1. บทที่ 2
ความนาจะเปน (14 ชั่วโมง)
2.1 ความนาจะเปน (2 ชั่วโมง)
2.2 การทดลองสุมและเหตุการณ (4 ชั่วโมง)
2.3 ความนาจะเปนของเหตุการณ (5 ชั่วโมง)
2.4 ความนาจะเปนกับการตัดสินใจ (3 ชั่วโมง)
นักเรียนเคยพบคําวา มีโอกาส คาดการณวา หรือเปนไปไดวา มาแลวในชีวิตประจําวันและใน
เรื่องเศษสวนและอัตราสวน ซึ่งคําเหลานี้มีความเกี่ยวของกับเรื่องความนาจะเปน ในบทนี้จะกลาวถึง
ความนาจะเปนเบื้องตนในทางทฤษฎีเกี่ยวกับการทดลองสุม เหตุการณและวิธีการหาความนาจะเปนของ
เหตุการณตาง ๆ การหาผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุมจะเนนเฉพาะการไดผลลัพธโดย
วิธีการแจงนับเทานั้น นอกจากนี้ยังตองการใหนักเรียนใชความรูเรื่องความนาจะเปนเพื่อเปนเครื่องมือใน
การตัดสินใจเกี่ยวกับเหตุการณบางอยางทั้งในชีวิตประจําวันและในกิจกรรมตาง ๆ อีกทั้งยังเชื่อมโยง
ความรูเขากับสถานการณจริง เชน ใหนักเรียนไดเรียนรูวาการพนันทุกชนิดผูเลนจะเปนฝายเสียเปรียบ
และผลที่ไดรับไมคุมกับผลที่เสียไป
เนื้อหาของบทนี้จะเนนใหนักเรียนไดทํากิจกรรมโดยตรง ฝกทักษะการสังเกตแบบรูป การเขียน
ผลลัพธของการทดลองสุมอยางเปนระบบ ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนครูอาจใหนักเรียนไดทํา
การทดลองจริงบาง ทั้งนี้เพื่อประกอบความเขาใจ ในกรณีเชนนั้นครูควรเตรียมอุปกรณการทดลองสุมให
เพียงพอ ระหวางการเรียนการสอนควรมีการสนทนาสอดแทรกใหเห็นความสําคัญของการใชความนาจะ
เปนในการวิเคราะหและคาดการณสถานการณตาง ๆ อยางสมเหตุสมผลดวย
สําหรับสาระเรื่องคาคาดหมาย เปนเนื้อหาเสริมเพื่อใหเปนความรูเกี่ยวกับการใชความนาจะเปน
ประกอบการตัดสินใจไดดีขึ้น ครูไมควรวัดผลเกี่ยวกับเรื่องนี้โดยตรง
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. หาความนาจะเปนของเหตุการณจากการทดลองสุมที่ผลแตละตัวมีโอกาสที่จะเกิดขึ้นเทา ๆ กัน
ได
2. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตุสมผล
3. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนประกอบการตัดสินใจได

2. 12
แนวทางในการจัดการเรียนรู
2.1 ความนาจะเปน (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถใชสามัญสํานึกบอกไดวาเหตุการณที่กําหนดใหมีโอกาสเกิดขึ้นมาก
หรือนอยเพียงใด
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. เพื่อเปนการนําเขาสูเรื่องความนาจะเปน ครูนําสนทนาเกี่ยวกับคําหรือขอความที่นักเรียน
มักจะไดพบเห็นหรือไดฟงจากสื่อทั้งทางวิทยุ โทรทัศน สื่อสิ่งพิมพหรือในวงสนทนาเกี่ยวกับ
การคาดการณหรือโอกาสที่จะเกิดเหตุการณตาง ๆ การที่นักเรียนบงบอกไดวาเหตุการณที่กลาวถึงนั้นมี
โอกาสเกิดขึ้นไดหรือไม หรือมีโอกาสเกิดขึ้นไดมากหรือนอยเพียงใด ทําใหครูทราบถึงความสามารถ
ทางดานความรูสึกเชิงจํานวนและสามัญสํานึกเกี่ยวกับความนาจะเปนของนักเรียนวาเปนอยางไร จากนั้น
ครูจึงเชื่อมโยงขอสรุปที่ไดไปสู “ความนาจะเปน” ของเหตุการณ
2. สําหรับสาระที่กลาวถึงประวัติที่มาของการศึกษาเรื่องความนาจะเปนที่เสนอไวนั้น เพื่อ
ตองการใหนักเรียนไดตระหนักวา นักคณิตศาสตรมักมีจุดเริ่มตนในการสรางองคความรูใหม ๆ จากการที่
ตนพบปญหาและตองการแกปญหาเหลานั้น ครูอาจใชการเลาเรื่องยอ ๆ หรืออาจใหนักเรียนศึกษาดวย
ตนเองก็ได ถามีนักเรียนสงสัยเกี่ยวกับที่มาของคา 0.4914 ซึ่งเปนคาของความนาจะเปนของเหตุการณที่
กลาวถึง ครูไมจําเปนอธิบาย แตบอกใหนักเรียนทราบวานักเรียนจะไดเรียนในระดับสูงตอไป
คําอธิบายสําหรับครู
ความนาจะเปนของเหตุการณที่โยนลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 24 ครั้ง ใหไดแตม 6 ทั้งสองลูกนั้น
หาไดจากการหาความนาจะเปนของเหตุการณตรงขาม คือ การไมไดแตม 6 พรอมกันทั้งสองลูกในการ
โยน 24 ครั้ง ซึ่งเทากับ
24
35
36
 
