Dokumen ini membahas tentang konsep dasar dan persamaan lingkaran dalam geometri analitik, termasuk definisi pusat dan jari-jari. Berbagai contoh dan masalah diberikan untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan yang diberikan, serta cara menyusun persamaan lingkaran berdasarkan karakteristik tertentu. Penjelasan juga mencakup hubungan antara persamaan lingkaran dan kondisi yang berbeda, seperti lingkaran imajiner dan lingkaran titik.

1. Geometri Analitik
BAB XI
LINGKARAN
61. Definisi dan persamaan dari lingkaran. Lingkaran adalah tempat kedudukan yang tetap
dari titik P yang berpindah, oleh karena itu jarak dari sebuah titik tetap adalah konstan/tidak
berubah. Titik tetap itu disebut pusat dan jarak
tetapnya disebut jari-jari.
Koordinat dari perpindahan titik P kita bisa
menyebutnya (푥, 푦) . Koordinat dari titik pusat
(훼, 훽) dan jari-jari r, seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 61. Kita ingin mencari persamaan
lingkaranya.
Lingkaran
r
Selama jarak dari (훼, 훽) ke (x,y) =r
Karena itu :
X
√(푥 − 훼)2 + (푦 − 훽)2 = 푟
Atau :
Persamaan ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat (훼, 훽) dan dengan jari-jari r
Itu akan berbeda apabila pusatnya adalah titik pangkalnya (0,0), persamaanya menjadi :
푥 2 + 푦2 = 푟2
Contoh
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan sebagai berikut :
푥 2 + 푦2 − 2푥 + 4푦 − 3 = 0
Kita ingin merubah persamaan ini menjadi bentuk :
(푥 − 훼)2 + (푦 − 훽)2 = 푟2
Lengkapi persamaan kuadratnya,kita peroleh :
푥 2 − 2푥 + 1 + 푦2 + 4푦 + 4 = 3 + 1 + 4
Atau :
(푥 − 1)2 + (푦 + 2)2 = 8
Oleh karena it kita peroleh :
(푥 − 훼)2 + (푦 − 훽)2 = 푟2
Y
푃(푥, 푦)
퐶(훼, 훽)

2. Geometri Analitik
Lingkaran
훼 = 1,
훽 = −2,
푟 = √8,
Atau :
pusat ∶ (1, −2),
jari − jari: √8
Soal
1. Tentukan pusat dan jari-jari dari beberapa lingkaran, dengan persamaan sebagai berikut :
a) 푥 2 + 푦2 − 4푥 + 2푦 − 3 = 0
b) 푥 2 + 푦2 + 6푥 − 8푦 − 5 = 0
c) 푥 2 + 푦2 + 푥 − 2푦 − 1 = 0
d) 3푥 2 + 3푦2 + 6푥 − 4푦 + 2 = 0
e) 5푥 2 + 5푦2 − 6푥 − 2푦 + 7 = 0
2. Tentukan persamaan lingkaran sebagai berikut :
a) dengan pusat (2,-1) dan jari-jari = 4
b) dengan pusat (-3,4) dan jari-jari √6
3. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2 ,-1) , dan menyinggung sumbu y
4. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai pusat (-1,4) dan melalui titik (3,5)
5. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis penghubung dari titik
(3,-1) dan (2,5)
6. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai pusat (-1,3) dan melalui titik (2,7)
7. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (5,5) dan menyinggung sumbu x
8. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (1,3) dan menyinggung garis 3푥 − 4푦 −
10 = 0
9. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (1,-2) dan menyinggung garis 푥 + 푦 − 6 = 0
10. Tentukan persamaan lingkaran dengan jari - jari 5, dan menyinggung garis푥 − 2푦 + 6 =
0 pada (-4,1).
11. Buktikan dengan koordinat bahwa sudut yang tertulis dalam setengah lingkaran adalah
sudut siku-siku.
62. Bentuk umun persamaan lingkaran. Pada bagian 57, kita membuktikan bahwa garis
lurus selalu diwakili oleh sebuah persamaan x dan y, bahwa kebalikan dari teorema ini juga
benar. Kita sekarang akan membahas teorema yang sesuai dengan lingkaran.

