Dokumen ini membahas tentang persamaan garis dalam ruang tiga dimensi, termasuk persamaan vektor garis, persamaan parametrik garis, dan persamaan simetrik garis. Selain itu, dibahas pula kedudukan dua garis dalam ruang tiga dimensi dan hubungannya dengan bidang datar."
5. Garis dalam ruang dimensi tiga
Pada ruang tiga dimensi, konsep garis juga
dapat didefinisikan sebagai hubungan
geometris antara titik-titik yang
membentuk suatu lintasan yang lurus dan
tak berujung.
Pendefinisian garis dalam ruang tiga
dimensi melibatkan pengertian mengenai
titik-titik yang dilalui oleh garis tersebut
dan vektor arah garis tersebut.
Untuk menentukan persamaan garis dalam
ruang dimensi tiga dapat kita analisis
berdasarkan kompone-komponen yang ada
di dalamnya seperti titik, vektor, dan
parameter lainnnya.
6. Persamaan vektor garis β
Persamaan Garis Dalam Ruang Dimensi Tiga
Persamaan vektor garis adalah representasi matematis dari suatu garis dalam ruang
tiga dimensi menggunakan vektor. Dalam persamaan ini, vektor arah garis dan titik
yang dilewati oleh garis dinyatakan dengan menggunakan parameter. Persamaan
ini memungkinkan kita untuk mengidentifikasi setiap titik pada garis dengan
menggunakan nilai parameter tertentu.
7. οΌ Titik π0 π₯0, π¦0, π§0 pada garis π
οΌ Garis π sejajar dengan vektor π£ = ππ + ππ + ππ
οΌ Ambil sebarang titik π π₯, π¦, π§ pada garis π maka
π0π = π‘π£ dengan π‘ bilangan real (π0πβ π£)
οΌ Vektor-vektor posisi titik π0 dan π terhadap π adalah
π0 = π₯0, π¦0, π§0 dan π = π₯, π¦, π§ maka π0π = π β π0 dan
karena π0π = π‘π£ maka:
π β ππ = ππ
π = ππ + ππ
9. Persamaan simetrik garis sering diekspresikan dalam bentuk persamaan
parametrik dan digunakan untuk menggambarkan garis secara lebih sederhana.
Apabila parameter π‘ dari persamaan parametrik dihilangkan, maka diperoleh:
π β ππ
π
=
π β ππ
π
=
π β ππ
π
Disebut persamaan simetrik dari garis π dengan bilangan arah π, π, π dan
melalui titik π₯0, π¦0, π§0 .
Persamaan simetrik garis β
10. Jika terdapat titik π΄ π₯1, π¦1, π§1 dan titik π΅ π₯2, π¦2, π§2 .
Maka dapat ditentukan bentuk persamaan vektor garis π΄π΅ sebagai berikut:
π = π + π‘ π β π dengan π‘ bilangan real
π₯, π¦, π§ = π₯1, π¦1, π§1 + π‘ π₯2 β π₯1, π¦2 β π¦1, π§2 β π§1
π = ππ + π ππ β ππ , π = ππ + π ππ β ππ , π = ππ + π ππ β ππ
Dengan melenyapkan parameter π‘ dari persamaan parametrik ini, akan diperoleh persamaan simetrik
dari garis π΄π΅ sebagai berikut:
π β ππ
ππ β ππ
=
π β ππ
ππ β ππ
=
π β ππ
ππ β ππ
Persamaan garis lurus yang melalui π΄ π₯1, π¦1, π§1 dan titik π΅ π₯2, π¦2, π§2 .
12. Dua buah garis lurus dalam ruang kemungkinan akan berpotongan, sejajar, berhimpitan atau
bersilangan.
