tugas kelompok 10

1. GEOMETRI BIDANG
Akhmad Rusbani
Ela Susilawati
Gita Rizki Fardillah
Hilma Fauziah

2. MENGENAL TITIK, GARIS,
SUDUT, DAN BIDANG.
Next

3. TITIK
Apa yang dimaksud dengan titik?
Titik adalah suatu satuan dasar dari geometri. Titik bukan
merupakan suatu benda melainkan sebuah simbol yang
menunjukkan suatu lokasi. Oleh karena itu, titik hanya
memiliki posisi tetapi tidak memiliki ukuran seperti panjang,
lebar, atau ketebalan.

4. Titik dinyatakan dengan huruf capital (huruf besar) sesudah
tanda titik/dilukiskan dengan noktah (∙A). Sekumpulan titik-
titik yang terletak pada suatu garis lurus disebut “collinear”.
Sedangkan sekumpulan titik-titik yang terletak pada suatu
bidang disebut “coplanar”.
Dalam bidang Koordinat Geometri lokasi titik-titik pada
suatu bidang ditunjukkan oleh koordinat mereka pada suatu
sistem koordinat. Sistem koordinat yang umum digunakan
adalah sistem koordinat Kartesius yang memiliki dua
sumbu koordinat (sumbu-X, sumbu-Y) yang saling tegak
lurus.
Bagaimana cara penulisan titik?
TITIK

5. TITIK

6. Pada gambar di atas, ditunjukkan titik A, B, dan C yang berturut-turut
memiliki koordinat A(-2, -4), B(3, 5), dan C(7, -3).
TITIK

7. Garis adalah sederetan titik-titik yang jumlahnya tidak
terhingga dan memanjang pada dua arah yang berlawanan
tanpa ujung. Dengan demikian garis adalah dimensi satu,
yang memiliki panjang tak terhingga dan tidak memiliki
ketebalan. Suatu garis bisa lurus, melengkung, atau
keduanya. Namun, yang dimaksud garis di sini adalah tidak
melengkung dan tidak berbelok.
Apa yang dimaksud dengan Garis?
GARIS

8. Garis bisa diberi nama dengan menggunakan nama dua titik
yang dilalui oleh garis, dan di atasnya diberi tanda setrip
dengan dua arah panah yang berlawanan yang ditunjukkan
garis AB . Karena garis memanjang pada kedua arah
yang berlawanan maka garis AB juga dapat diberi nama BA.
Sebuah garis juga dapat ditulis dengan menggunakan
sebuah huruf kecil, yang ditulis di atas atau di bawah garis
tersebut. Seperti garis a pada gambar di bawah.
GARIS
Bagaimana cara penulisan garis?

9. a
●
●
A
B
GARIS

10. Segmen adalah sebagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik
ujung yang berbeda, dan memuat semua titik pada garis di antara
ujung-ujungnya. Segmen tidak memiliki ketebalan, namun pajang
segmen dapat diukur.
Apa yang dimaksud dengan segmen?
SEGMEN

11. Segmen dapat diberi nama dengan dua huruf besar, pada
bagian atas huruf diberi tanda setrip 𝐴𝐵
SEGMEN

12. Sinar adalah suatu bagian dari garis yang berpangkal dari sebuah
titik dan terpanjang tak hingga ke suatu arah tertentu. Sinar berawal
dari titik tertentu yang kita sebut sebagai titik pangkal. Contoh : 𝐴𝐵
atau 𝐴𝑌.
Apa yang dimaksud dengan sinar?
SINAR

13. Sudut dibentuk oleh dua sinar dengan titik pangkal yang sama. Titik pangkal
yang sama disebut titik sudut (vertex). Sudut kecil disebut sudut inferior dan sudut besar
disebut sudut refleks. Jumlah sudut inferior dan sudut refleks sama dengan 360°, karena
keduanya membentuk satu putaran. Jika pada gambar tidak ada keterangan, maka yang
dimaksud dengan sudut selalu sudut yang kecil (sudut inferior).
Apa yang dimaksud dengan sudut?
SUDUT