3. Geometri Analitik
x2 + y2 +Dx +Ey + F + 0
Lingkaran
Pengembangan
(1) (푥 − 푎)2 + (푦 − ß)2 = 푟2
Dan mengambil hubungan ,kita dapatkan:
푥 2 + 푦2 − 2훼푥 − 2 ß푦 + 훼2 + 훽2 − 푟2 = 0
Persamaan ini mungkin dapat ditulis:
(2) 푥2 + 푦2 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0
Selain itu, D,E, and F adalah konstanta bilangan bulat tetapi bukan bilangan bulat yang perlu.
Dari contoh, berikut ini adalah persamaan dari lingkaran dengan pusat di (
1
2
, −1 ) dan dengan
jari - jari 2:
(푥 − 1
2
)
2
+ (푦 + 1)2 = 4,
Atau
푥 2 + 푦2 − 푥 + 2푦 − 11
4
= 0
Di sini
D = -1
E = 2,
F = − 11
4
Karena setiap lingkaran mempunyai pusat dan jari -jari dan karena lingkaran dengan
memberikan pusat dan memberikan jari - jari yang memiliki setiap persamaan khusus (1) atau
persamaan yang sama pada sebuah bentuk yang berbeda (2) hal ini mengikuti bahwa setiap
lingkaran diwakili oleh persamaan dalam bentuk
Dengan demikian, setiap lingkaran diwakili oleh persamaan tingakt kedua pada x dan y,
dengan koefesien kesatuan x2 dan y2 dan bukan dengan hubungan xy.

4. Geometri Analitik
Sebaliknya, setiap bentuk persamaan
x2 +y2+Dx+Ey+F=0
diwakili sebuah lingkaran. Maka, dengan mengkuadratkan, kita mempunyai :
Lingkaran
푥 2 + 퐷푥 + (퐷
2
)
2
+ 푦2 + 퐸푦 + (퐸
2
)
2
= (퐷
2
)
2
+ (퐸
2
)
2
− 퐹,
Atau
(푥 +
퐷
2
)
2
+ (푦 +
퐸
2
)
2
=
퐷2 + 퐸2 − 4퐹
4
.
Persamaan terakhir ini adalah bentuknya
(퐱 − 퐚)ퟐ + (퐲 − ß)ퟐ = 퐫ퟐ
Amatilah, bahawa jika hasilnya menjadi lingkaran yang benar, maka jumlahnya
퐷2+퐸2−4퐹
4
= 푟2
haruslah positif. Jika jumlahnya negatif, r adalah bilangan imajiner- yaitu r adalah
akar kuadrat dari angka negatif, dan jika jumlahnya nol, r adalah nol. Karena itu, sebagai
konsekuensinya, kita mengatakan bahwa persamaan dengan imaginari r mewakili lingkaran
imajiner; dan persamaan dengan r sama dengan nol mewakili lingkaran titik.
Contoh berikut menggambarkan prinsip-prinsip yang diberikan di atas.
Contoh
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik (0,2),(3,3) dan (-1,1).
Persamaan yang ditetapkan akan menjadi bentuk
(2)푥 2 + 푦2 + 퐷푥 + 퐸푥 + 퐹 = 0
Karena itu, karena tiga titik terletak pada lingkaran, koordinat nya harus memenuhi
persamaan lingkaran. Sehingga kita memiliki:
(3)0 + 4 + 0 . 퐷 + 2퐸 + 퐹 = 0
(4)9 + ( +3퐷 + 3퐸 + 퐹 = 0

