Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Rangkuman Geometri Transformasi

  • Be the first to comment

Rangkuman Geometri Transformasi

  1. 1. RANGKUMAN Mata Kuliah GEOMETRI TRANSFORMASI DI SUSUN OLEH : Nama : Indah Wijayanti NPM : 200813500172 Dosen : Huri Suhendri S.Pd KELAS : O. MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TEKNIK MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI JAKARTA Jl. Nangka No.58C Tanjung Barat (TB Simatupang) Jagakarsa, Jakarta Selatan 12530 Februari 2010 DAFTAR ISI
  2. 2. Geometri Transformasi LEMBAR JUDUL DAFTAR ISI....................................................................................................... BAB PEMBAHASAN 2.1 REFLEKSI.......................................................................................... 2.2 TRANSLASI....................................................................................... 2.3 ROTASI.............................................................................................. 2.4 DILATASI........................................................................................... 2.5 KOMPOSISI TRANSFORMASI........................................................ DAFTAR PUSTAKA........................................................................................... 1 REFLEKSI Matematika 2
  3. 3. Geometri Transformasi a. Pengertian Refleksi Pada gambar 7.5, tampak bahwa ABC dicerminkan sehingga menjadi terhadap garis g A’B’C’. Garis g dinamakan sumbu simetri atau garis invarian (tetap). Perhatikan gambar 7.5. Titiktitik A, B, dan C pada Δ ABC dicerminkan menjadi titik-titik A’, B’, dan C’ dengan arah tegak lurus terhadap garis g, dengan AF = FA’, BE = EB’ dan CD = DC’, sehingga diperoleh bayangannya Δ A’B’C’ yang kongruen (sama bentuk dan ukuran) dengan ABC. Pencerminan seperti ini, yang memindahkan semua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu, serta bayangannya kongruen dengan bangun semula dinamakan refleksi. Refleksi terhadap Sumbu X Pada gambar 7.6 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya yaitu titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,4). Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2) dan D (2,-4) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu X, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2) dan D (2,-4) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu X, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. Matematika 3
  4. 4. Geometri Transformasi Bayangan dari titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,-4) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu X adalah A’(4,-2), B’(-2,-4), C’(-4,2), dan D’(2,4). Dari hasil tersebut diperoleh bahwa koordinat x dari titik yang dicerminkan terhadap sumbu X sama dengan koordinat x dari bayangannya, sedangkan koordinat y dari titik yang dicerminkan terhadap sumbu X sama dengan negatif dari koordinat y dari bayangannnya. Kesimpulan : Titik P (a,b) di refleksikan maka P’ (a,-b) Refleksi kurva terhadap y = - f (x) Contoh 1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap sumbu X. Penyelesaian: • Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah P’(-2,-3). • Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah Q’(3,-3). • Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah R’(3,-6). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah titik-titik P’(-2,-3), Q’(3,-3), dan R’(3,-6). 2. Tentukan bayangan garis 3x + y = 7 yang di cerminkan terhadap sumbu x! Penyelesaian: Ingat : y’ = -f(x) ^ y = 7 – 3x ^ y’ = - (7-3x) ^ y’ = -7 + 3x ^ y’ = 3x - 7 sbjj x Jadi, bayangan garis 3x + y = 7 jjj yaitu y = 3x - 7 jj jj jj jj jk jj j Matematika 4
  5. 5. Geometri Transformasi Refleksi terhadap Sumbu Y Pada gambar 7.8 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4), dan D (4,-2). Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4) dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu Y, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. Bayangan dari titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4), dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu Y adalah A’(2,4), B’(-4,2), C’(-2,-4), dan D’(-4,-2). Dari hasil tersebut diperoleh bahwa koordinat y dari titik yang dicerminkan terhadap sumbu Y sama dengan sedangkan koordinat koordinat y dari x dari bayangannnya, titik yang dicerminkan terhadap sumbu Y sama dengan negatif dari koordinat x dari bayangannnya. Kesimpulan : Titik P (a,b) di refleksikan maka P’ (-a,b) Refleksi kurva terhadap y = f (-x) Contoh 3. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap sumbu Y. Penyelesaian: • Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah P’(2,3). • Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah Q’(-3,3). • Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah R’(-3,6). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah titik-titik P’(2, 3), Q’(-3,3), dan R’(-3,6). 4. Tentukan bayangan garis y =2x + 8 yang di cerminkan terhadap sumbu y! Matematika 5
