1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
จานวนจริง
ตอน สื่อปฏิสัมพันธ์
เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์
โดย
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ทิพวัลย์ สันติวิภานนท์
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง จานวนจริง
2. เนื้อหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง
- ระบบจานวนจริง
- สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ
- การแยกตัวประกอบ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม
- สมการพหุนามกาลังหนึ่ง
- สมการพหุนามกาลังสอง
- สมการพหุนามกาลังสูง
- การประยุกต์สมการพหุนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ
- เส้นจานวนและช่วง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังหนึ่ง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังสูง
7. เนื้อหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ
- อสมการในรูปเศษส่วน
- การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง
- การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร
- การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์
- ค่าสัมบูรณ์
- สมการค่าสัมบูรณ์
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
- อสมการค่าสัมบูรณ์
- โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
10. เนื้อหาตอนที่ 9 กราฟค่าสัมบูรณ์
- กราฟค่าสัมบูรณ์
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
12. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
13. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่เกินสี่)
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
จานวนจริง นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง จานวนจริง (สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์)
หมวด สื่อปฏิสัมพันธ์
ตอนที่ 3 (3/3)
หัวข้อย่อย 1. ค่าสัมบูรณ์
2. กราฟของสมการค่าสัมบูรณ์
3. กราฟของอสมการค่าสัมบูรณ์
4. กราฟของสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
5. กราฟของอสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
6. แบบฝึกหัด
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนได้ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์ในการศึกษา เรื่อง จานวนจริง เกี่ยวกับ
1. เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์และลักษณะของกราฟค่าสัมบูรณ์ซึ่งรวมถึงการเลื่อน
หด ขยาย และพลิก กราฟค่าสัมบูรณ์
2. เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจลักษณะของกราฟอสมการทีมีค่าสัมบูรณ์หลากหลายรูปแบบ
ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถ
1. วาดกราฟของสมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์แบบต่าง ๆ ได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์
 การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
 ค่าสัมบูรณ์
 กราฟของสมการค่าสัมบูรณ์
 กราฟของอสมการค่าสัมบูรณ์
 กราฟของสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
 กราฟของอสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
 แบบฝึกหัด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
สื่อการสอนชุดนี้พัฒนาด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คือซอฟต์แวร์สารวจเชิง
คณิตศาสตร์ เรขาคณิตพลวัต รุ่น 4.06 ภาษาไทย
ผู้ใช้โปรแกรมจะเรียกใช้โปรแกรมได้จากเมนูคาสั่ง
เมื่อคลิกเลือกโปรแกรม จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 1
รูปที่ 1. หน้าต่างแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
ให้คลิกที่ปุ่ม เพื่อเข้าสู่การใช้งาน โปรแกรมจะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 2
จากรูปที่ 2 จะกล่าวถึงเครื่องมือที่ใช้สาหรับการทางานกับโปรแกรมนี้ คือเมนูแฟ้ม และ
กล่องเครื่องมือ
 เมนูแฟ้ม ใช้ทางานเกี่ยวกับแฟ้มข้อมูล ในการใช้งานสื่อชุดนี้ใช้เพียงการเปิด/ปิด
แฟ้มข้อมูล
 กล่องเครื่องมือ แบ่งเครื่องมือออกเป็นหกประเภท ใน
ที่นี้จะใช้เฉพาะเครื่องมือลูกศร สาหรับเลือกหรือเคลื่อนย้าย (หรือลาก) อ็อบเจกต์
ในโปรแกรม ผู้ใช้โปรแกรมนี้จะต้องเลือกเครื่องมือลูกศร นี้ในการทางานตลอดทั้ง
โปรแกรม
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายการเมนู
กล่องเครื่องมือ
รูปที่ 2. หน้าต่างหลักของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
o การเปิด/ปิด แฟ้มข้อมูล
 ถ้าต้องการเรียกโปรแกรมแฟ้มข้อมูลขึ้นมาใช้งาน ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะปรากฏ
หน้าต่างดังรูปที่ 3 ให้เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ โดย
แฟ้มข้อมูลที่พัฒนาจากโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad จะ
มีนามสกุลเป็น gsp เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ แล้วคลิกที่
แล้วจะปรากฏ
หน้าต่างของโปรแกรมแฟ้มข้อมูลที่
รูปที่ 3. หน้าต่างเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ
ได้เลือกไว้ดังรูปที่ 5
 ถ้าต้องการปิดแฟ้มข้อมูล ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง จะ
ปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 4 คือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามว่า
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต้องการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของแฟ้มข้อมูลหรือไม่ ในที่นี้ไม่แนะนาให้บันทึก
แฟ้มข้อมูล เพราะอาจทาให้โปรแกรมที่พัฒนาไว้มีข้อผิดพลาดได้ ให้เลือกคลิกที่ปุ่ม
เพื่อจะได้ไม่มีการเปลี่ยนแปลงโปรแกรมที่พัฒนาไว้
รูปที่ 4. หน้าต่างเมื่อเรียกคาสั่งปิดแฟ้มข้อมูล
เมื่อเรียกโปรแกรม “สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์” จะปรากฏหน้าต่างสองหน้าต่างนี้สลับกัน
รูปที่ 5. หน้าต่างแรกของโปรแกรม
จากหน้าต่างนี้จะสังเกตได้ว่าที่ด้านล่างของหน้าต่างมีรายการเมนูคาสั่งสองระดับ ดังรูป
ระดับแรก
ระดับที่สอง
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
 ระดับแรกอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างที่เลือกไว้ คือรายการเมนู ดังนี้
สาหรับเลือกกาหนดตาแหน่งของหน้าต่างภายในหน้าจอของเรา
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนหน้าต่างไปมุมบนซ้ายของจอภาพ
ดูภาพการเคลื่อนไหวของหน้านั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนหน้าต่างจอภาพ
เรียกหน้าสุดท้ายของหัวข้อขึ้นมาแสดงบนหน้าต่าง
เลื่อนหน้าต่างสื่อไปกลางจอภาพ
 ระดับที่สองอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างของโปรแกรม ดังนี้
สาหรับแสดงรายชื่อหน้าต่างในโปรแกรม เพื่อให้ผู้ใช้เลือก/เปลี่ยนการทางานไปยัง
หน้าต่างนั้นๆ ได้เลย เปรียบเสมือนเป็นเมนูลัดสาหรับเลือกดูหัวข้อ/หน้าต่างที่ต้องการ
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนไปหน้าแรกของหัวข้อนั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนจอภาพ
แถบต่อมาเป็นรายการหัวข้อย่อยในหัวข้อ “บทนิยามของค่าสัมบูรณ์” เช่น
ผู้ใช้สามารถคลิกที่แถบนี้เพื่อเลื่อนไปที่หน้านั้นๆ ได้ทันที
แถบเลื่อนหน้าต่าง ใช้สาหรับเลื่อนเพื่อเลือกดูรายการหัวข้อย่อยด้านล่าง
แถบเลื่อน ใช้สาหรับเลื่อนดูข้อมูลในหน้าต่างไปทางด้านซ้าย/ขวา หรือ
ถ้าอยู่ในแนวตั้งก็ใช้สาหรับเลื่อนข้อมูลในหน้าต่างขึ้น/ลง
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การเริ่มต้นใช้งานสื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์ ผู้ใช้ต้องคลิกที่ เพื่อเปลี่ยนการ
ทางานไปที่หน้าสารบัญ หน้าต่างสารบัญจะแสดงดังนี้
ผู้ใช้สามารถเลือกโปรแกรมสื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์ จากหน้าต่างสารบัญที่แสดง
รายการบทเรียน ซึ่งแบ่งออกเป็น 6 หัวข้อ คือ
1. ค่าสัมบูรณ์
2. กราฟของสมการค่าสัมบูรณ์
3. กราฟของอสมการค่าสัมบูรณ์
4. กราฟของสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
5. กราฟของอสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
6. แบบฝึกหัด
โดยผู้ใช้จะต้องคลิกเลือกหัวข้อที่ล้อมรอบด้วยกรอบสี่เหลี่ยม เพื่อเข้าดูรายละเอียดของหัวข้อนั้นได้
ในกรณีที่ผู้ใช้ต้องการเปลี่ยนหัวข้อใหม่ ผู้ใช้ต้องออกจากหัวข้อเดิมก่อน แล้วเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการใหม่
จากนั้นให้เข้าสู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลที่เลือกใหม่
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ค่าสัมบูรณ์
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ค่าสัมบูรณ์
สาหรับหัวข้อแรกในสื่อปฏิสัมพันธ์ตอนนี้ ผู้เรียนจะได้ศึกษาบทนิยาม ความหมายทางเรขาคณิตของ