5. Geometri Analitik
(5)1 + 1 − 퐷 + 퐸 + 퐹 = 0
Penyelesaian tiga persamaan – persamaan tersebut untuk D, E, dan F, kita mendapatkan:
퐷 = −6,
퐸 = 4,
퐹 = −12.
Oleh karena itu persamaan yang ditetapkan adalah:
푥 2 + 푦2 − 6푥 + 4푦 − 12 = 0.
Ada cara penyelesaian lain, yang tidak bergantung pada bentuk (2). Cara ini diilustrasikan
seperti berikut ini:
Contoh
Kita perrtama kali harus mengetahui pusatnya. Dari ilmu ukur bidang, pusatnya adalah titik
potong pembagi dua ruas garis yang tegak lurus yang menghubungkan satu atau beberapa
pasang titik. Dengan cara Bagian 51, persamaan pembagi dua ruas garis yang tegak lurus
yang menghubungkan (0,2) dan (3,3) adalah :
√푥 2 + (푦 − 2)2 = √(푥 − 3)2 + (푦 − 3)2,
Lingkaran
atau:
(6)3푥 + 푦 − 7 = 0.
Dengan cara yang sama, persamaan pembagi dua ruas garis yang tegak lurus yang
menghubungkan (0,2) dan (-1,1) adalah :
√푥 2 + (푦 − 2)2 = √(푥 + 1)2 + (푦 − 1)2,
(7)푥 + 푦 − 1 = 0.
Penyelesaian dari (6) dan (7), kita mendapatkan:
푥 = 3
푥 = −2

6. Geometri Analitik
Karena itu pusatnya pada titik (3, -2). Jarak dari pusat ke satu atau beberapa dari tiga titik
diketahui adalah 5. Oleh karena itu persamaan yang ditetapkan adalah :
(푥 − 3)2 + (푦 + 2)2 = 25,
Lingkaran
Atau:
푥 2 + 푦2 − 6푥 + 4푦 − 12 = 0.
Permasalahan – permasalahan
1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik – titik berikut ini:
a) (2,1), (-1,3), (3,-2).
b) (1,10, (0,6), (2,-3).
c) (-2,1), (1,-4), (3,-1).
2. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai pusat pada garis 푥 − 2푦 + 3 0, dan
melalui titik (1,1) dan (0,-3).
3. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat pada (-3,2), dan menyinggung garis 3푥 −
4푦 − 3 = 0.
4. Tentukan persamaan lingkaran dangan jari – jari 5, dan menyinggung garis 2푥 − 푦 +
4 = 0 pada (1,6).
5. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung garis 푥 + 푦 + 2 = 0 pada (1,1),
dan melalui (2,4).
6. Tentukan persamaan lingakran yang menyinggung 2푥 + 푦 − 4 = 0 pada (2,0), dan
melalui (3,-4).
7. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui (2,4) dan (-1,3) dan memiliki pusat pada
garis 푥 − 3푦 + 6 = 0.
8. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinngung 2푥 − 푦 + 6 = 0 dan 2푥 − 푦 +
10 = 0, dan memiliki pusat pada garis 푥 − 3푦 + 4 = 0.
9. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung 푥 + 푦 − 3 = 0 dan 푥 = 푌 + 7 =
0, dan memiliki pusat pada garis 2푥 + 푦 − 4 = 0.
10. Tentukan persamaaan lingkaran dengan pusat pada sumbu x, dan menyinggung garis
푦 = 4 dan 푥 = 2.
11. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya 푦 = 2 dan menyinggung garis 2푥 −
3푦 − 4 = 0 dan 푥 − 푦 − 6 = 0.
12. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung di titik 푥 = 0, 푦 = 0 dan 푥 = 5.

