Geometri Analitik Ruang Bidang Datar pada Ruang

1. Geometri Analitik Ruang
BIDANG DATAR PADA RUANG
Dosen : Azis Muslim, M.Pd
Oleh : Rahmah Fitri
Dosen : Azis Muslim, M.Pd
Oleh : Rahmah Fitri

2. Suatu bidang datar dapat ditentukan jika minimal diketahui tiga
buah titik pada bidang tersebut yang tidak segaris. Misalkan tiga
titik tersebut adalah P(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), Q(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), R(𝑥3, 𝑦3, 𝑧3).
Titik Pada Bidang Datar
Sehingga untuk sebarang titik
X(𝑥, 𝑦, 𝑧) pada bidang datar berlaku
𝑃𝑋 = 𝜆𝑃𝑄 + 𝜇𝑃𝑅 untuk (−∞ < 𝜆 <
Persamaan Vektoris Bidang Datar

3. Jika diketahui 𝑂𝑃 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 , sehingga diperoleh persamaan
vektoris bidang datar adalah
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝜆 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1 + 𝜇 𝑥3 − 𝑥1, 𝑦3 − 𝑦1, 𝑧3 − 𝑧1
Vektor PQ dan PR disebut vektor arah bidang. Vektor arah
merupakan vector yang tidak segaris pada bidang

4. Persamaan vektoris yang melalui titik P(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dapat
dirubah jika kita memisalkan vektor arahnya
𝑎 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 dan 𝑏 𝑥 𝑏, 𝑦 𝑏, 𝑧 𝑏 . Maka persamaan bidangnya
menjadi:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝜆 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 + 𝜇 𝑥 𝑏, 𝑦 𝑏, 𝑧 𝑏
Persamaan Parameter Bidang Datar
Persamaan diatas dapat ditulis menjadi tiga persamaan sebagai
berikut :
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑥 𝑎 + 𝜇𝑥 𝑏………. (1)
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑦𝑎 + 𝜇𝑦 𝑏………. (2)
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆𝑧 𝑎 + 𝜇𝑧 𝑏………. (3)

5. Persamaan Linier Bidang Datar
Jika kita mengoperasikan (1) dan (2) persamaan parameter,
kemudian mengeliminasi pada masing-masing persamaan, nilai 𝜆
dan 𝜇. Maka diperoleh nilai :
𝜆 =
𝑦 𝑏 𝑥−𝑥1 − 𝑥 𝑏 𝑦−𝑦1
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦 𝑎 𝑥 𝑏
dan 𝜇 =
𝑥 𝑎 𝑦−𝑦1 − 𝑦 𝑎 𝑥−𝑥1
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦 𝑎 𝑥 𝑏
Kemudian apabila 𝜆 dan 𝜇 di atas disubs ke persamaan (3),
diperoleh :
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆𝑧 𝑎 + 𝜇𝑧 𝑏
= 𝑧1 +
𝑦 𝑏 𝑥−𝑥1 − 𝑥 𝑏 𝑦−𝑦1
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦 𝑎 𝑥 𝑏
𝑧 𝑎 +
𝑥 𝑎 𝑦−𝑦1 − 𝑦 𝑎 𝑥−𝑥1
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦 𝑎 𝑥 𝑏
𝑧 𝑏
𝑧 − 𝑧1 =
𝑦 𝑏 𝑥−𝑥1 − 𝑥 𝑏 𝑦−𝑦1
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦 𝑎 𝑥 𝑏
𝑧 𝑎 +
𝑥 𝑎 𝑦−𝑦1 − 𝑦 𝑎 𝑥−𝑥1
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦 𝑎 𝑥 𝑏
𝑧 𝑏

6. 𝑧 − 𝑧1(𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 𝑥 𝑏) = (𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑥1 − 𝑥 𝑏 𝑦 − 𝑦1 )𝑧 𝑎 + (𝑥 𝑎 𝑦 − 𝑦1 − 𝑦𝑎 𝑥 − 𝑥1 )𝑧 𝑏
𝑧 − 𝑧1 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 𝑥 𝑏 − (𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑥1 − 𝑥 𝑏 𝑦 − 𝑦1 )𝑧 𝑎 − (𝑥 𝑎 𝑦 − 𝑦1 − 𝑦𝑎 𝑥 − 𝑥1 )𝑧 𝑏 = 0
𝑧 − 𝑧1 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 𝑥 𝑏 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑥1 + 𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 − 𝑦1 − 𝑥 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 − 𝑦1 + 𝑦𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 − 𝑥1 = 0
𝑧 − 𝑧1 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 𝑥 𝑏 + 𝑦𝑎 𝑧 𝑏 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑥1 + 𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 − 𝑦1 = 0
𝑦𝑎 𝑧 𝑏 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑥1 + 𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 − 𝑦1 + 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 𝑥 𝑏 (𝑧 − 𝑧1) = 0
Kemudian dengan membuat permisalan :
𝑦𝑎 𝑧 𝑏 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 = 𝑑𝑒𝑡
𝑧 𝑎 𝑦𝑎
𝑧 𝑏 𝑦 𝑏
= 𝐴
𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎 𝑧 𝑏 = 𝑑𝑒𝑡
𝑧 𝑎 𝑥 𝑎
𝑧 𝑏 𝑥 𝑏
= 𝐵
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑑𝑒𝑡
𝑥 𝑎 𝑦𝑎
𝑥 𝑏 𝑦 𝑏
= 𝐶
Sehingga diperoleh :
𝐴 𝑥 − 𝑥1 + 𝐵 𝑦 − 𝑦1 + C 𝑧 − 𝑧1 = 0
Persamaan diatas merupakan Persamaan Linier bidang datar pada dimensi ruang.