ค่าสัมบูรณ์ รวมถึงความหมายของเรขาคณิตของผลต่าง ซึ่งผู้เรียนได้ศึกษามาบ้างแล้วในสื่อประกอบการ
สอนเนื้อหาเรื่อง จานวนจริง จึงจะขอทบทวนและให้ตัวอย่างประกอบดังหน้าต่างในสื่อปฏิสัมพันธ์หัวข้อนี้
การเข้าศึกษาหัวข้อดังกล่าว ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง ค่าสัมบูรณ์ ก่อนแล้วเข้าสู่หน้าต่าง
สารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้ แสดงดังหน้าจอ
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าต่างต่อไปนี้
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้เรียนสามารถเลื่อนเครื่องหมาย ไปทางซ้ายหรือขวาเพื่อสังเกตผลลัพธ์ที่ได้ จากหน้าต่างข้างต้น
จะได้ว่า
5.00  5.00 นั่นหมายถึงระยะจาก 5 ถึง 0 คือ 5 หน่วย
5.00  3.00  8  8 หมายถึงระยะจาก 5 ถึง 3 คือ 8 หน่วย
หมายเหตุ จุดแทน a และจุดแทน b ซึ่งแสดงเป็นตัวเลขทศนิยม 2 ตาแหน่งเป็นเพียงค่าประมาณของ a
และ b ดังนั้นค่าประมาณของ a  b ที่แสดงจึงอาจจะคลาดเคลื่อนจากระยะห่างระหว่างจุดทั้ง
สองเล็กน้อย ดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กราฟของสมการค่าสัมบูรณ์
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กราฟของสมการค่าสัมบูรณ์
ผู้เรียนจะได้ฝึกสังเกตกราฟค่าสัมบูรณ์รูป แบบต่าง ๆ กับการเลื่อนแกน รวมถึงกราฟค่าสัมบูรณ์ที่
ซับซ้อนขึ้น โดยการปรับค่าคงตัวต่าง ๆ ในสมการค่าสัมบูรณ์ ดังหัวข้อต่อไปนี้
2.1 กราฟค่าสัมบูรณ์
2.2 การเลื่อนแกน
2.3 กราฟค่าสัมบูรณ์หลากหลายรูปแบบ
2.4 กราฟค่าสัมบูรณ์กับการเลื่อนแกน
2.5 กราฟค่าสัมบูรณ์ที่ซับซ้อนขึ้น
การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง กราฟของสมการค่าสัมบูรณ์ก่อนจึงเข้าสู่
หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลดังกล่าว ดังหน้าจอแสดง
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าต่างสื่อปฏิสัมพันธ์กราฟของสมการค่าสัมบูรณ์
จานวน 5 หน้า ตามลาดับดังนี้
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.1 กราฟค่าสัมบูรณ์
หน้าจอแสดงกราฟ yx หรือ y  x โดยการที่ผู้เรียนเลื่อนแถบสมการไปยังกราฟที่ต้องการและ
สังเกตผลลัพธ์ที่ได้
ส าหรับ สมการ ผลลั พ ธ์ที่ไ ด้ เป็นกราฟเส้น ตรงที่มี พิ กั ด  x, y  ซึ่ง y  x ส าหรับทุ ก
จานวนจริง x เมื่อเลื่อนแถบสมการไปยัง ผู้เรียนจะสังเกตได้ว่า
x เมื่อ x  0
กราฟของสมการ y  x  อยู่เหนือแกน X สาหรับทุกจานวนจริง x
x เมื่อ x  0
ซึ่งเป็นผลจากนิยามของค่าสัมบูรณ์ที่แสดงถึงค่า y คือระยะจาก 0 ถึง x ดังนั้นค่า y จึงมากกว่า 0 เสมอ
ผลลัพธ์เป็นดังจอภาพด้านล่าง
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นอกจากนี้ผู้เรียนยังสามารถใช้ปุ่มต่าง ๆ ด้านล่างกราฟในการพิจารณากราฟผลลัพธ์ได้
: ขยายภาพกราฟบริเวณที่ต้องการ
วิธีใช้ 1. คลิกเพื่อเริ่มใช้งาน
2. สังเกตเห็น * สีเขียวพร้อมกรอบเส้นประ กลางจอภาพ ดับเบิ้ลคลิกที่ * พร้อม
ลากเพื่อขยายในทิศทางที่ต้องการ
3. ดับเบิ้ลคลิกนอกกรอบเส้นประเพื่อเลื่อนกราฟไปยังตาแหน่งของกราฟที่ต้องการได้
4. คลิก อีก ครั้ง ที่ ปุ่ ม เมื่อก าหนดตาแหน่งและขนาดที่ ต้องการขยายเรีย บร้อยแล้ว
กรอบสี่เหลี่ยมเส้นประจะหายไป
: กาหนดเส้นกริด
วิธีใช้ ให้คลิกเพื่อให้แสดงเส้นกริด และคลิกอีกครั้งเพื่อลบเส้นกริด
: ตั้งพิกัดเริ่มต้น
: แสดงพิกัด  x, y  บนเส้นกราฟ
วิธีใช้ 1. คลิกเพื่อเริ่มใช้งาน
2. ปรากฏจุดสีแดง ดับเบิ้ลคลิกที่จุดพร้อมลากไปตามเส้นกราฟจะปรากฏพิกัด  x, y 
ที่ สอดคล้องกราฟ y  x หรือ y  x
หมายเหตุ การดับเบิ้ลคลิกระนาบกราฟแล้วลากเป็นการเลื่อนเปลี่ยนมุมมองกราฟ
2.2 การเลื่อนแกน
ในส่ ว นนี้ ผู้ เ รี ย นจะได้ ศึ ก ษารู ป แบบสมการค่ า สั ม บู ร ณ์ กั บ การเลื่ อ นแกนโดยพิ จ ารณ าสมการ
y  x  a  b กับค่า a และ b ที่แตกต่างกัน ก่อนอื่นเราจะขอทบทวนความรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์และฟังก์ชันที่
ผู้เรียนได้ศึกษามาแล้วในสื่อประกอบการสอนเนื้อหาเรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน กันสักเล็กน้อย เราทราบ
มาแล้วว่าถ้ากาหนดให้ y  f  x 
 กราฟของฟั ง ก์ ชั น y  f  x  a  จะมี ลั ก ษณะเหมื อ นกราฟ y  f  x  แต่ มี ก ารขยั บ ตาม
แนวแกน X
ถ้า a  0 กราฟจะขยับไปทางซ้ายของแกน X เป็นระยะ a หน่วย หรือก็คือ การเลื่อนแกน
พิกัดไปทางขวาของกราฟนั่นเอง
