1. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
จานวนจริง
(เนื้อหาตอนที่ 3)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
โดย
ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง จานวนจริง
2. เนื้อหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง
- ระบบจานวนจริง
- สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ
- การแยกตัวประกอบ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม
- สมการพหุนามกาลังหนึ่ง
- สมการพหุนามกาลังสอง
- สมการพหุนามกาลังสูง
- การประยุกต์สมการพหุนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ
- เส้นจานวนและช่วง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังหนึ่ง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังสูง
7. เนื้อหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ
- อสมการในรูปเศษส่วน
- การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง
- การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร
- การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์
- ค่าสัมบูรณ์
- สมการค่าสัมบูรณ์
9. เนื้อหาตอนที่ 8 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
- อสมการค่าสัมบูรณ์
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
- โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
10. เนื้อหาตอนที่ 9 กราฟค่าสัมบูรณ์
- กราฟค่าสัมบูรณ์
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
12. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
13. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่เกินสี่)
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง จานวนจริง
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว
ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของ
คู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง จานวนจริง (ทฤษฎีบทตัวประกอบ)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 3 (3/9)
หัวข้อย่อย 1. ทฤษฎีบทเศษเหลือ
2. ทฤษฎีบทตัวประกอบ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. ได้ทบทวนการหารพหุนาม
2. สามารถหาเศษเหลือจากการหารพหุนาม โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
3. สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม โดยใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบ และทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. หาผลหารและเศษเหลือจากการหารพหุนามโดยวิธีตั้งหารได้
2. อธิบายทฤษฎีบทเศษเหลือ และนาไปใช้ในการหาเศษเหลือจากการหารพหุนามได้
3. อธิบายทฤษฎีบทตัวประกอบ และทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะได้
4. นาทฤษฎีบทตัวประกอบ และทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะไปใช้ในการแยกตัวประกอบของพหุนามได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ทฤษฎีบทเศษเหลือ
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ในสื่อตอนนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาวิธีการแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบ และทฤษฎีบทตัว
ประกอบตรรกยะ โดยในหัวข้อนี้เราจะเริ่มต้นศึกษาทฤษฎีบทเศษเหลือก่อน
