Dokumen tersebut membahas tentang pengertian geometri dan unsur-unsur dasarnya seperti titik, garis, bidang, sudut dan segitiga. Dibahas pula sifat-sifat daerah dalam dan luar suatu sudut beserta contoh-contoh penerapannya. Tujuan dari dokumen ini adalah menjelaskan konsep-konsep dasar geometri tersebut dan cara menggunakannya.

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ ukuran bumi”.
Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri adalah ilmu yang
membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun
ruang. Mempelajari geometri penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk
mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang
menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama
terdiri dari serangkaian pernyataan tentang titik-titik, garis-garis, bidang-bidang, dan
juga planar (proyeksi bidang) dan benda-benda padat. Geometri dimulai dari istilah-
istilah yang tidak terdefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, postulat-postulat
dan selanjutnya teorema-teorema. Berdasarkan sejarah, geometri telah mempunyai
banyak penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah,
pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain sebagainya.
Geometri adalah sistem pertama untuk memahami ide. Dalam geometri
beberapa pernyataan sederhana diasumsikan, dan kemudian ditarik menjadi
pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks. Sistem seperti ini disebut sistem
deduktif. Geometri mengenalkan tentang ide konsekuensi deduktif dan logika yang
dapat digunakan sepanjang hidup. Dalam mendefinisikan sebuah kata, pertama
digunakan kata yang lebih sederhana kemudian kata yang lebih sederhana ini pada
gilirannya didefinisikan menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga pada
akhirnya, proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa tingkatan, definisi harus
menggunakan sebuah kata yang artinya sudah sangat jelas, ini dikarenakan agar
artinya diterima tanpa memerlukan definisi lagi, dengan kata lain dapat disebut
dengan istilah tak terdefinisikan (undefined term).
Sudut dan segi tiga merupakan salah satu contoh dari istilah yang menjadi
pijakan awal dari geometri, sehingga konsep sudut dan segi tiga sering digunakan
dalam geometri. Misalnya adalah mengukur luas atau keliling tanah berbentuk
segitiga. Segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa

2. 2
garis lurus dan tiga sudut. Dari contoh di atas dapat dipahami bahwa sudut dan
segitiga merupakan faktor dasar geometri, tentunya dengan tidak melupakan bahwa
titik juga merupakan dasar dari geometri.
1.2 Rumusan Masalah
1. Apa saja sifat – sifat daerah dalam dan daerah luar sebuah sudut, serta
bagaimana menggunakannya ?
2. Apa pengertian sebuah segitiga secara eksak ?
3. Bagaimana daerah dalam dan daerah luar sebuah segitiga ?
4. Bagaimana menggunakan sifat – sifat daerah dalam dan daerah luar sebuah
segitiga ?
1.3 Tujuan
1. Menjelaskan sifat – sifat daerah dalam dan daerah luar sebuah sudut, serta
menggunakannya.
2. Menjelaskan secara eksak pengertian sebuah segitiga.
3. Menjelaskan daerah dalam dan daerah luar sebuah segitiga.
4. Menjelaskan serta menggunakan sifat – sifat daerah dalam dan daerah luar
sebuah segitiga.

3. 3
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Sudut
2.1.1 Daerahdalamsuatu sudut
Dalam pasal ini akan dibahas beberapa sifat sederhana tentang daerah
dalam sudut.
Catatan
Setengah bidang dengan tepi garis AB dan yang memuat titik P, kita tulis
sebagai (AB).⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Teorema 1
D ( ∠ AOB ) = (AB)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∩ (OB)A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bukti
Andaikan titik X ∈ D (∠ AOB ) menurut ketentuan ( OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OX⃗⃗⃗⃗⃗ OB⃗⃗⃗⃗⃗ ) ini
berlaku jika dan hanya jika X dan A letaknya pada sisi OB yang sama dan X
dan B letaknya pada sisi OA yang sama. Sifat terakhir setara dengan :
X ∈(OB)A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , X ∈ (OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Teorema Akibat 1
D (∠ AOB ) adalah himpunan titik yang terletak dengan B pada sisi OA
yang sama dan terletak dengan A pada sisi OB yang sama.
Teorema Akibat 2
∠ AOB dan D ( ∠ AOB ) saling lepas.
Teorema Akibat 3
Daerah dalam sebuah sudut adalah himpunan yang konveks.
Bukti :
Andaikan X, Y ∈ D ( ∠ AOB ) dan X ≠ Y maka X, Y ∈(OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan X,
Y ∈(OB)A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Oleh karena (OB)A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan (OB)A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah himpunan konveks, maka
irisannya juga konveks. Sebab XY⃗⃗⃗⃗ ⊂(OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan XY⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊂(OB)A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Ini berarti