 
 
≈ 0.5086 ดังนั้นความนาจะเปนของเหตุการณที่ตองการ คือ
1 –
24
35
36
 
 
 
≈ 0.4914
3. สําหรับกิจกรรม “คิดอยางไร” มีเจตนาเพื่อใหนักเรียนเห็นตัวอยางสถานการณที่อาจเกิดขึ้น
จริงในชีวิตประจําวันของนักเรียน ซึ่งอาจมีนักเรียนบางคนทําตามขอสรุปที่กําหนดไวในแตละสถานการณ
หรือไมทําตามก็ได ดังนั้นครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนไดแสดงความคิดเห็น และชวยกันพิจารณาวาความ
คิดเห็นใดสมเหตุสมผล

3. 13
4. สําหรับกิจกรรม “ไดเปรียบหรือไม” มีเจตนาเพื่อใหนักเรียนเห็นตัวอยางกิจกรรมหรือเกมที่
มีกติกาหรือเงื่อนไขกําหนดการกระทํา และใหนักเรียนตระหนักวา กติกาหรือเงื่อนไขที่กําหนดนั้นจะทําให
ผูเลนแตละคนอาจไดเปรียบหรือเสียเปรียบตางกัน การมีความรูเรื่องความนาจะเปนที่นักเรียนจะไดศึกษา
ตอไป จะชวยใหนักเรียนสามารถวิเคราะหไดวา ถาทําตามกติกาของกิจกรรมนั้น ๆ แลว นักเรียนจะ
ไดเปรียบหรือเสียเปรียบ ดังนั้นครูจึงควรเปดโอกาสใหนักเรียนไดอภิปรายรวมกัน
2.2 การทดลองสุมและเหตุการณ (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บอกผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุมที่กําหนดใหได
2. บอกผลลัพธของเหตุการณที่กําหนดใหได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเห็นตัวอยางการทดลองสุม ครูอาจหา
อุปกรณและดําเนินการทดลองใหนักเรียนเห็นจริง อยางไรก็ตามครูตองระมัดระวังความเที่ยงตรงของ
อุปกรณที่ใชและการดําเนินการทดลองดวย เชน การสุมหยิบของในขวดโหล ครูควรใชขวดโหลทึบที่มอง
ไมเห็นสิ่งของภายในและควรหยิบโดยไมมอง การทอดลูกเตาควรทอดลงบนโตะหรือบนพื้นที่ลูกเตา
สามารถกลิ้งไดโดยอิสระ การโยนเหรียญควรใชการดีดขึ้นแลวใหเหรียญตกลงบนพื้นโดยอิสระ
2. สําหรับกิจกรรม “เปนหรือไม” ครูอาจใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางการทดลองสุมเพิ่มเติม
จากที่ใหไวในกิจกรรม และควรหลีกเลี่ยงการยกตัวอยางที่ไมเปนการทดลองสุม โดยยกตัวอยางการกระทํา
ที่สามารถทํานายผลไดแนนอนลวงหนา เชน การแขงขันฟุตบอลระหวางทีมของโรงเรียนกับทีมชาติ
3. การหาผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุมในชั้นนี้ จะเนน “วิธีการแจงนับ”
และเพื่อใหการแจงนับเปนไปอยางเปนระบบ ครูอาจใชแผนภาพตนไมหรือใชตารางเปนเครื่องมือในการ
หาผลลัพธ หรืออาจใชแผนภาพรูปแบบอื่นก็ได (ถามี) เชน
การสุมหยิบลูกปงปอง 2 ลูกพรอมกันจากกลองที่มีลูกปงปองสีมวง สีสมและสีเขียวอยางละ
1 ลูก อาจหาผลลัพธจากแผนภาพรูปสามเหลี่ยมไดดังนี้