ถ้า a  0 กราฟจะขยับไปทางขวาของแกน X เป็นระยะ a หน่วย หรือก็คือการเลื่อนแกนพิกัด
ไปทางซ้ายของกราฟ
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
 ในลักษณะคล้าย ๆ กัน กราฟของฟังก์ชัน y  f x  b ก็จะมีลักษณะเหมือนกราฟ y  f x
แต่มีการขยับตามแนวแกน Y ดังนี้
ถ้า b  0 กราฟจะขยับลงด้านล่าง b หน่วย หรือก็คือการเลื่อนแกนพิกัดขึ้นไปเหนือ
กราฟ
ถ้า b  0 กราฟจะขยับ ขึ้นข้างบน b หน่วย นั่นคือการเลื่อนแกนพิ กัดลงไปใต้ก ราฟ
นั่นเอง
ดังนั้นหาก y x มีลักษณะกราฟดังจอภาพ
จะได้ว่ากราฟ y  x  a  b จะมีการขยับในแนวแกน X เป็นระยะ a หน่วย และขยับในแนวแกน Y
เป็นระยะ b หน่วย ทิศทางขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ a และ b ตามที่อธิบายข้างต้น จึงขอแสดงดังตัวอย่าง
ต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 2.1 เลื่อนแถบกาหนดค่า a  0 และ b  0 จะได้ว่ากราฟของสมการ y  x 0 0  x นั่นเอง
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัว อย่ า งที่ 2.2 ก าหนดค่ า a  3 และ b  0 จะได้ก ราฟของสมการ y  x  3 ซึ่ งกราฟมี ลัก ษณะ
เหมือนกราฟ y  x แต่มีการเลื่อนไปทางซ้าย 3 หน่วย หรือเลื่อนแกนพิกัดไปทางขวาของ
กราฟ 3 หน่วยแสดงดังภาพ
ตัว อย่ า งที่ 2.3 ก าหนดค่ า a  0 และ b  5 จะได้ ก ราฟของสมการ y  x  5 ซึ่ง กราฟมีลั ก ษณะ
เหมือนกราฟ y  x แต่มีการเลื่อนลง 5 หน่วย หรือเลื่อนแกนพิกัดขึ้นไปเหนือกราฟ 5
หน่วย แสดงดังภาพ
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างที่ 2.4 กาหนดค่า a  3 และ b  5 จะได้กราฟของสมการ y  x  3  5 ซึ่งกราฟมีลักษณะ
เหมือนกราฟ y  x แต่มีการเลื่อนไปทางซ้าย 3 หน่วย และเลื่อนลง 5 หน่วย แสดงดังภาพ
ผู้เรียนสามารถลองฝึกฝนและสังเกตในลักษณะต่าง ๆ โดยการกาหนดค่า a และ b เป็นค่าอื่น ๆ
และพิจารณาการขยับตัวของกราฟหรือการเลื่อนแกนพิกัดว่าสัมพันธ์กับค่า a และ b อย่างไร
ตัวอย่างที่ 2.5 กาหนดค่า a  5 และ b  1
จะได้กราฟสมการ y  x  5  1
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างที่ 2.6 กาหนดค่า a  4 และ b  2
จะได้กราฟสมการ y  x  4  2
ตัวอย่างที่ 2.7 กาหนดค่า a  6 และ b  4
จะได้กราฟสมการ y  x  6  4
ในหั ว ข้ อ ต่ อ ไปผู้ เ รี ย นจะได้ ศึ ก ษากราฟค่ า สั ม บู ร ณ์ รู ป แบบอื่ น ๆ นอกเหนื อ จาก y x และ
y  x  a  b ที่ได้ศึกษามาแล้วในหัวข้อที่ผ่านมา
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.3 กราฟค่าสัมบูรณ์หลากหลายรูปแบบ
ผู้เรียนจะได้ฝึกสังเกตลักษณะกราฟค่าสัมบูรณ์ในรูปแบบ y  x และ y  x ในหัวข้อนี้ ซึ่งจะ
เห็นได้ว่าลักษณะกราฟที่ได้ก็จะสอดคล้องกับนิยามของค่าสัมบูรณ์นั่นเอง
ตัวอย่างที่ 2.8 สมการค่าสัมบูรณ์ y  x
ผู้เรียนจะสังเกตเห็นว่ากราฟของสมการนี้ไม่ใช่ฟังก์ ชันในรูป y  f  x  หรือฟังก์ชันในตัวแปร x
เนื่องจากมีค่า y 2 ค่าถูกส่งมาจากค่า x หนึ่งค่า แต่กลับกันสมการนี้เป็นสมการของฟังก์ชัน x  f  y  หรือ
ก็คือ x เป็นฟังก์ชันของ y เนื่องจากไม่มีสองค่า x ใด ๆ ที่ส่งมาจากค่า y เดียกวัน
y  0
ดังนั้น x  f  y  y 
y  0
ซึ่งจะมีค่าเป็นบวกเสมอ กราฟของสมการแสดงดังจอภาพ
ตัวอย่างที่ 2.9 สมการค่าสัมบูรณ์ y  x
วิธีทา  กรณี 1 : y  0
xเมื่อ x  0
จะได้ y  y  x 
x เมื่อ x  0
กราฟแสดงดังภาพ
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
 กรณี 2 : y0
จะได้ y  y  x
เมื่อ x  0
x
หรือ y  x 
x เมื่อ x  0
กราฟแสดงดังภาพ
ดังนั้นเมื่อรวมทั้งสองกรณีเข้าด้วยกันเราจึงได้กราฟของสมการค่าสัมบูรณ์ y  x เป็นดังภาพ
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.4 กราฟค่าสัมบูรณ์กับการเลื่อนแกน
ในส่ ว นนี้ สื่ อปฏิ สั ม พั น ธ์แ สดงกราฟรู ป แบบต่า ง ๆ ของฟั ง ก์ ชั น ค่า สั ม บู ร ณ์ f  x   x  a  b
ผู้เรียนจะได้ศึกษาและ สังเกตกราฟรูปแบบต่าง ๆ ของ f  x   x  a  b ดังต่อไปนี้
1. y  f  x  2. y  f  x 
3. y  f  x  4. y  f  x 
5. y  f  x  6. y  f  x 
จากที่ผู้เรียนได้ศึกษากราฟของ f  x   x  a  b มาแล้วในหัวข้อ 2.2 (การเลื่อนแกน) ในหัวข้อนี้ผู้จัดทา
สื่อปฏิสัมพันธ์อยากให้ผู้เรียนได้ฝึกสังเกตว่า เพราะเหตุใดลักษณะกราฟที่ได้ในแต่ละรูปแบบข้างต้นจึงเป็น
เช่นนั้น
ตัวอย่างที่ 2.10 กาหนดค่า a  2 และ b  5
1. 2.
y  f x y  f x
3. 4.
yf x  y f x 
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. 6.
