Dokumen tersebut membahas tentang penelitian mengenai persegi panjang dan membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan persegi panjang, diantaranya teorema yang membuktikan bahwa diagonal persegi panjang kongruen, sudut puncak persegi panjang kongruen dan sama-sama 90 derajat, jumlah sudut segi empat persegi panjang adalah 360 derajat, dan garis yang menghubungkan titik tengah sisi atas dan bawah perse

1. THE SEARCH FOR A RECTANGLE
TUGAS INDIVIDU
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri
Oleh
IRNA NURAENI
198102020
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SILIWANGI
2020

2. THE SEARCH FOR A RECTANGLE
Penyelidikan pada persegi panjang
Teorema 3.6.1
“Diagonal dari segiempat Saccheri adalah kongruen.”
Lihat ΔAED dan ΔBEC
AE BE (diketahui)
A ≅ ∠B (Saccheri = 90o
)
AD BC (Saccheri)
Jadi menurut sifat S-Sd-S, ΔAED ΔBEC
Akibatnya,
DE = CE
Jadi, diagonal dari segiempat Saccheri adalah kongruen.(Terbukti)
Bukti:
Akan dibuktikan panjang diagonal DE = CE

3. Teorema 3.6.2
“Sudut puncak segiempat Saccheri adalah kongruen.”
Bukti:
Strategi:
1. Gunakan segitiga-segitiga kongruen
Lihat ΔAED dan ΔBEC
AE BE (diketahui)
A ≅ ∠B (Saccheri = 900
)
AD BC (Saccheri)
Jadi menurut sifat S-Sd-S, ΔAED ΔBEC
Akibatnya,
DE = CE
2. Lihat ΔDEF dan ΔCEF
DE CE (akibat)
EF EF (diketahui)
FD FC (diketahui)
Jadi menurut sifat S-S-S, ΔDFE ΔCFE
Akibatnya,
9 = 10 atau DFE = CFE
(i)

4. 2 = 8 (ii)
4 = 6
3. Dari (i) dan (ii) diperoleh
a. 3 + 4 = 5 + 6 berarti AEF = BEF atau AEF ≅ ∠ BEF
AEF + BEF = 180o (berpelurus)
Karena AEF ≅ ∠BEF maka BEF = AEF = 90o
b. 1 + 2 = 7 + 8 berarti ADF = BCF
Jadi, Sudut puncak segiempat Saccheri adalah kongruen (Terbukti)
Teorema 3.6.3
“Sudut puncak segiempat Saccheri tidak tumpul melainkan keduanya lancip atau siku-
siku."
Bukti:
Berdasarkan Teorema Akibat (corollary)
Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama dengan 3600
, dan jumlah sudut
alas dalam segiempat saccheri adalah 1800
, maka andaikan besar sudut puncak
segiempat saccheri tumpul, padahal dari teorema sebelumnya dikatakan bahwa
sudutpuncaksegiempatSaccheriadalahkongruen, maka jumlah besar sudut puncak
segiempat saccheri lebih dari 1800
, maka akan terjadi kontradiksi. Terbukti.
Teorema 3.6.4
“Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari sisi atas dan sisi alas segiempat Saccheri
adalah tegak lurus terhadap keduanya."
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari sisi atas dan
sisi alas segiempat Saccheri adalah tegak lurus terhadap keduanya.

