Membahas sisi lain dari distribusi Binomial dan Normal (Kurva normal secara kalkulus, hubungan antara dua distribusi). Menjawab pertanyaan seperti: bagaimana bentuk fungsi normal terbentuk, bagaimana muncul 1/akar(2pi), bagaimana menentukan peluang tanpa menggunakan tabel statistik, dsb.
File Tambahan:
Simulasi perhitungan luas dibawah kurva normal baku (https://drive.google.com/file/d/1kA3GYTps1tmtHBvjQ3Q6rSy1YPb70Q_g/view?usp=sharing)
Video Penjelasan Slide:
https://www.youtube.com/watch?v=FAs6m7MRFBI
2. Variabel
Acak
Diskrit
π π π
Kontinu
___________
π π
Fungsi
Peluang
Fungsi
Densitas
Distribusi
Distribusi
Bernoulli Binomial
π percobaan
Normal Normal
Baku
π§ =
π₯ β π
π
βͺ π π₯ β₯ 0
βͺ Ο π₯ π π₯ = 1
βͺ π π₯ β₯ 0
βͺ β«Χ¬β¬ββ
β
π(π₯) ππ₯ = 1
βͺ π π β€ π β€ π = β«Χ¬β¬π
π
π(π₯) ππ₯
3. Nilai Ekspektasi π¬ πΏ
Misalnya π adalah peubah acak. Dapat didefinisikan sebuah besaran πΈ π , yaitu:
Diskrit Kontinu
πΈ π = ΰ·
π₯
π₯ β π π₯
dengan π π₯ adalah fungsi peluang dari π.
πΈ π = ΰΆ±
ββ
β
π₯ β π(π₯) ππ₯
dengan π π₯ adalah fungsi densitas dari π.
4. Nilai Variansi π½ππ πΏ
Misalnya π adalah peubah acak. Dapat didefinisikan sebuah besaran πππ π , yaitu:
πππ π = πΈ π β πΈ π
2
5. Distribusi Bernoulli
βͺ Misalnya sebuah percobaan acak dimana ruang sampelnya adalah π.
Fungsi peluang
βͺ Untuk setiap π β π hanya berlaku salah satu dari π π = 0 atau π π = 1, dengan π adalah variabel
acak.
βͺ Percobaan acak dilakukan hanya satu kali.
π π₯ = π‘ π₯ 1 β π‘ 1βπ₯ dengan
π‘ = π π = 1
π₯ = 0, 1
Ekspektasi
π = π‘
Variansi
π2
= π‘(1 β π‘)
6. Distribusi Binomial
βͺ Sebuah percobaan acak diulang secara bebas sebanyak π kali.
Fungsi peluang
βͺ Terdapat dua kemungkinan hasil pada setiap percobaannya yaitu A dan B, dimana peluang
terjadinya A adalah π‘.
βͺ Definisikan π = banyaknya percobaan dengan hasil A.
π π = π₯ = π π₯ =
π
π₯
π‘ π₯ 1 β π‘ 1βπ₯
dengan
π₯ = 0, 1, 2, β¦ , π
Ekspektasi
π = ππ‘
Variansi
π2
= ππ‘(1 β π‘)
10. π
π + ππ β π π
Karakteristik Model untuk
Peubah Acak Kontinu
βͺ Simetris di π₯ = π.
βͺ Titik infleksi di π₯ = π β π
Bentuk Model adalah
π π₯ = ππβπ π₯βπ 2
11. Karakteristik Model untuk
Peubah Acak Kontinu
Bentuk Model adalah
π π₯ = ππβπ π₯βπ 2
πβ²β²
(π₯) = β2πππβ π₯βπ 2 π
1 β π₯ β π 2π 1 + π₯ β π 2π
Kurva mengalami infleksi di π₯ = π β π, maka πβ²β²
π β π = 0 dan πβ²β²
π + π = 0
πβ²β² π β π = 0 1 β π β π β π 2π = 0
1 + π β π β π 2π = 0
atau
2π = β
1
π
π =
1
2π2
(tidak memenuhi)
13. Syarat π(π) sebagai Fungsi
Densitas
ΰΆ±
ββ
β
π(π₯) ππ₯ = ΰΆ±
ββ
β
ππ
β
1
2π2 π₯βπ 2
ππ₯ = 1
Dengan demikian:
βͺ Luasan di bawah kurva harus tetap, sehingga ketika π berubah-rubah (kurva melebar-menyempit)
harus diimbangi dengan perubahan ketinggian kurva yang bergantung pada π.
