Teorema Pythagoras, Pythagorean's Theorem

1. Pembuktian Teorema Pythagoras
PENDAHULUAN
Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia
sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan
Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun
570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir
sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana.
Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5
akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul
pada beberapa tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada
bangunan-bangunan mereka termasuk piramid.
Segitiga Siku-Siku yang dibentuk dari seutas tali
Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5
yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum untuk
segitiga siku-siku belum mereka ketahui.
Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini.
Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun
sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan
memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal.
What is the breadth?”
Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi
populer..Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku)
sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
Kelompok 1 Geometri

2. Pembuktian Teorema Pythagoras
1. Pembuktian Teorema Pythagoras Euclid
Gambar segitiga ABC dengan sudut siku-siku di A.
Kemudian buat garis sejajar BD melalui titik A. garis tersebut akan
memotong BC di titik K dan memotong DE di titik L. Lalu tarik garis FC dan AD,
seperti gambar berikut.
∠GAB
dan ∠BAC adalah siku-siku sehingga garis G, A, C adalah kolinear
begitu juga dengan garis B, A, H.
∠FBA
dan ∠CBD adalah siku-siku, ∠FBA + ∠ABC = ∠CBD + ∠ABC
sehingga ∠FBC = ∠ABD
Kelompok 1 Geometri

3. Segitiga FBC = segitiga ABD
Perhatikan persegi ABGF dan segitiga FBC memiliki panjang alas dan
tinggi yang sama yaitu FB dan AB
Luas persegi ABGF = 2 x luas ∆ FBC
FB x AB = 2 (½ x FB x AB), karena FB = AB
AB2 = AB2
Perhatikan juga persegi panjang BDLK dan segitiga ABD. Persegi panjang
alas dan tinggi yang sama yaitu BD dan BK.
Luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ ABD
Kita ketahui ∆ ABD = ∆ FBC
Sehingga luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ FBC
BD x BK = 2 (½ x BD x BK)
BD x BK = AB2
Sehingga luas segitiga ABGF = luas persegi BDLK
Sama halnya juga dengan luas KLEC = luas ACIH yaitu AC2
AB2 + AC2 = (BD x BK) + (KL x KC)
KL = BD, sehingga
AB2 + AC2 = (BD x BK) + (BD x KC)
= BD ( BK + KC)
= BD x BC
= BC2
Dengan demikian terbukti bahwa AB2 + AC2 = AC2 Terbukti
2. Pembuktian oleh Astronom India Bhaskara (1114 – 1185)
Langkah pertama buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c
Kelompok 1 Geometri

4. Pembuktian aljabar ini merupakan pembuktian teorema Pythagoras dengan
menggunakan 4 segitiga siku-siku yang sama dengan panjang sisi a, b dan c.
Segitiga siku-siku disusun dengan sisi c diletakkan diluar sehingga menjadi
persegi dengan luas c2 sebagai berikut.
Luas segitiga adalah ½ x alas x tinggi = ½ ab,
Sedangkan luas persegi kecil yang berada di dalam segitiga siku-siku adalah
(b - a)2.
Jadi diketahui bahwa luas persegi ABCD adalah 4 x luas segitiga siku-siku +
luas persegi kecil.
c2 = 4 x
+
=
Jadi
terbukti
3. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan Segitiga yang
Sebangun (Pembuktian Baskhara yang kedua)
Pembuktian ini berdasarkan perbandingan dari dua segitiga yang sebangun.
Buat segitiga siku-siku ABC , dengan sudut siku-siku di C
Kelompok 1 Geometri

5. Kemudian buat garis tinggi melalui titik C memotong garis AB di titik D
Segitiga ADC sebangun dengan segitiga ABC, begitu juga dengan segitiga
CDB sebangun dengan segitiga ABC.
Perhatikan segitiga ABC dan segitiga ADC.
Perbandingan segitiga ABC dengan segitiga ADC, diperoleh
……… (1)
Perhatikan segitiga ABC dan segitiga CDB
Perbandingan segitiga ABC dengan segitiga CDB, diperoleh
……… (2)
Dari persamaan 1 dan 2, maka diperoleh
because
terbukti
Kelompok 1 Geometri