14. Sudut memiliki berbagai macam ukuran, pada kali ini hanya akan
membahas sudut inferior yang besarnya mulai dari 0° sampai dengan
180°. Berdasarkan ukurannya sudut dapat diklasifikasikan sebagai
berikut:
Sudut Lancip
Mulai dari 1° s.d 89°
Sudut Siku-Siku
Tepat 90°
Sudut Tumpul
Mulai dari 91° s.d179°
Sudut Lurus
Tepat 180°
SUDUT

15. Bidang datar adalah suatu permukaan datar yang diperpanjang tak
terhingga ke segala arah.bidang memiliki panjang dan lebar atau
disebut dengan luas, namun bidang tidak memiliki ketebalan.
𝛼
Bidang 𝛼 Bidang ABCD
B
CD
A
Apa yang dimaksud dengan bidang?
B
CD
A

16. R
QP
Segitiga adalah sebuah segibanyak (polygon) yang memiliki tiga sisi. Segitiga
memiliki tiga titik sudut. Nama sebuah segitiga bergantung pada nama ketiga
titik sudutnya. Contoh:
Pada gambar segitiga di atas, dapat kita namai segitiga PQR atau ∆PQR.
Lambing ∆ adalah lambing segitiga. Sisi-sisi ∆PQR pada gambar diatas
adalah 𝑃𝑄, 𝑄𝑅, dan 𝑃𝑅. Sedangkan sudut-sudutnya adalah
∠𝑃, ∠𝑄, dan ∠R.
Dalil 1: Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180°.
SEGITIGA

17. Segitiga
Segitiga dapat diklasifikasikan ke dalam dua bagian, yaitu:
1. Berdasarkan Panjang Sisinya
Segitiga Samakaki Segitiga Samasasi Segitiga Sembarang
c
II
c
a
B
a
b
B
b
a
b
c
C
A
C
B A
C
A
C
C

18. Segitiga
2. Berdasarkan besar sudutnya

19. Dalil-Dalil Pada
Segitiga

21. Dalil Titik Tengah Segitiga
“Segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga
adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya adalah setengah
kali panjang sisi ketiga tersebut”.
Bukti :
Diketahui : <ACB = <DCE
CA : CD = CB : CE = 2
Jadi, ∆ACB∆DCE (dibaca sebangun)
Karena ∆ACB∆DCE, maka ACB = DCE
Jadi, <CAB dan <CDE adalah pasangan sudut sehadap, dan menurut
postulat haruslah DE sejajar AB.
Karena ∆ACB∆DCE, maka berlaku juga perbandingan sisi berikut
• AB : DE = AC : DC
• AB : DE = 2 : 1DE . 2 = AB . 1⟷ DE = 1/2 AB (terbukti)
A B
C
E D

22. Diberikan AB = 12 satuan, CD = DA, CE = EB, CEB adalah garis
lurus. Hitunglah DE !
Penyelesaian :
Dik : D tengah-tengah AC (CD = DA)
E tengah-tengah BC (CE = EB)
AB = 12 satuan
Dit : DE ?
Jawab : berdasarkan dalil titik tengah segitiga maka DE//AB
DE =1/2 AB
= ½ (12) = 6 satuan Dalil Intercept Segitiga
Soal

23. Dalil Intercept
“ jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga ABC
(misalnya garis sejajar sisi BC) memotong dua sisi lain dari segitiga
ABC (yaitu sisi AB dan AC ) di titik D dan E, maka persamaan
berikut benar AD : DB = AE : EC untuk dalil intercept”.
Bukti :
Diketahui ∆ABC memiliki DE//BC, dengan DE dipotong oleh AB di
D dan AC di E
A
ED
B C
A

