-

1. GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID
“Pembuktian Teorema - Teorema”
OLEH:
Enjelica Natalia E Napitu 4191111024
Ribka Sonya Rajagukguk 4191111028
Ribka Zelin M Sitepu 4191111056
Santi Karla Silalahi 4191111004
KELAS:
PSPM A 2019
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2022

2. 2
1
o
3
4
GEOMETRI EUCLID
Geometri berasal dari Yunani, Geo dan Metri berarti tanah dan pengukuran. Geo, cabang
matematika yang mempelajari titik, garis, bidang, dan benda-benda ruang tentang sifat dan
ukurannya serta hubungannya.
TEOREMA – TEOREMA
TEOREMA 1
Sudut-sudut bertolak belakang sama besar
Diketahui : garis L dan M berpotongan di O.
L M
Buktikan : ∠1 = ∠3
∠2 = ∠4
Bukti :
1. Definisi 9 ( Jika garis – garis yang memuat sudut itu lurus maka sudut itu disebut
sudut garis lurus )
2. ∠1 + ∠2
∠3 + ∠4
∠1 + ∠2 + ∠2 + ∠3 sehingga ∠1 = ∠3
3. Satu sama lain juga sama TERBUKTI
TEOREMA 2
Melukis sebuah segitiga sama sisi pada sebuah garis terbatas diketahui

3. C
A B
Diketahui : garis AB
A B
Buktikan : segitiga ABC sama sisi
Bukti :
1) Postulat 3 ( Melukis lingkaran dengan sembarang titik pusat dan sembarang jarak )
2) Melalui titik A keB dapat dibuat sebuah lingkaran yang berpusat dititik A.
3) Melalui titik B ke A dibuat sebuah lingkaran yang berpusat dititik B.
TEOREMA 3
Dua buah segitiga mempunyai 2 sisi dan sudut apitnya yang sama,sisi ketiganya adalah sama
Diketahui : ∆ ABC dan ∆ DEF
𝐵𝐶
̅̅̅̅ = 𝐷𝐹
̅̅̅̅,𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 𝐷𝐸
̅̅̅̅, ∠𝐴 = ∠𝐵
Buktikan : 𝐵𝐶
̅̅̅̅ = 𝐵𝐹
̅̅̅̅
Bukti : Dengan cara kontradiksi, andai
𝐵𝐶
̅̅̅̅ ≠ 𝐸𝐹
̅̅̅̅ ⇒ 𝐵𝐶
̅̅̅̅ > 𝐸𝐹
̅̅̅̅, 𝐵𝐶
̅̅̅̅ < 𝐸𝐹
̅̅̅̅
Misal: 𝐵𝐶
̅̅̅̅ > 𝐸𝐹
̅̅̅̅
a. Aksioma 4 ( benda – benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama )
b. Aksioma 6 ( suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan
besarnya )

4. c. ∆ABC dipindah berhimpit dengan ∆DEF
d. Titik C terletak diperpanjang garis EF
e. Akibatnya ∠𝐵𝐶𝐴 ≠ ∠𝐸𝐷𝐹 → ∠𝐴 > ∠𝐵
f. Ada kontradiksi antara ∠𝐴 dan ∠𝐷 karena ∠𝐴 = ∠𝐷
g. Ada kontradiksi dengan kata lain 𝐵𝐶
̅̅̅̅ > 𝐸𝐹
̅̅̅̅
h. Aksioma 4 ( benda – benda yang berimpit satu sama lain, satu sama lain sama )
i. Aksioma 6 ( suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan
besarnya)
j. ∆ ABC dipindah berhimpit dengan ∆ DEF
k. Titik C terletak pada garis EF
TEOREMA 4
Dua buah segitiga mempunyai dua sudut dan satu sisi apitnya yang sama maka sisi yang lainnya
adalah sama
Diketahui : ∆ ABC = ∆DEF
∠𝐴 = ∠𝐷,∠𝐶 = ∠𝐹, 𝐴𝐶
̅̅̅̅ = 𝐷𝐹
̅̅̅̅
Buktikan : Buktikan 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 𝐷𝐸
̅̅̅̅ dan 𝐵𝐶
̅̅̅̅ = 𝐸𝐹
̅̅̅̅
Bukti :
 Misal 𝐴𝐵
̅̅̅̅ > 𝐷𝐸
̅̅̅̅
1. Aksioma 4
Benda – benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama

5. 2. Aksioma 6
Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya
3. ∆ABCdipindahkan berhimpit ∆DEF
4. Akibatnya,
 Titik Bterletak padaperpanjangan garis DE.
 ∠𝐶 > ∠𝐹 kontradiksi dengan pernyataan ∠𝐶 = ∠𝐹
∴ 𝐴𝐵
̅̅̅̅ > 𝐷𝐸
̅̅̅̅ SALAH
 Misal 𝐴𝐵
̅̅̅̅ < 𝐷𝐸
̅̅̅̅
 Titik B terletak di garis 𝐷𝐸
̅̅̅̅
 Akibatnya ∠𝐹 > ∠𝐶
 Ada kontradiksi antara ∠𝐹 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐶 karena ∠𝐹 = ∠𝐶
∴ 𝐴𝐵
̅̅̅̅ < 𝐷𝐸
̅̅̅̅ SALAH
 Pengandaian salah, maka 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 𝐷𝐸
̅̅̅̅ QED.
TEOREMA 5
Melalui suatu titik pada suatu garis pada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut
Diketahui : Suatu garis lurus AB dan satu titik pada garis tersebut
Buktikan : Ada satu garis yang tegak lurus
Bukti :
a. membuat satu garis lurus AB
A
b. Letakkan satu titik pada garis tersebut
c. Menarik garis lurus dari sebarang titik ke sebarang titik lain ( Postulat 1 )
m B

6. d. Definisi 10
TEOREMA 6
Melalui suatu titik diluar garis pada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut
Diketahui : Suatu garis lurus PQ dan suatu titik diluar garis tersebut
Ditanya : Buktikan ada satu garis yang tegak lurus
Bukti :
a. Membuat satu gurus lurus PQ
b. Letakkan satu titik diluar garis tersebut
c. Menarik garis lurus dari sebarang titik kesebarang titik lain
d. Definisi 10
TEOREMA 7
Sebuah sudut diluar segitiga lebih besar dari salah satu sudut dalam yang tidak bersisisan dengan
luar tersebut
Diketahui : Garis AB yang diperpanjang hingga titik D ( Aksioma 9 )
Ditanya : Buktikan
∠𝐶𝐵𝐷 > ∠𝐵𝐴𝐶
∠𝐶𝐵𝐷 > ∠𝐴𝐶𝐵
Bukti :
a. Menarik garis lurus dari titik B hingga titik C ( Postulat 1 )
b. Setiap segmen garis mempunyai titik pertengahan. Titik E dipertengahan garis BC
sehingga BE = CE ( Aksioma 8 )

7. c. Tarik garis A ke E ( Postulat 1 )
d. Memperpanjang garis AE sampai titik F sehingga AE = EF ( Aksioma 9 )
e. Tarik garis dari C ke F ( Postulat 1 )
f. Tarik garis dari B ke F ( Postulat 1 )
g. Perhatikan ∆BEF dan ∆ACE, ∠BEF dan ∠AEC kongruen
h. ∠CAE = ∠EFB dan ∠ACE = ∠EBF
i. ∠CBD > ∠ACE karena seluruhnya lebih besar dari baginya (Aksioma 5)
TERBUKTI
TEOREMA 7.1
Dua buah garis sejajar dipotong oleh garis transversal maka :
1. Sudut –sudut yang sehadap besarnya sama
2. Sudut dalam bersebrangan besarnya sama
Diketahui :
Ditanya : Buktikan !
i. ∠𝑃1 = ∠𝑄1 ii. ∠𝑃3 = ∠𝑄1
∠𝑃2 = ∠𝑄2 ∠𝑃4 = ∠𝑄2
∠𝑃3 = ∠𝑄3
∠𝑃4 = ∠𝑄4
Bukti :
Penjelasan pertama :
a. Misal Q4 > P4 , maka K dan L akan membentuk sebuah segitiga, padahal K dan L sejajar
( Kontradiksi )