  6. 6. Geometri Transformasi Penyelesaian: Ingat : y’ = f(- x) ^ y = 2x + 8 ^ y’ = 2(-x) + 8 ^ y’ = - 2x + 8 sb Jadi, bayangan garis y = 2x + 8 jjy yaitu y = -2x + 8 jj jj jj jj jk jj jj j j Refleksi terhadap Garis y=x Pada gambar 7.10 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titiktitik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5), dan D (4,-2). Kemudian kita tentukan bayangan dari titiktitik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5) dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap garis y = x, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. Bayangan dari titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5), dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap terhadap garis y = x adalah A’(5,2), B’(2,-4), C’(-2, —5), dan D’(-2,4). Dari hasil tersebut diperoleh bahwa koordinat dicerminkan x menjadi pada suatu koordinat titik yang y pada bayangannya, sedangkan koordinat y pada suatu titik yang dicerminkan menjadi koordinat x pada bayangannya. Kesimpulan : Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (b,a) Refleksi kurva terhadap garis x = f (y) Contoh Matematika 6
  7. 7. Geometri Transformasi 5. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = x. Penyelesaian: • Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah P’(3,-2). • Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah Q’(3,3). • Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah R’(6,3). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah titik-titik P’(3, -2), Q’(3,3), dan R’(6,3). 6. Tentukan bayangan garis y =2x + 8 yang di cerminkan terhadap sumbu y=x! Penyelesaian: Ingat : x’ = f(y) ^ y = 2x + 8 ^ x’ = 2(y) + 8 ^ x’ = 2y + 8 y=x Jadi, bayangan garis y = 2x + 8 garis jjjjyaitu x = 2y + 8 jjj jjj jjj jjj jjj jjj jj k Refleksi terhadap Garis y = -x Pada gambar 7.12 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titiktitik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3). Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4) dan D (4,3) pada refleksi (pencerminan) terhadap garis y = -x, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. Bayangan dari titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3) pada refleksi (pencerminan) terhadap terhadap garis y = x adalah A’(-4,1), B’(3,4), C’(4,1), dan D’(-3,-4). Dari hasil koordinat tersebut x pada diperoleh suatu titik bahwa yang dicerminkan menjadi negatif dari koordinat Matematika y 7
  8. 8. Geometri Transformasi pada bayangannya, sedangkan koordinat y pada suatu titik yang dicerminkan menjadi negatif dari koordinat x pada bayangannya. Kesimpulan : Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (-b,-a) Refleksi kurva terhadapa garis x = - f (-y) Contoh 7. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = -x. Penyelesaian: • Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = -x adalah P’(-3,2). • Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah Q’(-3,-3). • Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah R’(-6,-3). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah titik-titik P’(-3,2), Q’(-3,-3), dan R’(-6,-3). 8. Tentukan bayangan garis y =6x + 5 yang di cerminkan terhadap sumbu y=x! Penyelesaian: Ingat : x’ = - f(-y) ^ y = 6x + 5 ^ x’ = -(6(-y) + 5) ^ x’ = 6y - 5 Jadi, bayangan garis y = 6x + 5 y=x garis jjjjyaitu x = 6y -5 jjj jjj jjj jjj jjj jjj jj k Refleksi terhadap Garis x = k Matematika 8
  9. 9. Geometri Transformasi Pada gambar 7.14 tampak sebuah titik P(a,b) yang direfleksikan (dicerminkan) terhadap garis x = k sehingga bayangannya adalah P’(a’,b’). Kemudian kita cari hubungan antara a, b, a’, b’, dan k, hasilnya adalah sebagai berikut. a’ = a + PP’ ^ a’ = a + PP’ ^ a’ = a + 2PQ ^ a’ = a + 2(k – a) ^ a’ = a + 2k – 2a ^ a’ = 2k – a Selanjutnya, dari gambar 7.14 tampak jelas bahwa b’ = b, sehingga titik P(a,b) berturutturut diganti oleh 2k–a dan b. Maka, koordinat titik P’(a’,b’) menjadi P’(2k–a,b). Kesimpulan : Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (2k-a, b) Refleksi kurva terhadap garis y = f (2k – x) Contoh 9. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis x = 5. Penyelesaian: • Bayangan dari P (-2,3) - garis x = 5 maka P’(2(5)-(-2),3) = P’(12,3). • Bayangan dari Q (3,3) - garis x = 5 maka Q’(2(5)-3,3) = Q’(7,3). • Bayangan dari R (3,6) - garis x = 5 maka R’(2(5)-3,6) = R’(7,6). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis x = 5 adalah titik-titik P’(12,3), Q’(7,3), dan R’(7,6). Refleksi terhadap Garis y = k Matematika 9
