Jarak Garis

Welcome Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday
Oleh :
Zachrotun Sulistiawati (180101040633)
Dosen : Aziz Muslim, M.Pd
-
GARIS LURUS DI RUANG

PERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN VEKTORIS
PERSAMAAN PARAMETER
PERSAMAAN SIMETRIS

PERSAMAAN VEKTORIS
Diketahui bahwa
𝑂𝑃
= (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan
𝑂𝑃
= (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) serta
𝑂𝑃
= (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1) . Jika di ambil sembarang X(x,y,z) maka akan berlaku
𝑂𝑃
=
λ
𝑂𝑃
dengan −∞ < λ < ∞ sehingga dengan penjumlahan vektor diperoleh vektor
𝑂𝑋
=
𝑂𝑃
+
𝑂𝑋
.
Persamaan ini dapat ditulis menjadi :
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + λ[𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1]

λ
λ
λ
λ
PERSAMAAN PARAMETER

λ =
𝑥 − 𝑥1
𝑥 𝑎
, λ =
𝑦 − 𝑦1
𝑦𝑎
, 𝑑𝑎𝑛 λ =
𝑧 − 𝑧 𝑎
𝑧 𝑎
Persamaan di atas dapat disederhanakan dalam bentuk persamaan sebagai berikut :
𝑥 − 𝑥1
𝑥 𝑎
=
𝑦 − 𝑦1
𝑦𝑎
=
𝑧 − 𝑧 𝑎
𝑧 𝑎
PERSAMAAN SIMETRIS

TENTUKAN PERSAMAAN VEKTORIS, PARAMETER, DAN LINIER BIDANG DATAR (SIMETRIS) YANG MELALUI TITIK
: (3, 4, 1), (-1, -1, 5), (1, 7, 1)
Diket : Titik : (3, 4, 1), (-1, -1, 5), (1, 7, 1)
Tanya : Persamaan Vektoris, Parameter, Dan Linier Bidang Datar ?
Jawaban :
a. Persamaan Parameter
[𝑥, 𝑦, 𝑧] = 3, 4, 1 + λ −1 − 3, −1 − 4, 5 − 1 + μ 1 − 3, 7 − 4, 1 − 1
= 3, 4, 1 + λ −4, −5, 4 + 𝜇[−2, 3, 0]
CONTOH SOAL

b. Persamaan Parameter
 𝑥 = 3 − 4λ − 2𝜇
 𝑦 = 4 − 5λ + 3𝜇
 𝑧 = 1 + 4𝜇
c. Persamaan Linier Bidang Datar (Simetris)
Vektor Normal 𝐴, 𝐵, 𝐶 = −4, −5. 4 . −2, 3, 0 = [12, 8, −22]
Sehingga Persamaan Liniernya Menjadi :
𝐴 𝑥 − 𝑥1 + 𝐵 𝑦 − 𝑦1 + 𝐶 𝑧 − 𝑧1 = 0
12 𝑥 − 3 + 8 𝑦 − −1 + −22 𝑧 − 1 = 0
12𝑥 − 36 + 8𝑦 + 8 − 22𝑧 + 22 = 0
12𝑥 + 8𝑦 − 22𝑧 − 6 = 0

JARAK TITIK KE GARIS LURUS
Misalkan diketahui suatu titik yang terletak di luar garis
dimensi ruang. Maka untuk menentukan jarak titik
tersebut terhadap garis dapat diLakukan dengan
sebuah bidang bantu yang menghubungkan keduannya.

Langkah-langkah menentukan jarak titik ke garis :
1. Buat bidang V yang melalui titik T dan memotong tegak lurus di g.
2. Tentukan titik U sebagai titik tembus garis g dengan bidang V.
3. Garis TU yang terbentuk adalah garis yang melalui titik T dan tegak lurus garis g,
sehingga jarak titi T ke garis g adalah panjang 𝑇𝑈 .
4. Hitung panjang 𝑇𝑈 dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik.

