Dokumen tersebut membahas sistem persamaan kongruensi linear, dimana dijelaskan cara menyelesaikan sistem dua persamaan kongruensi linear dengan dua variabel x dan y, serta penyelesaian umum sistem n persamaan kongruensi linear n variabel menggunakan notasi matriks.

1. B. Sistem Perkongruenan Linear
Kita akan mempelajari system perkongruenan linear dari beberapa
perkongruenan linear yang melibatkan variable yang sama dan yang
mempunyai bilangan modulo sama. Misalnya kita ingin menentukan
pasangan bilangan – bilangan bulat x dan y yang memenuhi dua
perkongruenan ini
3x + 4y ≡ 5(mod 13 )
2x + 5y ≡ 7(mod 13 )
Untuk menyelesaiakan system perkongruenan linear ini kita dapat
melakukan dengan eliminasi salah satu variable x atau y lebih dahulu.
Kita mengalikan perkongruenan pertama dengan 5 dan perkongruenan
ke 2 dengan 4, sehingga diperoleh
15x + 20y ≡ 25(mod 13 )
8x + 20y ≡ 28(mod 13 )
Jika perkongruenan pertama dikurangi dengan perkongruenan kedua,
maka diperoleh
7x ≡ -3(mod 13 )
Karena invers 7 ( mod 13 ) adalah 2, maka mengalika kedua ruas dari
perkongruenan terakhir ini dengan 2, sehingga diperoleh

2. 2.7x ≡ 2(-3)( mod 13 )
X ≡ 7 (mod 13 )
Untuk menentukan nilai y kita mengeliminasi variable x, perkongruenan
pertama dikali 2 dan perkongruenan kedua dikali 3, sehingga diperoleh
6x + 8y ≡ 10(mod 13 )
6x + 15y ≡ 21(mod 13 )
Jika perkongruenan pertama dikurangi dengan perkongruenan kedua,
maka diperoleh
-7y ≡ -11(mod 13 )
7x ≡ 11(mod 13 )
2.7y ≡ 2.11(mod 13 )
y ≡ 9 (mod 13 )
Apakah penyelesaian system perkongruenan adalah pasangan (x,y)
dengan
X ≡ 7 (mod 13 ), y ≡ 9 (mod 13 )

3. Apabila nilai-nilai x dan y yang kita peroleh ini disubstitusikan pada
system perkongruenan semula maka didapatkan
3x + 4y ≡ 3.7 + 4.9 = 57 ≡ 5 ( mod 13)
2x + 5y ≡ 2.7 + 5.9 = 59 ≡ 7 ( mod 13)
Jadi penyelesaian system perkongruenan adalah semua pasangan (x,y)
dengan
X ≡ 7 (mod 13 ), y ≡ 9 (mod 13 )
Contoh ini merupakan ilustrasi dari pembuktian teorema berikut ini :
Teorema 5.15 :
Misalkan m suatu bialngan asli dan ( ∆,m ) = 1 dengan ∆ = ad – bc,
maka system perkongruenan linear
ax + by ≡ e (mod m )
cx + dy ≡ f (mod m )
Mempunyai penyelesaian ( x,y ) dengan
x ≡ ∆ -1
( de – df ) ( mod m )
y ≡ ∆ -1
( af – ce ) ( mod m )
Dengan ∆ -1
adalah invers dari ∆ modulo m

4. Bukti :
Kita mengalikan perkongruenan pertama dengan d dan perkongruenan
kedua dengan b, sehingga diperoleh
adx + bdy ≡ de(mod m )
bcx + bdy ≡ bf(mod m )
Hasil pengurangan dari perkongruenan pertama dan kedua adalah (ad –
bc ) x ≡ de – bf (mod m ).
Dan karena ∆ = ad – bc , maka ∆x ≡ de – bf (mod m )
Selanjutnya karena ( ∆,m) = 1, maka ∆ mempunyai invers modulo, yaitu
∆ -1
.
Jika kedua ruas perkongruenan terakhir dikalikan dengan ∆ -1
, maka
diperoleh x≡∆ -1
(de – bf)(mod m)
Dengan cara seperti tersebut pada system perkongruenan semula dengan
a diperoleh
acx + bcy ≡ ce(mod m )
acx + ady ≡ af(mod m )
Jika perkongruenan kedua dikurangi dengan perkongruenan pertama
maka diperoleh