4. 4
XY⃗⃗⃗⃗ ⊂(OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∩(OB)A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = D ( ∠ AOB ) sehingga D ( ∠ AOB ) adalah daerah yang
konveks.
Teorema 2 :
(OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = D ( ∠ AOB )∪D ( ∠ A’OB )∪OB⃗⃗⃗⃗⃗ . Di sini OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah sinar
yang berlawanan dengan sinar OA⃗⃗⃗⃗⃗ .
Bukti :
Andaikan S = D ( ∠ A0B ) ⊂
D (∠ A′OB )⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊂ OB⃗⃗⃗⃗⃗ , OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sinar yang
berlawanan dengan OA⃗⃗⃗⃗⃗ .
Selanjutnya ambil X ∈ (OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
maka X dan B letaknya pada sisi
OA⃗⃗⃗⃗⃗ yang sama.
Maka berlakulah OA⃗⃗⃗⃗⃗ OX⃗⃗⃗⃗⃗ OB⃗⃗⃗⃗⃗ , atau OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OX⃗⃗⃗⃗⃗ atau OB⃗⃗⃗⃗⃗ = OX⃗⃗⃗⃗⃗ . Ini berarti
bahwa X ∈D(∠ AOB ), atau X D(∠A’OB ), atau X OB. Jadi X S yang
berarti bahwa (OA)B S.
Berhubung OA⃗⃗⃗⃗⃗ dan OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah maka (A’OA). Jadi OA’ = OA
sehingga (OA′)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Kita tahu D(∠AOB) ⊂ (OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan
D(∠A`0B)⊂(OA)B = (OA)B, lagi pula OB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊂ (OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Jadi S⊂(OA)B,
sehingga(OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = S. Atau (OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = D(∠AOB ∪ D(∠A`0B) ∪ OB⃗⃗⃗⃗⃗ .
Teorema 3 :
Bidang OAB=D(∠AOB) ∪D(∠AOB’)∪ D(∠A′OB ∪D(∠AOB’) ∪ OA
∪ OB dengan OA`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah dengan OA⃗⃗⃗⃗⃗ dan OB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah
dengan OB⃗⃗⃗⃗⃗ .
Bukti :
OB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan OB⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah, maka (BOB’). Jadi BB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ memotong OA.
Sedangkan B,B’ ∉ OA. Jadi OAB = (OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ OA ∪ (OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′. Berhubung
(OA)B= D( ∠ AOB )∪ D( ∠A’OB ) ∪ OB⃗⃗⃗⃗⃗ .
A`A
O
BX ∙
Gambar 1