  10. 10. Geometri Transformasi Pada gambar 7.15 terlihat sebuah titik P(a,b) yang direfleksikan (dicerminkan) terhadap garis y = k sehingga bayangannya adalah P’(a’,b’). Kemudian kita cari hubungan antara a, b, a’, b’, dan k, hasilnya adalah sebagai berikut. ^ b’ = b + PP’ b’ = b + PP’ ^ b’ = b + 2PQ ^ b’ = b + 2(k – b) ^ = b + 2k – 2b b’ ^ b’ = 2k – b Selanjutnya, dari gambar 7.15 tampak jelas bahwa a’ = a, sehingga titik P(a,b) berturutturut diganti oleh a dan 2k-b.Oleh karena itu,koordinat titik P’(a’,b’) menjadi P’(a,2k-b). Kesimpulan : Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (a, 2k-b) Refleksi kurva terhadap garis y = 2k – f(x) Contoh 10. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = 3. Penyelesaian: • Bayangan dari P (-2,3) -- garis y = 4 adalah P’ (-2,2(4)-3) = P’ (-2,5). • Bayangan dari Q (3,3) -- garis y = 4 adalah Q’ (3,2(4)-3) = Q’(3,5). • Bayangan dari R(3,6) -- garis y = 4 adalah R’(3,2(4)-6) = R’(3,2). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = 4 adalah titik-titik P’(-2,5), Q’(3,5), dan R’(3,2). Matematika 10
  11. 11. Geometri Transformasi No Jenis Transformasi Matriks d Refleksi 1 1 0 0 @1 My=0 Terhadap sumbu x Bayangan titik e d 2 @1 0 0 1 Mx=0 Terhadap sumbu y d 3 Terhadap garis y=x 0 1 1 0 My=x Terhadap garis y=-x e A(x,y) ^ A’ (- x,y) e d 4 A(x,y) ^ A’ (x,-y) 0 @1 @1 0 My=-x e A(x,y) ^ A’ (y,x) A(x,y) ^ A’ (-y,- x) Contoh 11. Tentukan bayangan titik (3,-5), jika di cerminkan terhadap garis y=-x! f Penyelesaian : x. y. d g 0 @1 @1 0 = My=-x g d f x. y. 0 @1 = @1 0 ed e ed 3 @5 x y e d = 5 @3 e 12. Tentukan bayangan kurva y=x2,jika di cerminkan terhadap garis y=x! f d g x. 0 1 Penyelesaian : y. = My=x 1 0 d 0 1 = 1 0 f x. y. ed e x y ed e x y d e g y x = sehingga di dapat, x = y’ dan y = x’. Substitusikan ke persamaan kurva y=x 2 , maka diperoleh ^ y = x2 ^ x’ = y’2 ww ww ww w w w w w w w w w w w w w w ^ y’ = ± px . Jadi, bayangan kurva tersebut adalah y = ± p x 13. Persamaan garis 3x + y – 2 = 0 dicerminkan terhadap garis y=-x. tentukan persamaan bayangannya! d Penyelesaian : My=-x e 0 @1 , maka T-1 = @1 0 d 1 d det 0 @1 @1 0 e 1 0 1 =- 1 e1 0 d e d 0 1 0 @1 = 1 0 @1 0 e Misalkan titik (x,y) terketak pada garis 3x + y – 2=0, maka bayangan titik (x’,y’) adalah: Matematika 11
  12. 12. Geometri Transformasi f x. y. g d e y = T x , kemudian masing-masing di kali dengan T-1 Subsitusikan x = -y’ dan y = -x’ ke pesamaan : d e f g y x. -1 ^ 3x + y – 2=0 ^ T-1 y. = T T x ^ 3(-y’) + (-x’) – 2=0 d ef g d e y x. ^ - 3y’ – x’ -2 = 0 ^ 0 @1 y. = x @1 0 ^ x’ + 3y’ + 2 = 0 d e f g y @y. ^ = x ^ x = -y’ dan y = -x’ Sehingga, persamaan bayangan kurvanya @x . menjadi: x + 3y + 2 = 0 14. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran x 2+ y2 + 4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi d e 0 1 yang bersesuaian dengan matrix ! @1 0 Penyelesaian: d e 0 1 Cara I : Diketahui matrik T , @1 0 d invers matrix T -1 = d 1 det 0 1 @1 0 e d e d 1f 0 @1 0 @1 f = = 0 1 1 0 e1 0 @1 1 0 e Misalkan titik (x,y) terketak pada garis x2+ y2+4x–6y–3= 0,maka bayangan titik (x’,y’) f x. y. g d e y = T x , kemudian masing-masing di kali dengan T-1 Subsitusikan x = -y’ dan y = x’ ke pesamaan : d e f g y x. ^ x2+ y2+4x–6y–3= 0 ^ T-1 = T-1 T x y. ^ (-y’)2+ (x’)2+4(-y’)–6(x’)–3= 0 d ef g d e y x. ^ y’2 + x’2 - 4y’ – 6x’–3= 0 ^ 0 @1 = x y. 1 0 ^ x’2 + y’2 - 6x’- 4y’- 3 = 0 d e f g y @y. ^ = x ^ x = -y’ dan y = x’ Sehingga, persamaan bayangan kurvanya x. menjadi: x2 + y2 - 6x- 4y- 3 = 0 adalah: Matematika 12
