Bidang datar dalam dimensi tiga ini memuat materi mengenai persamaan vektoris, persamaan parameter, persamaan linear, dan vektor linear dalam bidang datar

1. Bidang Datar
dalam
Dimensi Tiga
“ G e o m e t r i A n a l i t i k R u a n g ”
Oleh : Dwi Nida Salsabila
(180101040540)

2. Suatu bidang datar tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang
tidak segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan, diketahui
tiga titik pada bidang datar V:
Titik P(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), Q(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), dan R(𝑥3, 𝑦3, 𝑧3)
𝑃𝑄 = [𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2−𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1]
𝑃𝑅 = [𝑥3 − 𝑥1, 𝑦3−𝑦1, 𝑧3 − 𝑧1]
Untuk setiap titik sembarang X(x,y,z) pada
bidang rata V berlaku
𝑃𝑋= 𝑃𝑄 + 𝜇𝑃𝑅( − ∞ <  < ∞, − ∞𝜇 < ∞)
Terlihat jelas pada gambar bahwa 𝑂𝑋 = 𝑂P +P 𝑋
atau
Persamaan Vektoris Bidang Datar
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 +  𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1 + 𝜇 [𝑥3 − 𝑥1, 𝑦3−𝑦1, 𝑧3 − 𝑧1]
persamaan vektoris
bidang rata melalui
tiga titik

3. Persamaan Parameter Bidang Datar
Dari persamaan vektoris bidang datar diketahui melalui sebuah titik P dan
diketahui kedua vektor arahnya 𝑎 = 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 dan 𝑏 = 𝑥 𝑏, 𝑦 𝑏, 𝑧 𝑏 sehingga
persamaan bidangnya menjadi:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 +  𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 + 𝜇 [𝑥 𝑏, 𝑦 𝑏, 𝑧 𝑏]
Dari persamaan tersebut dapat ditulis secara terpisah menjadi:
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥 𝑎 + 𝜇𝑥 𝑏
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦𝑎 + 𝜇𝑦 𝑏
𝑧 = 𝑧1 + 𝑧 𝑎 + 𝜇𝑧 𝑏
Persamaan
Parameter
Bidang Datar

4. Persamaan Linear Bidang Datar
Jika  dan µ di eleminasikan dari persamaan 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥 𝑎 + 𝜇𝑥 𝑏 dan 𝑦 =
𝑦1 + 𝑦𝑎 + 𝜇𝑦 𝑏 maka diperoleh:
 =
𝑦 𝑏 𝑥−𝑥1 −𝑥 𝑏 𝑦−𝑦1
𝐶
dan 𝜇 =
𝑥 𝑎 𝑦−𝑦1 −𝑦 𝑎 𝑥−𝑥1
𝐶
dimana 𝐶 = 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 𝑥 𝑏 =
𝑥 𝑎 𝑦𝑎
𝑥 𝑏 𝑦 𝑏
, dgn syarat  0
Kemudian jika  dan µ di substitusikan ke persamaan 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧 𝑎 + 𝜇𝑧 𝑏 maka diperoleh:
𝐶 𝑧 − 𝑧1 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑥1 𝑥 𝑏 𝑦 − 𝑦1 − 𝑧 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 − 𝑦1 𝑦𝑎 𝑥 − 𝑥1 = 0
atau
𝑦𝑎 𝑧 𝑏 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑥1 + 𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 − 𝑦1 + 𝐶 𝑧 − 𝑧1 = 0
𝑦𝑎 𝑧 𝑏 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 =
𝑦𝑎 𝑧 𝑎
𝑦 𝑏 𝑧 𝑏
= 𝐴
𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎 𝑧 𝑏 =
𝑧 𝑎 𝑥 𝑎
𝑧 𝑏 𝑥 𝑏
= 𝐵
dan 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 = −𝐷
Sehingga persamaan linear (umum) dari suatu bidang datar yang diketahui melalui satu titik
𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 adalah 𝐴 𝑥 − 𝑥1 + 𝐵 𝑦 − 𝑦1 + 𝐶 𝑧 − 𝑧1 = 0