5. (ad – bc )y ≡ af – cy (mod m ) atau
∆y ≡ af – ce ( mod m )
Selanjutnya karena ( ∆,m) = 1, maka ∆ mempunyai invers modulo m,
yaitu ∆ -1
.
Jika kedua ruas perkongruenan terakhir dikalikan dengan ∆ -1
maka
diperoleh
y ≡ ∆ -1
(af – ce )( mod m ). Sampai disini kita telah menunjukkan bahwa
jika ( x,y ) adalah penyelesainan dari system perkongruenan maka x ≡ ∆
-1
(de- bf )(mod m ), y ≡ ∆ -1
(af – ce )( mod m )
Definisi 5.4:
Misalkan A = ( aij ) dan B = ( bij ) masing masing matriks berukuran nxk
yang elemen – elemennya bilangan bulat. Matriks A kongruen dengan
Matriks B modulo m, dinotasikan
A ≡ B ( mod m ) untuk setiap pasangan ( I,j )dengan 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j
≤ k.
Contoh :






−
≡





13
34
128
315
(mod 11 ), sebAb 15 ≡ 4 ( mod 11 )
8 ≡ -3 ( mod 11 ) ; 12 ≡ 1 (mod 11 )

6. Teorema 5 .16 :
Jika A = ( aij ) dan B = ( bij )adalah matriks – matriks berukuran n x k
dengan A ≡ B ( mod m ), C = (cij ) ialah matriks berukuran k xp dan D =
( dij ) ialah matriks berukuran t x n maka AC ≡ BC ( mod m ) dan DA ≡
DB ( mod m ).
Bukti :
Misalkan AC = E = (eij) ialah matriks berukuran n x p dengan e ij =
∑=
k
r
rjir ca
1
dan BC = G =(gij)adalah matriks berukuran n x p dengan gij =
∑=
k
r
rjir cb
1
Karena A ≡ B (mod m ), maka aij ≡ bij ( mod m ) untuk setiap I dan j
sehingga air crj ≡ bir crj (mod m ) untuk setiap 1≤ r ≤ k .
Akibatnya ∑=
k
r
rjir ca
1
≡ ∑=
k
r
rjir cb
1
( mod m ), yaitu eij ≡ gij (mod m )
Hal ini berarti AC ≡ BC (mod m ).
Bukti untuk DA ≡ DB (mod m ) mirip dengan bukti tersebut.
Perhatikan system n perkongruenan linear dengan n variable berikut ini

7. A11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≡ b1(mod m )
A21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≡b2 (mod m )
. . .
. . .
. . .
An1x1 + an2x2 + … + annxn ≡ bn (mod m )
Dengan menggunakan notasi matriks system perkongruenan linear ini
dapat dinyatakan sebagai perkongruenan matriks AX ≡ B (mod m )
dengan :














=














=














=
nnnmnn
n
n
b
b
b
danB
x
x
x
X
aaa
aaa
aaa
A
......
,
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
Contoh :
Sistem perkongruenan linera berikut ini
3x + 4y ≡ 5 (mod 13 )
2x + 5y ≡ 7 (mod 13 )
Dapat ditulis sebagai )13(mod
7
5
52
43






=











y
x

8. Selanjutnya kita akan mengembangkan metode penyelesain
perkongruenan dalam bentuk matriks AX≡B(mod m ).
Metode ini menggunakan matriks A -1
, ayaitu invers matriks A terhadap
perkalian, sedemikian hingga
A -1
.A≡ I (mod m ), dengan I ialah matriks identitas terhadap perkalian.
Definisi 5.5 :
Jika A dan A -1
adalah matriks – mastriks berukuran n x n yang elemen –
elemen nya bilangan bulat sedemikian hingga A.A -1
≡ A -1
A ≡ I ( mod
m ), dengan I ialah matriks identitas berukuran n, maka A -1
disebut
invers dari A modulo m.
Jika A -1 adalah invers dari A dan B ≡ A -1
(mod m ), maka B juga
invers dari A. Hal ini mengikuti teorema 5.16, karena BA ≡ A -1
.A ≡ I
(mod m ). Sebaliknya jika B1 dan B2 masing – masing invers dari A,
maka B1 ≡ B2 (mod m ). Untuk menunjukkan hal ini, kita gunakan
teorema 5.16, dari kekongruenan B1A ≡ B2A ≡ I (mod m ), kita
mempunyai B1AB1 ≡ B2AB1 ( mod m ). Karena AB1 ≡ I(mod m ), kita
dapat menyimpulkan B1≡B2 (mod m ).
Contoh :






=











1610
106
21
43
42
31
≡ 





10
01
(mod 5 ) dan

9. 