  13. 13. Geometri Transformasi 2 TRANSLASI a. Pengertian Translasi Pada gambar 7.1, tampak bahwa Δ ABC digeser sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu sedemikian hingga menjadi Δ A’B’C’. Pada pergeseran tersebut, Δ A’B’C’ merupakan bayangan dari Δ ABC. Pergeseran yang memindahkan Δ ABC menjadi jjj jj jj jj jj jk jj jj j jj jj jj jk jj jj jj j j jjj jj jj jj jj jk jj jj j Δ A’B’C’ dapat diwakili oleh ruas garis-ruas garis berarah AA. atau BB. atau CC. . Perhatikan gambar 7.1, tampak bahwa AA’ = BB’ = CC’ sehingga Δ A’B’C’ kongruen (sama bentuk dan ukuran) dengan Δ ABC. Pergeseran seperti ini, yang memindahkan semua titik pada sebuah bangun geometri sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu, serta bayangannya kongruen dengan bangun semula dinamakan translasi. b. Notasi dengan Pasangan Bilangan DE Suatu translasi dapat dinyatakan dengan menggunakan suatu pasangan bilangan a dengan a mewakili pergeseran arah horisontal dan b mewakilipergeseran arah b vertikal. jjj jj jj jj jj jk jj jj j Pada gambar 7.2, tampak bahwa ruas garis berarah AA. memperlihatkan sebuah translasi yang memindahkan titik A ke titik A’. Pergeseran titik A ke titik A’ dilakukan dengan cara menggeser 5 satuan ke kanan dilanjutkan 3 satuan ke atas. Translasi dinyatakan dalam bentuk jjj jj jj jj jj jk jj jj j ditulis: AA. DE DE jjj jj jj jj jj jk jj jj j AA. tersebut 5 atau secara singkat 3 5 . 3 Translasi berarti : menggeser “a” satuan ke kanan (jika a > 0) atau a satuan ke kiri (jika a < 0) menggeser “b” satuan ke atas (jika b > 0) atau b satuan ke bawah (jika b< 0). Komponen a disebut komponen mendatar (absis) dan b disebut komponen Matematika vertical(ordinat) 13
  14. 14. Geometri Transformasi c. Menentukan Bayangan Titik oleh Translasi Tertentu Pada gambar 7.3 tampak sebuah titik DE P(x,y) yang ditranslasikan oleh T = a b sehingga bayangannya adalah P’(x’,y’). Kemudian kita cari hubungan antara x, y, x’, y’, a, dan b, hasilnya adalah sebagai berikut : ^ x’ = x + a ^ y’ = y + b Sehingga titik P(x,y) berturut-turut diganti oleh x + a dan y + b. Oleh karena itu, koordinat titik P’(x’,y’) menjadi P’(x + a,y + b). Kesimpulan : Pada tranlasi T = , bayangan titik P(x,y) adalah P’(x + a,y + b). TRANSLASI KURVA Jika kurva y = f (x) di tranlasi oleh T = , maka bayangan kurva tersebut y – b = f (x – a) Contoh Matematika 14
  15. 15. Geometri Transformasi D @2 3 1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3) dan R(3,6) oleh translasi T Penyelesaian: • E D • E D • D E @2 adalah P(-2+(-2),3+3) = P’(-4,6). 3 Bayangan P(-2,3) oleh translasi T = Bayangan Q(3,3) oleh translasi T = Bayangan R(3,6) oleh translasi T = E @2 adalah P(3+(-2),3+3) = Q’(1,6). 3 @2 adalah P(3+(-2),6+3) = R’(1,9). 3 D E @2 Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) oleh translasi T = adalah titik-titik 3 P’(-4,6), Q’(1,6), dan R’(1,9). d e a b 2. Koordinat bayangan titik A (7,4) oleh Translasi T = translasi T. adalah A’ (1,9). Tentukan d e a Penyelesaian : T = b ; A (7,4) Q A’ (7+a, 4+b) = A’ (1,9) Sehingga, 7 + a = 1 ^ a = -6 4+b=9 ^b=5 d e d e a @6 Jadi, translasi T = b = 5 d e 3. Koordinat bayangan titik M (-5,-4) oleh translasi T = a b adalah M’ (-4,-6). Tentukan koordinat bayangan titik N (2,-7) oleh translasi T! d e a Penyelesaian : T = b : M (-5,- 4) Q M’ (-5+a, - 4+b) = M’ (-4,-6) Sehingga, -5 + a = -4 ^ a = 1 - 4 + b = -6 ^ b = -2 d e d e a 1 Jadi, translasi T = b = @2 d 4. Tentukanlah bayangan dari kurva 3x ― 5y + 7 = 0 jika di translasi oleh T = @2 @5 e Penyelesaian : Ingat : bayangan dari translasi kurva Q y – b = f (x – a) Maka, 3 (x-(-2)) – 5 (y-(-5)) +7 = 0 ^ 3x + 6 ― 5y ― 25 +7 = 0 ^ 3x ― 5y ― 12 = 0 2 5. Tentukan persamaan bayangan kurva y=2x oleh translasi T = Matematika d e 3 2 15
  16. 16. Geometri Transformasi f Penyelesaian: x. y. d e g d e x y = f x. = y. d e x y d e x a y + b g d e - f = x . @3 y. @2 3 2 dari tranlasi di samping diperoleh ^ ^ g x = x’ – 3 …………1 y = y’ – 2 …………2 Substitusikan persamaan 1 dan 2 ke y = 2x2 maka : ^ y = 2x2 ^ y’-2 = 2 (x’ – 3)2 ^ y’ = 2 (x’2- 6x’ + 9) + 2 ^ y’ = 2x’2 – 12x’ + 20 2 Jadi, bayangan kurva y = 2x oleh translasi T = d e 3 adalah y = 2x2 – 12x + 20 2 d 6. Tentukan bayangan garis y = 2x + 4 oleh translasi T = @1 2 e Penyelesaian : Ingat : bayangan dari translasi kurva Q y – b = f (x – a) Maka, y – 2 = 2 (x–(-1)) + 4 ^ y – 2 = 2x+2+4 ^ y = 2x+8 3 a. ROTASI Pengertian Rotasi Matematika 16
  17. 17. Geometri Transformasi Pada gambar 7.16, tampak bahwa Δ ABC diputar menjadi Δ A’B’C’. Setiap titik pada Δ ABC diputar dalam arah yang sama, dengan besar sudut rotasi q pada suatu titik O yang meyebabkan kedudukan segitiga berubah. Ukuran-ukuran sisi serta sudut segitiga tetap, sehingga Δ A’B’C’ kongruen (sama bentuk dan ukuran) dengan Δ ABC. Perputaran seperti ini, yang memindahkan semua titik pada bangun geometri yang masing-masing lingkaran yang bergerak sepanjang pusatnya adalah busur pusat perputaran sebesar suatu sudut tertentu dinamakan rotasi. Rotasi ditentukan oleh tiga hal, yaitu titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam. Sedangkan rotasi dikatakan memiliki arah negatif, jika rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam. Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 90º Pada gambar 7.17 terlihat 2 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A (2,3) dan B (-2,-4). Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(2,3) dan B(-2,-4) pada rotasi sebesar 90º searah jarum jam masing-masing adalah A’(3,2) dan B’(-4,-2). Kesimpulan : Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (b,-a) Contoh 1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 90º searah jarum jam? Penyelesaian: Matematika 17