Misalkan diketahui dua garis berikut ini:
π₯βπ₯1
π1
=
π¦βπ¦1
π1
=
π§βπ§1
π1
atau
π₯βπ₯2
π2
=
π¦βπ¦2
π2
=
π§βπ§2
π2
sudut antara dua garis sama dengan sudut yang dibentuk oleh vektor - vektor arahnya, yaitu
π1 = π1, π1, π1 dan π2 = π2, π2, π2 .
Jika ΞΈ adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut, maka:
cos ΞΈ =
π1π2+ π1π2+π1π2
π1
2+π1
2
+π1
2 π2
2+π2
2
+π2
2
Kedudukan dua garis dalam ruang dimensi tiga
13. ο· Dua garis akan sejajar, apabila vektor-vektor arahnya sejajar, yaitu π1 = π‘π2 dengan
t suatu bilangan real π1, π1, π1 = t π2, π2, π2 atau
π1
π2
=
π1
π2
=
π1
π2
ο· Dua garis saling tegak lurus, apabila vektor-vektor arahnya saling tegak lurus, yaitu:
π1. π2 = 0
π1, π1, π1 . π2, π2, π2 = 0
π1π2 + π1π2 + π1π2 = 0
14. ο· Berhimpit, diketahui garis lurus :
π1: π₯, π¦, π§ = [ π₯1, π¦1, π§1] + π[π1, π1, π1] dan π2: π₯, π¦, π§ = [ π₯2, π¦2, π§2] + π[π2, π2, π2]
Bila [π1, π1, π1]= π π2, π2, π2 ; π bilangan β 0, atau bila
π1
π2
=
π1
π2
=
π1
π2
Bila sifat diatas berlaku pula π₯2 β π₯1, π¦2βπ¦1, π§2 β π§1 = π π1, π1, π1 maka π1dan π2 berhimpit.
ο· Berpotngan disatu titik atau bersilangan,
Jika arah π1 yaitu [π1, π1, π1] dan arah π2 yaitu [π2, π2, π2] tidak berkelipatan, maka π1dan π2 berpotngan disatu
titik atau bersilangan. Misalkan titik potong π₯0, π¦0, π§0 berarti ada π1 sehingga π₯0, π¦0, π§0 = [π₯1, π¦1, π§1] +
π[π1, π1, π1] dan ada π2 sehingga π₯0, π¦0, π§0 = [π₯2, π¦2, π§2] + π[π2, π2, π2] berarti :
[π₯1, π¦1, π§1] + π[π1, π1, π1] = [π₯2, π¦2, π§2] + π[π2, π2, π2]
15. Kedudukan garis terhadap bidang datar
Ada tiga kemungkinan yang terjadi, letak suatu garis terhadap suatu bidang datar, yaitu garis
memotong bidang, garis sejajar bidang dan garis terletak pada bidang.
Perhatikan sebuah garis π:
π₯βπ₯1
π
=
π¦βπ¦1
π
=
π§βπ§1
π
Dan sebuah bidang π βΆ π΄π₯ + π΅π¦ + πΆπ§ + π· = 0.
Diambil sembarang titik π(π₯π, π¦π, π§π) misalkan garis dan bidang ini berpotongan,
maka koordinat titik potongnya dicari dengan menyelesaikan π₯π, π¦π, dan π§π dari tiga
persamaan itu.
16. Salah satu cara menyelesaikannya dengan memisalkan bahwa
π₯π β π₯1
π
=
π¦π β π¦1
π
=
π§π β π§1
π
π₯π = π₯1 + ππ‘, π¦π = π¦1 + ππ‘, π§π = π§1 + ππ‘ disubtitusikan pada persamaan bidang, maka diperoleh
π΄ π₯1 + ππ‘ + π΅ π¦1 + ππ‘ + πΆ π§1 + ππ‘ + π· = 0
π΄π + π΅π + πΆπ π‘ + π΄π₯1 + π΅π¦1 + πΆπ§1 + π· = 0
Apabila π΄π + π΅π + πΆπ β 0, maka kita akan memperoleh nilai π‘, hingga koordinat titik potong garis
dan bidang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai π‘ ke dalam perrsamaan garis yang memuat π‘
17. οΌ Jika π΄π₯1 + π΅π¦1 + πΆπ§1 + π· = 0 dan π΄π + π΅π + πΆπ β 0, maka titik potong garis dan bidang itu
adalah π₯1, π¦1, π§1 .