6. 4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden James Garfield
Pertama kita buat segitiga yang identik dengan panjang sisi a, b dan c.
c sebagai sisi miring
Kemudian sisi a disusun dan bertemu dengan sisi b sehingga membentuk
satu garis seperti gambar berikut:
Kemudian
membentuk trapesium seperti gambar berikut:
Kelompok 1 Geometri
tarik
garis
sehingga

7. Trapesium terbentuk dari 3 segitiga siku-siku sehingga luas trapesium sama
dengan luas segitiga penyusunnya
dikalikan 2
Terbukti
5. Pembuktian Thabit Ibn Qurra
Buat persegi dengan panjang a dan b, kemudian disusun berdampingan
seperti gambar berikut.
Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu
Persegi di atas kita gabungkan,kemudian buat garis sedemikian rupa
sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, di mana sisi c menjadi sisi miring.
Kelompok 1 Geometri

8. Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yatu
sampingkanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar di bawah ini
∠GAB
dan ∠BAC adalah siku-siku sehingga garis G, A, C adalah kolinear
begitu juga dengan garis B, A, H.
∠FBA
dan ∠CBD adalah siku-siku, ∠FBA + ∠ABC = ∠CBD + ∠ABC
sehingga ∠FBC = ∠ABD
Segitiga FBC = segitiga ABD
Perhatikan persegi ABGF dan segitiga FBC memiliki panjang alas dan tinggi
yang sama yaitu FB dan AB
Luas persegi ABGF = 2 x luas ∆ FBC
FB x AB = 2 (½ x FB x AB), karena FB = AB
AB2 = AB2
Perhatikan juga persegi panjang BDLK dan segitiga ABD. Persegi panjang
alas dan tinggi yang sama yaitu BD dan BK.
Luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ ABD
Kita ketahui ∆ ABD = ∆ FBC
Sehingga luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ FBC
BD x BK = 2 (½ x BD x BK)
BD x BK = AB2
Sehingga luas segitiga ABGF = luas persegi BDLK
Sama halnya juga dengan luas KLEC = luas ACIH yaitu AC2
AB2 + AC2 = (BD x BK) + (KL x KC)
KL = BD, sehingga
AB2 + AC2 = (BD x BK) + (BD x KC)
= BD ( BK + KC)
= BD x BC
= BC2
Sehingga terbukti bahwa AB2 + AC2 = AC2 Terbukti
Kelompok 1 Geometri

9. 6. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Segitiga Sama Sisi
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c.
Kemudian buat segitiga sama sisi dengan panjang a, b dan c di setiap sisisisinya sehingga akan tampak seperti gambar berikut.
Dari gambar di atas, diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi miring
sama dengan jumlah segitiga sama-sisi lainnya.
Untuk segitiga dengan panjang sisi k, l, dan m maka luas segitiga tersebut adalah
dengan
Kelompok 1 Geometri

10. dengan
Karena luas segitiga sama sisi pada sisi c (sisi miring) sama dengan jumlah
dari luas segitiga sama sisi pada sisi a dan b, maka:
=
terbukti
Kelompok 1 Geometri
……… di kalikan dengan

11. 7. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Identitas Trigonometri
Pythagoras
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c seperti gambar berikut.
Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan sinus dan
cosines sudut Ɵ yaitu sebagai berikut.
Hubungan antara sinus dan cosines dinamakan sebagai identitas
trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui
bahwa
terbukti
Kelompok 1 Geometri

12. 8. Pembuktian dengan Persamaan Differensial
Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut.
b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang dengan sisi dc.
Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA tegak lurus
terhadap sisi mirirng) dan segitiga ABC seperti gambar berikut.
Oleh karena itu rasio atau perbandingan antara sisi-sisi pada segitiga
tersebut harus sama, yaitu:
Dapat di tulis sebagai berikut
Perhatikan dari gambar apabila b = 0, maka a harus berhimpit terhadap c.
Artinya, a=c. Maka konstanta = c2 = a2
Sehingga
Kelompok 1 Geometri
terbukti