  18. 18. Geometri Transformasi B C Ingat : P (a,b) 0,90 ° maka P’ (b,-a) jjjk jjjj jjjj jjjj jjj jjj jjj jjj j • Bayangan titik P (2,3) adalah P’(3,2). • Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(3,-3). • Bayangan titik R (3,6) adalah R’(6,-3). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 90º searah jarum jam adalah titik-titik P’(3,-2), Q’(3,-3), dan R’(6,-3). Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar -90º Pada gambar 7.18 terlihat 2 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A (2,-4) dan B (3, 4). Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(2,-4) dan B(-3,4) pada rotasi sebesar 90º berlawanan dengan arah jarum jam [0,90º masing-masing adalah A’(4,2) dan B’(-4,-3). Kesimpulan : Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (-b,a) Contoh 1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 90º berlawanan arah jarum jam? Penyelesaian: B C Ingat : P (a,b) 0, @90 ° maka P’ (-b,a) jjjjj jjjjj jjjjj jjjjj jjjjk jjjjj jjjjj jjjjj j • Bayangan titik P (-2,3) adalah P’(-3,-2). • Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(-3,3). • Bayangan titik R (3,6) adalah R’(-6,3). B Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi C 0, @90 ° adalah jjjjj jjjjj jjjjj jjjjj jjjjk jjjjj jjjjj jjjjj j titik-titik P’(-3,-2), Q’(-3,3), dan R’(-6,3). Matematika 18
  19. 19. Geometri Transformasi Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 180º dan -180º Pada gambar 7.19 terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titiktitik A (4,-2). Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(4,-2) pada rotasi sebesar 180º searah atau berlawanan dengan arah jarum jam adalah A’(-4,2). Kesimpulan : Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi dan adalah P’ (-a,-b) Contoh B 1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi 0,180 ° Penyelesaian: C jjjjj jjjj jjjj jjjj jjjj jjjk jjjj jjjj j B C Ingat : bahwa titik P (a,b) di Rotasi 0,180 ° maka P’ (-a,-b) jjjjj jjjj jjjj jjjj jjjj jjjk jjjj jjjj j • Bayangan titik P (-2,3) adalah P’(2,-3). • Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(-3,-3). • Bayangan titik R (3,6) adalah R’(-3,-6). B C Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3) dan R(3,6) pada rotasi 0,180 ° P’(2,-3), Q’(3,-3), dan R’(-3,-6). jjjjj jjjj jjjj jjjj jjjj jjjk jjjj jjjj j Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 270º Pada gambar 7.20 terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A (4,-2). Matematika 19
  20. 20. Geometri Transformasi Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(3,5) pada rotasi sebesar 270º adalah A’(-5,3). Kesimpulan : Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (-b,a) Contoh 1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah arah jarum jam. Penyelesaian: B C Ingat : Titik P (a,b) di Rotasi 0,270 ° maka P’ (jjjjj jjjj jjjj jjjj jjjj jjjk jjjj jjjj j b,a) • Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(-3, 2). • Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(-3,3). • Bayangan titik R(3,6) adalah R’(-6,3). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan B C R(3,6) pada rotasi 0,270 ° adalah titik-titik P’(jjjjj jjjj jjjj jjjj jjjj jjjk jjjj jjjj j 3,2), Q’(-3,3) dan R’(-6,3). Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar - 270º Pada gambar 7.21 terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A (4,3). Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(4,3) pada rotasi sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam adalah A’(3,-4). Kesimpulan : Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (b,-a) Matematika 20