24. Perhatikan DE//BC yang dipotong oleh garis transversal AB. ∠ADE dan ∠ABC
adalah pasangan sudut sehadap sehingga ∆ADE ∆ABC berarti
AB/AD = AC/AE
AB/AD - AD/AD = AC/AE - AE/AE (kedua ruas dikurangi pecahan bernilai 1)
AB-AD/AD=AC-AE/AE↔BD/ADEC/AE atau AD/BD=AE/AC
AD : BD = AE : EC (terbukti)
A
ED
B C
A
Dalil Intercept

25. Perhatikan gambar di samping ini!
DE//BG. BH : HG = 9 : 5.
Tentukan panjang CE dan buktikan bahwa
AF : FB = 5 : 9.
Jawab :
Diketahui: BE = 27
CD = 10
DG = 18
BH : HG = 9 : 5
Ditanyakan: Tentukan panjang CE dan
buktikan bahwa AF : FB = 5 : 9
D
C
27
18
10
H
G
E
BF
A
Soal

26. Penyelesaian.
• CE/EB = GD/DG
CE = CD/DG x EB = 10/18 x 27= 15
• DE/BG = CD/CG = 10/10+18 = 5/5+9
BH : HG = 9 : 5 ⟹ HG/BG = 5/5+9 berarti DE = HG.
DE//HG, akibatnya GD//EH.
AF : FB = CE : EB = 15 : 27= 5 : 9. (terbukti)

27. Dalil Menelaus
Sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis dimana dua sisi segitiga
berpotongan dalam segitiga dan satu sisi berpotongan pada
perpanjangan sisi itu. Pemotongan segitiga dengan garis tersebut
menghasilkan segmen-segmen garis yang perbandingannya dirumuskan
pada dalil Menenlaus sebagai berikut.
AF/CF x CE/BE x BD/AD = 1
A
F
E
D
C
B

28. Bukti:
Tarik garis dari B sejajar AC dan memotong garis DE di titik P
Perhatikan ∆BPD dan ∆AFD
BP/BD = AF/AD →BP = AF/AD x BD .... (1)
Perhatikan ∆BPE dan ∆CFE
BP/BE = CF/CE →BP = CF/CE x BE .... (2)
Persamaan (1) sama dengan persamaan (2)
↔ AF/AD x BD = CF/CE x BE
↔ AF/AD.BE = CF/CE.BD
↔ AF.CE.BD/AD.BE.CF = 1
↔ AF/CF x CE/BE x BD/AD = 1
( Terbukti )
F
C
E
DA B
P

29. Diketahui ∆ABC dengan AB = 7, BC = 5, dan AC = 6. Titik D terletak pada AC
dengan AD : DC = 5 : 1. Titik E pada garis BC dengan BE : EC = 2 : 3.Segmen
garis DE diperpanjang dan memotong perpanjangan garis AB di titik D, Jika
panjang BD = 3, tentukanlah panjang AF!
Penyelesaian.
Dalil Menelaus: AD/AC x CE/BE x BF/AF = 1
5/1 x 3/2 x BF/7+BF =1
→ 15/2 x BF/7+BF = 1 → BF/7+BF = 2/115
→ 15BF = 14 + 2BF → 13BF = 14 → BF =14/13
5
1
3D
2
E
7
F
B
C
ASoal

30. Dalil De Ceva
Dalil Ceva berkaitan dengan tiga garis yang memotong ketiga sisi
segitiga dan ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik. Jika
garis yang ditarik dari tiap titik sudut segitiga berpotongan pada satu
titik dan memotong sisi-sisi yang berhadapan di titik dengan titik-titik,
maka berlaku dalil de Ceva, yaitu:
AF/FB.BD/DC.CE/EA = 1

31. Bukti.
Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik, yaitu
titik P. ∆APF dan ∆BPF memiliki tinggi yang sama sehingga:
luas ∆APF/ luas ∆BPF = AF.tinggi / FB.tinggi
luas ∆APF/ luas ∆BPF = AF/FB...(1)
∆ACF dan ∆BCF juga memiliki tinggi yang sama sehingga dengan cara yang
sama diperoleh:
luas ∆ACF/ luas ∆BCF = AF/BF...(2)
A
P
E D
C
B
F