5. 5
(OA)B’=D(∠A0B’) ∪
=D(∠A’OB’) ∪ OB⃗⃗⃗⃗⃗ maka,
OAB= D(∠AOB) ∪ D(∠AOB’)
∪ D(∠A’OB) ∪ D(∠A’OB’) ∪
OA∪OB, sebab OB⃗⃗⃗⃗⃗ OB⃗⃗⃗⃗⃗ ’= OB
2. 1. 2 Daerah Luar Sebuah Sudut
Andaikan diketahui sebuah sudut ∠AOB, maka seperti diketahui
daerah luar sudut AOB, yang ditulis sebagai ∠(∠AOB ) = { X/X ∈ AOB ⋀
X ∉ D (∠ AOB) ⋀ X ∈ ∠ AOB} mengenai daerah luar ini kita sajikan
teorema berikut.
Teorema 4
∠(∠AOB) = D(∠AOB’ ) ∪ D(∠ A’OB’) ∪ D( ∠A’OB’) ∪ OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ OB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
dengan OA⃗⃗⃗⃗⃗ dan OB⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah dengan OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan OB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bukti :
Berdasarkan teorema terakhir AOB
= D(∠AOB) ∪ D(∠ AO’B) ∪ D(∠A’OB)
∪ D(∠ A’OB’ ) ∪ OA ∪ OB. Himpunan
yang ada di ruas kanan saling lepas;
perhatikan bahwa ( A’OA ), (B’OB ).
Jadi OA = OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ {0} ∪ OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan OB =
OB⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ {0} ∪ OB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Sehingga kita peroleh : OAB = D(∠AOB) ∪ (OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ OB⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ {0}) ∪ [D
(∠AOB’) ∪ D(∠A’OB) ∪ D(∠A’OB’ ∪ OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ OB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]. Perhatikan bahwa (OA⃗⃗⃗⃗⃗
∪ OB⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ {0} = ∠ AOB.
A
A’
BB’
O
Gambar 3
Gambar 2
AA’
B
O

6. 6
Oleh karena itu :∠(∠AOB ) = D(∠ AOB’) ∪ D(∠A’B) ∪ D(∠A’OB’)
∪ OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ OB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Perhatikan bahwa himpunan pada ruas kanan itu semua saling lepas.
Definisi :
Apabila g = PQ; jadi g garis yang memuat P dan Q; maka kita tulis g/A
juga sebagai PQ/A.
Teorema 5
∠ (∠ AOB ) = OA/B ∪ OB/A
Bukti :
Berdasarkan teorema di atas kita peroleh dengan menggabungkan pada
ruas kanan himpunan D(∠ A’OB’).
∠ (∠AOB ) = [D(∠AOB’)∪D(∠A’OB’)OB’]∪[D(∠A’OB)∪A’OB’)∪ OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]
Selanjutnya :
(OA)B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = D (∠ AOB’ ) ∪ D (∠ A’OB’ ) ∪ OB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(OB)A′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = D(∠ BOA’ ) ∪ D (∠ B’OA’ ) ∪ OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Jadi akhirnya :
∠ (∠ AOB) = (OA)B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ (OB)A′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Oleh karena OB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan OB⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah, maka pula (OA)B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan (OA)B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Jadi (OA)B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OA/B . Begitu pula (OB)A′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OB/A’.
Maka dapat kita tulis :
∠ (∠ AOB ) = OA/B ∪ OB/A.
2.1.3 Garis Patah
Dalam mempelajari sifat “ pemisahan “ suatu bidang oleh sebuah garis
atau suatu ruang oleh sebuah bidang kita berjumpa kerap kali dengan
pengertian ruas garis sebagai penghubung paling sederhana dua titik yang
berlainan. Ruas garis ini kita gunakan untuk mendefinisikan garis patah
sebagai berikut.

7. 7
Definisi :
Andaikan A1, A2 , . . . An (n ≥ 2 )n titik yang berbeda . Maka 𝐴 1 𝐴 2
∪ 𝐴 2 𝐴 3 ∪ 𝐴 n-1 𝐴 n ∪ {A1} ∪ {A2} . . . ∪ {An} dinamakan garis patah.
Catatan :
Misalnya 𝐴 1 𝐴 2 dan 𝐴 3 𝐴 4 dapat berpotongan. Artinya: sebuah garis
patah tidak perlu sederhana . Apabila n = 2, maka garis garis patah itu
menjadi 𝐴 1 𝐴 2 ∪ {A1} ∪ {A2} jadi bukan ruas garis, akan tetapi sebuah ruas
garis yang tertutup.
2.1.4 Pemisahan sebuah bidang oleh sebuah sudut
Teorema 6
Setiap sudut pada sebuah bidang memisah bidang menjadi daerah
dalam dan daerah luar.
Bukti
Andaikan V sebuah bidang yang memuat ABC . Andaikan untuk
menyingkat daerah dalamnya D dan daerah luarnya  . Kita akan
membuktikan 5 hal.
(i) V = D ∪  ∪ ABC
(ii) Setiap ruas garis yang menghubungkan setiap titik di D dan setiap
titik di  memotong ABC.
(iii) Setiap ruas garis yang menghubungkan dua titik di D tidak memotong
ABC.
(iii’) Di bidang V ada garis patah yang menghubungkan dua titik di 
yang tidak memotong ABC
(iv) D,  dan ABC saling lepas