  21. 21. Geometri Transformasi MATRIX TRANSFORMASI ROTASI 1. R90º = 3. R270º = 2. R180º = 4. R-90º = Rotasi yang berpusat di titik O(0,0) dengan sudut pusat sebesar θ Perhatikan gambar di samping, koordinat titik P(x,y) dapat dinyatakan oleh : x = r cos α dan y = r sin α Y Karena rotasi tersebut, bayangan titik P adalah titik P’ (x’,y’) yang dapat di nyatakan sebagai berikut: x’ = r cos (α+ θ) dan y’ = r sin (α+ θ) P’ (x’,y’) r P (x,y) θ Gunakan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, x’ = r cos (α+ θ) = r cos α cos θ – r sin α sin θ = x cos θ – y sin θ x’= x cos θ – y sin θ r α x O y’ = r sin (α+ θ) = r sin α cos θ – r cos α sin θ = y cos θ – x sin θ y’= y cos θ – x sin θ Dalam persamaan matrix maka dapat di simpulkan bahwa bayangan titik P(x,y) oleh rotasi titik asal O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ dapat di nyatakan: = Untuk Rθ titik A(x,y) dengan pusat P (a,b) = + Contoh 1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam. Penyelesaian: B C Ingat : Titik P (a,b) di Rotasi 0, @270 ° maka P’ (b,-a) jjjjjj jjjjjk jjjjjj jjjjjj jjjjjj jjjjj jjjjj jjjjj j • Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(3, 2). • Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(3,-3). Matematika 21
  22. 22. Geometri Transformasi • Bayangan titik R(3,6) adalah R’(6,-3). B C Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi 0, @270 ° adalah jjjjjj jjjjjk jjjjjj jjjjjj jjjjjj jjjjj jjjjj jjjjj j titik-titik P’(3,2), Q’(3,-3), dan R’(6,-3). 2. Tentukan bayangan titik A(4,-5) oleh rotasi terhadap titik asal O(0,0) sebesar 90º! f g d e x x. Penyelesaian : = R90º y y. d 0 @1 = 1 0 ed e d e 4 = @5 5 4 3. Tentukan bayangan titik A(2,-2) oleh rotasi titik asal O(0,0) sebesar 45º! f g d e x x. Penyelesaian : = R45º y y. d cos 45 ° @sin 45 ° = sin 45 ° cos 45 ° h e d 2 @2 i w w w w 1fw 1fw fw fw fw fw l p2 @ p2 m l2 m 2 m =l w l w w w j1f w 1fw m fw fw fw k fw p2 p2 2 2 d 2 @2 e e = w w w w w f wg 2 p2 0 w w w w w w Jadi, rotasi bayangan titik A(2,-2) adalah A’ (2 p2 , 0) 4. Tentukan bayangan garis x + 2y = 4, jika di rotasikan dengan pusat O(0,0) dan R -90º f g d e x x. Penyelesaian : = R-90º y y. f x. y. d g 0 1 = @1 0 d = y @x e ed e x y , maka x’ = y ^ y = x’ y’ = -x ^ x = -y Subsitusikan nilai tersebut ke persamaan garis x + 2y = 4, di peroleh - y’ + 2x’ = 4 2x’ – y’ = 4 Jadi, bayangan garis x + 2y = 4 oleh R-90º adalah 2x – y = 4 5. Tentukan bayangan titik A(4,6) oleh R90º dengan pusat titik P (3,-2)! Penyelesaian : Matematika 22
  23. 23. Geometri Transformasi d Pusat rotasi di translasikan sehingga berpindah ke titik asal dengan T= e @3 , akibatnya 2 titik A(4,6) juga ikut bergeser menjadi A’(1,8).Titik inilah yang selanjutnya R 90º di titik f (0,0), maka : x. y. f g = R90º d x. y. 0 @1 = 1 0 g ed e 1 = 8 d @8 1 e Jadi, titik A’(1,8) berpindah menjadi titik A”(-8,1). Selanjutnya titik A”(-8,1) di d translasikan lagi dengan lawan translasi menjadi T1 yaitu T2 = @3 2 e yang menghasilkan titik A’”(-5,1). Maka bayangan titik A(4,6) oleh R90º adalah titik A’”(-5,-1) 1f f f π rad searah jarum jam 3 6. Tentukan matrik yang bersesuaian dengan rotasi sebesar terhadap O ! Penyelesaian : rotasi sebesar 1f 1f f f f π searah jarum jam, artinya θ = — f , maka π 3 3 h i h 1f πf πf f f f f f f f f d e lcos @ f @sin @ f m l l 2 l 3 3 m l cos θ @sin θ m =l j πf πf = l 1fw w w w f f f f fk j f w f f f sin θ cos θ p sin @ cos @ @ f3 3 3 2 h 1f f f l l 2 1f f f Jadi, matrik rotasi π searah jarum jam yaitul l w w w j 1fw 3 fw p @f 3 2 i i w w 1fw fw fw p3 m 2 m m 1f m f k f 2 w w 1fw fw fw p3 m 2 m m 1f m f k f 2 4 DILATASI 1. Pengertian Dilatasi Pada gambar 7.22, tampak bahwa Δ ABC dari titik O diperkecil menjadi Δ Matematika 23
  24. 24. Geometri Transformasi A’B’C’, dengan panjang sisi dan luas ABC diperkecil, sedangkan ukuran-ukuran sudut dan bentuk Δ ABC tidak berubah. Sehingga diperoleh Δ A’B’C’ dan Δ A’’B’’C’’ masing-masing sebangun (sama bentuk dan ukuran sudut) dengan Δ ABC. Dilatasi merupakan transformasi yang megubah ukuran objek (memperbesar atau memperkecil),akan tetapi tidak mengubah bentuknya. Dalam suatu dilatasi harus di tetapkan pusat dilatasi dan faktor dilatasi atau faktor skala. Dilatasi yang berpuast di titik asal O (0,0) dan titik sembarang P (x,y) masing-masing memiliki faktor skala k yang di notasikan berturut-turut dengan [O, k] dan [P, k]. Secara umum, bayangan objek dengan dilatasi [O,k] dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika k > 1 bayangan di perbesar dan letaknya searah terhadap pusat dilatasi O dan objek Jika 0 < k < 1 bayangan di perkecil dan letaknya searah terhadap pusat dilatasi O dan objek Jika k < -1 bayangan di perbesar dan letaknya berlawanan arah terhadap pusat dilatasi O dan objek Jika -1 < k < 0 bayangan di perkecil dan letaknya berlawanan arah terhadap pusat dilatasi O dan objek. 2. Dilatasi terhadap titik Pusat O (0,0) Koordinat bayangan titik A (3,1) oleh dilatasi [O,2] adalah titik A’ (6,2). Perhatikan gambar K y Adapaun koordinat bayangan titik B (4,2) F G 1f f f oleh dilatasi O, @ adalah titik B’ (-2,2 1). Secara umum, koordinat bayangan B (4,2) A’ (6,2) hasil dilatasi dinyatakan sebagai berikut : A (3,1) 0 B’(-2,-1) Matematika x Titik P (x,y) maka P’ ( kx, ky) x’ = k x y’ = k y 24