32. Karena persamaan (1) dan persamaan (2) sama, maka:
luas ∆ACF - luas ∆APF = luas ∆APF
AF/BF (luas ∆BCF) - AF/BF (luas ∆BPF) = luas ∆ACF - luas ∆APF
AF/FB (luas ∆BCF - luas ∆BPF) = luas ∆ACF - luas ∆APF
AF/FB = luas ∆ACF - luas ∆APF/ luas ∆BCF - luas ∆BPF
AF/FB = luas ∆ACF / luas ∆BCF ... (3)
Dengan cara yang sama diperoleh persamaan untuk kedua sisi lainnya :
BD/DC = luas ∆ABP/ luas ∆ACP ... (4)
CE/EA = luas ∆BCP/ luas ∆ABP ... (5)
Kalikan persamaan (3), persamaan (4), dan persamaan (5).
AF/BF. BD/DC. CE/EA = luas ∆ACF / luas ∆BCF. luas ∆ABP/ luas ∆ACP. luas ∆BCP/
luas ∆ABP
AF/BF. BD/DC. CE/EA (Terbukti)

33. Pada gambar di bawah ini, hitunglah nilai x!
Tiga garis yang ditarik dari tiap titik sudut ∆ABC dan ketiganya berpotongan pada
suatu titik O.dengan demikian berlaku dalil de Ceva.
2
3
𝑎
2𝑎
4
𝑥
= 1 → 4/3x = 1 → 3x = 4 → x = 4/3
Soal

34. Dalil – Dalil Segmen
Garis Pada Segitiga

35. Garis Sumbu
Yaitu segmen garis yang melalui titik tengah sisi segitiga dan
tegak lurus pada sisi tersebut.
C
Dm E
O
BA F
l
k
ll

36. Ketika garis sumbu berpotongan pada satu titik,
yang disebut titik sumbu.
Titik sumbu segitiga berjarak sama ke tiap titik
sudut segitiga.
Titik sumbu segitiga adalah titik pusat lingkaran
luar segitiga.
Dalil 1:
Dalil 3:
Dalil 2:

37. Bukti dalil 1:
∆ABC adalah segitiga sembarang dengan k garis sumbu 𝐴𝐵, l
garis sumbu 𝐵𝐶. Titik O adalah titik potong garis k dan l. kita
diminta membuktikan bahwa titi O adalah titik potong garis k, l,
dan m (dalil 1).
C
Dm E
O
BA F
l
k
ll

38. Perhatikan ∆AFO dan ∆BFO.
AF = FB (sisi)
∠𝐴𝐹𝑂 = ∠𝐵𝐹𝑂 = 90°
FO = FO (sisi)
Jadi, sesuai postulat (sisi-sudut-sisi) ,
untuk membuktikan dua segitiga kongruen, maka ∆AFO ≅ ∆BFO.
Karena ∆AFO ≅ ∆BFO, maka AO = BO…(1)
• Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan bahwa ∆BDO ≅ ∆CDO,
sehingga didapat: BO = CO …(2)
• Dari(1) AO = BO dan (2) BO = CO maka AO = BO = CO…(3)
• Dari (3) karena AO = CO maka ∆ACO samakaki. Karena AE = CE, m⊥ 𝐴𝐶
dan m melalui E, maka m pasti melalui O. Jadi, k,l, dan m melalui O (dalil 1
terbukti)
C
Dm E
O
BA F
l
k
ll

39. Bukti Dalil 2
Perhatikan ∆AFO dan ∆BFO.
AF = FB (sisi)
∠𝐴𝐹𝑂 = ∠𝐵𝐹𝑂 = 90°
FO = FO (sisi)
Jadi, sesuai postulat (sisi-sudut-sisi) untuk membuktikan dua segitiga kongruen,
maka ∆AFO ≅ ∆BFO.
Karena ∆AFO ≅ ∆BFO, maka AO = BO…(1)
• Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan bahwa ∆BDO ≅ ∆CDO, sehingga
didapat: BO = CO …(2)
• Dari(1) AO = BO dan (2) BO = CO maka AO = BO = CO…(3)
• Dari (3) AO = BO = CO, yang berarti titik sumbu O berjarak sama ke titik A, B,
dan C. Jadi, titik sumbu segitiga berjarak sama ke tiap titik sudut segitiga (dalil 2
dipenuhi)
C
Dm E
O
BA F
l
k
ll

