educaition

1. SOAL DAN PEMBAHASAN
PREDIKSI UAS PENGANTAR
ANALISIS KOMPLEKS
Moh. Januar Ismail, M.Si
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG
JL. AH. Nasution

2. Soal dan Pembahasan Prediksi UAS Pengantar Analisis Kompleks
Dosen: Moh. Januar Ismail, M.Si
1. Hitunglah ∫ 𝑧̅ 𝑑 𝑧𝐶
dari 𝑧 = 0 ke 𝑧 = 4 + 2𝑖 sepanjang kurva 𝐶 yang diberikan oleh 𝑧 = 0
ke 𝑧 = 2𝑖 dan kemudian garis dari 𝑧 = 2𝑖 ke 𝑧 = 4 + 2𝑖.
2. Hitunglah ∫ cot(3𝑧 + 1) 𝑑𝑧.
3. Tentukan letak dan nama semua kesingularan dari 𝑓(𝑧) =
𝑧3+2
(𝑧−2)3.
4. Jika kurva C adalah 𝑦 = 𝑥2
. Yang menghubungkan titik (0,0) ke (1,1), maka tentukanlah
nilai ∫ 𝑧𝑑𝑧𝐶
.
5. Hitunglah dengan menggunakan rumus Cauchy untuk integral ∮
cos 𝜋𝑧
𝑧2−1
𝑑𝑧𝐶
jika 𝐶 adalah
lingkaran |𝑧 − 1| = 1.
Penyelesaian:
1. Menggunakan Integral Garis yang diberikan sama dengan
∫ (𝑥 − 𝑖𝑦)(𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦) =
𝐶
∫ 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦
𝐶
+ 𝑖 ∫ 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥
𝐶
Garis dari 𝑧 = 0 ke 𝑧 = 2𝑖 sama seperti garis dari (0,0) ke(0,2), sehingga 𝑥 = 0, 𝑑𝑥 =
0. Maka,
∫ (0)(0) + 𝑦𝑑𝑦
2
𝑦=0
+ 𝑖 ∫ 0. 𝑑𝑦 − 𝑦(0)
2
𝑦=0
= ∫ 𝑦𝑑𝑦
2
𝑦=0
= 2
Garis dari 𝑧 = 2𝑖 ke 𝑧 = 4 + 2𝑖 sama seperti garis dari (0,2) ke(4,2), sehingga 𝑦 = 2,
𝑑𝑦 = 0. Maka,

3. ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 2.0
4
𝑥=0
+ 𝑖 ∫ 𝑥. 0 − 2𝑑𝑥
4
𝑥=0
= 8 − 8𝑖
Maka nilai yang diinginkan = 10 − 8𝑖.
2. ∫ cot(3𝑧 + 1) 𝑑𝑧 = ∫
cos(3𝑧+1)
sin(3𝑧+1)
𝑑𝑧 = ∫
cos(3𝑧+1)
sin(3𝑧+1)
𝑑(sin(3𝑧+1))
3 cos(3𝑧+1)
=
1
3
ln(sin(3𝑧 + 1)) + 𝐶.
3. Tentukan letak dan nama semua kesingularan dari 𝑓(𝑧) =
𝑧3+2
(𝑧−2)3
- Memiliki kesingularan pole berderajat 3 di 𝑧 = 2.
- Kesingularan di 𝑧 = ∞, misalkan 𝑤 = 0 dan 𝑧 = 1/𝑤. Sehingga,
𝑓(1/𝑤) =
(1/𝑤)3+2
(1/𝑤−2)3 =
1+2𝑤3
(1−2𝑤)3. Jadi bila 𝑤 = 0 tidak mengakibatkan kesingularan, maka 𝑓
tidak memiliki kesingularan di 𝑧 = ∞.
4. Jika kurva C adalah 𝑦 = 𝑥2
. Yang menghubungkan titik (0,0) ke (1,1), maka
tentukanlah nilai ∫ 𝑧𝑑𝑧𝐶
.
- Menggunakan Integral Garis yang diberikan sama dengan
∫ (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦) =
𝐶
∫ 𝑥𝑑𝑥 − 𝑦𝑑𝑦
𝐶
+ 𝑖 ∫ 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥
𝐶
Garis dari 𝑧 = 0 ke 𝑧 = 1 sama seperti garis dari (0,0) ke(1,0), sehingga 𝑦 = 0, 𝑑𝑦 =
0. Maka,
∫ 𝑥𝑑𝑥 − 0.0
1
𝑥=0
+ 𝑖 ∫ 𝑥. 0 + 0𝑑𝑥
1
𝑥=0
= ∫ 𝑥𝑑𝑦
1
𝑥=0
=
1
2
Garis dari 𝑧 = 1 ke 𝑧 = 1 + 𝑖 sama seperti garis dari (1,0) ke(1,1), sehingga 𝑥 = 1,
𝑑𝑥 = 0. Maka,
∫ 1.0 − 𝑦. 𝑑𝑦
1
𝑦=0
+ 𝑖 ∫ 1. 𝑑𝑦 + 𝑦. 0
1
𝑦=0
= −
1
2
+ 𝑖

4. Maka nilai yang diinginkan = 𝑖.
- Menggunakan cara langsung
∫ 𝑧𝑑𝑧
𝐶
= ∫ 𝑧𝑑𝑧
(1,1)
(0,0)
=
1
2
𝑧2
0
1+𝑖
=
1
2
(1 + 𝑖)2
=
1
2
(1 + 2𝑖 − 1) = 𝑖
5. Hitunglah dengan menggunakan rumus Cauchy untuk integral ∮
cos 𝜋𝑧
𝑧2−1
𝑑𝑧𝐶
jika 𝐶 adalah
lingkaran |𝑧 − 1| = 1.
∮
cos 𝜋𝑧
𝑧2 − 1
𝑑𝑧
𝐶
= ∮
cos 𝜋𝑧
(𝑧 − 1)(𝑧 + 1)
𝑑𝑧
𝐶
= ∮
cos 𝜋𝑧
2(𝑧 − 1)
𝑑𝑧 − ∮
cos 𝜋𝑧
2(𝑧 + 1)
𝑑𝑧
𝐶𝐶
Karena 𝑧 = −1 tidak berada di dalam lingkaran |𝑧 − 1| = 1, maka nilai ∮
cos 𝜋𝑧
2(𝑧+1)
𝑑𝑧𝐶
=
0. Sehingga,
∮
cos 𝜋𝑧
𝑧2−1
𝑑𝑧𝐶
= ∮
cos 𝜋𝑧
2(𝑧−1)
𝑑𝑧 = 4𝜋𝑖 ∙ cos(𝜋 ∙ 1) = −4𝜋𝑖𝐶
.