ก่อนที่จะหาเศษเหลือจากการหารพหุนาม โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ เราจะทบทวนการหารพหุนาม
ก่อน ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์และเศษเหลือจากการหาร 3x 4  2 x3  5 x  1 ด้วย x2
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
วิธีทา เนื่องจาก
3 x3  4 x 2  8 x  21
x  2 3x 4  2 x3  5 x  1
3x 4  6 x3
 4 x3  5 x  1
 4 x3  8 x 2
8x2  5x  1
8 x 2  16 x
 21x  1
 21x  42
43
จะได้ว่า ผลลัพธ์จากการหาร 3x 4  2 x3  5 x  1 ด้วย x2 คือ 3x3  4 x 2  8 x  21 และ
เศษเหลือ คือ 43 #
1
ตัวอย่าง จงหาเศษเหลือจากการหาร x3  3x 2  5 x  1 ด้วย x
2
วิธีทา เนื่องจาก
7 13
x2 x
2 4
1 3
x  x  3x  5 x  1
2
2
1
x3  x 2
2
7 2
x  5x  1
2
7 2 7
x  x
2 4
13
 x 1
4
13 13
 x
4 8
5

8
1
จะได้ว่า เศษเหลือจากการหาร x3  3x 2  5 x  1 ด้วย x คือ  5 #
2 8
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1
ตัวอย่าง จงหาเศษเหลือจากการหาร 2 x3  3x 2  x  5 ด้วย x
2
1
วิธีทา โดยทฤษฎีบทเศษเหลือจะได้ว่า ถ้าเราหาร p  x   2x3  3x2  x  5 ด้วย x จะเหลือเศษเท่ากับ
2
3 2
 1  1  1  1 13
p     2     3        5   #
 2  2  2  2 2
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงหาค่า a  b ที่ทาให้ x 3  ax 2  2 x  b หารด้วย x 1 และ x  2 ลงตัว
วิธีทา ให้ p  x   x3  ax2  2x  b
เพราะว่า x 1 หาร p  x  ลงตัว จะได้ว่า
p 1  0
นั่นคือ 1 a  2  b  0
a  b  3 ............... 1
และเพราะว่า x  2 หาร p  x  ลงตัว จะได้ว่า
p  2   0
 8  4a  4  b  0
4a  b  12 ...............(2)
 2   1 3a 15
a5
ดังนั้น b  3  a  8
ดังนั้น a  b  5  8  3 #
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือ
1. จงหาเศษเหลือจากการหาร x 3  4 x 2  5 x  1 ด้วย x  1
2. จงหาเศษเหลือจากการหาร x 3  4 x 2  5 x  1 ด้วย x  2
1
3. จงหาเศษเหลือจากการหาร x 4  2 x 2  3x  1 ด้วย x
2
1
4. จงหาเศษเหลือจากการหาร x3  x 2  x  5 ด้วย x
3
5. จงหา c ที่ทาให้ x  1 หาร x 2  3x  2c เหลือเศษ 6
6. จงหา k ที่ทาให้ x  3 หาร x 4  3x 2  kx  6 ลงตัว
7. ถ้า x 1 และ x  2 เป็นตัวประกอบของ p  x   x4  x2  bx  a แล้วเศษจากการหาร p  x  ด้วย
x  a มีค่าเท่ากับเท่าไร
8. ถ้า x 1 หาร p  x   ax3  3x2  5x  1 ลงตัว แล้วเศษจากการหาร p  x  ด้วย x  1 มีค่าเท่ากับเท่าไร
9. ถ้า x  a หาร x 4  1 ลงตัวแล้ว แล้ว a มีค่าเท่ากับเท่าไร
10. ถ้า x 1 หาร p  x   x3  ax2  5x  3 ลงตัว แล้วเศษจากการหาร p  x  ด้วย x  a มีค่าเท่ากับเท่าไร
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ทฤษฎีบทตัวประกอบ
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ทฤษฎีบทตัวประกอบ
ในหัวข้อนี้ เราจะแยกตัวประกอบพหุนาม โดยใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า 3x5  x 4  5 x  1 หารด้วย x  1 ลงตัวหรือไม่
วิธีทา ให้ p  x   3x5  x4  5x  1
เนื่องจาก p  1  3  15   14  5  1  1  8
ซึ่งไม่เท่ากับ 0 โดยทฤษฎีบทตัวประกอบ จะได้ว่า x  1 หาร
3 x 5  x 4  5 x  1 ไม่ลงตัว #
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบ x3  6 x 2  11x  6
วิธีทา ให้ p  x   x3  6x2  11x  6
เลือก c จาก 1,  2,  3,  6 จะได้ว่า
p  1   1  6  1  11 1  6  0
3 2
ดังนั้น x   1  x  1 เป็นตัวประกอบของ x3  6 x 2  11x  6
เนื่องจาก
x2  5x  6
x  1 x 3  6 x 2  11x  6