βͺ Harus dicari nilai π sedemikian sehingga π(π₯) merupakan fungsi densitas yang valid.
14. Syarat π(π) sebagai Fungsi
Densitas
π π₯ =
π
π
π
β
1
2π2 π₯βπ 2
Sampai sini kita menggunakan π = π/π :
Bentuk ini ternyata bisa memudahkan kita melakukan integrasi
nantinya.
16. Kita akan menghitung
Luasan yang Sama
Dengan memisalkan π§ =
π₯βπ
π
diperoleh πππ§ = ππ₯, sehingga:
ΰΆ±
π₯1
π₯2
π
π
π
β
1
2π2 π₯βπ 2
ππ₯ = ΰΆ±
π§1
π§2
π
π
πβ
1
2
π§2
πππ§ = ΰΆ±
π§1
π§2
ππβ
1
2
π§2
ππ§
Untuk selanjutnya kita bisa menggunakan fungsi π π₯ = ππβ
1
2
π₯2
ΰΆ±
π₯1
π₯2
π
π
π
β
1
2π2 π₯βπ 2
ππ₯
17. Mencari konstanta
Kita akan menghitung ΰΆ±
ββ
β
πβ
1
2
π₯2
ππ₯
Misal ΰΆ±
ββ
β
πβ
1
2
π₯2
ππ₯ = πΌ, maka lim
πββ
ΰΆ±
βπ
π
πβ
1
2
π₯2
ππ₯ = πΌ
18. Mencari konstanta
Kita bisa menentukan volume di bawah permukaan π§ = πβ
1
2
π₯2+π¦2
dan di atas
persegi dengan titik-titik sudut (Β±π, Β±π) dan (Β±π, βπ)
ππ = ΰΆ±
βπ
π
ΰΆ±
βπ
π
πβ
1
2
π₯2+π¦2
ππ¦ππ₯
= ΰΆ±
βπ
π
ΰΆ±
βπ
π
πβ
1
2
π₯2
πβ
1
2
π¦2
ππ¦ππ₯
= ΰΆ±
βπ
π
πβ
1
2 π₯2
ΰΆ±
βπ
π
πβ
1
2 π¦2
ππ¦ ππ₯
= ΰΆ±
βπ
π
πβ
1
2 π¦2
ππ¦ ΰΆ±
βπ
π
πβ
1
2 π₯2
ππ₯ lim
πββ
ππ = πΌ2
Sehingga
Sumber: Purcell, dkk.
19. Mencari konstanta
Disisi lain, dengan memanfaatkan koordinat polar, kita dapat menentukan volume di bawah
permukaan π§ = πβ
1
2
π₯2+π¦2
dan di atas lingkaran berjari-jari π melalui
ππ = ΰΆ±
0
2π
ΰΆ±
0
π
πβ
1
2
π2
πππππ
= 2π 1 β
1
π
1
2 π2
2π = πΌ2
β πΌ = 2π
SehinggaDalam ketakhinggaan, lim
πββ
ππ = lim
πββ
ππ = πΌ2.
20. Mencari konstanta
Sampai disini kita peroleh:
ΰΆ±
ββ
β
πβ
1
2
π₯2
ππ₯ = πΌ = 2π
Sebelumnya kita sedang mencari π dimana
ΰΆ±
ββ
β
ππβ
1
2
π₯2
ππ₯ = π ΰΆ±
ββ
β
πβ
1
2
π₯2
ππ₯ = 1
dan akhirnya π =
1
2π
21. Distribusi Normal Umum dan
Normal Baku
Distribusi Normal
(Umum)
Distribusi Baku
Fungsi densitas
π¬(πΏ)
π½ππ(πΏ)
π π₯ =
1
π 2π
π
β
1
2π2(π₯βπ)2
π π₯ =
1
2π
πβ
1
2
π₯2
π
π2
0
1
π§ =
π₯ β π
π
(dibuat tabel)(tidak mungkin dibuat tabel berbeda
untuk setiap nilai π dan π)
25. Aproksimasi Normal untuk
Binomial
Sumber: Rinaldi Munir (Slide kuliah).
βͺ Distribusi dapat digunakan untuk
menghampiri distribusi binomial untuk
π yang cukup besar.
βͺ Jika π~ π₯; π, π dan π = lim
πβππ
ππ 1βπ
,
maka π~π(π§; 0,1).
26. Contoh Soal
Peluang seorang penderita sembuh dari suatu
penyakit adalah 0,45. Bila ada 100 orang yang terkena
penyakit tersebut, tentukan peluang dari:
a) 30 orang sembuh.
b) kurang dari 30 orang yang sembuh.