40. Bukti dalil 3:
Telah dibuktikan AO = BO = CO, yang berarti jarak titik
sumbu O ketitik-titik sudut A,B, dan C adalah sama. Jika
kita tetapkantitik sumbu O sebagai pusat lingkaran dan
panjang OA = OB = OC sebagai jari-jari R, maka kita
peroleh sebuah lingkaran dengan pusat O dan melalui titik-
titik sudut A, B, C. Lingkaran ini kita sebut sebagai
lingkaran luar ABC (dalil 3 terbukti)

41. Garis tinggi
Yaitu garis yang melalui sebuah titik sudut dan tegak lurus pada
sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. Dalil-dalil yang
berlaku adalah sebagai berikut:
Dalil 1: Ketiga garis tinggi berpotongan pada satu titik,
yang disebut titik tinggi.
Dalil 2: Pada segitiga siku-siku, garis tinggi ke hipotenusa
(sisi terpanjang) membagi segitiga siku-siku menjadi dua
segitiga yang sebangun, dan juga sebangun dengan
segitiga awal.
Dalil 3: Jika pada ∆ABC, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 dan panjang
proyeksi 𝐴𝐶 pada 𝐴𝐵 adalah p, maka 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 −
2𝑎𝑐. 𝑝.
Dalil 3 ini disebut juga dalil proyeksi.
C
D
B
F
A
E
o

42. L
C
A B
ab
c
p
A B
C
D

43. Bukti dalil 3.
Diketahui ∆ABC dengan 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵
Dalam ∆BDC siku-siku, BD = (c – p) , dan BC = a. Sehingga
dalil Phytagoras memberikan 𝐶𝐷2 = 𝐵𝐶2 − 𝐵𝐷2 ↔ 𝐶𝐷2 =
𝑎2
− 𝑐 − 𝑝 2
…(1)
Dalam ∆ADC siku-siku, AC = b dan AD = p sehingga dalil
Phytagoras memberikan 𝐶𝐷2
= 𝐴𝐶2
− 𝐴𝐷2
↔ 𝐶𝐷2
= 𝑏2
−
𝑝2
… (2)
Ruas kiri [persamaan (1)] dan ruas kanan [persamaan (2)] sama.
Sehingga dengan menyamakan ruas kanannya diperoleh:
𝑎2
− 𝑐 − 𝑝 2
= 𝑏2
− 𝑝2
𝑎2 − 𝑐2 − 2𝑐𝑝 + 𝑝2 = 𝑏2 − 𝑝2
𝑎2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑝 − 𝑝2 = 𝑏2 − 𝑝2
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑝
(dalil 3 terbukti)

44. Sebuah segitiga ABC dengan AB = 7 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5
cm. AD dan BE adalah garis tinggi. Hitunglah panjang AD dan
luas ∆ABC!
Soal

45. Penyelesaian :
Proyeksi AC pada BC adalah CD, sehingga dalil proyeksi
memberikan
72 = 52 + 62 – 2 . 6 . p
p =
52+62−72
12
= 1 cm
Sekarang panjang garis tinggi AD bisa dihitung dengan dalil
phytagoras dalam ∆ADC siku-siku.
AD2 = AC2 – CD2 ↔ AD = 52 – 12 = 25 – 1 = 24
AD = 24 = 4(6) = 2 6 cm
Luas ∆ABC =
𝐵𝐶∙𝐴𝐷
2
=
6∙2 6
2
= 6 6 cm2