13. 9. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Menggunakan Segitiga
Sembarang oleh Thabit Ibn Qurra
Pertama gambar segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c.
∠
ACB = 900. AB = c, AC = b, dan BC = a.
Buat titik D dan C memotong AB sehingga AD = AE = b.
Kemudian buat lingkaran yang dengan titik pusat A, jari-jari b dan lingkaran
menyinggung titik C.
Karena diameter lingkaran adalah DE (sisi miring segitiga siku-siku) dan
sudut siku-siku menyinggung lingkaran maka ∠DCE = 900.
Sehingga ∠BCD = ∠ACE.
Karena segitiga ACE segitiga sama kaki maka ∠ACE = ∠AEC.
Kelompok 1 Geometri

14. Segitiga DBC dan BEC memiliki sudut yang sama di ∠CEB. Sebelumnya
juga diketahui bahwa ∠BCD = ∠ACE sehingga segitiga DBC dan BEC adalah
sebangun.
Oleh karena it, diperoleh perbandingan:
terbukti
10. Pembuktian dari Pappus
Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu
generalisasi. Buat Sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajaran genjang
CADE (di sisi CA) dan sebarang jajaran genjang CBFG (di sisi BC). Kemudian
Perpanjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian Lukis Al dan
BM sejajar dan sama panjang dengan HC.
Kelompok 1 Geometri

15. Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku-siku di C)
serta jajaran genajng di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar. Makan akan
terbukti bahwa luas CADE + Luas CBFG = Luas ABML
b2 + a2 = c2 terbukti
11. Pembuktian dari Leonardo Da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHJ kongruen dengan
ABC. Maka segiempat ABHJ, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.
Kelompok 1 Geometri

16. 12. Bukti dari Sekolah Pythagoras
Bukti dari sekolah phytagoras tersaji pada diagram di bawah.
13. Bukti Menggunakan Transformasi
Misal Segitiga ABC siku-siku di C. Putar segitiga ABC sebesar 900
berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat rotasi di titik C. Segitiga
A1B1C1 berhimpit dengan segitiga ABC.
Kelompok 1 Geometri

17. 14. Bukti dengan “Putaran”
Perhatikan gamb ar perputan di bawah
Kelompok 1 Geometri

18. 15. Pembuktian dengan Dasar Perbandingan
Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c.
Lalu bentuk dua segitiga dengan ABC seperti pada gambar pada segitigasegitiga sebangun, dari konstruksi gambar di atas jelas terlihat bahwa c2 = a2 + b2 .
Terbukti
16. Pembuktian dengan Jajaran Genjang
Kelompok 1 Geometri

19. 17. Pembuktian 17 dengan Kontruksi
18. Pembuktian 18 Konstruksi
Kelompok 1 Geometri

20. 19. Pembuktian John Kawamura
Pembuktian ini dilakukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh Chris Davis,
guru geometri nya di Head-Rouce School, Oakland, CA
Kelompok 1 Geometri

21. Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga daerah yang sama
dengan c ² / 2. Sehingga
c²/2 = Luas (ABCD)
= Luas (BCD) + Luas (ABD)
= a·a/2 + b·b/2
2
c = a2 + b2 terbukti
20. Pembuktian Tao Tong
Biarkan ABC dan segitiga BED menjadi hak yang sama, dengan E pada AB.
Kami akan mengevaluasi daerah ΔABD dalam dua cara:
Luas(ΔABD) = BD·AF/2 = DE·AB/2.
Menggunakan notasi seperti yang ditunjukkan dalam diagram kita mendapatkan c
Kelompok 1 Geometri

22. (c - x) / 2 = b · b / 2. x = CF dapat ditemukan dengan mencatat kesamaan (BD
AC) segitiga BFC dan ABC:
x = a²/c.
Kedua formula dengan mudah b
Daftar Pustaka
Bogomolny, A. 2013. Pythagorean Theorem and its many proofs : from
Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml, diakses 10 Oktober
2013
Head,
Angel.
2013.
Pythagorean
Theorem.
http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/emt668.student.folders/HeadAngela/ess
ay1/Pythagorean.html diakses 11 Oktober 2013
Kristanto, Y. 2013. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan Luas
Segitiga
Sama
Sisi.
http://yos3prens.wordpress.com/2013/02/04/membuktikan-teoremapythagoras-dengan-menggunakan-luas-segitiga-sama-sisi/
diakses
11
Oktober 2013
Wikipedia.
2013.
Pythagorean
Theorem.
http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem diakses 10 Oktober 2013
Kelompok 1 Geometri