  25. 25. Geometri Transformasi Gambar 7.23. Bayangan titik A (3,1) oleh dilatasi [O,2] dan F G 1f f f 2 bayangan titik B (4,2) oleh dilatasi O, @ 3. Dilatasi terhadap titik Pusat P (a,b) x’ = a + k (x – a) y’ = b + k (y – b) Jika titik A (x,y) di dilatasi terhadap titik pusat P (a,b) dengan faktor skala k maka di dapat bayangan titik A’ (x’,y’) yaitu : 4. Dilatasi pada kurva dengan [O,k] y = f(x) y’ = k f 5. Matriks Transformasi Dilatasi Bahwa bayangan Dilatasi terhadap O dengan faktor skala k, yang di tulis [O,k] adalah: x’ = k x Q x’ = kx + 0.y y’ = k y Q y’ = 0.y + ky f x. Persamaan linier di atas dapat di tulis dengan persamaan matriks ^ y. d k Jadi, matriks transformasi dilatasi [O,k] yaitu : 0 0 k g d e k = 0 0 k ed e x y Contoh 1. Titik sudut suatu persegi adalah A(1,3) B(4,3) C(4,6) dan D(1,6). Tentukanlah bayangan dari titik-titik sudut tersebut oleh dilatasi [O,2] dan Gambarlah! Penyelesaian : D’ y 12 A (1,3) O,2 A’ ( 2x1, 2x3) = A’(2,6) jjj jjj jjC jj jj jj jj j Bjk A’ 6 4 Matematika 2 Secara singkar dilatasi [O,k], di tulis : B C (x,y) O,k (kx,ky) sehingga jjj C jBj jj jj jj jj jj jj j k D 10 8 C’ B (4,3) O,2 B’ (8,6) jjj jjj jjC jj jj jj jk j Bjj C (4,6) O,2 C’ (8,12) jjj jjj jjC jj jj jj jk j Bjj D (1,6) O,2 D’ (2,12) jjj jjj jj jj jj jj jk jj j 25
  26. 26. Geometri Transformasi C A B’ B 2 4 6 x 8 2. Titik P’ (6,-3) adalah bayangan titik P oleh dilatasi [O, 1f f f ]. Tentukan titik P! 3 Penyelesaian : Misal P (a,b) maka, F 1f G f f f f f O, f P’ ( 1f 1f = P’ ( 6,-3) P (a,b) a, b) 3 3 3 jjj jjj jjj jjj jjj jjj jj jj k 1f f f 1f f f a = 6 ^ a = 18 dan b = -3 ^ b = -9 3 3 Jadi, koordinat P adalah (18,-9) Sehingga, 3. Carilah bayangan Titik A (2,-4) oleh dilatasi [O,3] ! d e d e k 0 3 0 Penyelesaian : matrix dilatasi [O,k] = = maka, 0 k 0 3 f g d f g x. y. x. y. 3 = 0 0 3 ed d 6 @12 = 2 @4 e e Jadi, bayangan titik A’ yaitu (6,-12) 4. Tentukan koordinat bayangan titik A (5,7) dan B(3,6) oleh dilatasi terhadap titik P (8,5) dengan factor skala = 4! Penyelesaian : Ingat : x’ = a + k (x – a) dan y’ = b + k (y – b) D c E b Maka, A (5,7) 8,5 ,4 A’ [8 + 4(5-8), 5 + 4(7-5)] ^ A’ (-4,13) jjjjj jjjjj jjjjj jjjj jjjj jjjj jjjj jjjk j D c E b B (3,6) 8,5 ,4 B’ [8 + 4(3-8), 5 + 4(6-5)] ^ B’ (-12,9) jjjjj jjjjj jjjjj jjjj jjjj jjjj jjjj jjjk j Jadi, bayangan titik A’ (-4,13) dan B’ (-12,9) 5. Tentukan bayangan titik A (-2,5) oleh dilatasi pusat (1,-1) dan faktor skala=2 f x. Penyelesaian: y. Matematika g d k = 0 0 k ed e x @a y @b + d e a b 26
  27. 27. Geometri Transformasi f g f g f g x. y. x. y. x. y. f x. y. d 2 = 0 0 2 2 = 0 0 2 d d ef g @2`@1 a 5 @ @1 + ed e d @3 1 + 6 @1 e d @6 1 + 12 @1 = d g @5 11 = d e 1 @1 e e e 6. Tentukan bayangan kurva y=x2 oleh dilatasi [O,-2]! f g d f g x. Penyelesaian : y. x. y. @2 0 = 0 @2 f = @2x @2y ed e x y g Sehingga di peroleh , 1f f f x’ = -2x ^ x = @ x’ 2 1f f f y’ = -2y ^ y = @ y’ 2 Substitusikan nilai tersebut pada y= x2 dan diperoleh : ^ y = x2 1f f ^ @ fy’ = 2 1f f ^ @ fy’ = 2 ^ y’ = 2 F 1f G f f @ x. 2 1f 2 f f f x. 4 Jadi, bayangan kurva y= x2 berubah menjadi y’ = 1f 2 f @f x. 2 1f 2 f @f x. 2 7. Tentukan peta darikurva y= x2 +2 jika dilatasi oleh [O,2] B C f g f f f O,k y’ = k f 1f sehingga x Penyelesaian : Ingat : y = f(x) k jjj jjj jj jj jj jj jj jj k B C ^ y= x2 +2 O,2 ^ y = jjj jjj jj jj jj jj jk jj j 5 H I 2 f g f f L 1f M 2 J x + 2K ^ 2 y= 1f 2 f f x +4 2 KOMPOSISI TRANSFORMASI Komposisi Transformasi adalah transformasi yang di gunakan secara berurutan. Suatu transformasi di lanjutkan T 1 yang dilanjutkan dengan transformasi T2 di tulis dengan T2 ◦ T1. Karena transformasi juga merupakan suatu pemetaan, maka komposisi transformasi T 2 ◦ T1 dapat di tunjukkan sebagai berikut. (x,y) A Matematika T1 (x’,y’) B T2 (x”,y” C 27