5. Karena F dan E titik tengah maka DF=FC, AE=EB, AD=BC.
Misalkan F titik tengah CD dan E titik tengah AB

6. Jadi, EF AB (EF adalah Garis yang menghubung kan titik-titik tengah dari sisi atas
dan sisi alas segiempat Saccheri)
Dari 2 diperoleh 9 10 atau
Karena (berpelurus) dan ∠ 𝐷𝐸𝐹 ≅ ∠ 𝐶𝐸𝐹 maka
Jadi, EF ⊥ CD (EF adalah Garis yang menghubung kan titik-titik tengah dari sisi
atas dan sisi alas segiempat Saccheri) (Terbukti)
Teorema Akibat 3.6.5
“Sisi atas dan sisi alas segiempat Saccheri sejajar.”
Bukti:
Dari Teorema 3.6.4, diketahui bahwa garis yang menghubungkan titik-titik tengah
dari sisi atas dan sisi alas segiempat Saccheri adalah tegak lurus terhadap keduanya.
Menurut teorema akibat menyatakan bahwa dua garis yang tegak lurus pada satu
garis yang sama adalah sejajar. Maka terbukti sisi atas dan sisi alas segiempat
Saccheri sejajar.
Teorema Akibat 3.6.6
“Sisi atas segiempat Saccheri lebih besar dari atau sama dengan sisi alasnya.”
Bukti:
Jadi atau
karena (berpelurus) dan
∠𝐴𝐸𝐹 ≅
𝐵 𝐸𝐹
∠𝐴𝐸𝐹 ≅ ∠𝐵𝐸𝐹maka
Segiempat ABCD persegi panjang Sacheri
dimana
Akan ditunjukkan
Lukis
Kasus 1 A B
D C
1
2
3

7. Kasus 2
Kasus 3
Hal ini berlawanan dengan Teorema Sacheri-Legendre. Dengan kata lain kasus 3 tidak
memenuhi. Sehingga haruslah . Terbukti.
Teorema 3.6.7
“Sudut keempat segiempat Lambert tidak tumpul melainkan lancip atau siku-siku. “
Misalkan tumpul
Karena besar masing-masing ∠ P, ∠ 𝑄, ∠ R adalah 900
, jika tumpul maka jumlah besar
keempat sudutnya lebih dari 3600
. Terjadi suatu kontradiksi dengan Teorema Akibat 3.5.4
Jadi, benar bahwa udut keempat segiempat Lambert tidak tumpul melainkan lancip atau
siku-siku (Teorema 3.6.7 terbukti).
Teorema 3.6.8
“Ukuran sisi diantara dua sudut siku-siku segiempat Lambert kurang dari atau sama
dengan ukuran sisi yang berlawanan itu.”
Bukti:
Diberikan segiempat PQRS adalah segiempat Lambert.
Kemudian
sedangkan
°
Bukti:
P Q
RS
= 90 dan
maka berakibat
°

8. Jelas PQ ≤ SR dan QR ≤ PS
Asumsikan PQ> SR dan pilih P 'sedemikian sehingga P'Q = SR.
P'QRS adalah sebuah Segiempat Saccheri.
Jadi 1 ≡ 2 dan m 1 = m 2 ≤ 900
Terjadi kontradiksi dengan teorema sudut eksterior ΔPP'S
Jadi PQ ≤ SR
Demikian pula QR ≤ PS Teorema 3.6.8 terbukti.
Teorema 3.6.9
“Ukuran garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari sisi atas dan sisi alas
segiempat Saccheri kurang dari atau sama dengan ukuran sisi-sisinya.”
Bukti:
Mempertimbangkan segiempat Saccheri, segiempat ABCD dengan
, dan M dan N beturut-turut merupakan titik tengah dari
alas AB dan puncak DC.
Menurut teorema sebelumnya (Teorema 3.6.4), MN tegak lurus terhadap kedua AB dan CD
Menurut definisi, segiempat AMND dan segiempat CBMN keduanya segiempat Lambert.
Berdasarkan Teorema 3.6.8, MN AD Dan MN CB. Terbukti.
Teorema 3.6.10
“Jika ada sebuah persegi panjang, maka akan ada juga sebuah persegi panjang dengan salah
satu sisinya lebih panjang dari pda ruas garis tertentu. “
Bukti :
Andaikan adalah sebuah persegipanjang dan adalah salah sebarang
garis.kita akan buktkan dengan membentuk sebuah persegipanjang dengan panjang
salah satu sisinya lebih besar dari pada PQ. Dengan membentuk garis, ada sebuah
titik pada sedemikian sehingga D-C-C2 dan CC2 ≅ DC, (gambar 3.6.5).
dengan cara yang sama sebuah titik pada AB sedemikian sehingga A-B-B2 dan
BB2 ≅ AB.
, ,