x3  x 2
5 x 2  11x  6
5x2  5x
6x  6
6x  6
จึงได้ว่า x3  6 x 2  11x  6   x  1  x 2  5 x  6 
  x  1 x  2 x  3 #
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบ x 4  x3  7 x 2  x  6
วิธีทา ให้ p  x   x4  x3  7 x2  x  6
ทดลองเลือก c จาก 1,  2,  3,  6 จะได้ว่า
p 1  14  13  7 1  1  6  0
2
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ดังนั้น x 1 เป็นตัวประกอบของ x 4  x3  7 x 2  x  6
และจาก
x3  2 x 2  5 x  6
x  1 x 4  x3  7 x 2  x  6
x 4  x3
2 x3  7 x 2  x  6
2 x3  2 x 2
 5x2  x  6
5 x 2  5 x
6 x  6
6 x  6
ดังนั้น x 4  x3  7 x 2  x  6   x  1  x3  2 x 2  5 x  6  ...............(1)
ให้ h  x   x3  2x2  5x  6
ทดลองเลือก c จาก 1,  2,  3,  6 จะได้ว่า
h  1   1  2  1  5  1  6  0
3 2
ดังนั้น x  1 หาร x3  2 x 2  5 x  6 ลงตัว
เนื่องจาก
x2  x  6
x  1 x3  2 x 2  5 x  6
x3  x 2
x2  5x  6
x2  x
6 x  6
6 x  6
ดังนั้น x3  2 x 2  5 x  6   x  1  x 2  x  6 
  x  1 x  3 x  2 ...............(2)
จาก 1 และ  2 จะได้ว่า x4  x3  7 x2  x  6   x  1 x  1 x  3 x  2  #
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในบางครั้งการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่มากกว่าสาม อาจต้องใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบหลายครั้ง
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 2 x 4  5 x3  5 x 2  5 x  3
วิธีทา ให้ p  x   2x4  5x3  5x2  5x  3
โดยทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ เราจะทดลองเลือก c ที่จะทาให้ p  c   0
จาก 1,  1 ,  3,  3
2 2
เนื่องจาก p 1  2  5  5  5  3  0
ดังนั้น x 1 หาร p  x  ลงตัว
และจาก
2 x3  3x 2  8 x  3
x  1 2 x 4  5 x3  5 x 2  5 x  3
2 x 4  2 x3
 3x3  5 x 2  5 x  3
 3x3  3x 2
 8x2  5x  3
 8x2  8x
3 x  3
3 x  3
ดังนั้น 2 x 4  5 x 3  5 x 2  5 x  3   x  1  2 x 3  3 x 2  8 x  3 ...............(1)
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเราจะแยกตัวประกอบ h  x   2x3  3x2  8x  3 โดยทฤษฎีบท แยกตัว
ประกอบอีกครั้ง โดยจะทดลองเลือกค่า c ที่คาดว่าจะทาให้ h  c   0 จาก
1 3
1,  ,  3,  จากการทดลอง เราได้ว่า h  1  2  3  8  3  0
2 2
ดังนั้น x  1 เป็นตัวประกอบของ h  x 
เพราะว่า
2 x2  5x  3
x  1 2 x3  3x 2  8 x  3
2 x3  2 x 2
 5x2  8x  3
 5x2  5x
 3x  3
 3x  3
จะได้ว่า 2 x3  3 x 2  8 x  3   x  1  2 x 2  5 x  3
  x  1 2 x  1 x  3 ...............(2)
จาก 1 และ  2 จะได้ว่า 2x4  5x3  5x2  5x  3   x 1 x  1 2x  1 x  3 #
ตัวอย่าง จงแก้สมการ 2 x 4  5 x3  5 x 2  5 x  3  0
วิธีทา 2 x 4  5 x3  5 x 2  5 x  3  0
 x 1 x  1 2x  1 x  3  0
1
x  1,  1,  , 3 #
2
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่องทฤษฎีบทแยกตัวประกอบ
1-4 จงแยกตัวประกอบของ
1. a 3  3a 2  10a  24
2. x3  3x 2  4 x  12
3. a 3  2a 2  9a  18
4. x3  5 x 2  8 x  4
5-9 จงแยกตัวประกอบของ
5. x 4  3x3  x  3
6. x 4  2 x3  9 x 2  2 x  8
7. x5  4 x 4  5 x 2
8. x 4  3x3  3x 2  3x  2
9. x 4  x3  10 x 2  2 x  24
10-14 จงแยกตัวประกอบของ
10. 2 x3  3x 2  17 x  30
11. 6 x3  5 x 2  3x  2
12. 2 x3  5 x 2  4 x  3
13. 2 x 4  5 x3  5 x 2  5 x  3
14. 2 x 4  3x3  x 2  3x  1