  28. 28. Geometri Transformasi T2 ◦ T1 1. Komposisi Dua Translasi Berurutan jj jk jj jj jj j j j j Komposisi T2 ◦ T1 dapat di nyatakan dengan AC yaitu translasi yang berpangkal di T1 , yaitu A, dan berujung di translasi T2 yaitu C. d e a Misalkan T1 = b dan T2 = T2 ◦ T1 = T1 + T2 d e d e a c = b + d d e a+c = b+d d e y C” (x”,y”) T2 ◦ T1 T2 c d sehingga, B’ (x’,y’) T1 A (x,y) x Jadi, jika P (x,y) ditranslasi T2 ◦ T1 , maka : P (x,y) P’ (x+a, y+b) P”(x+a+c, y+b+d), atau P (x,y) P” (x+(a+c), y+(b+d)) Contoh d e 2 dan T2 1 1. Diketahui translasi T1 = d e 3 . Carilah koordinat peta titik A(1,2) B(3,-2) 2 C(-1,4) oleh translasi T1 yang dilanjutkan dengan T2! Penyelesaian: T2 ◦ T1 = = T1 + T 2 d e d e 2 3 5 + = 1 2 3 d e T 2 N 1 Maka, A(1,2) Tjjjj A” (6,5 jjjj jjjj jjjk jjjj jjjj jjj jjj j T 2 N 1 B”(8,1) T B(3,-2) jjjj jjjj jjjk jjjj jjjj jjjj jjj jjj j T 2 N 1 C”(4,7) T C(-1,4) jjjj jjjj jjjk jjjj jjjj jjjj jjj jjj j Matematika 28
  29. 29. Geometri Transformasi 2. Komposisi Dua Refleksi Berurutan a. Komposisi dua refleksi berurutan untuk suatu titik terhadap sumbu sejajar Refleksi terhadap garis x=a dinyatakan oleh transformasi M 1x dan refleksi terhadap x=b dinyatakan oleh transformasi M2x . Dengan demikian, pemetaan A(x,y) ke A’(x’,y’)dapat dinyatakan sebagai berikut : A(x,y) M1x (refleksi x=a) A’ = (2a-x, y), adapun pemetaan A’ (x’,y’) ke A”(x”,y”) yaitu A’(x’,y’) M2x (refleksi x=b) A” (2b–x’, y’) = A” (2b – (2a – x’),y) = A” [2(b-a)+x, y] Contoh Refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar dengan sumbu y 2. Bayangan dari (5,1) oleh refleksi berurutan terhadap x=4 kemudian x=h adalah (1,1). Tentukan h! Penyelesaian : Misal refleksi x=4 disebut M1x dan refleksi terhadap x=h disebut M2x. Kemudian refleksi x=4 terhadap x=h di notasikan M2x ◦ M1x (x,y) M2x ◦ M1x [2(b-a)+x, y] a = 4 dan b = h (5,1) M2x ◦ M1x [2(h-4)+5, 1] = (1,1) Jadi, 2(h-4)+5 = 1 ^ 2(h-4) = -4 ^ h-4=-2 ^ h =2 Refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar dengan sumbu x 3. Tentukanlah bayangan dari (-3,2) oleh refleksi berurutan terhadap y=5 kemudian terhadap y= -1! Penyelesaian : Refleksi tersebut dapat di tulis M1y ◦ M2y (x,y) M2y ◦ M1y [x, 2(p-q)+y] (-3,2) M2y ◦ M1y p = -1 dan q = 5 [-3, 2(-1-5)+2] = (-3,-10) b. Refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus Refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus : • Ekivalen dengan rotasi π radian terhadap titik perpotongan kedua sumbu. • Bersifat komutatif Matematika 29
  30. 30. Geometri Transformasi Sehingga refleksi berurutan terhadap sumbu-sumbu koordinat x dan y di peroleh hasil sebagai berikut : My=b o Mx=a = Mx=a o My=b = R [(a,b), π], dengan My=b adalah refleksi terhadap y=b, Mx=a refleksi terhadap x=a dan R [(a,b), π] adalah rotasi π radian terhadap pusat (a,b). Contoh Refleksi berurutan terhadap x=a di lanjtkan dengan y=b 4. Tentukan bayangan titik A (3,5) oleh refleksi berurutan terhadap x=1 kemudian terhadap y=4! Penyelesaian : (3,5) Mx=1 [(2x1)-3, 5] = (-1,5) (2a-x, y) [-1, (2x4)-5] = (-1,3) (-1,5) My=4 (x,y) Mx=a (x,y) My=b (x, 2b-y) Jadi, bayangan titik (3,5) adalah (-1,3) f x. Cara 2 : y. f x. y. d g = cos π @sin π sin π cosππ ed e x @a y @b + d = = ed e d e d g ed d e a b e d e @1 0 0 @1 @1 0 0 @1 d e @2 = + @1 d e @1 = 3 x @a a y @b + b 3 @1 1 + 4 5 @4 d e 1 4 3. Komposisi Dua Rotasi Berurutan untuk suatu titik sepusat. 5. Tentukan bayangan titik (2,6) oleh rotasi sejauh 20º berlawanan arah jarum jam, di lanjutkan dengan rotasi sejauh 40º terhadap titik pusat O! Penyelesaian : Pada rotasi pertama θ1 = 20º dan θ2 = 40º, maka θ1+ θ2 = 20º+40º =60º h i w w w 1f 1fw f f fw fw d e l @ p3 m l2 m cos 60 ° @sin 60 ° 2 l m R [O, θ1+ θ2] = R [O, 60º] = = l w w w j1fw 1f m fw fw f k f sin 60 ° cos 60 ° p3 2 2 h i w w w w 1f 1fw h f fw wi w w w w w p d e lf f g @ f 3 md e l2 m 2 1 @3 p3 k x. 2 2 l m jw w w w w = pw w w w y. = R [O, 60º] 6 = l1fw j fw 1f m 6 fw f k f 3 +3 p3 2 2 w w w w w w w w w w w w Jadi, bayangan titik (2,6) adalah ( 1 @3 p3 , 3 + p3 ) Matematika 30
  31. 31. Geometri Transformasi 4. Komposisi Transformasi dengan memakai Matrix Jenis Transformasi Matriks Refleksi d e d Terhadap sumbu x e 1 0 0 @1 @1 0 0 1 Terhadap sumbu y d Terhadap garis y=x d 0 1 1 0 e e 0 @1 @1 0 e d k 0 D= 0 k d e Terhadap garis y=-x Dilatasi terhadap O dengan faktor skala k cosθ @sin θ sin θ cosθ Rotasi sejauh θ terhadap titik pusat O Contoh d e @1 0 6. Diketahui transformasi T1 bersesuaian dengan M1 = dan T2 bersesuaian dengan 1 2 d M2 e 2 1 . Tentukan bayang titik (-2,3) oleh transformasi T1 di lanjutkan T2! @3 5 Penyelesaian : Untuk transformasi T1 di lanjutkan T2, berlaku T1 o T2 = M2 o M1 d ed e d e 2 1 @1 0 @1 2 = = @3 5 1 2 8 10 Bayangan (-2,3) di tentukan sebagai berikut : d e d ed e d e @2 @1 2 @2 8 T1 o T2 = = 3 8 10 3 14 Jadi, bayangan (-2,3) oleh T1 o T2 adalah (8,14) Matematika 31
  32. 32. Geometri Transformasi Matematika 32

×