8. 8
Bukti
(i) V = ABC, artinya V adalah bidang yang memuat A, B, C. A yang
berbeda dan tak segaris (mengapa?). Kita peroleh :
D = (AB)C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∩ (BC)A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ABC = V dengan B menggunakan rumus
untuk  , diperolehlah bagian (i) di atas.
(ii) Andaikan X ∈D, Y ∈  . Jadi X ∈ (AB)C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∩ (BC)A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan Y ∈ AB/C ∪
BC/A. Jadi Y ∈ AB/C atau Y ∈ BC/A. Sehingga X dan Y terletak pada
sisi AB yang berhadapan, atau pada sisi BC yang berhadapan.
Andaikan X,Y terletak pada sisi AB yang berhadapan. Andaikan BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
berlawanan arah dengan BA⃗⃗⃗⃗⃗ , maka berlakulah (BX⃗⃗⃗⃗⃗ BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BY⃗⃗⃗⃗⃗ ),
(BX⃗⃗⃗⃗⃗ BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BY⃗⃗⃗⃗⃗ ) atau BX⃗⃗⃗⃗⃗ dan BY⃗⃗⃗⃗⃗ berlainan arah.
Kita andaikan (BX⃗⃗⃗⃗⃗ BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BY⃗⃗⃗⃗⃗ ), maka XY⃗⃗⃗⃗ memotong BA⃗⃗⃗⃗⃗ . Andaikan
(BX⃗⃗⃗⃗⃗ BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BY⃗⃗⃗⃗⃗ ) oleh karena X ∈ D, maka (BA⃗⃗⃗⃗⃗ BX⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BC⃗⃗⃗⃗⃗ ). Jadi (BX⃗⃗⃗⃗⃗ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ );
oleh karena pula (BX⃗⃗⃗⃗⃗ BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BY⃗⃗⃗⃗⃗ ) maka (BX⃗⃗⃗⃗⃗ BC⃗⃗⃗⃗⃗ BY⃗⃗⃗⃗⃗ ). Ini berarti XY⃗⃗⃗⃗
memotong BC⃗⃗⃗⃗⃗ .
Andaikan BX⃗⃗⃗⃗⃗ dan BY⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah, maka (XBY) sehingga B ∈ XY⃗⃗⃗⃗ .
Jadi dari ketiga kemungkinan tersebut di atas XY⃗⃗⃗⃗ memotong ABC.
Jadi bagaimanapun XY⃗⃗⃗⃗ memotong ABC. Terbuktilah (ii)
A
X
C
Y
A’
B
Gambar 4.

9. 9
(iv) Menurut ketentuan daerah , , dan ABC saling lepas, begitu pula
 dan D saling lepas pula. Sedangkan ABC dan D saling lepas pula.
Terbuktilah sifat (iv)
(iii) Berhubung daerah D konveks dan sifat (iv), terbuktilah pula (iii)
(iii’) Andaikan W ∈ B/A (Gambar 5). Akan kita buktikan bahwa jika X ∈ ,
X ≠ W maka XW⃗⃗⃗⃗⃗⃗   . Telah kita buktikan bahwa  = AB/C ∪
BC/A.
Jadi X ∈ AB/C atau X ∈ BC/A. Andaikan X ∈ AB/C, maka semua titik
pada ruas XW⃗⃗⃗⃗⃗⃗ letaknya pada sisi AB yang sama dengan letaknya X sehingga:
XW⃗⃗⃗⃗⃗⃗  AB/C  
Andaikan X ∈ BC/A; W ∈ B/A  BC/A  . Oleh karena BC/A himpunan
yang konveks maka XW⃗⃗⃗⃗⃗⃗  BC/A  . Andaikan X ∈ , Y ∈  dan X ≠ Y
maka X dan Y dihubungkan dengan garis patah.
XW⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ WY⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ {X} ∪ {W} ∪ {Y}
Himpunan ini dalah himpunan bagian dan menurut (iv), ia tidak memotong
ABC.
Dengan demikian terbuktilah (iii’). Perhatikan bahwa D ≠ 0, oleh D ⊃ AC⃗⃗⃗⃗⃗ ;
juga  ≠ ∅ sebab AB/C.
2.2 Segitiga
Uraian dan Contoh
Sekarang kita dapat membahas pengertian tentang segi-tiga dan sifat-sifatnya.
Definisi:
Andaikan A, B, C tiga titik yang berlainan dan tidak segaris.
Himpunan
AB ∪ BC ∪ CA ∪ {A} ∪ {B} ∪ {C}