46. Dalil Stewart
Pada ∆ABC, dari titik C ditarik garis hingga memotong AB
di titik D. Misal AC = b, BC = a, AB = c, AD =c1, BD = c2,
dan CD = d, maka dalil Stewart menyatakan:
𝑑2 ∙ 𝑐 = 𝑐1 ∙ 𝑎2 + 𝑐2 ∙ 𝑏2 − 𝑐1 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑐

47. Bukti.
Dari titik C ditarik garis tinggi CE. Pada ∆ACD berlaku dalil proyeksi segitiga
tumpul, yaitu:
𝐴𝐶2 = 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2 + (2 × 𝐴𝐷 × 𝐷𝐸) … (1)
Pada ∆BCD berlaku dalil proyeksi segitiga lancip yaitu:
𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐵2 − (2 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷) … (2)
Kalikan persamaan (1) dengan BD dan persamaan (2) dengan AD, diperoleh:
𝐴𝐶2
× 𝐵𝐷 = (𝐶𝐷2
× 𝐵𝐷) + (𝐴𝐷2
× 𝐵𝐷) + (2 × 𝐴𝐷 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷)
𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = (𝐶𝐷2× 𝐴𝐷) + (𝐷𝐵2× 𝐴𝐷) − (2 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐷)
Kedua persamaan di atas dijumlahkan dan diperoleh
• 𝐴𝐶2
× 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶2
× 𝐴𝐷 = (𝐶𝐷2
× 𝐵𝐷) + (𝐴𝐷2
× 𝐵𝐷) + 2 × 𝐴𝐷 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷 +
(𝐶𝐷2
× 𝐴𝐷) + (𝐷𝐵2
× 𝐴𝐷) − (2 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐷)
• 𝐴𝐶2 × 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷2 𝐵𝐷 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷
• 𝐴𝐶2
× 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶2
× 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷2
× 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐵
• 𝐶𝐷2
× 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 × 𝐵𝐶2
+ 𝐵𝐷 × 𝐴𝐶2
− 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐵
• 𝑑2 ∙ 𝑐 = 𝑐1 ∙ 𝑎2 + 𝑐2 ∙ 𝑏2 − 𝑐1 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑐
(terbukti)

48. Pada ∆ABC panjang sisi-sisinya dinyatakan a, b, dan c. Panjang garis berat
dari titik sudut A dinotasikan dengan mA. Buktikan bahwa: mA =
2b2+2c2−a2
4
.
Jawab: Pada ∆ABC panjang sisi-sisinya dinyatakan a, b,
dan c. Panjang garis berat dari titik sudut A
adalah mA =
2b2+2c2−a2
4
.
Bukti.
mA
2 ∙ a = a1 ∙ c2 + a2 ∙ b2 − a1 ∙ a2 ∙ a
mA
2
∙ a =
1
2
a ∙ c2
+
1
2
a ∙ b2
−
1
2
a ∙
1
2
a ∙ a
mA
2 =
1
2
c2 +
1
2
b2 −
1
4
a2
mA
2
=
2c2
+ 2b2
− a2
4
mA
2
=
2c2 + 2b2 − a2
4
(𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊)
A B
C
D
ab
a1
c
Soal

49. Garis Bagi
Yaitu garis yang ditarik dari titik sudut segitiga sedemikian
sehingga membagi sudutnya menjadi dua bagian yang sama besar
karena segitiga mempunyai tiga sudut, maka segitika mempunyai
tiga garis bagi. Ketiga garis bagi tersebut akan berpotongan pada
satu titik.
Dalil: Garis bagi sudut suatu segitiga membagi sisi yang
dihadapannya menjadi dua bagian dengan perbandingan sebagai
sisi-sisi yang berdekatan.
Pada gambar di bawah, AM adalah garis bagi, maka:
I. BM : CM = AB : AC
II. BM : BC = AB : (AB + AC)

