่าของ cos 2
2 2
1 2 3 4
ก. ข. ค. ง.
5 5 5 5
10. ถ้า  และ  เป็นผลเฉลยของสมการ cos 2x = sin x แล้ว จงหาค่าของ | – | เมื่อ  <  < 2

และ << 
2
2   
ก. ข. ค. ง.
3 3 2 6
40

42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
41

43. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่องค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม
2. tan 15 = 2 – 3 cosec 15 = 6 2 sec 15 = 6 2 cot 15 = 2 + 3
3. tan 75 = 2 + 3 cosec 75 = 6 2 sec 75 = 6 2 cot 75 = 2 – 3
2 7 2 1
4. sin 8 = cos 8 = tan 8 =
10 10 7
4 3 3 3 34 4 3 3
5. sin 83 = cos 83 = tan 83 =
10 10 3 34
43 3 4 3 3 43 3
6. sin 67 = cos 67 = tan 67 =
10 10 4 3 3
7 24 7
7. sin 16 = cos 16 = tan 16 =
25 25 24
36 323 36
8. sin ( + ) =  cos ( + ) = tan ( + ) = 
325 325 323
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
2 3 1 1
1. 1.1 1.2 1.3
4 4 16
3 2 6
1.4 1.5 1.6
8 2 2
2 3  2 2 2 2
1.7 1.8 1.9
2 2 2
1.10 1  2 1.11 0 1.12 0
3
1.13 1.14 0
16
42

44. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3 5 9
3.  4. 5.
125 9 25
1 24 7 24 1 2 1
6. 7. , , 8. , ,
5 25 25 7 5 5 2
1 1
9.  10.
2 9
 5 7  11
11. 11.1 , , ,
6 6 6 6
 5 3
11.2 , ,
6 6 2
 5
11.3 ,
3 3
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. ค 2. ง 3. ก 4. ง 5. ค
6. ข 7. ก 8. ก 9. ค 10. ก
43

45. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
44

46. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
45

47. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
46

48. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
47