10. 10
dinamakan segi tiga ABC (disingkat ∆ABC). Titik A, B, C dinamakan titik sudut.
Garis AB garis BC garis CA dinamakan garis sisi ∆ABC; AB, BC, CA dinamakan sisi
∆ABC, ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB dinamakan sudut ∆ABC.
Titik sudut A disebut berhadapan dengan sisi BC. Sebuah titik dinamakan di
dalam sebuah segi tiga apabila titik itu terletak antara sebuah titik sudut dan sebuah
titik pada sisi hadapnya.
Sebuah titik ada di luar sebuah segi tiga apabila titik itu ada pada bidang segi
tiga tersebut, tetapi titik itu tidak di dalam segi tiga dan juga tidak pada segi tiga
tersebut.
Daerah dalam sebuah segi tiga ABC ditulis D(∆ABC), adalah himpunan titik
dalam dan daerah luar segi tiga ABC, ditulis ∠ (∆ABC) adalah himpunan titik luar
∆ABC.
2.2.1 Daerah dalam sebuah segi-tiga
Teorema 7:
D(∆ABC)= (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ∩ (BC)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A ∩ (CA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B
Bukti
Andaikan X ∈ D (∆ABC), maka ada Y ∈ BC sehingga (AXY). Jadi X dan A
terletak pada sisi BC yang sama. Begitu pula Y, B dan X, Y terletak pada sisi
CA yang sama. Jadi X, B terletak pada sisi CA yang sama (gambar 6a)
Begitu pula X, C terletak pada sisi AB yang sama, sehingga
(1) X ∈ (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ∩ (BC)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A ∩ (CA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B
Sebaiknya: Andaikan X memenuhi persamaan (1) menurut teorema 1, kita
peroleh
X ∈ (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ∩ (CA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B = D(∠BAC)
A
CB
X
Y
Gambar 6a
A
CB
X
Y
Gambar 6b

11. 11
Jadi berlakulah (AB⃗⃗⃗⃗⃗ AX⃗⃗⃗⃗⃗ AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) dan AX memotong BC⃗⃗⃗⃗⃗ , misalnya di Y (gambar
6b). Dengan demikian, kita peroleh
Y ∈ AX⃗⃗⃗⃗⃗ =AX ∪ {X} ∪ X/A
Andaikan Y ∈ AX, maka AX memotong BC. Ini berarti bahwa X dan A
terletak pada sisi BC yang berhadapan. Berlawanan dengan (1). Andaikan
Y=X. Ini akan berarti bahwa X ∈ BC; juga berlawanan dengan (1). Jadi
haruslah Y ∈ X/A, sehingga (YXA). Berhubung Y ∈ BC maka X ∈
D(∆ABC). Jadi
D(∆ABC) = (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ∩ (BC)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A ∩ (CA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B
Akibat 1
D(∆ABC) adalah himpunan titik yang teletak pada sisi AB yang sama
dengan letaknya titik C, pada sisi BC yang sama dengan letaknya titik A dan
pada sisi CA yang sama dengan letak titk B.
Akibat 2
D(∆ABC) adalah himpunan konveks.
Akibat 3
Andaikan X∈D(∆ABC), maka X terletak antara tiap titik sudut dan
sebuah titik pada sisi hadapnya.
Akibat 4
Andaikan A, B, C tiga titik berlainan dan tak segaris sedangkan (AXY)
dan (BYC), maka ada Z sehingga (BXZ) dan (CZA).
Akibat 5
∆ABC dan D(∆ABC) saling lepas.
A
CB
X
Y
Z
Gambar 7