4. 14
ครูควรใหขอสังเกตกับนักเรียนวา กรณีที่หยิบ 2 ลูกพรอมกัน จะเขียนวา มวงสม หรือ
สมมวง ก็ใหถือวาเปนผลลัพธเดียวกัน สําหรับการหาผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุมที่มี
การหยิบ 2 ครั้ง ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาผลลัพธในรูปคูอันดับ เชน (มวง, เขียว) และ (เขียว, มวง)
ถือวาเปนผลลัพธที่ไมเหมือนกัน กลาวคือ
(มวง, เขียว) แสดงวา หยิบครั้งที่หนึ่ง ไดสีมวง และหยิบครั้งที่สอง ไดสีเขียว
(เขียว, มวง) แสดงวา หยิบครั้งที่หนึ่ง ไดสีเขียว และหยิบครั้งที่สอง ไดสีมวง
4. ในการหมุนแปนวงกลมที่มีหมายเลขกํากับเปน 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 นั้น
เพื่อใหนักเรียนเขาใจความหมายของ “เหตุการณ” ดียิ่งขึ้น ครูอาจใหนักเรียนตั้งคําถามที่ตนสนใจหรือ
อยากรูคําตอบเพิ่มเติมขึ้นมาเอง เชน ผลลัพธที่เข็มจะชี้ในชองจํานวนที่ 3 หารลงตัว เปนอะไรไดบาง หรือ
ผลลัพธที่เข็มจะชี้ในชองจํานวนที่หาร 12 ลงตัว เปนอะไรไดบาง เปนตน
5. สําหรับตัวอยางที่ 1 การหาผลลัพธทั้งหมดที่เกิดจากการโยนเหรียญบาท 3 เหรียญพรอมกัน
1 ครั้ง ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาผลลัพธ HTT, THT และ TTH เปนผลลัพธที่ไมเหมือนกัน เนื่องจาก
เหรียญทั้งสามตางกัน แตถายังมีนักเรียนสงสัยอยู ครูอาจใชเหรียญที่มีขนาดตางกันแทน เชน เหรียญสิบ
เหรียญหา และเหรียญบาท แลวแสดงใหเห็นความแตกตางของผลลัพธ HTT, THT และ TTH
6. ในการทดลองสุมหยิบของมากกวาหนึ่งชิ้นจากภาชนะ ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวา การสุม
หยิบทั่ว ๆ ไปนั้นมี 3 แบบ คือ หยิบพรอม ๆ กันหลายชิ้นตามจํานวนที่ตองการ หรือหยิบออกมาทีละ 1 ชิ้น
จนไดครบตามจํานวนที่ตองการ หรือหยิบออกมาทีละ 1 ชิ้นดูวาไดอะไรแลวใสคืน แลวหยิบใหมอีกจนครบ
ตามจํานวนที่ตองการ ครูควรย้ําวา การสุมหยิบหลายชิ้นขึ้นพรอม ๆ กันหนึ่งครั้ง ผลลัพธที่ไดจะไมมีเรื่อง
อันดับเขามาเกี่ยวของ แตถาหยิบออกมาทีละ 1 ชิ้นจนไดครบตามจํานวนที่ตองการ หรือหยิบมาดูวาได
อะไรแลวใสคืน แลวหยิบใหมอีกจนครบตามจํานวนที่ตองการมากกวาหนึ่งครั้ง ถือเปนขอตกลงในที่นี้วา
ผลลัพธที่ไดจะมีเรื่องอันดับเขามาเกี่ยวของ
2.3 ความนาจะเปนของเหตุการณ (5 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บอกความนาจะเปนของเหตุการณที่กําหนดใหได
2. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตุสมผล
3. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนประกอบการตัดสินใจได

5. 15
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการจัดกิจกรรม เพื่อใหนักเรียนเห็นตัวอยางการหา “ความนาจะเปนของเหตุการณ”
ครูอาจยกตัวอยางการทดลองสุมที่นักเรียนรูผลลัพธทั้งหมดแลว และใหนักเรียนรวมกันพิจารณาวาแตละ
ผลลัพธมีโอกาสเกิดขึ้นมากนอยเพียงใดเมื่อเทียบกับจํานวนผลลัพธที่จะเกิดขึ้นทั้งหมด หลังจากนั้นครูและ
นักเรียนรวมกันสรุปสูตรการหาความนาจะเปนของเหตุการณ
2. ในการหาผลลัพธทั้งหมดที่เกิดจากการหยิบลูกบาศก 2 ลูกพรอมกัน 1 ครั้งดังในตัวอยางที่ 2
จากถุงที่มีลูกบาศกสีเขียว 2 ลูกและสีแดง 3 ลูก ครูชี้ใหนักเรียนเห็นวาลูกบาศกทุกลูกแตกตางกัน จึง
เขียนหมายเลข 1, 2 หรือ 3 กํากับ
3. หลังจากหาความนาจะเปนของเหตุการณที่เกิดจากการสุมตางๆ แลว ครูควรใหขอสังเกตวา
ขอบเขตของความนาจะเปนของเหตุการณใด ๆ จะมีคาตั้งแต 0 ถึง 1 โดยเนนย้ําวา ความนาจะเปนของ
เหตุการณที่จะเกิดขึ้นแนนอนจะเทากับ 1 และความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมมีผลลัพธเกิดขึ้นเลยหรือ
เหตุการณที่ไมเกิดขึ้นแนนอนจะเทากับ 0
4. สําหรับกิจกรรม “ทราบหรือไม” มีเจตนาเพื่อใหนักเรียนทราบวา การหาความนาจะเปน
ของเหตุการณมีทั้งในทางทฤษฎีและในทางปฏิบัติ ในการหาความนาจะเปนในทางทฤษฎี เรามักจะ
กําหนดใหแตละผลลัพธมีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ กัน หรือสิ่งที่ใชทดลองนั้นมีความเที่ยงตรง ขณะที่การหา
ความนาจะเปนในทางปฏิบัติ เรามักจะทําการทดลองสุมหลาย ๆ ครั้ง โดยถือวาถาจํานวนการทดลองมาก
ครั้งขึ้น ความนาจะเปนของเหตุการณที่ไดจะใกลเคียงกับความนาจะเปนในทางทฤษฎีมากขึ้น และจะถือวา
สิ่งที่ใชทดลองนั้นมีความเที่ยงตรงดวยเชนกัน
5. สําหรับกิจกรรม “คาดการณอยางไร” มีเจตนาเพื่อใหนักเรียนเห็นตัวอยางสถานการณที่อาจ
เกิดขึ้นจริงในชีวิตประจําวัน ซึ่งอาจมีนักเรียนบางคนคาดการณในแตละสถานการณแตกตางกัน ดังนั้นครู
ควรเปดโอกาสใหนักเรียนไดแสดงความคิดเห็น และชวยกันพิจารณาวาการคาดการณใดสมเหตุสมผล
โดยใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปน
6. สําหรับกิจกรรม “ชวยกันรณรงค” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงของความนาจะเปน
กับชีวิตประจําวัน ซึ่งในที่นี้เปนการรณรงคเพื่อแกปญหาตาง ๆ ในสังคม ครูควรใหมีการสนทนารวมกันและ
ถือโอกาสสอดแทรกใหนักเรียนตระหนักถึงหนาที่ที่จะตองมีสวนชวยกันรณรงค และปฏิบัติตนตามโครงการ
รณรงคที่ใหชวยกันรักษาและพัฒนาสังคม