y  f x y  f x
ทานองเดียวกับตัวอย่า งข้ างต้น ผู้เรีย นสามารถฝึก ฝนเพิ่ มเติมโดยการเปลี่ย นค่า a และ b เป็นค่าอื่น ๆ
สาหรับเหตุผลของคาตอบของคาถามที่ผู้ จัดทาสื่อทิ้งไว้ในหัวข้อนี้ จะอธิบายในหัวข้อ 4 เรื่อง กราฟของ
สมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
2.5 กราฟค่าสัมบูรณ์ที่ซับซ้อนขึ้น
เช่ นเดี ย วกั น กั บ หัว ข้ อ 2.4 ผู้ เรีย นสามารถศึก ษากราฟรูป แบบต่ าง ๆ ของฟั งก์ ชั นค่าสั มบูรณ์ ที่
ซับซ้อนขึ้น f  x   a x  b  c ซึ่งนอกจากจะมีการเลื่อนแกนเข้ามาเกี่ยวข้องแล้ว ยังมีการยืดหดและพลิก
กราฟค่าสัมบูรณ์อีกด้วย เราจะศึกษารูปแบบต่าง ๆ ของ f  x  ดังที่กล่าวไว้ในหัวข้อ 2.4 ดังตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 2.11 กาหนดค่า a  1 b  2 และ c  5
1. 2.
y  f x y  f x
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. 4.
yf x  y f x 
5. 6.
y  f x y  f x
ตัวอย่างที่ 2.12 กาหนดค่า a  1 b  2 และ c  5
1. 2.
y  f x y  f x
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. 4.
yf x  y f x 
5. 6.
y  f x y  f x
ผู้เรียนเห็นความแตกต่างระหว่างกราฟแต่ละรูปแบบในตัวอย่างที่ 2.11 และ 2.12 หรือไม่ ลอง
อภิปรายเริ่มต้นจากกราฟ y  f  x  ของทั้งสองตัวอย่าง ซึ่งรวมถึงอภิปรายสาเหตุที่ไม่มีกราฟปรากฏในรูป
ที่ 2 และ 4 ในตัวอย่าง 2.12
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างที่ 2.13 กาหนดค่า a  2 b  2 และ c5
1. 2.
y  f x y  f x
3. 4.
yf x  y f x 
5. 6.
y  f x y  f x
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทานองเดียวกันผู้เรียนสามารถอธิบายความแตกต่างระหว่างตัวอย่างที่ 2.11 และตัวอย่างนี้ได้หรือไม่
อย่างไร ส่วนคาอธิบายลักษณะของกราฟรูปแบบต่าง ๆ ทั้งหก ผู้เรียนศึกษาได้ในหัวข้อที่ 4 เรื่องกราฟของ
สมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. กราฟของอสมการค่าสัมบูรณ์
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. กราฟของอสมการค่าสัมบูรณ์
ส าหรับ หัวข้ อ ที่ ส ามนี้ก ราฟจะแสดงอาณาบริเวณของอสมการค่าสั มบูรณ์ หลากหลายรูปแบบ
ร่วมกับการเลื่อนแกนและกราฟอสมการค่าสัมบูรณ์ที่ซับซ้อนขึ้น ซึ่งการเข้าศึกษาหัวข้อนี้ผู้เรียนต้องเลือก
แฟ้มข้อมูลเรื่อง กราฟของอสมการสัมบูรณ์ก่อนจึงเข้าสู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลดังแสดง
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าต่างกราฟของอสมการค่าสัมบูรณ์จานวน 4
หน้าตามลาดับดังนี้
3.1 กราฟอสมการค่าสัมบูรณ์
ผู้เรียนเลื่อนแถบเครื่องหมายไปยังเครื่องหมายเท่ากับ หรือเครื่องหมายอสมการที่ต้องการ แล้วกราฟ
จะแสดงอาณาบริเวณจุดที่สอดคล้องกับสมการหรืออสมการที่เลือกไว้
สาหรับสมการ y  x เราได้ศึกษามาแล้วในหัวข้อที่ผ่าน ๆ มา จะได้ว่า กราฟเส้นสีแดงแสดง
ความสัมพันธ์ของสมการ
รูปที่ 3.1 กราฟ y x
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างที่ 3.1 หากผู้เรียนเลื่อนแถบเครื่องหมายมายัง กราฟแสดงอาณาบริเวณดังภาพ
รูปที่ 3.2 กราฟ y x
สังเกตได้ว่าเส้นกราฟ y  x แบ่งระนาบ XY ออกเป็น 2 บริเวณ ผู้เรียนสามารถเลือกจุดพิกัดตัวแทนมา
หนึ่งจุดจากแต่ละบริเวณแล้วแทนในอสมการ y  x ถ้าจุดใดสอดคล้องอสมการดังกล่าว อาณาบริเวณนั้น
คืออาณาบริเวณของอสมการ
- จุดพิกัดบนเส้นสีแดงสอดคล้อง y  x ดังนั้น จุดพิกัด
สอดคล้อง y  x ด้วย
1
- เลือกจุด  0, 4 เป็นตัวแทนจากอาณาบริเวณที่ 1 จะได้
y  4  0  x นั่นคือ y  x
- เลือกจุด  5,  1 เป็นตัวแทนจากอาณาบริเวณที่ 2
จะได้ y  1  5  x นั่นคือ y  x
2
ดังนั้นกราฟ y  x แสดงโดยเส้นทึบสีแดงและบริเวณแรเงาสีฟ้าดังรูปที่ 3.2
ผู้เรียนอาจทดลองเลือกจุดพิกัดตัวแทนอื่นจากบริเวณทั้งสองเพื่อหาอาณาบริเวณที่สอดคล้องกับ
อสมการข้างต้นว่าได้คาตอบเหมือนกันหรือไม่
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างที่ 3.2 หากเลื่อนแถบเครื่องหมายมายัง กราฟแสดงผลลัพธ์ดังภาพ
- จุดพิกัดบนเส้นประสีแดงไม่สอดคล้องอสมการ
1
y  x กราฟจึงเป็นเส้นประ
- ทานองเดียวกันกับการตรวจสอบในตัวอย่างข้างต้น
2 จะได้อาณาบริเวณที่ 2 สอดคล้องอสมการ y  x
รูปที่ 3.3 กราฟ y x
ดังนั้นกราฟ y  x แสดงโดยเส้นประพร้อมแรเงาสีเขียวอาณาบริเวณที่ 2 ดังรูปที่ 3.3
ผู้เรียนฝึกฝนสังเกตลักษณะกราฟของอสมการค่าสัมบูรณ์อื่น ๆ โดยเลื่อนแถบเครื่องหมายไปยัง
หรือ แล้วตรวจสอบได้ด้วยตนเอง
3.2 กราฟอสมการค่าสัมบูรณ์หลากหลายรูปแบบ
เราจะศึกษาหัวข้อนี้ในลักษณะเดียวกับหัวข้อ 3.1 โดยเริ่มพิจารณาจากสมการรูปแบบต่าง ๆ ดังนี้
y  x, y  x , y  x และ y  x
1. 2.