7. Geometri Analitik
13. Tentukan persamaan lingkaran di dalam sebuah segitiga yang menyinggung garis
3푥 − 4푦 − 19 = 0, 4푥 + 3푦 − 17 = 0, 푑푎푛 푥 − 7 = 0.
14. Tentukan persamaan lingkaran d dalam sebuah segitiga dengan titik puncak
Lingkaran
(0,6),(8,6), dan (0,0).
15. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui (1,7) dan (8,8) dan menyinggung garis
3푥 + 4푦 − 6 = 0.
63. Lingkaran-lingkaran melalui titik-titik potong dua lingkaran; sumbu radikal.
Pada bagain 60, kita menentukan persamaan lingkaran dari garis yang melalui titik-titik
potong dua lingkaran. Kita dapat menggunakan hal yang sama pada lingkaran dengan
persamaan:
(1)푥 2 + 푦2 + 퐴1푥 + 퐵1푦 + 퐶1 = 0
(2) 푥 2 + 푦2 + 퐴2푥 + 퐵2푦 + 퐶2 = 0
Kita ingin menunjukkan bahwa persamaan di atas menjadi
(3) 푥 2 + 푦2 + 퐴1푥 + 퐵1푦 + 퐶1 + 푘(푥 2 + 푦2 + 퐴2푥 + 퐵2푦 + 퐶2) = 0
Untuk semua nilai k (tak terkecuali), baik lingkaran yang melalui titik-titik potong
(real atau imajiner) dari dua buah lingkaran.
Jika dihubungkan, maka kita akan mendapatkan persamaan:
(4)(푥 2 + 푦2)(1 + 푘) + 푥(퐴1 + 푘퐴2) + 푦(퐵1 + 푘퐵2) + 퐶1 + 푘퐶2 = 0.
Persamaan ini di dapat dari penggabungan kedua persamaan, untuk semua 푘 kecuali -
1, bentuk dari persamaan lingkaran (bagian 62). Akan kita bahas kemudian.selanjutnya, jika
(푥1, 푦1) adalah titik potong dari dua buah lingkaran, maka titik tersebut berada pada kedua
lingkaran, dan persamaan (3) menjadi:
0 + 푘 ∙ 0 ≡ 0
Karena (푥1, 푦1 ) berada pada lingkaran maka diwakili oleh persamaan (3).
Jika diberikan lingkaran-lingkaran non konsentris tetapi tidak berpotongan di titik real,
dengan angka tidak real (푥, 푦) yang memenuhi semua persamaan kemungkinan bernilai
imajiner, karena, persamaan (3) akan mewakili sebuah lingkaran yang berpotingan di titik
imajiner .
Jika diberikan lingakaran-lingkaran konsentris, dengan nilai-nilai (푥, 푦) tidak real atau
imajiner, memenuhi semua persamaan; karena, persamaan (3) akan mewakili sebuah
lingkaran konsentris.
Yang menarik adalah ketika 푘 = −1. Akan terbentuk persamaan (4), menjadi:
푥(퐴1 − 퐴2) + 푦(퐵1 − 퐵2) + 퐶1 − 퐶2 = 0.