6. 16
2.4 ความนาจะเปนกับการตัดสินใจ (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนประกอบการตัดสินใจได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. เพื่อเปนการนําเขาสูเรื่องคาคาดหมาย ครูนําสนทนาเกี่ยวกับคําหรือขอความที่นักเรียนมักจะ
ไดพบเห็นหรือไดฟงจากสื่อทั้งทางวิทยุ โทรทัศน สื่อสิ่งพิมพหรือในวงสนทนาเกี่ยวกับ ผลตอบแทนของ
การเกิดเหตุการณตาง ๆ เพื่อเชื่อมโยงไปสูคาคาดหมายของเหตุการณ
2. ในการเรียนการสอน ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาความนาจะเปนของเหตุการณกับ
ผลตอบแทนของเหตุการณ เปนองคประกอบที่สําคัญในการหาคาคาดหมายของเหตุการณใด ๆ เชน
ถาเปลี่ยนกติกาของการทดลองสุม หรือเปลี่ยนผลตอบแทนของเหตุการณใหมากขึ้นหรือนอยลง แลว
คาคาดหมายของเหตุการณนั้นจะเปลี่ยนแปลงดวยเชนกัน ดังกิจกรรมการเลนเกมโยนเหรียญของเจตริน
และอําพล
3. ในการเลนเกมโยนเหรียญของเจตรินกับอําพล ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวา จํานวนเงินที่
อําพลอาจจะไดรับและจํานวนเงินที่อําพลอาจจะตองเสีย เปนสิ่งสําคัญในการหาคาคาดหมายของเหตุการณ
นี้ เพราะการรับเงินหรือเสียเงินของเจตรินกับอําพลเกิดขึ้นหลังจากที่ผลลัพธของการโยนเหรียญไดเกิดขึ้น
แลว ดังนั้นจึงตองนําจํานวนเงินดังกลาวมาใชในการคํานวณหาคาคาดหมายดวย
4. สําหรับกิจกรรม “หวยทอง” ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวา จํานวนเงินที่ณัชชาซื้อหวยนั้นไมได
นํามาใชในการคํานวณหาคาคาดหมายของเหตุการณนี้ เพราะณัชชาเสียเงินจํานวนนั้นซื้อสลากลวงหนา
กอนที่จะออกรางวัล แตจะนํามาใชในการเปรียบเทียบคาคาดหมายที่ณัชชาจะไดเงินวาเปนการเสียเปรียบ
หรือไดเปรียบ
5. กิจกรรม “ไดหรือไม” มีเจตนาเพื่อใหนักเรียนเห็นตัวอยางการใชความรูเกี่ยวกับความนาจะ
เปนประกอบการตัดสินใจ ซึ่งอาจมีนักเรียนบางคนมีการตัดสินใจที่แตกตางกัน ดังนั้นครูควรเปดโอกาส
ใหนักเรียนไดแสดงความคิดเห็น และชวยกันพิจารณาวาการตัดสินใจใดสมเหตุสมผล
สําหรับเหตุการณขอ 2 ครูควรนํามาอภิปรายกับนักเรียนในชั้นเรียน โดยชี้ใหนักเรียนเห็น
กอนวา กําไร 300,000 บาทของบริษัทเปนรายไดของบริษัทที่หักคาใชจายทั้งหมดซึ่งรวมถึงการเสียเงิน
200,000 บาทไปแลว การรับเงินกําไรหรือเสียเงินคาเตรียมการไปโดยไมไดงานเกิดขึ้นหลังจากไดทราบผล
การประมูลแลว ดังนั้นจึงตองนํากําไรและคาใชจายดังกลาวมาใชคํานวณหาคาคาดหมายดวย
6. สําหรับกิจกรรม “สลากกินแบงรัฐบาล” มีเจตนาเพื่อใหนักเรียนเห็นตัวอยางการพนันและ
การเสี่ยงโชคที่เจามือมักจะกําหนดกติกาและเงื่อนไขการจายรางวัลที่ทําใหเจามือไดเปรียบ มีกําไรเปน
จํานวนมาก และในระยะยาวผูเลนจะเสียเปรียบเจามือ ดังนั้นครูควรชี้ใหนักเรียนตระหนักวา การหวัง
ร่ํารวยจากการพนันและการเสี่ยงโชคทุกชนิดนั้นเปนไปไดยาก

7. 17
7. กิจกรรม “ลีลาวดีลูกผสม” มีเจตนาเพื่อใหนักเรียนเห็นตัวอยางของการเชื่อมโยงที่นํา
ความรูเรื่องความนาจะเปนมาอธิบายปรากฏการณทางวิทยาศาสตร ครูอาจใหนักเรียนรวมกันอภิปรายและ
ตอบคําถามในกิจกรรม
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “คิดอยางไร”
สถานการณ 1 กองคิดวามีโอกาสที่จะขึ้นรถเมลที่ปายตรงจุด C ไดมากกวาที่ปายตรงจุด B
สถานการณ 2 แกวคิดวามีโอกาสที่ฝนจะตกในเวลาอันใกล
สถานการณ 3 ออคิดวามีโอกาสที่จะเขาเรียนไดในโรงเรียน ข มากกวาในโรงเรียน ก
สถานการณ 4 คนเมาแลวขับรถมีโอกาสเกิดอุบัติเหตุสูง
คําตอบกิจกรรม “ไดเปรียบหรือไม”
1. ถุงที่สาม เพราะในถุงมีลูกแกวสีแดงมากกวาลูกแกวสีเขียว
2. ถุงที่สอง เพราะในถุงมีลูกแกวสีเขียวอยางเดียว
3. ถุงที่สอง
4. ถุงที่หนึ่ง
คําตอบกิจกรรม “เปนหรือไม”
1. เปน
2. เปน
3. ไมเปน
4. เปน
5. เปน
6. ไมเปน
คําตอบแบบฝกหัด 2.2
1.
1) ชาย ชาย, ชาย หญิง, หญิง ชาย และ หญิง หญิง