9. Menurut teorema 3.3.5 (SASAS), BB2C2C kongruen terhadap , oleh karena itu
∠ B2C2C dan ∠ CC2B2 merupakan sudut siku-siku. Berdasarkan definisi AB2C2D adalah
sebuah persegi panjang dan Kemudian kita ulang lagi dengan membentuk,
kita dapatkan sebuah persegi panjang sedemikian sehigga .
Berdasarkan sifat archimedean dari bilangan real jika dipilih n cukup besar sehingga
Terbukti.
Teorema akibat 3.6.11
“Jika ada sebuah persegi panjang, maka ada sebuah persegi panjang dengan dua
sisinya yang berdekatan panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua segmen
tertentu.”
Bukti:
Dengan kata lain. Jika ada persegipanjang ABCD dan segmen garis XY dan ZW
diberikan. Maka ada persegipanjang PQRS sedemikian hingga PQ > XY dan PS >
ZW.
Sesuai dengan Teorema 3.6.10. Ada persegipanjang ABEF dengan AF > XY.
Dengan melukis persegipanjang yang kongruen dengan persegipanjang ABEF
berulang-ulang dan menempatkan di atasnya, kita dapat melukis AFHG dengan AG
> ZW. Karena AF > XY, maka AFHG merupakan persegipanjang PQRS yang
dimaksudkan.
Teorema 3.6.12
“Jika ada sebuah persegi panjang maka ada persegi panjang dengan panjang dua sisi
yang berdekatan kongruen dengan diberikan segmen garis PQ dan RS. “
A
D C
B B2
C2 Cn
Bn

10. Bukti:
Cara kita membuktikan seperti apa yang dilakukan penjahit. Dengan menggunakan teorema
akibat terdahulu, maka kita memiliki persegipanjang PQRS dengan PQ > XY dan PS > ZW;
kemudian kita potongnya sedemikian hingga panjang PQ = XY dan PS = ZW. Jadi ada titk
Q’ pada PQ sedemikian hingga PQ’ = XY. Dari titik Q’ ditarik garis yang tegak lurus RS
dengan kaki R’. kita tunjukkan bahwa PQ’R’S’ adalah persegipanjang.
Sudut P, R’ dan S adalah siku-siku. Kita tunjukkan pula bahwa PQ’R’ juga siku-siku.
Andaikan PQ’R’S’ > 360, kontradiksi dengan akibat dari teorema sebelumnya.
Andaikan PQ’R’ < 90, maka QQ’R > 90 dan jumlah sudut segi empat
PQ’R’S > 360, kontradiksi dengan akibat dari teorema sebelumnya. Andaikan PQ’R’ <
90, maka QQ’R > 90 jumlah sudut segiempat QQ’R’R > 360 (kontradiksi). Jadi satu-
satunya kemungkinan adalah PQ’R’ = 90, dan PQ’R’S adalah persegi panjang. Dengan
cara yang sama, ada titik S’ pada PS sedemikian hingga PS’ = ZW. Tarik garis S’ tegak
lurus Q’R’ dengan kaki R*. maka, sebagaimana di atas, PQ’R*S’ adalah persegipanjang.
Sisi-sisinya yang berdekatan PQ’ dan PS’ masing-masing sama dengan XY dan ZW, dan
teorema terbukti.
Teorema 3.6.13
“Jika ada sebuah persegi panjang, maka setiap segitiga siku-siku memiliki jumlah sudut
180 °.”

11. Misalkan jumlah sudut dalam PRQ dan jumlah sudut dalam . Karena
PQRS persegi panjang maka x + y = 3600
. Kita tahu dari teorema saccheri legendre bahwa
x + y masing- masing kurang dari 1800
.
Andaikan x < 1800
, maka y > 1800
. Terjadilah kontadiksi. Sehingga jumlah sudut dalam
segitiga siku-siku ABC yaitu harus 1800
.
Teorema 3.6.14
“Jika ada sebuah persegi panjang, maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 180 °. “
Bukti:
Bukti:
Misalkan ABC adalah segitigasebuah siku-siku, siku-siku di C. Berdasarkan
teorema 3.6.12 kita dapat mengkontruksi PQRS dimana dan
. Jika kita menarik diagonal
Lihat danABC sehinggaPRQ danABC PRQ sudutjumlahmempunyai
yang sama.
B’ C’
A’ D’
p
q
A
B C

12. Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara menunjukkan bahwa :
1) Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari sebuah segitiga yang dibentuk dengan cara
membelah persegipanjang pada diagonalnya.
2) Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 180.
Misalkan ABC siku-siku di B. Menurut Teorema sebelumnya, ada persegipanjang
A’B’C’D’ dengan A’B’ = AB dan B’C’ = BC. Hubungkan A’ dan
C’. Maka ABC A’B’C’, dengan demikian ABC dan A’B’C’ mempunyai
jumlah sudut yang sama. Misalkan : p adalah jumlah sudut A’B’C’dan q adalah
jumlah sudut A’D’C
Maka : p + q = 4.90 = 360, ………………………... (1)
Kita tunjukkan bahwa p = 180. Menurut Teorema sebelumnya, p = 180 atau p < 180.
Andaikan p < 180. Dari persamaan (1) diperoleh q > 180 (bertentangan dengan
teorema 1). Jadi p = 180.
Teorema 3.6.15
“Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180 ° maka akan ada sebuah persegi
panjang.”
Bukti:
Misalkan mempunyai jumlah sudut 180.
Akan ditunjukkan siku-siku dengan jumlah sudut 180
Tarik garis tinggi AB siku-siku di D dan
siku-siku si D.
Misal jumlah sudut adalah p dan jumlah sudut
Maka p + q = 2. 90 + 180 = 360
Akan ditunjukkan p = 180
; p < 180 maka q > 180
Hal ini kontradiksi bahwa jumlah sudut
sebarang segitiga kurang atau sama
dengan 180. Jadi siku-siku, misal
yang mempunyai jumlah sudut 180.
A B
C
D
p q
adalah q
B D
E A
1
2
1
2

13. Dengan mengambil dua segitiga siku-siku, kemudian kedua segitiga tersebut ditempelkan
membentuk persegi panjang.
Lukis dengan E berlainan pihak dengan D dari sisi AB dan BE
Perhatikan bahwa
Teorema akibat 3.6.16
“Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180 °, maka setiap segitiga memiliki jumlah
sudut 180 °.”
Bukti:
Diketahui sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800
. Akan ditunjukkan bahwa
setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800
. Misalkan ada sebuah segitiga yang
mempunyai jumlah sudut 1800
, maka menurut teorema 3.6.15 akan ada sebuah
persegi panjang. Sedangkan menurut teorema 3.6.14, jika ada sebuah persegi
panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 1800
. Terbukti.
Teorema akibat 3.6.17
“Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut kurang dari 180 °, maka setiap segitiga
memiliki jumlah sudut kurang dari 180 °.”
Bukti:
Misalkan segitiga ABC dengan jumlah sudut < 1800
, perhatikan sebarang segitiga PQR.
Menurut teorema 1, jumlah sudut p ≤ 1800
.
Misalkan p = 1800
, maka menurut akibat 1 dari teorema 6 di atas, sehingga segitiga ABC
mempunyai jumlah sudut 1800
.
Hai ini bertentangan dengan pemisalan di atas.
bersesuaian dengan AD. Karena jumlah sudut adalah 180 maka
dan karena maka dan
.
dan
Jadi, . Terbukti.

14. Jadi, yang benar adalah p < 1800
.
Teorema 3.6.18
“Paralel mendalilkan Euclidean setara dengan pernyataan berikut: Jumlah sudut dari
setiap segitiga adalah 180 °. “
Bukti:
Kita asumsikan Jumlah sudut dari setiap segitiga adalah 180 ° dan menggunakan
kebenaran pembuktian Paralel mendalilkan Euclidean. Ingat garis l dan titik P tidak
terletak digaris l, misalkan m sebuah garis parallel melalui P tegak lurus dengan
l.(sehingga ada garis seperti hasil dari teorema akibat 3.4.2 ). Jika kita misalkan n
sebuah garis lain yang melalui P, kita akan tunjukkan n memotong l.
Menggunakan pendekaan tak langsung, kita akan anggap n parallel terhadap l.
Karena n tidak sama m, ingat berada diantara ).dan (