8. Geometri Analitik
Ini adalah bentuk persamaan sebuah garis lurus, yang biasa disebut sumbu radikal dari
Lingkaran
dua buah lingkaran.
Hal itu sudah sangat jelas bahwa, jika persamaan-persamaan lingkaran-lingkaran
dibentuk dari persamaan (1) dan (2), persamaan dari sumbu radikal diperoleh dengan
mengurangi satu persamaan dengan persamaan yang lain.
Misal, persamaan (1) diwakili oleh 푆1 = 0,
dan persamaan (2), diwakili oleh 푆2 = 0,
maka persamaan sumbu radikalnya adalah : 푆1 − 푆2 = 0,
atau: 푆1 = 푆2.
Untuk lebih jelasnya lagi bahwa, jika titik dua lingkaran berbeda dipotongkan, maka
sumbu radikalnya adalah common chord.
Sekarang ditentukan 3 lingkaran: 푆1 = 0, 푆2 = 0, 푑푎푛 푆3 = 0. Kita akan menentukan
sumbu radikal dari tiga lingkaran (taken in pairs)bertemu pada satu titik disebut titik tengah.
Persamaan sumbu radikal lingkaran S1 = 0 dan S2 = 0 adalah :
(5) S1 – S2 = 0.
Persamaan sumbu radikal lingkaran S2 = 0 dan S3 = 0 adalah :
(6) S2 – S3 = 0.
Persamaan sumbu radikal lingkaran S1 = 0 dan S3 = 0 adalah :
(7) S1 – S3 = 0.
Akan tetapi, jika kita menjumlahkan persamaan (5) dan (6), kita peroleh, dengan 60
bagian, sebuah garis yang melalui titik potong dari (5) dan (6). Dari sini, dengan
menggabungkan (5) dan (6), kita peroleh :
S1 – S3 = 0.
Tetapi hasilnya sama dengan persamaan (7).
Oleh sebab itu, yang mewakili (7) – yaitu, S1 – S3 = 0, yang mana sumbu radikal yang
ketiga – melalui titik potong dari dua lainnya. Atau, dengan kata lain, ketiga sumbu radikal
bertemu di sebuah titik utama.

9. Geometri Analitik
Permasalahan - permasalahan
1. Carilah persamaan lingkaran berikut :
a. Melalui titik potong lingkaran x2 + y2 = 2x dan x2 + y2 = 2y, dan (3, -4).
b. Melalui titik potong x2 + y2 = 25 dan x2 + y2 – 2x + 4y – 6 = 0, dan (1, 2).
c. Melalui titik potong lingkaran x2 + y2 = 16 dan garis x + y = 2, dan (4, -3).
2. Carilah sumbu radikal dari lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 dan x2 + y2 + 2x - y + 3
Lingkaran
= 0.
3. Carilah sumbu radikal dari lingkaran x2 + y2 – x + y – 2 = 0 dan 3x2 + 3y2 + 2x - 3y + 6
= 0.
4. Carilah sumbu radikal dari lingkaran x2 + y2 – 6x - 4y + 9 = 0 dan x2 + y2 = 1.
5. Carilah pusat radikal dari lingkaran x2 + y2 + 2x - y = 0, x2 + y2 + x - y - 1 = 0, dan x2 +
y2 - 4x + 6y - 3 = 0.
6. Carilah pusat radikal dari lingkaran x2 + y2 - x + 3y – 2 = 0, x2 + y2 + 4x - 2y - 3 = 0,
dan x2 + y2 - 2x - 4y - 6 = 0.
7. Dalam kasus apa dua lingkaran tidak mempunyai sumbu radikal?
8. Dalam kasus apa tiga lingkaran tidak mempunyai pusat radikal?
9. Berilah cntoh susunan geometri dari sumbu radikal dua lingkaran yang tidak
berpotongan.
10. Buktikan analisa bahwa sumbu radikal dari dua lingkaran adalah tegak lurus dengan
garis tengahnya.
11. Buktikan analisa bahwa sumbu radikal dari dua lingkaran yang sama adalah garis bagi
tegak lurus dari garis tengahnya.
12. Apakah sumbu radikal dari dua lingkaran yang berjari – jari nol?
13. Dengan menggunakan materi soal nomer 12, buktikan bahwa garis bagi tegak lurus
dari dua sisi segitiga bertebu pada satu titik.
14. Jika P (x1, y1) adalah sebuah titik di luar lingkaran
(x - )2 + (y - )2 – r2 = 0,
Tunjukkan bahwa panjang tangent dari P ke lingkaran dapat dirumuskan
t = (x1 - )2 + (y1 - )2 – r2
15. Dengan menggunakan jawaban dari soal 14, tunjukkan bahwa sumbu radikal dari dua
lingkaran, S1 = 0 dan S2 = 0, diartikan sama dengan tempat sebuah titik P berpindah
sehingga tangent yang digambarkan dari P ke lingkaran, S1 = 0 dan S2 = 0, selalu
sama.