1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
(เนื้อหาตอนที่ 3)
ฟังก์ชันลอการิทึม
โดย
รองศาสตราจารย์ เพ็ญพรรณ ยังคง
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16
ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 เลขยกกาลัง
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานอนตรรกยะ
- เขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- สมการเลขชี้กาลัง
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลอการิทึม
- ฟังก์ชันลอการิทึม
- กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
- สมการลิการิทึม
5. เนื้อหาตอนที่ 4 อสมการเลขชี้กาลัง
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
- สมการและอสมการของเลขยกกาลัง
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการลอการิทึม
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
- สมการและอสมการลอการิทึม
- ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกียวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชัน
ลอการิทึม
7. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
1

3. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการ
สอนส าหรั บ ครู และนั ก เรี ย นทุ ก โรงเรี ย นที่ ใ ช้ สื่ อ ชุ ด นี้ ร่ ว มกั บ การเรี ย นการสอนวิ ช า
คณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอน
วิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และ
ชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 3 (3/5)
หัวข้อย่อย 1. ฟังก์ชันลอการิทึมและกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
2. สมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
3. ลอการิทึมสามัญและลอการิทึมธรรมชาติ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจความหมายและสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม
2. มีความเข้าใจเกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมฐานต่างๆ ได้
3. นาสมบัติที่สาคัญของลอการิทึมไปใช้ในการแก้ปัญหา
4. หาค่าลอการิทึมสามัญจากตารางได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. บอกสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมและนาไปใช้ได้
2. อธิบายวิธีการและเขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมที่กาหนดให้ได้
3. คานวณค่าของลอการิทึมโดยอาศัยสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
4. หาค่าลอการิทึมสามัญของจานวนจริงที่กาหนดให้จากตารางได้
3

5. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เนื้อหาในสื่อการสอน
4

6. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. ฟังก์ชันลอการิทึม
5

7. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. ฟังก์ชันลอการิทึม
นักเรียนได้เรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องของฟังก์ชันเลขชี้กาลังหรือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลในสื่อ
ตอนที่ 1 และ 2 มาแล้ว ในสื่อตอนที่ 3 นี้จะเป็นเรื่องเกี่ยวกับฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
เพื่ อ ช่ ว ยให้ นั ก เรี ย นสามารถเข้ า ใจได้ ง่ า ยขึ้ น ผู้ ส อนอาจให้ นั ก เรี ย นทบทวนเกี่ ย วกั บ เรื่ อ งของ
ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน และตัวผกผั นของฟังก์ชันในสื่ อการสอนก่อนหน้านี้ และอาจถามนักเรียน
เกี่ยวกับการมีตัวผกผันของฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันที่จะมีตัวผกผันได้นั้นจะต้องมีสมบัติอะไร หลังจากนั้น
ให้ นั ก เรี ย นดู สื่ อ ตอนที่ 3 ซึ่ ง จะกล่ า วถึ ง ฟั ง ก์ ชั น ผกผั น ของฟั ง ก์ ชั น เลขชี้ ก าลั ง ซึ่ ง คื อ ฟั ง ก์ ชั น
ลอการิทึมนั่นเอง
6

8. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
7

9. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อให้นักเรียนได้รู้จักและคุ้นเคยกับฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กาลังทีละฟังก์ชัน เรา
จะเริ่มจากการยกตัวอย่างฟังก์ชันเลขชี้กาลัง y 2x ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่นักเรียนได้รู้จักกันมาแล้วใน
ตอนที่ 2 ผู้สอนก็จะได้มีโอกาสทบทวนลักษณะกราฟของฟังก์ชัน y 2x และต่อจากนั้นก็ชี้แนะให้
นักเรียนรู้จักฟังก์ชันผกผันของ y 2x โดยดูจากสื่อต่อไปนี้
8

10. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x
ถึงตรงนี้ นักเรียนคงรู้แล้วว่า ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง y 2 คือฟังก์ชัน y log2 x
และยังรู้ถึงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 ฟังก์ชันนี้ด้วย
ถ้าเรารู้ว่า d 2c แล้ว ย่อมได้วา c log2 d
่
c
หรือ d 2 c log2 d
ตอนเริ่มต้นนักเรียนอาจจะสับสนกับการแปลงความสัมพันธ์ในรูปเลขยกกาลังเป็นความสัมพันธ์
ในรูปลอการิทึม เพื่อให้ง่ายต่อการจา ให้นักเรียนแทนจานวนต่างๆ ด้วยสัญลักษณ์  และ  ดังสื่อ
ก็จะช่วยให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น
9

11. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
10

12. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ผู้สอนอาจให้นักเรียนลองทาแบบฝึกหัดย่อยต่อไปนี้เพื่อให้คุ้นเคยการแปลงจานวนที่อยู่ในรูป
เลขยกกาลัง ให้อยู่ในรูปลอการิทึมโดยเน้นเฉพาะฐาน 2 เสียก่อนเพื่อให้นักเรียนจารูปแบบของการ
แปลงได้แม่นยาและไม่สั บสน หลังจากนั้นให้ผู้ ส อนลองเปลี่ ยนจากฐาน 2 เป็นฐานอื่นตามความ
เหมาะสม
แบบฝึกหัดย่อย
1. จงเขียนให้อยู่ในรูปลอการิทึม
3
1.1 2 8 =
=
c
1.2 2 3 =
=
1
1.3 22 d =
=
d
1.4 2 5 =
=
c 1
1.5 2 =
=
3
2. จงเขียนให้อยู่ในรูปของเลขยกกาลัง
2.1 log2 0.3 c =
=
1
2.2 log2 d =
=
3
2.3 log2 5 x =
=
2.4 log2 0.7 d =
=
2.5 log2 c 0.5 =
=
11

13. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1
คาตอบ 1. 1.1 3 log2 8 1.2 c log2 3 1.3 log2 d
2
1
1.4 d log2 5 1.5 c log2
3
1
c x
2. 2.1 0.3 2 2.2 d 2
3
2.3 5 2
d 0.5
2.4 0.7 2 2.5 c 2
หลังจากที่นักเรียนได้รู้จักฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง y 2x ซึ่งก็คือ
y log2 x ต่อไปเราจะพิจารณาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่มีฐานเป็นจานวนจริงบวก a
มากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับ 1 ซึ่งเราได้ศึกษามาแล้วในตอนที่ 2 เรามาดูบทนิยามของฟังก์ชันผกผัน
x
ของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง y a ซึ่งเราจะเรียกว่า ฟังก์ชันลอการิทึม
12

14. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เมื่อนักเรียนได้รู้จักฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขยกกาลัง ผู้สอน
อาจย้าให้นักเรียนดูข้อสังเกตที่สาคัญของทั้งสองฟังก์ชันดังนี้
x เลขชี้กาลัง เลขหลัง
y a y log x
a ลอการิทึม
ฐานของเลขชี้กาลัง ฐานของลอการิทึม
ข้อสังเกต ข้อสังเกต
1. 0 < a < 1 หรือ a>1 1. 0 < a < 1 หรือ a>1
2. x   2. x  +
1 1 1 1
ผู้สอนลองยกตัวอย่างเพิ่มเติมโดยให้ a 2, 3, 4, 5, , , ,
2 3 4 5
x
ฟังก์ชันผกผันของ y 2 คือ y log2 x
x
ฟังก์ชันผกผันของ y 3 คือ y log3 x
13

15. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x
ฟังก์ชันผกผันของ y 4 คือ y log4 x
x
1
ฟังก์ชันผกผันของ y คือ y log 1 x
2 2
x
1
ฟังก์ชันผกผันของ y คือ y log 1 x
3 3
x
1
ฟังก์ชันผกผันของ y คือ y log 1 x
6 6
x
ฟังก์ชันผกผันของ y (0.3) คือ y log0.3 x
ต่อไปจะเป็นการพิจารณากราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึมที่เป็นฟังก์ชัน
ผกผันของกันและกันทีละคู่ และให้นักเรียนสังเกตสมบัติการเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด เรา
พิจารณาจากสิ่งใด
14

16. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
จากสื่อนักเรียนจะเห็นกราฟแต่ละคู่ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกันทั้งหมด 3 คู่ คือ
x
y 2 คู่กับ y log2 x
x
y 3 คู่กับ y log3 x
x
y 6 คู่กับ y log6 x
โดยที่แกนสมมาตรคือ y x สังเกตกราฟของแต่ละคู่ดูได้จากสีที่เหมือนกัน
15

17. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
จากการพิจารณากราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
y loga x เมื่อ a 1
เราได้ข้อสรุปดังนี้
1. y loga x เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
2. ทุกกราฟผ่านจุด (1, 0)
3. มีจุดร่วมกัน 1 จุด คือ (1, 0)
4. y loga x เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก ทั่วถึง
5. กราฟของ y loga x ไม่ตัดแกน y
16

18. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ต่อไปจะเป็นการพิจารณากราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
y loga x เมื่อ 0 a 1
17

19. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
18

20. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
19

21. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เราได้ข้อสรุปจากการพิจารณากราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
y loga x เมื่อ 0 a 1
ดังนี้
1. y loga x เป็นฟังก์ชันลด
2. ทุกกราฟผ่านจุด (1, 0)
3. มีจุดร่วมกัน 1 จุด คือ (1, 0)
4. y loga x เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก ทั่วถึง
5. กราฟของ y loga x ไม่ตัดแกน y
เรามีข้อสรุปรวมสาหรับฟังก์ชันลอการิทึม y loga x ไม่ว่า a จะอยู่ในช่วง (0, 1)
หรือ (1, ) ก็จะมีลักษณะร่วมกันดังนี้
1. ทุกกราฟผ่านจุด (1, 0)
2. ทุกกราฟไม่ตัดแกน Y
3. เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก ทั่วถึง
20

22. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
21

23. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อช่วยให้ผู้เรียนได้คุ้นเคยกับการแปลงฟังก์ชันลอการิทึมให้เป็นฟังก์ชันเลขชี้กาลัง ผู้สอน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัดย่อยต่อไปนี้เพิ่มเติมก็ได้
แบบฝึกหัดย่อย
จงแปลงฟังก์ชันลอการิทึมให้เป็นฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
1. y log5 x
2. y log 1 x
3
3. y loge x
4. y log0.3 x
5. y log
2
x
คาตอบ
y
y 1 y
1. x 5 2. x 3. x e
3
y
4. x 0.3
y
5. x 2
22

24. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ผู้สอนอาจสอดแทรกแบบฝึกหัดย่อยเพื่อช่วยให้นักเรียนได้ลองเปลี่ยนจานวนที่อยู่ในรูปเลข
ยกกาลัง ให้อยู่ในรูปลอการิทึม
แบบฝึกหัดย่อย
1. จงเปลี่ยนจานวนที่อยู่ในรูปเลขยกกาลังให้อยู่ในรูปลอการิทึม
5
1.1 2 32 =
=
3 1
1.2 4 =
=
64
4
1.3 0.0001 10 =
=
4
1.4 5 625 =
=
1.5 874
0
1 =
=
1.6 0.35
0
1 =
=
23

25. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. จงเปลี่ยนจานวนที่อยู่ในรูปลอการิทึมให้อยู่ในรูปเลขยกกาลัง
2.1 log3 81 4 =
=
2.2 log5 125 3 =
=
1
2.3 log4 3 =
=
64
2.4 log10 0.000001 6 =
=
2.5 log 1 9 2 =
=
3
2.6 log53 1 0 =
=
คาตอบ
1
1. 1.1 log2 32 5 1.2 log4 3 1.3 log10 0.0001 4
64
1.4 log5 625 4 1.5 log874 1 0 1.6 log0.35 1 0
4 3 1 3
2. 2.1 81 3 2.2 125 5 2.3 4
64
2
6 1
2.4 0.000001 10 2.5 9 2.6 53
0
1
3
24

26. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. สมบัตที่สาคัญของลอการิทม
ิ ึ
25

27. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. สมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
26

28. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
27

29. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
28

30. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่างข้างต้น เป็นตัวอย่างซึ่งสอดคล้องกับสมบัติที่สาคัญของลอการิทึมข้อที่ 1 ซึ่งคือ
loga a 1 และ loga 1 0
ผู้สอนควรให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ ต่อไปนี้
1. log5 5 log 2
2 log0.75 0.75
1
log7 7 log 1 loge e
2
2
2. log3 1 log 2 1 log0.7 1
log 1 1 log 2 1 log 1
1
5
2 2
29

31. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่างข้างต้นสอดคล้องกับสมบัติที่สาคัญของลอการิทึมข้อที่ 2 และ 3
2. loga MN loga M loga N
M
3. loga loga M loga N
N
30

32. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ผู้สอนควรให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ ต่อไปนี้
1. ให้ log4 M 7 และ log4 N 2 แล้ว log4 MN
2. ให้ logp 5 2 และ logp 7 4 แล้ว logp 35
1
3. ให้ loga 20 3 และ loga 4 แล้ว loga 5
2
N
4. ให้ log M 8 และ log N 2 แล้ว log
2 2 2
M
1 5 b
5. ให้ log3 a และ log3 b แล้ว log 3
2 3 a
คาตอบ
5 7
1. 5 2. 2 3. 4. 6 5.
2 6
31

33. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่างข้างต้นสอดคล้องกับสมบัติที่สาคัญข้อที่ 4 และ 5
1
4. log r M loga M , r 0
a r
r
5. loga M r loga M
ถ้าเรารวมข้อ 4 และ 5 เข้าด้วยกันจะได้
q q
log p M loga M , p 0
a p
32

34. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2
2
3 3 1
ตัวอย่าง 1. log625 3
25 = log 5 = log5 5 =
5
4
4 6
1 7 7
2. log 1 = log 3 =
1
log2 3 = 14 log2 3
2
2187 1
2
2
2
เมื่อนักเรียนได้ดูสื่อที่เกี่ยวกับสมบัติที่สาคัญของลอการิทึมแล้ว ให้นักเรียนได้ลองทา
แบบฝึกหัดย่อยเพิ่มเติมดังนี้
แบบฝึกหัดย่อย
จงใช้สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมในการหาค่าต่อไปนี้
1
1. log2 512 2. log3
27
3. log9 2187 4. log 1 1024
2
5. log 3
243 6. log125 625
7. log 1 3
25 8. log4 log2 256
5
คาตอบ
7
1. 9 2. 3 3. 4. 10
2
4 4 3
5. 10 6. 7. 8.
3 3 2
33

35. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
3. ลอการิทึมสามัญและลอการิทึมธรรมชาติ
34

36. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
3. ลอการิทึมสามัญและลอการิทึมธรรมชาติ
โดยทั่วไปฐานของลอการิทึมที่แทนด้วย a ที่นิยมใช้มากมี 2 ค่า คือ a 10 และ a e
ซึ่งนักเรียนจะได้รู้จักชื่อเฉพาะของลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 และ e และนักเรียนจะได้รู้ว่าเราอาศัย
ลอการิทึมฐาน 10 นี้เองช่วยในการคานวณค่าลอการิทึมฐานอื่นๆ ได้
ในการคานวณหาค่าของลอการิทึมของจานวนต่างๆ เรามีเครื่องมือที่เรียกว่า ตารางลอการิทึม
ซึงตารางดังกล่าวไม่สามารถบอกค่าของลอการิทึมฐานต่างๆ ได้ครบถ้วน เรามีเพียงตารางลอการิทึม
่
ฐาน 10 เท่านั้น ซึ่งก็คือ ลอการิทึมสามัญ เราจะใช้ตารางลอการิทึมสามัญประกอบกับสมบัติที่
สาคัญของลอการิทึมในการคานวณค่าลอการิทึมของจานวนที่มีฐานต่างๆ ทีเหมาะสมได้ นักเรียนจะ
่
ได้เรียนรู้วิธีการใช้ตารางและข้อจากัดบางประการของการใช้ตารางลอการิทึม โดยไม่ลืมว่าค่าที่ได้
ยังคงเป็นเพียงค่าที่ใกล้เคียงหรือเป็นค่าโดยประมาณ เพราะค่าของลอการิทึมของจานวนจริงบางครั้ง
อาจมีค่าเป็นจานวนจริงที่มีจุดทศนิยมมากกว่า 4 ตาแหน่ง แต่ในตารางเราแสดงไว้เพียง 4 ตาแหน่ง
เท่านั้น
35

37. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
36

38. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
37

39. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เมื่อนักเรียนได้ดูสื่อซึ่งแสดงวิธีใช้ตารางลอการิทึมในการหาค่าของลอการิทึมของจานวนจริง
m ซึ่ง 1 m 10 และจานวนจริง m นั้น ถ้ามีทศนิยม 2 ตาแหน่ง ก็จะสามารถอ่านค่าได้จาก
ตารางทันทีโดยไม่ต้องมีกรรมวิธีประมาณค่า ซึ่งในสื่อขอไม่กล่าวถึง เพือให้แน่ใจว่านักเรียนเข้าใจ
่
การอ่านค่าของลอการิทึมจากตารางได้จริง ผู้สอนควรให้นักเรียนตอบคาถามต่อไปนี้
จงใช้ตารางลอการิทึมที่กาหนดให้หาค่าลอการิทึมต่อไปนี้
1. log 2.78 2. log 1.05
3. log 9.18 4. log 8.92
นักเรียนคงทราบแล้วว่า ถ้าเราต้องการหาค่าของ loga M เมื่อ M เป็นเลขหลังลอการิทึม
และ a เป็นจานวนจริงบวก ซึ่ง a 1 แต่เรามีตารางลอการิทึมฐาน 10 เท่านั้น เราต้องแปลงฐาน
a ให้เป็นฐาน 10 เพื่อให้สอดคล้องกับตารางลอการิทึม ซึ่งในการแปลงเป็นฐาน 10 เราอาศัยความรู้
ต่อไปนี้
log10 M
loga M
log10 a
38

40. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เมื่อแปลง loga M เป็นลอการิทึมฐาน 10 ก็ยังเหลือค่า M และ a ซึงอาจไม่สอดคล้องกับตาราง
่
ลอการิทึม เราก็จะแปลง M และ a ให้สอดคล้องต่อไป ขอให้นักเรียนดูสื่อต่อไป
ผู้สอนให้นักเรียนทาแบบฝึกหัดย่อยต่อไปนี้
n
จงเขียนจานวนจริงที่กาหนดให้ในรูป m 10 เมื่อ 1 m 10 , n
1. 32.714 = 2. 0.15468 =
3. 5762.3 = 4. 0.002759 =
5. 65840 =
คาตอบ
1 1 3
1. 3.2714 10 2. 1.5468 10 3. 5.7623 10
3 4
4. 2.759 10 5. 6.584 10
39

41. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
40

42. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ผู้สอนให้นักเรียนฝึกการหาค่าลอการิทึมโดยอาศัยตารางลอการิทึมจากแบบฝึกหัดย่อย
ต่อไปนี้
แบบฝึกหัดย่อย
จงหาค่าลอการิทึมต่อไปนี้
1. log 0.0146
2. log 2870
3. log 0.0000379
5
4. log 379 10
5. log 146000
3
6. log 287 10
คาตอบ
1. 1.8356 2. 3.4579 3. 4.4214
4. 7.5786 5. 5.1644 6. 0.5421
41

43. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
42

44. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ให้นักเรียนได้ทาแบบฝึกหัดเพิ่มเติมดังต่อไปนี้
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
1. กาหนดให้ log 3.84 0.5843 จงหาค่า M เมื่อกาหนดให้
1.1 log M 2.5843
1.2 log M 2.4157
1.3 log M 2.9215
1.4 log M 1.1686
2. กาหนดให้ log 1.37 0.1367 จงหาค่า M เมื่อกาหนดให้
2.1 log M 5.1367
2.2 log M 2.8633
2.3 log M 0.4101
2.4 log M 3.8633
3. กาหนดให้ log e 0.4343 และ log 2.9 0.4624 จงหา
3.1 ln 29
3.2 ln 290
3.3 ln 0.0029
คาตอบ
2 3
1. 1.1 M 3.84 10 1.2 M 3.84 10
1.3 M 3.84
5
1.4 M 3.84
2
5 3
2. 2.1 M 1.37 10 2.2 M 1.37 10
4
2.3 M 1.37
3
2.4 M 1.37 10
3. 3.1 10.643 3.2 5.6698
3.3 5.8429
43

45. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
44

46. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
45

47. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
46

48. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
47

49. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดระคน
b
1. ให้ a 0 และ a 1 ข้อใดมีค่าเท่ากับ loga (3a )
b
1. 3 2. 3b
3. b b loga 3 4. b loga 3
2. กาหนดให้ log10 30 1.4771 แล้ว log10 0.003 เท่ากับเท่าไร
4 2
1. 1.4771 10 2. 0.4771 10
3. 9.4771 10 4. 7.4771 10
7
3. ผลบวกของคาตอบของสมการ log2 x log4 x log16 x และสมการ
2
4x 3 2x 3
3 6 3 1 อยู่ในเซตใด
1. [ 0, 3 ] 2. [ 2, 4 ]
3. [ 5, 8 ] 4. [ 1, 2 ]
2
4. เซตคาตอบของสมการ log (x 6x 2) log (x 3) 1 เป็นสับเซตของเซตใด
1. [ 0, 2 ] 2. [ 3, 5 ]
3. [ 6, 8 ] 4. [ 9, 11]
5. กาหนดให้ f {(x, y) |y log(x 2) log(x 3) log(5 x )} แล้ว
โดเมนของ f เป็นสับเซตของเซตใด
1. ( 3, 4) 2. (2, 5)
3. (5, ) 4. (2, 3) (3, 5)
6. ค่าของ log
7
7 log 3 7
7
log 4 7
7
logn 7
7
เป็นเท่าใด
n
1. (n 1)log 7 2. (n 1) log 7
2
n (n 1)(n 2)
3. (n 1) 4.
2 2
48

50. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1 1 1 1
7. กาหนดให้ logm x , logn x 2 , log p x 3 และ logq x 4
2 2 2 2
แล้ว logmnpq x มีค่าเท่าใด
1 1
1. 5
2. 10
2 2
1 1
3. 4.
10 30
3 3 3
8. ค่าของ เป็นเท่าใด
1 loga bc 1 logb ac 1 logc ab
2
1. 3 2. 3
3
3. 3 4. 1
log 4
log2 5 log3 2 3
9. ค่าของ 4 81 25 5
มีค่าเท่าใด
1. 13 2. 7
3. 6 4. 5
10. กาหนดให้ log 741 2.8698
ถ้า log M 2.1302 แล้ว M มีค่าเท่าใด
2 3
1. 741 10 2. 741 10
4 5
3. 741 10 4. 741 10
49

51. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
50

52. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ฟังก์ชันลอการิทึม
แบบฝึกหัดระคน
1. 3 2. 4 3. 3 4. 3 5. 2 6. 4
7. 4 8. 1 9. 3 10. 4
แบบฝึกหัดที่ 1
แบบฝึกหัดที่ 2
1. 2 2. 1 3. 3 4. 4 5. 1 6. 1
แบบฝึกหัดระคน
1. 2 2. 3 3. 3 4. 2 5. 3 6. 4
7. 1 8. 2 9. 4 10. 2
51

53. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
รายชือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
่
จานวน 92 ตอน
52

54. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่ววมน้อย
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มมาก)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
53

55. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทมึ
ลอการิทม ึ เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
54

56. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล
ิ
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
55