yx y x
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. 4.
y x y  x
ผู้เรียนจะเห็นว่ากราฟของสมการ 1 – 3 จะแบ่งระนาบ XY ออกเป็น 2 ส่วนดังนั้นการพิจารณาอาณาบริเวณ
ของอสมการ , , หรื อ จะท าได้ ดั ง ที่ อ ธิ บ ายในหั ว ข้ อ ที่ แ ล้ ว ส่ ว นสมการ y  x
เส้นกราฟของสมการแบ่งระนาบ XY ออกเป็น 4 ส่วน การพิจารณาอาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการทา
ได้ในทานองเดียวกับการแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วน เพียงแต่ต้องเลือกพิกัดตั วแทนเป็น 4 จุด จากแต่ละ
อาณาบริเวณดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 3.3 พิจารณากราฟของอสมการ y  x
- จุดพิกัดบนเส้นกราฟสีแดงสอดคล้อง y  x ดังนั้นจุดพิกัด
สอดคล้องอสมการ y  x ด้วย
1
- เลือกจุด  2, 4  เป็นตัวแทนจากอาณาบริเวณที่ 1 จะได้
y  4  2  x นั่นคือพิกัด  2, 4  ไม่สอดคล้องอสมการ
2 3
y x
- เลือกจุด  5, 0 เป็นตัวแทนอาณาบริเวณที่ 2 จะได้
4
y  0  5  x สอดคล้องกับอสมการ
ทานองเดียวกันเลือกจุด  4, 6  และ  5, 2 เป็นตัวแทนอาณาบริเวณที่ 3 และ 4 ตามลาดับ เมื่อ
พิจารณาแล้วจะได้กราฟอสมการ y  x เป็นดังจอภาพ
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างที่ 3.4 กราฟของอสมการ y  x
ผู้เรียนจะได้ผสมผสานความรู้ เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์ ลักษณะต่าง ๆ ที่ผ่านมา เพื่อพิจารณากราฟ
อสมการค่าสัมบูรณ์กับการเลื่อนแกน และกราฟอสมการค่าสัมบูรณ์ที่ซับซ้อนขึ้นในสองหัวข้อถัดไป
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.3 กราฟอสมการค่าสัมบูรณ์กับการเลื่อนแกน
สมการ f  x   x  a  b ก็ คื อ สมการค่ า สั ม บู ร ณ์ y  x ที่ มี ก ารเลื่ อ นตามแนวแกนนอน a
หน่วย และตามแนวแกนตั้ง b หน่วย ผู้เรียนจะได้ศึกษาพิจารณาอาณาบริเวณที่สอดคล้องอสมการและ
สมการในลักษณะต่าง ๆ ดังนี้ เริ่มจากสมการ
1. 2.
y  x 1  2 y  x 1  2
3. 4.
y  x 1  2 y  x 1  2
5. 6.
y  x 1  2 y  x 1  2
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากกราฟ 1-3 สมการแบ่งระนาบ XY ออกเป็น 2 ส่วน สมการที่ 4-6 แบ่งเป็น 3 ส่วน การพิจารณา
อาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการที่ต้องการทาได้ในทานองเดียวกันกับหัวข้อที่ผ่านมา
ข้อสังเกต จานวนจุดพิกัดตัวแทนที่เลือกมาจะเท่ากับจานวนอาณาบริเวณบนระนาบ XY ที่ถูกตัดขาดจาก
กันโดยโดเมนของฟังก์ชันและเส้นกราฟของสมการที่พิจารณา
ตัวอย่างที่ 3.5 กราฟของอสมการ y  f  x  เมื่อ f  x   x  1  3
วิธีทา จะได้ว่า a  1 และ b  3
1. เลื่อนแถบกาหนดค่า a และ b เป็น 1 และ 3
2. เลื่อนแถบมาพิจารณาลักษณะของกราฟ y  f  x 
3. เส้นกราฟ y  f  x  แบ่งระนาบ XY ออกเป็น 5 ส่วน
4. เลื่อนแถบเครื่องหมายมายัง ผลลัพธ์แสดงดังภาพ
ผู้เรียนสามารถทดสอบได้เองโดยการเลือกจุดพิกัดตัวแทนจากแต่ละบริเวณมาพิจารณาว่าบริเวณใด
สอดคล้องอสมการ y  f  x 
3.4 กราฟอสมการค่าสัมบูรณ์ที่ซับซ้อนขึ้น
ส่วนนี้สื่อนาเสนอกราฟอสมการค่าสัมบูรณ์ที่ซับซ้อนขึ้นในรูป f  x   a x  b  c
ตัวอย่างที่ 3.6 กราฟอสมการค่าสัมบูรณ์รูปแบบต่าง ๆ ของ y  2 x  1  4
วิธีทา 1. กาหนดค่า a  2, b  1 และ c  4
2. เลื่อนแถบเครื่องหมายไปยัง
3. พิจารณากราฟรูปแบบต่าง ๆ ดังนี้ โดยการเลื่อนแถบรูปแบบไปยังรูปแบบที่ต้องการ
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. 2.