Tentukan jarak titik T(1, 0, 2) ke garis g dengan persamaan 𝑥 = 𝑦 = 𝑧.
Penyelesaian :
Persamaan garis 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 dapat ditulis menjadi :
𝑥 − 0
1
=
𝑦 − 0
1
=
𝑧 − 0
1
Diperoleh vektor arah
𝑎
= [𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎]. Kemudian buat bidang V yang melalui titik T(1, 0,
2), dengan mengamsumsikan bidang V tegak lurus dengan garis g maka vektor normal V
sebanding dengan vektor arah g yaitu 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 1, 1, 1 .
Sehingga persamaan bidang V yaitu :
CONTOH SOAL

𝑉 ≡ 𝐴 𝑥 − 𝑥1 + 𝐵 𝑦 − 𝑦1 + 𝐶(𝑧 − 𝑧1) = 0
1 𝑥 − 1 + 1 𝑦 + 1 𝑧 − 2 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0
Titik potong bidang V diperoleh dengan munsubtitusikan persamaan parameter dari garis g :
Persamaan parameternya adalah :
𝑥 = 0 + λ = λ
𝑦 = 0 + λ = λ
𝑧 = 0 + λ = λ
Subtitusikan ke persamaan bidang V :
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0
λ + λ + λ − 3 = 0
3λ = 3
λ = 1

Dengan diperoleh nilai λ subtitusikan kembali ke persamaan parameter garis g,
sehimgga diperoleh titik potong U(1, 1, 1). Jadi jarak titik P ke garis g adalah jarak antara
titik P ke titik Q yaitu :
𝑃𝑄 = (1 − 1)2 + (1 − 0)2 + (1 − 2)2 = 2
Jadi, jarak P ke garis Q yang melalui titik T(1, 0, 2) ke garis g dengan persamaan 𝑥 =
𝑦 = 𝑧 adalah 2

JARAK DUA GARIS SALING SEJAJAR
Jika dua buah garis saling sejajar, maka terdapat jarak
tetap diantara keduannya yang dapat kita tentukan.
Dua garis akan sejajar bila kedua vektor arahnya
sejajar, yaitu 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 = 𝑡 𝑥 𝑏, 𝑦 𝑏, 𝑧 𝑏 dengan 𝑡 ∈ 𝑅.

Langkah-langkah untuk menggitung jarak antara kedua garis (g dan h0 yang sejajar
dapat dilakukan sebagai berikut :
1. Pilih sembarang titik pada garis g, misalkan titik R.
2. Buat bidang rata V yang melalui titik p dan tegak lurus garis g, maka jelas juga
bahwa bidang V juga tegak lurus garis h.
3. Tentukan titik tembus garis h dengan bidang V, misalkan titik S.
4. Panjang 𝑅𝑆 yang terbentuk adalah jarak antara dua garis g dan h yang saling
sejajar.

Tentukan jarak garis g dengan persamaan
𝑥−2
2
=
𝑦
3
=
𝑧−2
1
dengan garis lurus h yang
persamaannya
𝑥
2
=
𝑦−4
3
=
𝑧−8
1
Penyelesaian :
Vektor arah (2, 3, 1)
1. Pilih sembarang titik pada garis g, misalkan titik P(2, 0, 2)
2. Buat bidang rata V yang melalui titik P dan tegak lurus garis g
𝑉 = 2 𝑥 − 2 + 3 𝑦 + 1 𝑧 − 2 = 0
𝑉 = 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 6 = 0
CONTOH SOAL

3. Tentukan titik tembus garis h dengan bidang V, misalkan titik s, persamaan
parameter garis h adalah sebagai berikut :
𝑥 = 2λ
𝑦 = 4 + 3λ
𝑧 = 8 + λ
Subtitusikan persamaan parameter kepersamaan bidang V :
𝑉 ≡ 2 𝑥 − 2 + 3 𝑦 + 1 𝑧 − 2 = 0
2 2λ + 3 4 + 3λ + 1 8 + λ − 6 = 0
14λ + 14 = 0
λ = −1
Subtitusikan kembali λ= −1 ke persamaan garis h sehingga diperoleh Q(-2, 1, 7)
4. Panjang 𝑃𝑄 = (−2 − 2)2 + (1 − 0)2 + (7 − 2)2 = 42

TERIMAKASIH

Jarak Garis

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Jarak Garis

Similar to Jarak Garis (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Jarak Garis