8. b. ∠𝑃1 + ∠𝑃4 = ∠𝑄1 + ∠𝑄4 = sudut garis lurus
∠𝑃4 = ∠𝑄2 (𝑖. 𝑎)
∠𝑃1 + ∠𝑄4 − ∠𝑄4 = ∠𝑄1 + ∠𝑄4 − ∠𝑄4 ( Aksioma 3 )
c. Penjelasan selanjutnya sama.
Penjelasan kedua:
a. ∠𝑃3 + ∠𝑃4 = ∠𝑄1 + ∠𝑄4 = sudut garis lurus
b. ∠𝑃3 + ∠𝑄4 = ∠𝑄1 + ∠𝑄4 (𝑖𝑖. 𝐴)
c. ∠𝑃3 + ∠𝑄4 − ∠𝑄4 = ∠𝑄1 − ∠𝑄4 (Aksioma 3)
∠𝑃3 = ∠𝑄1
d. Penjelasan selanjutnya sama.
TERBUKTI
Definisi
 Suatu bentuk geometri dikatakan kongruen dengan bentuk lain bila ada korespondensi dan
korespondensi tersebut mempunyai ukuran yang sama.
 Korespondensi antara dua segitiga merupakan kongruensi jika sudut-sudut yang
berkorespondensi dan sisi-sisi yang berkorespondensi kongruen.
Postulat Kesejajaran Euclid
Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga jumlah sudut dalam
sepihak dari transversal tersebut kurang dari 180, maka dua garis tersebut akan berpotongan pada
pihak dari transversal yang jumlah sudutnya kurang dari 180.
TEOREMA 8
Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga sudut –sudut dalam
bersebrangan sama, maka dua garis itu adalah sejajar.
Diketahui : Dua garis K dan L yang dipotong oleh suatu transversal garis M

9. P 2 1 K
3 4
Q 2 1
3 4
L
Ditanya : Buktikan K⫽L
Bukti : Dungun cara kontradiksi
Misal K tidak ⫽ L , maka K dan L akan berpotongan dititik C
a. Titik P, Q , dan C membentuk suatu segitiga PQC
b. Sudut diluar segitiga lebih besar dari sudut didalam segitiga yang tidak bersisian dengan
sudut luar tersebut, ∠𝑃1 > ∠𝑄1dan ∠𝑄4 > ∠𝑃4
c. Sudut bertolak belakang sama besar ( Teorema 1 )
∠𝑃1 = ∠𝑃2,∠𝑃1 = ∠𝑃2
∠𝑄1 = ∠𝑄3, ∠𝑄4 = ∠𝑄2
Dari pemisalan garis tersebut dapat dilihat bahwa :
∠𝑃3 > ∠𝑄1
∠𝑃4 < ∠𝑄2
Terbukti kontradiksi
Karena 𝐾 ∦ 𝐿 adalah salah , maka TERBUKTI bahwa K ⫽ L.
TEOREMA 9
Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis adalah sejajar
Diketahui :

10.  Garis p dan garis q ⊥ garis l, dan
 Berpotongan dititik m dan n
Buktikan : p ⫽ q
Bukti :
Andai 𝑝 ∦ 𝑞, maka akan berpotongan dititik s
 𝑝 ⊥ 𝑞 dititik m maka 𝑚1 = 90°
 𝑞 ⊥ 𝑙 dititik n maka 𝑛1 = 90°
𝑚1 = 𝑛1 (fakta)
 Lihat ∆𝑚𝑠𝑛
 ∠𝑛1 > ∠𝑚1 (Teorema 7)
 KONTRADIKSI dengan yang diketahui, sehingga pengandaian salah Maka, p ⫽ q
TERBUKTI
TEOREMA 10
Jumlah sembarang dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari 𝟏𝟖𝟎°
Diketahui :
 Segitiga ABC
Buktikan :
 A
 B
 A
Bukti :