οΌ Jika π΄π + π΅π + πΆπ = 0, dan π΄π₯1 + π΅π¦1 + πΆπ§1 + π· β 0, maka garis dan bidang akan sejajar.
οΌ Garis tegak lurus pada bidang apabila π = ππ, dengan π bilangan real atau
π
π΄
=
π
π΅
=
π
πΆ
οΌ Jika π΄π + π΅π + πΆπ = 0 dan π΄π₯1 + π΅π¦1 + πΆπ§1 + π· = 0, maka garis terletak pada bidang. Atau
jika π . π = 0 maka π ο π, sehingga garis sejajar dengan bidang. Artinya garis terletak
seluruhnya pada bidang.
18. Jarak dua Garis Bersilangan
Misalkan diketahui dua garis bersilan
π1: π₯, π¦, π§ = π₯1, π¦1, π§1 + π1, π1, π1 dan π2: π₯, π¦, π§ = π₯2, π¦2, π§2 + π2, π2, π2
Jarak garis π1 dan π2 ditentukan dengan cara membuat
bidang Ξ± melalui garis π2 dan sejajar garis π1. Pilih suatu
titik T pada garis π1. Maka jarak garis π1 dan π2 adalah
jarak titik T ke bidang Ξ±.
Rumus jarak garis ke bidang:
π =
π΄ π₯2 β π΅ π¦2 + πΆ π§2 + π·
π΄2 + π΅2 + πΆ2
20. Contoh Soal 1
Berapakah jarak garis π1 βΆ 7π₯ β 4π§ β 38 = 0 , 7π¦ β 5π§ + 37 = 0 dan garis π2 βΆ 7x + 8z β 16 = 0,
7y β 3z = 15
Jawab:
Persamaan bidang yang melalui garis π1 adalah anggota berkas bidang (7π₯ β 4π§ β 38) + π‘ (7π¦ β 5π§ +
37) = 0 atau 7π₯ + 7π‘π¦ + 4 β 5π‘ π§ β 38 + 37π‘ = 0.
Vektor normal bidang ini adalah π = 7, 7π‘, 4 β 5π‘ .
Sedangkan vektor arah garis π2 adalah:
π =
0 8
7 β3
, β
7 8
0 β3
,
7 0
0 7
= β56, 21, 49
21. Bidang yang melalui π1 sejajar dengan π2, maka harus dipenuhi:
π β₯ π, yaitu π . π = 0 β β56,21, 49 . 7, 7π‘, 4 β 5 = 0
-8 + 3t + 4 β 5t = 0
t = -2
Jadi bidang yang melalui π1 sejajar dengan π2 adalah 7π₯ β 14π¦ + 14π§ β 112 = 0 yang
disederhanakan menjadi π₯ β 2π¦ + 2π¦ β 16 = 0. Pilih titik P(0,3,2) pada garis π2, maka jarak P
ke bidang π₯ β 2π¦ + 2π¦ β 16 = 0 adalah:
π =
0 β 2.3 + 2.2 β 16
1 + 4 + 4
= 6
Jadi, jarak garis-garis π1 dan π2 adalah 6 satuan Panjang.
22. Contoh Soal
1. Tentukan persamaan-persamaan vector, parametrik dan simetrik untuk garis yang melalui
titik A(3, 2, 2) dan B(5, 6, 4) !
Jawab:
Sebuah vector yang sejajar dengan garis AB adalah
π£ = π΄π΅ = 5 β 3, 6 β 2, 4 β 2 = 2, 4, 2
Dipilih