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. ให้ p เป็นจานวนเฉพาะบวก และ m, n เป็นจานวนเต็ม ถ้า x  3 หาร x3  mx2  nx  p ลงตัว และ x 1
หาร x3  mx2  nx  p เหลือเศษ 4 แล้ว 2m  n มีค่าเท่าไร
1. 2 2. 4 3. 6 4. 8
2. ให้ a เป็นจานวนเต็ม ถ้า x  a หาร x3  2 x 2  4 x  1 เหลือเศษ 1 แล้วค่าของ a คือข้อใด
1. 0 2. 2 3. 2  2 5 4. 2
3. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. x  2 หาร ax 2  bx  c ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 2 หาร c ลงตัว
ข. ถ้า p  a   5 แล้ว x  a จะเป็นตัวประกอบของ p  x   5
1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด
3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
4. ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง ที่ทาให้ x 2  ax  b หาร x3  x 2  x  2 เหลือเศษ 3 แล้ว a  b มีค่าเท่ากับ
เท่าใด
1. 0 2. 1 3. 2 4. 3
5. ให้ f  x   x3  ax2  bx  10 เมื่อหาร f  x  ด้วย x  2 จะเหลือเศษเท่ากับหาร f  x  ด้วย x 1 จงหาค่า
3a  b
1. 0 2. 5 3. 7 4. 7
6. ให้ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ และ S   x  | 2 x 4  5 x 3  5 x 2  5 x  3  0 ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง
1. S   S 
2. S    x | x3  x 2  x  1  0
3. S   S 
4. S    S 
7. กาหนดให้ p  x   x6  ax4  x2  b ถ้า x 1 หาร p  x  เหลือเศษ 1 และ x  2 หาร p  x  เหลือเศษ 1
แล้ว x  2 จะหาร p  x  เหลือเศษเท่าไร
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
8. หาร p  x   ax3  bx2  3x  1 ด้วย x  1 เหลือเศษ 5 และเมื่อหารด้วย x 1 จะหารลงตัว จงหาเศษ เหลือ
จากการหาร p  x  ด้วย  x 1 x  1
x 5x 5
1. 0 2. 10 3. 4.  
2 2 2
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. ถ้า x 1 และ x  2 เป็นตัวประกอบของ p  x   x4  x3  x2  ax  b แล้วเศษจากการหาร p  x 
ด้วย x  ab มีค่าเท่ากับเท่าไร
1. 0 2. 10 3. 20 4. 30
10. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ถ้า x 2  1 หาร p  x  ลงตัว แล้ว x 1 จะหาร p  x  ลงตัวด้วย
ข. ถ้า x  a หาร p  x   bx3  cx2  dx  e ลงตัว แล้ว a ต้องหาร e ลงตัว
1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด
3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
การหารสังเคราะห์
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การหารสังเคราะห์
โดยปกติเมื่อเราต้องการหารพหุนาม เราจะทาวิธีการหารดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหาร x 4  3x3  2 x 2  x  5 ด้วย x2
วิธีทา เนื่องจาก
x 3  5 x 2  8 x  17
x  2 x 4  3x3  2 x 2  x  5
x 4  2 x3
5 x3  2 x 2  x  5
5 x 3  10 x 2
8x2  x  5
8 x 2  16 x
17 x  5
17 x  34
29
เราจึงสรุปได้ว่า ผลลัพธ์และเศษเหลือจากการหาร x 4  3x3  2 x 2  x  5 ด้วย x2 คือ
x3  5 x 2  8 x  17 และ 29 ตามลาดับ #
เราจะสังเกตได้ว่า วิธีการหารตามตัวอย่างข้างต้น ค่อนข้างจะใช้เวลา จึงมีผู้นิยมใช้วิธีการหารที่สั้นลง ที่
เรียกกันว่า “การหารสังเคราะห์” ดังกระบวนการต่อไปนี้
พิจารณา ขั้นตอนของการหารสังเคราะห์ จากตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์และเศษเหลือจากการหารพหุนาม x 4  3x3  2 x 2  x  5 ด้วย x2
วิธีทา แบ่งเป็นลาดับขั้น ดังนี้