11.  Garis 𝐴𝐵
̅̅̅̅ diperpanjang sedemikian hingga (Aksioma 9)
 Menarik garis lurus dari titik B ke titik O sehingga
𝐵𝑂
̅̅̅̅ ∕∕ 𝐴𝐶
̅̅̅̅ (Postulat 1)
 ∠𝐵1 + ∠𝐵2 + ∠𝐵3 = 180° (sudut lurus)
∠𝐵2 = ∠𝐶 (Teorema 7.1)
∠𝐵3 = ∠𝐴 (Teorema 7.1)
 ∠𝐵1 + ∠𝐵2 + ∠𝐵3 = 180°
∠𝐵2 + ∠𝐵3 = 180° − ∠𝐵1
∠𝐵2 + ∠𝐵3 < 180°
∠𝐶 + ∠𝐴 < 180° TERBUKTI
 Melalui titik C dapat dibuat garis yang sejajar 𝐴𝐵
̅̅̅̅
(Postulat 1)  ∠𝐶1 + ∠𝐶2 + ∠𝐶3 = 180° (sudut lurus)
∠𝐵2 = ∠𝐶 (Teorema 7.1)
∠𝐵3 = ∠𝐴 (Teorema 7.1)
 ∠𝐶1 + ∠𝐶2 + ∠𝐶3 = 180°
∠𝐶1 + ∠𝐶3 = 180° − ∠𝐶2
∠𝐶1 + ∠𝐶3 < 180°
∠𝐴 + ∠𝐵 < 180° TERBUKTI
 𝐴𝐵
̅̅̅̅ diperpanjang sedemikian hingga
(Aksioma 9)  Menarik garis lurus dari titik B ke titik O sehingga 𝐵𝑂
̅̅̅̅ ∕∕ 𝐴𝐶
̅̅̅̅
(Postulat 1)
 ∠𝐴1 + ∠𝐴2 + ∠𝐴3 = 180° (sudut lurus)
∠𝐴2 = ∠𝐶 (Teorema 7.1)
∠𝐴3 = ∠𝐴 (Teorema 7.1)
 ∠𝐴1 + ∠𝐴2 + ∠𝐴3 = 180°
∠𝐴2 + ∠𝐴3 = 180° − ∠𝐴1
∠𝐴2 + ∠𝐴3 < 180°
∠𝐶 + ∠𝐵 < 180° TERBUKTI

12. TEOREMA 11
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°
Diketahui :
Segitiga ABC
Buktikan : ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°
Bukti:
 Menarik garis lurus dari titik C ketitik yang lain 𝐷𝐸
̅̅̅̅ sehingga 𝐴𝐵
̅̅̅̅⫽𝐷𝐸
̅̅̅̅ (Postulat 1)
 Karena 𝐴𝐵
̅̅̅̅ ⫽ 𝐷𝐸
̅̅̅̅ maka teorema sudut bersebrangan dapat diterapkan sehingga
diperoleh ∠𝐶1 ≅ ∠𝐵𝐴𝐶, ∠𝐶2 ≅ ∠𝐴𝐶𝐵, ∠𝐶3 ≅ ∠𝐴𝐵𝐶
Jadi, ∠𝐶1 + ∠𝐶2 + ∠𝐶3 = 180° TERBUKTI
TEOREMA 12
Sebuah segitiga jika dua sudutnya sama maka sisi didepan sudut sama
Diketahui:
 Segitiga ABC
 ∠𝐴 = ∠𝐵
Buktikan:
Bukti:
1. Setiap sudut mempunyai garis bagi melalui Cditarik garis bagi sehingga memotong 𝐴𝐵
̅̅̅̅

13. dititik D
2. Lihat ⊿𝐴𝐷2𝐶2 = ⊿𝐵𝐷1𝐶1
 ∠𝐶1 = ∠𝐶2 (Aksioma 7)
 𝐷1𝐶1
̅̅̅̅̅̅ = 𝐷2𝐶2
̅̅̅̅̅̅ (Aksioma 4)
 ∠𝐴 + ∠𝐶1 + ∠𝐷2 = 180°
 ∠𝐵 + ∠𝐶1 + ∠𝐷1 = 180°
 ∠𝐴 + ∠𝐶2 + ∠𝐷2 = ∠𝐵 + ∠𝐶1
∠𝐷2 = ∠𝐷1 (Aksioma 2)
Karena:
 ∠𝐶1 = ∠𝐶2
 𝐷1𝐶1
̅̅̅̅̅̅ = 𝐷2𝐶2
̅̅̅̅̅̅
 ∠𝐷2 = ∠𝐷1
Sehingga ⊿𝐴𝐷2𝐶2 ≅ ⊿𝐵𝐷1𝐶1 (sudut, sisi, sudut)
Maka, 𝐶𝐴
̅̅̅̅ = 𝐶𝐵
̅̅̅̅ TERBUKTI