5. Vektor Linear dari Bidang Datar
𝑉 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 diketahui bahwa:
𝐴, 𝐵, 𝐶 =
𝑦𝑎 𝑧 𝑎
𝑦 𝑏 𝑧 𝑏
𝑖 +
𝑧 𝑎 𝑥 𝑎
𝑧 𝑏 𝑥 𝑏
𝑗 +
𝑥 𝑎 𝑦𝑎
𝑥 𝑏 𝑦 𝑏
𝑘
=
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥 𝑎 𝑦𝑎 𝑧 𝑎
𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏
= 𝑎 × 𝑏
merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang datar yang dibentuk oleh a dan b dengan bidang
datar V = Ax + By + Cz + D = 0 dan 𝑛 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 yang disebut sebagai vektor normal dari bidang
datar V = 0 tersebut

6. Catatan
Hal-hal khusus dari bidang datar V = Ax + By + Cz + D = 0
1. Jika D = 0 maka bidang datar akan melalui titik asal O (0,0,0) dan sebaliknya, setiap
bidang datar yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga D = 0.
2. Apabila D  0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi
𝐴𝑥
−𝐷
+
𝐵𝑦
−𝐷
+
𝐶𝑧
−𝐷
= 1
dan disebut berturut-turut
𝐴
−𝐷
= p,
𝐵
−𝐷
= 𝑞,
𝐶
−𝐷
= 𝑟 , didapat persamaan
𝑥
p +
𝑦
𝑞
+
𝑧
𝑟
= 1
yang mana memotong sumbu X di (p, 0, 0)sumbu Y di (0, p, 0), sumbu Z di (0, 0, p).
3. Jika A = 0, bidang datar sejajar sumbu X
Jika B = 0, bidang datar sejajar sumbu Y
Jika C = 0, bidang datar sejajar sumbu Z
4. Jika A = B = 0, bidang datar sejajar bidang XOY
Jika B = C = 0, bidang datar sejajar bidang XOZ
Jika C = A = 0, bidang datar sejajar bidang ZOZ

7. C O N T O H
Tentukan persamaan vektoris, parameter, dan linear bidang datar yang melalui
titik (3,4,1), (−1, −1,5), (1,7,1)
Jawab:
Persamaan vektoris:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3,4,1 +  −1 − 3, −1 − 4,5 − 1 + 𝜇 1 − 3,7 − 4,1 − 1
= 3,4,1 +  −4, −5,4 + 𝜇 −2,3,0
Persamaan parameter:
𝑥 = 3 − 4 − 2𝜇
𝑦 = 4 − 5 + 3𝜇
𝑧 = 1 + 4
Persamaan linear:
• 𝑧 𝑏 𝑦𝑎 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 = 𝐴
→ 0 −5 − 4 3 = 0 − 12 = −12 = 𝐴
• 𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 − 𝑧 𝑏 𝑥 𝑎 = 𝐵
→ 4 −2 − 0 −4 = −8 − 0 = −8 = 𝐵
• 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑥 𝑏 𝑦𝑎 = 𝐶
→)(−4)(3) − (−2)(−5) = −12 − 10 = −22 = 𝐶
𝐴 𝑥 − 𝑥1 + 𝐵 𝑦 − 𝑦1 + 𝐶 𝑧 − 𝑧1 = 0
−12 𝑥 − 3 + −8 𝑦 − 4 + −22 𝑧 − 1 = 0
−12𝑥 − 36 − 8𝑦 + 32 − 22𝑧 + 22 = 0
−12𝑥 − 8𝑦 − 22𝑧 + 90 = 0
−6𝑥 − 4𝑦 − 11𝑧 + 45 = 0
÷ 2

8. Terima
Kasih
School ABC presents:
Oleh :
Dwi Nida Salsabila (180101040540)
Kelas B PMTK 2018
UIN Antasari Banjarmasin
Dosen:
Azis Muslim, M. Pd