7. Untuk menentukan nilai A,B, dan C karena merupakan hasil
determinan maka dapat dihitung dengan melakukan perkalian
silang (cross product) terhadap kesua vector arah 𝑎 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 dan
𝑏 𝑥 𝑏, 𝑦 𝑏, 𝑧 𝑏 , yaitu :
𝐴 𝐵 𝐶 =
𝑧 𝑎 𝑦𝑎
𝑧 𝑏 𝑦 𝑏
𝑖 +
𝑧 𝑎 𝑥 𝑎
𝑧 𝑏 𝑥 𝑏
𝑗 +
𝑥 𝑎 𝑦𝑎
𝑥 𝑏 𝑦 𝑏
𝑘
=
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥 𝑎 𝑦𝑎 𝑧 𝑎
𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏
Vektor 𝐴 𝐵 𝐶 ini disebut sebagai vector normal dari bidang
datar 𝑉 = 0. Yaitu vector yang tegak lurus dengan bidang tersebut.
Vektor normal ini digunakan untuk menentukan persamaan linier
suatu bidang datar yang persamaan parameternya diketahui,

8. C o n t o h
Tentuka persamaan vektoris,
parameter, dan linier bidang
datar yang melalui titik berikut :
3,4,1 , −1, −1,5 , 𝑑𝑎𝑛 (1,7,1).

9. Persamaan vektorisnya adalah :
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝜆 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1 + 𝜇 𝑥3 − 𝑥1, 𝑦3 − 𝑦1, 𝑧3 − 𝑧1
P e n y e l e s a i a n
= 3,4,1 + 𝜆 −1 − 3, −1 − 4, 5 − 1 + 𝜇 1 − 3, 7 − 4, 1 − 1
= 3,4,1 + 𝜆 −4, −5, 4 + 𝜇 −2, 3, 0
Persamaan vektorisnya adalah :
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑥 𝑎 + 𝜇𝑥 𝑏
= 3 − 4𝜆 − 2𝜇 ………. (1)
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑦𝑎 + 𝜇𝑦 𝑏
= 4 − 5𝜆 + 2𝜇 ………. (2)
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆𝑧 𝑎 + 𝜇𝑧 𝑏
= 1 + 4𝜆 ………. (3)

10. Persamaan Linear bidang datarnya adalah :
−4, −5, 4 × −2, 3, 0 =
4 −5
0 3
𝑖 +
4 −4
0 −2
𝑗 +
−4 −5
−2 3
𝑘
= 12𝑖 − 8𝑗 − 22𝑘 = 12, −8, −22
Jadi, persamaan bidang datar dengan vector normal
12, −8, −22 adalah :
𝐴 𝑥 − 𝑥1 + 𝐵 𝑦 − 𝑦1 + C 𝑧 − 𝑧1 = 0
12 𝑥 − 3 − 8 𝑦 − 4 − 22 𝑧 − 1 = 0
12𝑥 − 36 − 8𝑦 + 32 − 22𝑧 + 22 = 0
12𝑥 − 8𝑦 − 22𝑧 − 36 + 32 + 22 = 0
12𝑥 − 8𝑦 − 22𝑧 + 18 = 0

11. Persamaan Normal Hesse Bidang Datar
Persamaan Normal Hesse Bidang Datar adalah persamaan
yang dibentuk oleh vektor normalnya. Misalkan 𝑛 = 𝐴, 𝐶, 𝐵
adalah vector normal dari bidang 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 =
0, α, 𝛽, 𝑑𝑎𝑛 𝛾 adalah sudut antara 𝑛 dengan sumbu-sumbu
kooordinat (yang arahnya dibentuk oleh vector 𝑖, 𝑗, 𝑑𝑎𝑛 𝑘).
Vektor nornam pada
bidang V

12. cos 𝛼 =
𝑛 ∙ 𝑖
𝑛 𝑖
=
𝐴
𝑛
cos 𝛽 =
𝑛 ∙ 𝑗
𝑛 𝑗
=
𝐴
𝑛
cos 𝛾 =
𝑛 ∙ 𝑘
𝑛 𝑘
=
𝐴
𝑛
Berdasarkan aturan perkalian titik
diperoleh :
Bentuk diatas juga dapat ditulis dalam bentuk :
cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾 =
𝐴, 𝐵, 𝐶
𝑛
=
𝑛
𝑛

13. Ini adalah vektor satuan yang searah dengan 𝑛, atau boleh disebut
sebagai vektor normal yang panjangnya satu satuan. Sehingga dapat
ditulis menjadi,
𝑛 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾
Misalkan P adalah jarak dari titik asal (0,0,0) ke bidang V, dan T(x,y,z)
adalah sebarang titik pada bidang V. Maka p adalah proyeksi vektor
posisi 𝑂𝑇 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑛 yaitu:
𝑝 = 𝑂𝑇 ∙ 𝑛
𝑝 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾
𝑝 = 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾
Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :
𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 − 𝑝 = 0
Inilah yang disebut persamaan normal Hesse bidang datar pada
dimensi tiga.