8. 18
2) เตาสวน บัวลอย, เตาสวน ถั่วดํา, เตาสวน กลวยบวชชี, บัวลอย ถั่วดํา, บัวลอย กลวยบวชชี
และ ถั่วดํา กลวยบวชชี
3) ไทย พมา, ไทย ลาว, ไทย บรูไน, ไทย มาเลเซีย, พมา ลาว, พมา บรูไน, พมา มาเลเซีย,
ลาว บรูไน, ลาว มาเลเซีย และ บรูไน มาเลเซีย
2. ผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง คือ HHH, HHT, HTH, HTT,
THH, THT, TTH และ TTT
1) ออกกอย 1 ครั้ง มีผลลัพธ คือ HHT, HTH และ THH
2) ออกหัวนอยกวาออกกอย มีผลลัพธ คือ HTT, THT, TTH และ TTT
3) ออกกอยมากกวา 2 ครั้ง มีผลลัพธ คือ TTT
4) ไมมีผลลัพธของเหตุการณออกหัวและออกกอยจํานวนครั้งเทากัน
3. ผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการหมุนแปน 2 แปนพรอมกัน คือ (-1, -4), (-1, +5), (-1, +6),
(+2, -4), (+2, +5), (+2, +6), (-3, -4), (-3, +5) และ (-3, +6)
1) ผลบวกเปนจํานวนลบ มีผลลัพธ คือ (-1, -4), (+2, -4) และ (-3, -4)
2) ผลบวกเปน 8 มีผลลัพธ คือ (+2, +6)
3) ไมมีผลลัพธของเหตุการณผลบวกเปน 1
4. เพื่อนจะไดรับลูกอมรสตาง ๆ คือ นม สม, นม องุน, นม สละ, สม องุน, สม สละ และ องุน สละ
คําตอบแบบฝกหัด 2.3
1.
1) 1
6
2) 3
6 หรือ 1
2
3) 3
6 หรือ 1
2
4) 4
6 หรือ 2
3
2.
1) 8
15
2) 6
15 หรือ 2
5
3) 1
15
4) 0
15 หรือ 0

9. 19
3.
1) 7
8
2) 1
8
3) 0
8 หรือ 0
4) 4
8 หรือ 1
2
4.
1) 6
36 หรือ 1
6
2) 8
36 หรือ 2
9
3) 1
4) 30
36 หรือ 5
6
5) 6
36 หรือ 1
6
5. 2
12 หรือ 1
6
คําตอบกิจกรรม “คาดการณอยางไร”
ตัวอยางคําตอบ
สถานการณ 1 จุรีนาจะไดรับประทานสมโชกุน
เนื่องจากจํานวนสมโชกุนมากกวาจํานวนสมอื่น ๆ แตละชนิด ทําให
ความนาจะเปนที่ลูกชายของจุรีจะหยิบไดสมโชกุนมากกวาความนาจะเปนที่จะ
หยิบไดสมสายน้ําผึ้ง และมากกวาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสมบางมด
สถานการณ 2 เนื่องจากความนาจะเปนที่จะจับฉลากไดเรียนในโรงเรียน ก เทากับ 120
200 หรือ
6
10 มากกวาความนาจะเปนที่จะจับฉลากไดเรียนในโรงเรียน ข ซึ่งเทากับ 300
600
หรือ 5
10
สถานการณ 3 จากขอมูลเกี่ยวกับรายงานอากาศและเหตุการณที่เห็น ทําใหสรุปไดวามี
ความนาจะเปนสูงที่ฝนจะตกในวันนั้น ดังนั้นวันเพ็ญควรเตรียมรมหรือเสื้อกันฝน
ติดตัวไปโรงเรียน และควรออกจากบานเร็วขึ้นเพื่อเผื่อเวลาในการเดินทาง เพราะ
อาจมีปญหาการจารจร หรืออุปสรรคอื่น ๆ