y  f x y  f x
3. 4.
yf x  y f x 
5. 6.
y  f x y  f x
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. กราฟของสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. กราฟของสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
ในหัวข้ อ 2.4 กราฟค่ า สัม บูรณ์กั บการเลื่อนแกนและหัวข้อ 2.5 กราฟค่าสัมบูรณ์ที่ซับซ้อนขึ้น
ผู้จัดทาได้ทิ้งคาถามให้กับผู้เรียนว่า เพราะเหตุใดรูปแบบต่าง ๆ ทั้งหกของฟังก์ชัน f  x   x  a  b และ
f  x   a x  b  c จึง มี ลั ก ษณะเช่ น นั้น ส าหรั บ หั ว ข้ อ นี้เราจะใช้ ฟั ง ก์ ชั นพาราโบลาเป็ นตัว อย่ า งอธิ บ าย
ลักษณะกราฟที่ได้จากรูปแบบทั้ง 6 แบบ ซึ่งผู้เรียนต้องเข้าแฟ้มข้อมูลเรื่อง กราฟของสมการทั่วไปที่มีค่า
สัมบูรณ์ จากนั้นเข้าสู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูล
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าต่างดังต่อไปนี้
1. 2.
40

42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในหน้าต่างที่ 3 แสดงรูปแบบทั้ง 6 แบบของฟังก์ชันพาลาโบลา f  x    x  22  8 นั่นคือ a  1 , b  2
และ c  8
3.
3.1 3. 3.2
y  f x y  f x
3.3 3. 3.4
yf x  y f x 
3.5 3.6
y  f x y  f x
41

43. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับ 5 หน้าต่างถัดไปเป็นคาอธิบายรูปแบบของกราฟต่าง ๆ ของ f  x 
4. 5.
6. 7.
8.
42

44. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากที่ได้ศึกษากราฟที่มีค่าสัมบูรณ์ในลักษณะต่าง ๆ โดยอาศัยพาราโบลาเป็นตัวอย่างแล้ว ใน
หน้าต่างกราฟของสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์เราสามารถดับเบิ้ลคลิกที่ฟังก์ชัน f  x  เพื่อแก้ไขฟังก์ชันให้
เป็นตามที่ต้องการ เมื่อดับเบิ้ลคลิกที่ f  x  จะปรากฏหน้าต่าง
แก้ไขฟังก์ชันได้โดย
1. คลิกที่กรอบสี่เหลี่ยมสีขาว ลบสูตรฟังก์ชันเดิมออก
2. คลิกปุ่ม เพื่อเลือกตัวแปรหรือพารามิเตอร์
3. ใช้แป้นปุ่มตัวเลขและเครื่องหมายดาเนินการด้านล่างซ้ายของหน้าต่างในการช่วยกาหนดฟังก์ชัน
4. หากต้องการฟังก์ชันพิเศษ เช่น abs sin cos หรือ ln ให้คลิกปุ่ม เพื่อเลือกใช้งาน
5. ผู้ เ รี ย นสามารถเลื อ กรู ป แบบของฟั ง ก์ ชั น เช่ น y  f  x  หรื อ x  f  y  โดยการคลิ ก ปุ่ ม
เพื่อเลือกรูปแบบ
นอกจากนี้ผู้เรียนยังสามารถเลื่อนแถบเพื่อแก้ไขค่าพารามิเตอร์ a, b หรือ c ในฟังก์ชันที่กาหนดขึ้นด้วย
เพื่ อเป็ นการอธิบ ายหัวข้ อ 2.4-2.5 ซึ่งเป็นการพิจารณากราฟ f  x   a x  b  c ใน 6 รูปแบบ
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 4.1 จงแสดงกราฟ y  f  x  เมื่อ f  x   x  2  5
วิธีทา 1. ดับเบิ้ลคลิกที่ฟังก์ชัน f  x  ในหน้าต่างกราฟของสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
2. พิมพ์ a  abs  x  b   c ในกรอบสีขาวเพื่อกาหนด f  x 
3. กาหนดค่า a, b และ c โดยการเลื่อนแถบค่าพารามิเตอร์ a  1 , b  2 และ c  5
4. เลื่อนแถบรูปแบบฟังก์ชันไปยัง
43

45. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผลลัพธ์แสดงกราฟ f  x   x  2  5 ซึ่งเป็นกราฟเดียวกันกับในตัวอย่างที่ 2.10
y  x  2 5
ซึ่งลักษณะกราฟ y  f  x  เป็นส่วนครึ่ง ขวาของกราฟ y  f  x  รวมกับภาพสะท้อนของส่วนนี้โดยมี
แกน y เป็นเส้นสะท้อน ได้กราฟดังภาพด้านล่างเมื่อเลื่อนแถบฟังก์ชันเป็น
y  x  2 5
ผู้เรียนสามารถใช้คาอธิบายที่ได้ศึกษามาแล้วในหน้าต่างข้างต้ น เพื่อพิจารณากราฟ ผลลัพธ์ที่ได้ใน
รูปแบบอื่น ๆ ที่เหลือ y  f  x  , y  f  x  , y  f  x  และ y  f  x 
3
ตัวอย่างที่ 4.2 จงแสดงกราฟ y  f x เมื่อ f  x   4
x2
วิธีทา 1. ดับเบิ้ลคลิกที่ฟังก์ชัน f  x 
2. กาหนด f  x   a /  x  b   c
3. กาหนดค่า a, b และ c โดยการเลื่อนแถบค่าพารามิเตอร์ a  3 , b2 และ c4