12. 12
2.2.2 Daerah luar sebuah segi tiga
Dalam teorema di bawah ini akan kita jabarkan suatu dekomposisi
bidang yang mengandung daerah luar sebuah segi tiga.
Sebelumnya kita bicarakan dua dalil bantu (lemma).
Dalil Bantu 1.: ABC=D(∆ABC)∪AB∪BC ∪ CA ∪ [AB/C ∪ BC/A ∪ CA/B]
Bukti
Andaikan S himpunan pada ruas kanan rumus yang harus dibuktikan.
Akan kita buktikan S ⊂ ABC dan ABC ⊂ S.
Menurut dalil di atas (teorema11)
D(∆ABC) = (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ∩ (BC)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A ∩ (CA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B . . . (1)
Sehingga
D(∆ABC) ⊂ (AB)C ⊂ ABC
Himpunan bagian yang lain mudah dibuktikan,merupakan himpunan bagian
pula dari ABC.Jadi terbuktilah bahwa S ⊂ ABC.
Sekarang akan dibuktikan ABC ⊂ S.Ambil X ∈ ABC .Apabila X ∈ D
(∆ABC) jelaslah bahwa X ∈ S. Andaikan X ∉ D(∆ABC). Kita dapat
misalkan,berhubung (1), bahwa
X ∈ (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C . . . (2)
Oleh karena
ABC = AB/C ∪ AB ∪ (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C . . . (3)
maka X ∈ AB/C ∪ AB ⊂ S. Jadi kalau X ∈ ABC, maka X ∈ S, ini berarti
bahwa ABC ⊂ S. Dengan demikian terbuktilah S = ABC.

13. 13
Dalil Bantu 2:
∆ABC ∪ D(∆ ABC) saling lepas dengan AB/C.
Bukti
Untuk ini buktikan bahwa ∆ ABC ∪ D(∆ ABC) ⊂ (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ∪ AB yang
saling lepas dengan AB/C.
Teorema 8
ABC = D(∆ ABC ) ∪ ∆ ABC ∪ [AB/C ∪ BC/A ∪ CA/B]. Himpunan
pada ruas kanan saling lepas.
Bukti
Andaikan K = AB/C ∪ BC/A ∪ CA/B menurut dalil bantu (1) .
(1) ABC = D (∆ABC) ∪ AB ∪ CA ∪ K.
Kita tahu (dekomposisi garis)
(2) AB = AB ∪ {A} ∪ {B}∪ A/B ∪ B/A
Oleh karena A/B ⊂ CA/B dan B/AC ⊂ BC/A maka
A/B ∪ B/A ⊂ CA/B ∪ BC/A ⊂ K.
Dari (1) dan (2) kita peroleh :
(3) ABC = D(∆ ABC) ∪ [AB ∪ {A}∪ {B} ] ∪ BC ∪ (A ∪ K)
BC dan CA kita ganti dengan bentuk serupa ruas kanan (2) . Kita
peroleh akhirnya.
ABC = D(∆ ABC ) ∪ ∆ABC ∪ K
Gambar 8
C
BA
(AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C
AB/C