ขั้นที่ 1 ให้ p  x   x4  3x3  2x2  x  5 จากนั้น เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ ของ p  x  โดยเขียน
เรียงลาดับดีกรีของ x จากมากไปหาน้อย ถ้าพจน์ใดไม่มีให้ถือว่าสัมประสิทธิ์พจน์นั้นเป็นศูนย์ ดังนั้น
จาก p  x   x4  3x3  2x2  x  5 จะได้
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ดีกรี สี่ สาม สอง หนึ่ง ศูนย์
สัมประสิทธิ์ 1 3 2 1 5
ขั้นที่ 2 การหารเริ่มต้นจาก เขียนจานวนแรกในแถวที่ 3 ซึ่งเท่ากับจานวนแรกในแถวที่ 1 (ซึ่งมาจากสัมประสิทธิ์
ของตัวตั้ง) โดยตัวหารคือ 2 (มาจากตัว x  2 ซึ่งเป็นตัวหาร)
21 3 2 1 5 แถวที่ 1
............................................ แถวที่ 2
1.......................................... แถวที
ที่ 2 ่ 3
ขั้นที่ 3 นา c (คือ 2) ไปคูณกับจานวนแรกในแถวที่ 3 (คือ 1) เขียนผลคูณในตาแหน่งที่ 2 ของแถวที่ 2
21 3 2 1 5 แถวที่ 1
.........2.................................. ที่ 1
แถวที่ 2
1........................................... ที่ 1 ่ 3
แถวที
ที่ 1
ขั้นที่ 4 นาตาแหน่งที่ 2 ของแถวที่ 1 (คือ 3) บวกกับตาแหน่งที่ 2 ของแถวที่ 2 (คือ 2) เขียนผลบวกไว้ตาแหน่งที่ 2
ของแถวที่ 3 ดังนี้
21 3 2 1 5 แถวที่ 1
.........2.................................. ที่ 1 ่ 2
แถวที
1.......5.................................. ที่ 1 ่ 3
แถวที
ที่ 1
ขั้นที่ 5 นา c (คือ 2) ไปคูณกับจานวนที่ 2 ของแถวที่ 3 เขียนผลคูณไว้ตาแหน่งที่ 3 ของแถวที่ 2 ดังนี้
21 3 2 1 5 แถวที่ 1
.........2.........10..................... ที่ 1
แถวที่ 2
1.......5.................................. แถวที
ที่ 1 ่ 3
25 ที่ 1

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ขั้นที่ 6 นาตาแหน่งที่ 3 ของแถวที่ 1 บวกกับตาแหน่งที่ 3 ของแถวที่ 2 เขียนผลบวกไว้ตาแหน่งที่ 3 ของแถวที่ 3
ดังนี้
แถวที่ 1
21 3 2 1 5
ที่ 1
แถวที่ 2
.........2.........10.....................
1.......5..........8...................... ที่ 1 ่ 3
แถวที
ที่ 1
ทาเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จนถึงจานวนที่อยู่ตาแหน่งสุดท้ายของแถวที่ 3 จะได้ผลเป็นดังนี้
21 3 2 1 5 แถวที่ 1
.........2.........10.......16.......34 ที่ 1 ่ 2
แถวที
1.......5..........8........17.......29 ที่ 1 ่ 3
แถวที
ที่ 1
หลักการตอบ จากขั้นตอนที่ 1 ถึงขั้นตอนที่ 6 เรามีหลักการตอบ ดังนี้
1. จานวนที่อยู่ในแถวที่ 3 ยกเว้น จานวนสุดท้าย คือสัมประสิทธิ์ของผลลัพธ์จากการหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามดีกรี
ที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของตัวตั้ง p  x  อยู่ 1 เสมอ จาก p  x   x4  3x3  2x2  x  5 ซึ่งมีดีกรีเป็น 4
ดังนั้น พหุนามผลลัพธ์ เป็นพหุนามที่มีดีกรีเป็น 3 โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นแถวที่ 3 ไม่รวมจานวนสุดท้าย
21 3 2 1 5 แถวที่ 1
.........2.........10.......16.......34 ที่ 1
แถวที่ 2
1.......5..........8........17 ......29 แถวที่ 3
ที่ 1
นั่นคือ q  x   x3  5x2  8x  17
2. จานวนสุดท้ายในแถวที่ 3 คือ r  x  เป็นเศษเหลือจากการหารนั่นเอง ในที่นี้คือ 29
โดยหลักการหาร เราจึงสรุปได้ว่า ผลลัพธ์และเศษเหลือ จากการหาร x 4  3x3  2 x 2  x  5 ด้วย
x  2 คือ x3  5 x 2  8 x  17 และ 29 ตามลาดับ #
ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์และเศษเหลือจากการหาร x3  2 x 2  4 x  2 ด้วย x 1 โดยวิธีหารสังเคราะห์
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
วิธีทา
11 2 4 2
1 3 1
1 3 1 1
ผลลัพธ์คือ 1 x 2  3 x  1 และเศษเหลือคือ 1 #
ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์และเศษเหลือจากการหาร x 4  x3  7 x 2  x  6 ด้วย x2
วิธีทา
2 1 1 7 1 6
2 2 10  18
1 1 5 9 12
ผลลัพธ์คือ x3  x 2  5 x  9 เศษเหลือคือ 12 #
1
ตัวอย่าง จงหาเศษเหลือจากการหาร x3  3x 2  4 x  5 ด้วย x
2
วิธีทา
1
1 3 4 5
2
1 7 9

2 4 8
7 9 49
1  
2 4 8
ดังนั้นเศษเหลือจากการหารคือ  49 #
8
ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษเหลือจากการหาร p  x   x4  2x3  x2  x  1 ด้วย 2x 1
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1
วิธีทา เราจะเริ่มโดยการหาร p  x  ด้วย x ซึ่งจะได้ผลลัพธ์และเศษเหลือ ดังต่อไปนี้
2
1
 1 2 1 1 1
2
1 5 9 17
 
2 4 8 16
5 9 17 33
1  
2 4 8 16
 1  5 9 17  33
ดังนัน
้ x 4  2 x3  x 2  x  1   x    x3  x 2  x   
 2  2 4 8  16
1 5 9 17  33
  2 x  1  x 3  x 2  x   
2 4 8 16  16
33
ดังนั้นผลลัพธ์และเศษเหลือจากการหาร p  x  ด้วย 2x 1 คือ 1 x3  5 x 2  9 x  17 และ
2 4 8 16 16
ตามลาดับ #
ข้อควรระวัง
1. พหุนามที่เป็นตัวตั้ง ต้องเรียงกาลังจากมากไปน้อย และในกรณีที่กาลังมีการกระโดดข้าม
เช่น x 4  3x 2  2 x  5 เราจะเห็นว่า ไม่มีพจน์ x3 เราต้องเขียนพหุนาม x 4  3x 2  2 x  5 ในรูป
x 4  0 x3  3x 2  2 x  5 ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์และเศษเหลือจากการหาร x 4  3x  x 2  5 ด้วย x 1
วิธีทา เนื่องจาก x 4  3x  x 2  5  x 4  0 x3  x 2  3x  5
โดยวิธีการหารสังเคราะห์ จะได้ว่า
11 0 1 3 5
1 1 2 1
1 1 2 1 6
ดังนั้นผลลัพธ์จากการหารคือ x3  x 2  2 x  1 และเศษเหลือคือ 6 #
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหารสังเคราะห์
1. จงหาเศษเหลือจากการหาร x3  4 x 2  5 x  1 ด้วย x  1
2. จงหาเศษเหลือจากการหาร x3  4 x 2  5 x  1 ด้วย x  2
1
3. จงหาเศษเหลือจากการหาร x 4  2 x 2  3x  1 ด้วย x
2
1
4. จงหาเศษเหลือจากการหาร x3  x 2  x  5 ด้วย x
3
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 3
เฉลยแบบฝึกหัด
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม
่
เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ
33
1. 9 2. 3 3. 4.  124 5. 1
16 27
6. 20 7. 4200 8. 8 9. 1 10. 8
เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม
่
เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ
1.  a  2 a  4 a  3 2.  x  2 x  3 x  2
3.  a  2 a  3 a  3 4.  x  1 x  2 2
5.  x  1 x  3  x 2  x  1 6.  x 1 x  1 x  2 x  4
7.  x  1 x 2  x 2  5 x  5 8.  x  1 x  2   x 2  1
9.  x  3 x  4   x 2  2  10.  x  2 2x  5 x  3
11.  2x  13x  2 x  1 12.  2 x 1 x  3 x  1
13.  x 1 x  1 2 x 1 x  3 14.  x  1 2 x  1 x  12
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 3 2. 1 3. 3 4. 2 5. 4
6. 2 7. 1 8. 4 9. 3 10. 2
เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม
่
เรื่อง การหารสังเคราะห์
33 124
1. 9 2. 3 3. 4. 
16 27
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทม ึ
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
35