10. 20
สถานการณ 4 ปาละเมียดนาจะเตรียมอาหารมาขายเพิ่มขึ้น เนื่องจากมีความนาจะเปนสูงที่
ผูมาสอบจะตองรับประทานอาหารกลางวันที่โรงเรียน เพราะมีการสอบทั้ง
ชวงเชาและชวงบาย
สถานการณ 5 เมื่อ 2 ปกอนชัยคาดการณที่หวังร่ํารวยจากการผลิตผลแกวมังกรออกมาขายและ
เปนการตัดสินใจที่ไมถูกตอง ทั้งนี้เนื่องจากชัยไมไดคิดถึงความนาจะเปนที่
ผลแกวมังกรจะลนตลาด เพราะมีชาวสวนคนอื่น ๆ ตางก็ผลิตผลแกวมังกรออก
มาดวย
สถานการณ 6 เนื่องจากการผลิตสินคาใด ๆ มีโอกาสเกิดความผิดพลาดในการผลิตดวยเหตุ
จากชิ้นสวนดอยคุณภาพ หรือฝมือการประกอบสินคาไมไดมาตรฐาน ดังนั้น
มีความนาจะเปนที่รถยนตใหมบางคันจะเกิดปญหาในการใช จนตองสงเขาซอม
บอย ๆ
คําตอบกิจกรรม “ชวยกันรณรงค”
โครงการรณรงคตาง ๆ ของรัฐบาลมีการนําความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนมาใชเปนประโยชน
เนื่องจากไดวิเคราะหมาแลววา ถาไมมีการรณรงคก็มีความนาจะเปนสูงที่จะทําใหสังคม หรือ
สิ่งแวดลอมเกิดปญหา และการรณรงคตาง ๆ เปนการใหความรูความเขาใจกับประชาชน เมื่อ
ประชาชนมีโอกาสไดฟงไดเห็นบอย ๆ ทําใหมีความนาจะเปนสูงที่ประชาชนจะคลอยตาม และ
ปฏิบัติตามการรณรงคนั้น
ตัวอยางโครงการรณรงค เชน โครงการปลูกปาถาวรเฉลิมพระเกียรติ และโครงการ
ทูบีนัมเบอรวัน
คําตอบกิจกรรม “หวยทอง”
1. คาคาดหมายเทากับ 50 บาท
แนวคิดและตัวอยางคําอธิบาย
คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ถูกรางวัล)
+ (ผลตอบแทนที่ไมถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมถูกรางวัล)
= ( 2,500 × 2
100 ) + ( 0 × 98
100 )
= 50 บาท

11. 21
ดังนั้น คาคาดหมายที่ผูซื้อจะไดเงินจากการซื้อสลากสองหมายเลขเทากับ 50 บาท
แสดงวา ในการซื้อหวยทองหมายเลขละ 100 บาทสองหมายเลข มีคาคาดหมายที่จะไดเงิน
50 บาท ซึ่งเสียเปรียบอยู 200 – 50 = 150 บาท
นั่นคือ ถาซื้อหวยทองสองหมายเลขหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งผูซื้อจะเสียเปรียบหรือผูขาย
มีกําไร
2. ผูขายยังจะไดกําไร
แนวคิดและตัวอยางคําอธิบาย
คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ถูกรางวัล)
+ (ผลตอบแทนที่ไมถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมถูกรางวัล)
= ( 2,500 × 1
100 ) + ( 0 × 99
100 )
= 25 บาท
ดังนั้น คาคาดหมายที่ผูซื้อจะไดเงินจากการซื้อสลาก ราคา 50 บาทเทากับ 25 บาท
แสดงวา ในการซื้อหวยทองหนึ่งหมายเลขราคา 50 บาท มีคาคาดหมายที่จะไดเงิน 25 บาท ซึ่ง
เสียเปรียบอยู 50 – 25 = 25 บาท
นั่นคือ ถาซื้อหวยทองหมายเลขละ 50 บาทหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งผูซื้อจะเสียเปรียบหรือ
ผูขายมีกําไร
3. ผูขายยังจะไดกําไร
แนวคิดและตัวอยางคําอธิบาย
คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ถูกรางวัล)
+ (ผลตอบแทนที่ไมถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมถูกรางวัล)
= ( 5,000 × 1
100 ) + ( 0 × 99
100 )
= 50 บาท
ดังนั้น คาคาดหมายที่ผูซื้อจะไดเงินจากการซื้อสลากราคา 100 บาท โดยมีรางวัลเปนสรอยทองคําหนัก
สองสลึงหนึ่งเสนราคา 5,000 บาทเทากับ 50 บาท
แสดงวา ในการซื้อหวยทองที่มีการขายสลากราคาเดิม แตเพิ่มรางวัลเปนสรอยทองคําหนักสองสลึง
หนึ่งเสนราคา 5,000 บาท มีคาคาดหมายที่จะไดเงิน 50 บาท ซึ่งเสียเปรียบอยู 100 – 50 = 50 บาท
นั่นคือ ถาซื้อหวยทองหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งผูซื้อจะเสียเปรียบหรือผูขายมีกําไร