14. 14
Selanjutnya D(∆ ABC) dan ∆ABC adalah dua himpunan yang saling
lepas. Menurut dalil bantu (2) ,D(∆ ABC ) ∪ ∆ ABC saling lepas dengan
AB/C, BC/A, CA/B, jadi juga dengan gabungan ketiga himpunan ini .
Akibat:
∠ (∆ ABC ) = AB/C ∪ BC/A ∪ CA/B
Teorema 9
Andaikan X ∈ D(∆ABC),Y ∈ (∆ ABC) maka XY ⊂ D (∆ ABC)
Bukti
Kita perhatikan cukup dua hal , yaitu YAB dan Y = A.
(1) Andaikan Y ∈ AB. Kita tahu X D(ABC) = (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ∩ (BC)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A ∩ (CA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B
(CA)B.
Jadi X pada gambar 9 sisi AB yang memuat C.
Ini berlaku pula untuk tiap titik dalam XY.Jadi XY ⊂ (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. Selanjutnya Y ∈
AB, maka Y dan A pada sisi BC yang sama, sehingga Y ∈ (BC)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A. Oleh
karena X ∈ (BC)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A. ,maka XY ⊂ (BC)A,sebab setengah bidang konveksi.
Begitu pula XY ⊂ (CA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. Jadi
XY ⊂ (AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. ∩ (BC)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A. ∩ (CA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B = D(∆ ABC)
(2) Andaikan Y = A. Kalau X ∈ D(∆ ABC) maka X terletak antara A dan
sebuah titik Z pada BC, jadi berlakulah (AXZ). Ini berarti AX ⊂ AZ.
Oleh karena AZ ⊂ D(∆ ABC) maka AX ⊂ D(∆ ABC) atau XY ⊂
D(∆ ABC).
A
Y
CZB
Gambar 9
X

15. 15
Teorema 10
Andaikan X ∈ D(∆ ABC).Y ∈ ABC Y ≠ X maka XY memotong
∆ABC
Bukti
Kalau X ∈ D(∆ ABC ) maka
ada A’ ∈ BC sehingga
(AXA’) dan (BA’C). Jadi
sinar XA berlawanan dengan
sinar XA′. Jika XY⃗⃗⃗⃗ = XA⃗⃗⃗⃗⃗ atau
XY⃗⃗⃗⃗ =XA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Terbuktilah teorema.
Andaikan XY⃗⃗⃗⃗ ≠ XA⃗⃗⃗⃗⃗ atau XY⃗⃗⃗⃗ ≠ XA⃗⃗⃗⃗⃗ , maka Y ∉ XA = XA⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ XA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∪ {X}. Oleh
karena BC memotong XA, maka letaknya B dan C pada sisi Xayang
berhadapan.
Jadi Y terletak pada sisi XA yang sama dengan B atau dengan C. Kita
andaikan bahwa Y dan B terletak pada sisi XA yang sama. Jadi
(XA⃗⃗⃗⃗⃗ XY⃗⃗⃗⃗ XB⃗⃗⃗⃗⃗ ), (XA⃗⃗⃗⃗⃗ XY⃗⃗⃗⃗ XB⃗⃗⃗⃗⃗ ), atau XY⃗⃗⃗⃗ = XB⃗⃗⃗⃗⃗ .
Apabila berlaku (XA⃗⃗⃗⃗⃗ XY⃗⃗⃗⃗ XB⃗⃗⃗⃗⃗ ), maka XY⃗⃗⃗⃗ memotong A′B. Begitu pula, jika
berlaku (XA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ XY⃗⃗⃗⃗ XB⃗⃗⃗⃗⃗ ), maka XY⃗⃗⃗⃗ memotong A′B. Tetapi karena A′B ⊂ BC
maka XY⃗⃗⃗⃗ memotong BC. Apabila XY⃗⃗⃗⃗ = XB⃗⃗⃗⃗⃗ maka XY⃗⃗⃗⃗ ⊃ {B} atau B ∈ XY⃗⃗⃗⃗ .
Jadi dalam ketiga hal itu, selalu XY⃗⃗⃗⃗ memotong ∆ ABC.
Teorema 11
Tiap segi-tiga pada bidang memisahkan bidang itu menjadi daerah dalam
dan daerah luar.
Bukti
Andaikan V ⊃ ∆ ABC. Andaikan D = D(∆ ABC ) dan ∠ = ∠ (∆ ABC )
masing – masing daerah dalam dan daerah luar ∆ ABC. Kita akan buktikan :
( i ) V = D ∪ ∠ ∪ ∆ ABC.
A
B
A’
X
C
Y
Gambar 10

