Geometri Sahcceri Pada Geometri Eulid

1. Tugas Kelompok 3
Mata kuliah : Geometri euclid dan Non Euclid
Dosen : Dr. Izwita Dewi, M.Pd
USAHA SACCHERI DALAM MEMPERTAHANKAN
POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES
DISUSUN OLEH :
1. DEKSON (NIM O81188710044)
2. ISWANDI (NIM O81188710046)
3. JAHINOMA GULTOM (NIM O81188710047)
4. POLMAR BANJARNAHOR (NIM O81188710055)
PROGARAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS
NEGERI MEDAN 2010

2. USAHA SACCHERI DALAM MEMPERTAHANKAN
POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES
Girolamo Saccheri (1667 – 1773) menulis sebuah buku Éuclides Vindicatus”. Dia
mencoba menguji kebenaran postulat kesejajaran euclides dengan cara baru. Caranya
dengan mengasunsikan bahwa postulat kesejajaran Euclides itu salah, menunjukan
adanya kontradiksi, yang secara logis berarti Memvalidasikan ( mengesahkan )
postulat kesejajaran Euclides dengan menggunakan prinsipbukti tak langsung.
Pengujian Sacheri dimulai dengan mempelajari suatu segi empat yang mempunyai dua
sisi yang sama dan tegak lurus pada sisi yang ketiga.
Definisi:
Segi empat ABCD disebut segiempat SACCHERI jika ∠ B = ∠ C = 90o
dan AB
= DC
Gambar dibawah :
Saccheri mampu membuktikan ∠ A = ∠ D, dan selanjutnya mempertimbangkan tiga
kemungkinan mengenai sudut A dan sudu t D :
(1) Hipotsis sudut siku-siku (∠ A = ∠ D = 90o
)
(2) Hipotesis sudut tumpul (∠ A = ∠ D > 90o
)
(3) Hipotesis sudut lancip (∠ A = ∠ D < 90o
)
Jika postulat kesejajaran Euclides diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku benar
(karena postulat kesejajaran Euclides berakibat bahwa jumlah sudut sebarang segi
empat adalah 360o
).
B C
A D

3. Dasar argument Saccheri adalah sebagai berikut :
Dengan menunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip
keduanya menimbulkan suatu kontradiksi, berarti postulat kesejajaran Euclides
benar.
Dalam tulisan ini kami berupaya membultikan bahwa hipotesis dan hipotesis sudut
lancip keduanya menimbulkan suatu kontradiksi dengan pembuktian dibawah ini:
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa sudut-sudut puncaknya adalah sama sebagai
berikut :
Tentukan E sebagai titik tengah BC.seperti gambar dibawah ini,
Maka ∆BEA kongruen dengan ∆CED (s, sd, s)
AE = DE
∠ A1 = ∠ D1 ,
Sekarang diambil F sebagai titik tengah AD.
AF = FD
AE = DE Jadi ∆AEF kongruen dengan ∆DEF ( s, s, s ) maka
FE = FE ∠ A2 = ∠ D2 ,
B C
A D
EB C
A
D

4. Sehingga terdapatlah ∠ A1 + ∠ A2 = ∠ D1 + ∠ D2 , Maka sudut-sudut
puncak sisiempat Saccheri sama (∠ A = ∠ D)
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa hipotesisi (2) dan Hipotrsisi (3) salah.
Andaikan (∠ A = ∠ D > 90o
) , karena (∠ A = ∠ D > 90o
, dan AB = CD , maka ∠ B
= ∠ C < 90o
. Hal ini kontradiksi dengan definisi yaitu; (∠ B = ∠ C = 90o
, sehingga
pengandaian salah
Andaikan (∠ A = ∠ D < 90o
) , karena (∠ A = ∠ D < 90o
, dan AB = CD , maka ∠ B
= ∠ C > 90o
. Hal ini kontradiksi dengan definisi yaitu; (∠ B = ∠ C = 90o
, sehingga
pengandaian salah
Dengan demikian, hipotesis (2) dan (3) salah
Dengan menggunakan serangkaian teorem secara hati-hati, Saccheri mampu
membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul menimbulkan suatu kontradiksi.
Selanjutnya dia memperhatikan implikasi dari sudut lancip. Di antaranya berupa
sejumlah teorema yang tidak biasa (unusual), yang dua diantaranya dapat dinyatakan
sebagai berikut:
(i) Jumlah sudut-sudut sebaang segitiga adalah kurang dari 180 o
.
(ii) Jika l dan m adalah dua garis dalam suatu bidang, maka salah satu sifat
berikut akan terpenuhi:
( a) l dan m berpotongan, keduanya memancar dari titik perpotongannya.
(b) l dan m tidak berpotongan, tetapi mempunyai garis tegak lurus
persekutuan, sehingga ke dua garis memencar dalam dua arah dari arah
garis tegak lurus persekutuan.
B C
A D

5. (c) l dan m tidak berpotongan, dan tidak mempunyai garis tegak lurus
persekutuan, sehingga kedua garis konvergen pada satu arah tetapi
divergen pada arah yang lain.
Contoh soal:
1. Buktikanlah bahwa sisi atas segiempat Saccheri lebih besar atau sama dengan
sisi alasnya.
Bukti :
Akan dibuktikan bahwa AD > BC pada gambar dibawah ini
Ambil BE = EC
BA = CD (diketahui) ∆ECD kongruen dengan ∆EBA
∠ B = ∠ C = 900
(diketahui)
maka EA = ED
AF = FD ∆DFE kongruen dengan ∆EAF
EF = EF
Andaikan AD = BC maka FD = EC
ED = ED (berimpit) dan ∠ DCA = ∠ DFE Sehingga
∆DFE kongruen dengan ∆DCE maka diperoleh
∠ FED = ∠ EDC dan ∠ FDE = ∠ CED maka
∠ FED + ∠ CED = ∠ EDC + ∠ FDE atau ∠ FED = ∠ FDC= 900
Terdapat pertentangan dengan yang telah dibuktikan yaitu ∠ FDC lancip yaitu
sudut puncak sisiempat Saccheri
Jadi tidak mungkin FD = EC, maka FD > EC atau AD > BC (terbukti)
B C
A D
E
F

6. DAFTAR PUSTAKA
2. Prenowitz, W. Jordan, M. 1965. Basic Concept of Geometry. Blaisdell
Publishing Company : Waltham, Massachusetts. Tronto. London.
3. Soemadi, H. Masriyah, MPd. , 2000, Sistem Geometri, Surabaya, University
Press IKIP Surabaya.

7. DAFTAR PUSTAKA
2. Prenowitz, W. Jordan, M. 1965. Basic Concept of Geometry. Blaisdell
Publishing Company : Waltham, Massachusetts. Tronto. London.
3. Soemadi, H. Masriyah, MPd. , 2000, Sistem Geometri, Surabaya, University
Press IKIP Surabaya.