=











115
2511
42
31
21
43
≡ 





10
01
(mod 5 )
Tampak disini bahwa matriks 





21
43
adalah invers dari 





42
31
(mod 5 )
Teorema 5.17:
Misalkan A = 





dc
ba
adalah matriks yang elemennya bilangan – bilangan
bulat, sedemikian hingga det.A = ∆ = ad – bc prima relative terhadap
bilangan bulat positif. Maka A -1 =∆ -1






−
−
ac
bd
Adalah invers dari A modulo m .
Untuk membuktikan teorema ini kita cukup memeriksa kebenaran dari
A.A -1
≡ A -1
.A ≡ I (mod m )
Contoh :
Diketahui A = ,
52
43






maka det A = 3.5 – 4.2 =7.
Invers dari 7 ( mod 13 ) adalah 2, sehingga A -1
≡ 2 





−
−
32
45
≡ 





−
−
64
810
≡






69
510
(mod 13 )

10. Untuk mencari rumus invers dari matriks persegi berukuran lebih dari
dua, kita memerlukan beberpa konsep dalam aljabar linerar, khususnya
pengertian adjoint suatu matriks yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 5.6 :
Misalkan A suatu matriks persegi berukuran n. adjoint dari A diberi
symbol Adj.(A) adalah suatu matriks persegi berukuran n yang elemen
pada baris ke I kolom ke j ialah d ij, dengan d ij = (-1) i+j
dan determinan
matriks yang diperoleh dari A dengan menghapus semua elemen pada
baris ke i kolom ke j.
Teorema 5.18:
Jika A suatu matriks persegi dengan ∆ = det.A ≠ 0, maka A adj.(A) =
(det A ) I .
Denngan menggunakan teorema ini kita segera akan mendapatkan
rumus invers suatu matriks persegi, seperti yang dinyatakan dalam
teorema ini.
Teorema 5 . 19:
Jika A suatu matriks persegi yang elemen – elemennya bilangan bulat
dan n suatu bilangan positif sedemikian hingga ( ∆,m ) = 1, maka invers
dari A modulo m adalah A -1
= ∆ -1
Adj.(A).
Bukti :

11. Karena( ∆,m ) = 1, maka ∆ -1
ada. Dan karena ∆ ≠ 0 maka A.Adj.(A) =
∆.I sehingga
A ∆ -1
.Adj.(A) ≡ ∆.∆ -1
.I ≡ I(mod m )
∆ -1
.Adj.(A).A≡ ∆.∆ -1
.I ≡ I(mod m )
Ini menunjukkan bahwa A -1 = ∆ -1.Adj.(A) adalah invers dari A
modulo m
Contoh :
Carilah invers dari A =










321
102
652
(mod 7 )
Jawab :
Det.A = ∆ = -5 ≡ 2 (mod 7 ), maka ∆ -1
= 4. Sehingga A -1
= ∆ -1
.Adj.(A)
= 4










−
−
−−
1014
1005
532
=










−
−
−−
40416
40020
20128
≡










242
501
626
(mod 7 )
Selanjutnya kita dapat menggunakan invers dari A modulo m untuk
menyelesaikan perkongruenan
AX ≡ B (mod m ), dengan syarat ( Det.A,m )= 1, yaitu mengalikan
kedua ruas dari pengkongruenan tersebut dengan A -1
, sehingga
diperoleh X ≡ A -1
B ( mod m ). Cara ini memberikan cara lain untuk

12. menyelesaikan system dua pengkongruenan linear dengan dua variable
yang dinyatakan dalam teorema 5 .15.
Contoh :
Carilah penyelesaian dari system perkongruenan berikut ini:
2x + 5y + 6z ≡ 3 (mod 7 )
2x + z ≡ 4 (mod 7 )
X + 2y + 3z ≡ 1 (mod 7)
Jawab :
System perkongruenan ini dapat dinyatakan dalam bentuk
perkongruenan matriks










≡




















1
4
3
321
102
652
z
y
x
(mod 7 )
Pada contoh di atas invers dari










321
102
652
(mod 7 ) adalah










242
501
626
,
sehingga diperoleh










≡










=




















=










3
1
4
24
8
32
1
4
3
.
242
501
626
z
y
x
(mod 7 )