16. 16
( ii ) Ruas garis yang menghubungkan sebuah titik D dan sebuah titik di ∠
memotong ∆ ABC.
( iii ) Ruas garis yang menghubungkan dua titik di D tidak memotong ∆ ABC
( iii’ ) Di V ada garis patah yang menghubungkan dua titik di ∠
( iv ) D, ∠ dan ∆ ABC saling lepas.
Bukti
( i ) V adalah bidang ABC. Kita tahu D ⊂ V. Dengan menggunakan definisi
untuk ∠ , nyatalah bahwa V = D ∪ ∠ ∪ ∆ ABC.
Kita tahu bahwa ∠ saling lepas dengan( iv )
∆ ABC, dan dengan D; sedangkan ∆
ABC dan D saling lepas pula.
( ii ) Andaikan X ∈ D, Y ∈ ∠ ( Gambar 11 ). Menurut teorema 14. XY⃗⃗⃗⃗
memotong ∆ ABC, misalnya di Z, maka
Z ∈ XY⃗⃗⃗⃗ = XY ∪ {Y} ∪ Y/X.
Kalau Z = Y, maka ∆ ABC dan ∠ memiliki titik sekutu, yaitu Z atau
Y, yang bertentangan dengan ( iv ). Andaikan Z ∈ Y/X, maka ( ZYX ),
sehingga Y ∈ XZ. Tetapi XZ ⊂ D, menurut teorema 13. Jadi D dan ∠
bersekutu di titik Y, yang berlawanan dengan ( iv ). Jadi tinggallah
kemungkinan Z ∈ XY. Dengan demikian terbuktilah ( ii ).
( iii ) Sifat ini berdasarkan pada kekonveksan D dan pada saling lepasnya D
dan ∆ ABC.
A Y
X
Z
CB
Gambar 11.

17. 17
Andaikan X ∈ ∠ dan Y ∈ ∠ dengan ∠ =(iii’)
AB/C ∪ BC/A ∪ CA/B dan X ≠ Y
(Gambar 12 ). Jadi X dan Y dapat terletak
pada setengah bidang sama atau terletak
pada setengah bidang yang berlawanan.
Bagaimana X dan Y terletak pada gabungan dua setengah bidang yang ada di
ruas kanan persamaan untuk di atas. Jadi dapat di misalkan bahwa .
X ∈ AB/C ∪ BC/A, Y ∈ AB/C ∪ BC/A.
Tetapi,
AB/C ∪ BC/A = ∠ (∆ ABC ).
Oleh karena ∠ (∆ ABC ) berhubung dengan garis patah ( pathwise
connected), maka ada garis patah j yang dapat menghubungkan X dan Y
sehingga,
j ⊂ AB/C ∪ BC/A
Jadi j ⊂ ∠ menurut ( iv ), j tidak memotong ∆ ABC.
Akhirnya dapat dikatakan pula bahwa D ≠ 0 , sebab menurut definisi D
memuat setiap titik antara A dan sebuah titik di BC; begitu pula ∠ ≠ 0 oleh
karena ∠ ⊂ AB/C.
X
Gambar 12
J
Y
B
A
C

18. 18
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah diulas di bab II, kita dapat mempelajari
mengenai sudut dan segitiga. Mengenai sudut kita dapat mengetahui tentang daerah
dalam sudut, daerah luar sudut, kekonveksan daerah dalam dan daerah luar sudut,
pengertian garis patah, serta teorema yang menyangkut berbagai pengertian telah
dibuktikan terutama menggunakan sifat urutan titik sinar.
Adapun mengenai segitiga kita telah mendalami konsepnya lebih lanjut
dengan pengertian daerah dalam suatu segitiga dan daerah luar segitiga, serta
beberapa sifat penting segitiga yang telah dikemukakan.

19. 19
DAFTAR PUSTAKA
Drs. Rawuh. 1988. Materi Pokok Geometri. Jakarta: Karunika.
https://www.scribd.com/doc/189786248/Pembelajaran-Konsep-Luas-Daerah-Segiempat-
Dan-Segitiga-Melalui-Pendekatan-Konstruktivistik