14. Untuk merubah persamaan umum bidang datar 𝐴𝑥
+ 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 menjadi persamaan normal
Hesse adalah dengan merubahnya menjadi:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧
𝑛
=
−𝐷
𝑛
Karena nilai p =
−𝐷
𝑛
harus bernilai positif, sehingga
jika D bernilai negatif maka persamaan dibagi
dengan 𝑛 . Sebaliknya jika D bernilai negatif, maka
persamaan dibagi dengan − 𝑛 .

15. C o n t o h
Tentukan persamaan Normal Hesse dari bidang datar 12𝑥 + 8𝑦 + 6𝑧 − 24 = 0
Penyelesaian :
Diketahui D = −24 (negative), maka persamaan dibagi dengan 𝑛
𝑛 = 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2 = 122 + 82 + 62 = 144 + 64 + 36 = 244 = 2 61
Jadi, persamaan Normal Hesse adalah :
12
2 61
𝑥 +
8
2 61
𝑦 +
6
2 61
𝑧 =
−24
2 61

16. Sudut Antara Dua Bidang Datar
Sudut antara dua bidang datar adalah sudut yang terbentuk di antara vector-
vektor normalnya. Misalkan diketahui vektor-vektor normal 𝑛1 = 𝐴1, 𝐵1, 𝐵1
dan 𝑛2 = 𝐴2, 𝐵2, 𝐵2 , maka untuk meghitung sudut yang terbentuk dapat
menggunakan aturan cosinus yang terdapat dalam perkalian titik (dot product)
yaitu:
𝑛1 ∙ 𝑛2 = 𝑛1 ∙ 𝑛2 cos θ
cos θ =
𝑛1 ∙ 𝑛2
𝑛1 ∙ 𝑛2

17. C o n t o h
Tentuka sudut antara bidang 𝑉 = 4𝑥 = 2 dan W= 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 0
Penyelesaian :
Diketahui 𝑛1 = 4, 0, 0 dan 𝑛2 = 1, −2, 2
cos θ =
𝑛1 ∙ 𝑛2
𝑛1 ∙ 𝑛2
cos θ =
4, 0, 0 ∙ 1, −2, 2
42 + 02 + 02 ∙ 12 + (−2)2+22
=
4
16 ∙ 9
=
4
4 ∙ 3
==
4
12
=
1
3
𝜃 = cos−1
1
3
= 70,73°

18. Jarak Titik ke Bidang Datar
Misalkan diketahui suatu bidang datar dengan persamaan
𝑉1 ≡ 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 = 𝑝, maka cara menetukan jarak
titik P(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ke bidang 𝑉 adalah :
 Buat bidang 𝑉2 yang melalui titik P dan sejajar bidang 𝑉1 sehingga
vector normal
𝑛1 = 𝑛2
 Diperoleh jarak titik asal ke bidang 𝑉2 adalah 𝑝 ± 𝑑 (tergantung
letak 𝑉1 dan 𝑉2 terhadap titik asal)
 Diperoleh persamaan 𝑉2 ≡ 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 = 𝑝 ± 𝑑
 Karena titik P(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) berada pada bidang 𝑉2 maka memenuhi
𝑥1 cos 𝛼 + 𝑦1 cos 𝛽 + 𝑦1 cos 𝛾 = 𝑝 ± 𝑑
 Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :
±𝑑 = 𝑥1 cos 𝛼 + 𝑦1 cos 𝛽 + 𝑦1 cos 𝛾 − 𝑝
𝑑 = 𝑥1 cos 𝛼 + 𝑦1 cos 𝛽 + 𝑦1 cos 𝛾 − 𝑝

19. Persamaan di atas adalahrumus untuk mencari jarak antara titik 𝑃 ke
bidang 𝑉1. Adapun jika yang diketahui adalah persamaan bidang
𝑉1 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0 maka jarak titik 𝑃 ke bidang 𝑉1 dapat divari
dengan :
𝑑 =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
Jarak titik P ke
bidang

20. C o n t o h
Tentukan jarak dari titik 𝑀(3, 0, 0) dengan bidang 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧
= 7
Penyelesaian :
𝑑 =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
𝑑 =
3 3 − 2 0 + 5 0 − 7
32 + (−2)2+52
𝑑 =
9 − 0 − 0 − 7
9 + 4 + 25
𝑑 =
2
38
=
2
38