12. 22
คําตอบกิจกรรม “ไดหรือไม”
1.
1) 2
8 หรือ 1
4
2) 6
8 หรือ 3
4
3) คาคาดหมาย เทากับ 5 บาท
ตัวอยางคําอธิบาย
แสดงวา ในการซื้อตั๋วหมุนวงลอเสี่ยงโชคราคา 10 บาท มีคาคาดหมายที่จะไดเงิน 5 บาท
ซึ่งเสียเปรียบอยู 10 – 5 = 5 บาท
นั่นคือ ถาแกวซื้อตั๋วหมุนวงลอเสี่ยงโชคหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งแกวตาจะ
เสียเปรียบหรือผูขายมีกําไร
4) คาคาดหมาย เทากับ 10 บาท
ตัวอยางคําอธิบาย
แสดงวา ในการซื้อตั๋วหนึ่งใบหมุนวงลอเสี่ยงโชคสองครั้งราคา 10 บาท มีคาคาดหมายที่
จะไดเงิน 10 บาท ซึ่งเสียเปรียบอยู 10 – 10 = 0 บาท
นั่นคือ ถาแกวตาซื้อตั๋วหมุนวงลอเสี่ยงโชคหลาย ๆ ใบ โดยเฉลี่ยแลวแตละใบแกวตาจะ
เสมอตัว
2.
1) คาคาดหมาย เทากับ 180,000 บาท
แนวคิด
คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ไดงานและมีกําไร × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ไดงาน
และมีกําไร) + (ผลตอบแทนที่ไมไดงาน × ความนาจะเปนของเหตุการณ
ที่ไมไดงาน)
= ( 300,000 × 0.6 ) + ( -200,000 × 0.4 )
= 100,000 บาท
2) ตัวอยางคําตอบ
บริษัทชาญชัยกอสรางควรเขาประมูลราคา เพราะมีคาคาดหมายที่จะไดกําไร
100,000 บาท ทั้งทําใหคนงานมีงานทํา ซึ่งถาไมมีงาน อาจตองปลดออก โดยบริษัทอาจ
ตองเสียคาใชจายในการปลดออกเปนเงินจํานวนหนึ่งและไมมีรายไดเขามา สวนในกรณี
บริษัทเขาประมูลและไมไดงานดวยความนาจะเปน 0.4 ก็ควรจะถือเปนความเสี่ยงทางธุรกิจที่
จะเสียเงินคาใชจายในการเตรียมขอมูล 200,000 บาท

13. 23
คําตอบกิจกรรม “สลากกินแบงรัฐบาล”
คําตอบในตารางเปนดังนี้
เหตุการณ
ผลตอบแทน
(บาท)
ความนาจะเปน ผลตอบแทน × ความนาจะเปน
ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัว 1,000
000,000,1
000,10 1,000 ×
000,000,1
000,10
= 10
ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตัว 2,000
000,000,1
000,4 2,000 ×
000,000,1
000,4
= 8
ถูกรางวัลขางเคียง
รางวัลที่หนึ่ง
50,000
000,000,1
2 50,000 ×
000,000,1
2
= 0.1
ถูกรางวัลที่ 5 10,000
000,000,1
100 10,000 ×
000,000,1
100
= 1
ถูกรางวัลที่ 4 20,000
000,000,1
50 20,000 ×
000,000,1
50
= 1
ถูกรางวัลที่ 3 40,000
000,000,1
10 40,000 ×
000,000,1
10
= 0.4
ถูกรางวัลที่ 2 100,000
000,000,1
5 100,000 ×
000,000,1
5
= 0.5
ถูกรางวัลที่ 1 2,000,000
000,000,1
1 2,000,000 ×
000,000,1
1
= 2
ไมถูกรางวัลเลย 0 985,832
1,000,000
0 × 985,832
1,000,000 = 0
คาคาดหมายของการซื้อสลากหนึ่งฉบับ เทากับ 23
ดังนั้น ถาซื้อสลากกินแบงรัฐบาลไปเรื่อยๆ จะขาดทุนฉบับละ 40 – 23 = 17 บาท

14. 24
คําตอบกิจกรรม “ลีลาวดีลูกผสม”
1. 1
2. 0
3.
4. 2
4 หรือ 1
2
5. 2
4 หรือ 1
2
ลีลาวดีดอกสีชมพู
RW
R W
R RR RW
W RW WW
ลีลาวดีดอกสีชมพู RW