4. เลื่อนแถบรูปแบบฟังก์ชันไปยัง
44

46. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
กราฟ y  f x เป็นส่วนครึ่งบนของกราฟ y  f x โดยมีแกน X เป็นเส้นสะท้อน
3 3
กราฟ y 4 กราฟ y 4
x2 x2
ผู้เรียนควรจะฝึกฝนเพิ่มเติมโดยการเลื่อนแถบรูปแบบฟังก์ชันไปยังรูปแบบอื่น ๆ สังเกตผลลัพธ์ที่ได้ว่าเป็น
จริงตามคาอธิบายที่ได้ศึกษามาข้างต้นหรือไม่
45

47. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. กราฟของอสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์
46

48. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. กราฟของอสมการทั่วไปทีมีค่าสัมบูรณ์
่
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษากราฟของอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์เข้ามาเกี่ยวข้องในรูปแบบต่าง ๆ
6 รูปแบบ ดังที่ได้ศึกษามาแล้วในกราฟของสมการนั่นคือ ผู้เรียนจะได้พิจารณาลักษณะของกราฟรูปแบบ
ต่าง ๆ โดยแทนเครื่องหมายเท่ากับในสมการด้วยเครื่องหมายอสมการ ๆ , , และ
การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง กราฟของอสมการทั่วไปที่มีค่าสัมบูรณ์ ก่อน
เข้าสู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูล
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าต่างสื่อปฏิสัมพันธ์ตามลาดับดังนี้
5.1 รูปแบบของกราฟอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์
47

49. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5.2 ตัวอย่างกราฟอสมการพาราโบลา
ในท านองเดีย วกั นกั บ หัวข้ อที่ 4 เราจะใช้อสมการของฟั งก์ ชันพาราโบลาที่มีค่าสัมบูรณ์เข้ามา
เกี่ยวข้อง มาเป็นตัวอย่างในการพิจารณาอสมการรูปแบบต่าง ๆ ผู้เรียนสามารถทดลองโดยการเลื่อนแถบค่า
a, b และ c เพื่อกาหนดพารามิเตอร์ ของฟั ง ก์ชั นตามต้องการ เนื่องจากค าอธิบ ายของการได้มาซึ่ง อาณา
บริเวณที่ ส อดคล้องกับ อสมการได้มี ก ารศึก ษามาแล้วในหัวข้อก่ อนหน้านี้ จึงขอนาเสนอผลลัพธ์ก ราฟ
อสมการ ทั้ง 6 รูปแบบของฟังก์ชัน f  x   3 x  22  4
ตัวอย่างที่ 5.1 กราฟรูปแบบต่าง ๆ ของอสมการ ของฟังก์ชัน f  x   3 x  22  4
y  3 x  2  4 y  3 x  2   4
2 2
y  3 x  2  4 y  3 x  2  4
2 2
48

50. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
y  3 x  2  4 y  3 x  2  4
2 2
ในหน้าต่างถัดไปผู้เรียนจะได้เห็นตัวอย่างอสมการรูปแบบต่าง ๆ ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลาที่มีค่า
สัมบูรณ์เข้ามาเกี่ยวข้อง
5.3 ตัวอย่างกราฟอสมการไฮเพอร์โบลา
ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลาที่เสนอในหน้าต่างนี้อยู่ในรูปแบบ f  x   a
c เมื่อ a, b และ c เป็นค่า
xb
คงตัวที่จะกาหนดลักษณะของกราฟ y  f x ได้คล้าย ๆ กับฟังก์ชันพาราโบลา คือ
ค่า a กาหนดความลาดชันของกราฟ
เมื่อ a  0 จะได้ lim f  x    และ
x  b
lim f  x   
x  b
เมื่อ a  0 จะได้ lim f  x   
x  b
และ lim f  x   
x  b
ค่า b กาหนดระยะเลื่อนแกนในแนวนอน
ค่า c กาหนดระยะเลื่อนแกนในแนวตั้ง
ในตัวอย่างฟังก์ชันไฮเพอร์โบลานี้จะมีข้อควรระวังข้อหนึ่งในการพิจารณาอาณาบริเวณที่สอดคล้องอสมการ
ที่ต้องการเพิ่มเติมจากที่ศึกษามาคือ นอกเหนือจากการแบ่งระนาบ XY ด้วยกราฟของฟังก์ชันเพื่อพิจารณา
แล้ว จะต้องพิจารณาการแบ่งด้วยช่วงที่ทาให้ฟังก์ชัน f ไม่มีค่าเป็นจานวนจริง ดังตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 5.2 กราฟรูปแบบต่าง ๆ ของอสมการ ของฟังก์ชัน f  x   2
3
x 1
วิธีทา 1. เลื่อนแถบกาหนดค่า a  2 , b  1 และ c  3
2. เลื่อนแถบเครื่องหมายไปยัง เพื่อพิจารณาการแบ่งระนาบ XY สาหรับการหาอาณาบริเวณ
ที่สอดคล้องกับอสมการ y  f  x  ที่ต้องการ
49