50. Bukti :
Tarik garis BD sejaar garis AM.
∠𝐵2 = ∠𝐴2 = 𝛼 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
∠𝐷1 = ∠𝐴1 = 𝛼 𝑠𝑒ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝
Dengan demikian ∠𝐵2 = ∠𝐷1, berarti ∆ABD
adalah segitiga sama kaki, yang akibatnya AD =
AB.
Perhatikan bahwa:
• BM : CM = AB : AC
Karena AD = AB, maka BM : CM = AB : AC.
(terbukti)
• BM : BC = AB : (AB + AC)
Karena AD = AB maka
BM : CM = AB : (AC + AB) (terbukti)
B
C
A
D
α
1 2
α
Bukti

51. Diketahui ∆ABC dengan AB = 4, AC = 5 dan BC = 6. Titik D terletak
pada BC, sedemilian sehingga AD adalah garis bagi. Tentukan panjang
BD, CD dan AD.
Jawab :
Karena AD adalah garis bagi, maka dalam ∆ABC berlaku
BD : CD = AB : AC .
BD : CD = 4 : 5
CD =
5
4 +5
x BC =
5
9
x 6 =3
1
3
BD =
4
4 +5
x BC =
4
9
x 6 =2
2
3
Panjang AD dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Stewart.
AD2 x 6 = 3
1
3
x 42 + 2
2
3
x 52 - 3
1
3
x 2
2
3
x 6 → AD = 3
1
3 Soal

52. Garis Bagi
Garis berat sebuah segitiga adalah segmen garis yang melalui
sebuah titik sudut dan titik tengah sisi di hadapan titik sudut
tersebut. Dalil-dalil yang berlaku bagi garis berat segitiga adalah
sebagai berikut.

53. • Dalil 1: ketiga garis berat berpotongan pada satu titk,
yang disebut titik berat.
• Dalil 2: ketiga garis berat dalam sebuah segitiga
berpotongan di titik berat dengan perbandingan panjang
bagian-bagiannya adalah 2 : 1, dengan bagian terpanjang
dekat dengan titik sudut.
• Dalil 3 : jika 𝑡 𝑎 adalah panjang garis berat yag ditarik dari
titik sudut A ke sisi dihadapannya a, maka berlaku
𝑡 𝑎
2
=
1
2
𝑏2
+
1
2
𝑐2
−
1
2
𝑎2

55. Bukti dalil 2
∆ABC adalah segitiga sembarang dengan 𝐴𝐸adalah garis berat pada sisi
BC = a 𝐵𝐹 adalah garis berat pada sisi AC = b, dan 𝐶𝐷 adalah garis
berat pada sisi AB = c, kita diminta untuk membuktikan dalil 2, yaitu
rasio panjang bagian garis berat AE adalah AO : OE = 2 : 1
Dari dalil tengah segitiga yang telah dibahas dalam sub sub bab B.2a
diperoleh bahwa EF // AB dan EF : AB = 1 :2 atau AB : EF = 2 : 1 …
(1)
Perhatian ∆ABC dan ∆EFO
∠BAO = ∠FEO (sudut dalam berseberangan)
∠AOB = ∠EOF (sudut bertolak belakang)
∠ABO = ∠EFO (sudut dalam beseberanagn)
Jadi, ∆ABO ~ ∆AFO, maka berlaku kesebandingan
AO : OE = AB : EF ... (2)
Substitusi (1) ke (2) diperoleh
AO : OE = 2 : 1 (dalil 2 terbukti)

56. Bukti dalil 3:
Dalil 3 akan kita buktikan denga menggunakan dalil
Stewart. Dalil stewart pada ∆ABC memberikan
𝐴𝐸2.BC = BE.𝑏2 + CE. 𝐴𝐵2 – BE.CE.BC
𝑡 𝑎
2
.a =
1
2
𝑎 . 𝑏2
+
1
2
𝑎 . 𝑐2
-
1
2
𝑎 .
1
2
𝑎 . a
𝑡 𝑎
2 =
1
2
𝑏2 +
1
2
𝑐2 -
1
4
𝑎2 (dalil 3 terbukti)

57. Pada sebuah segitiga DEF, FG merupakan sebuah garis berat
dimana DE=12cm, EF=8cm, dan DF=10. maka berapakah
panjang FG?
Jawab :
FG2 = 1/2 x 82 + 1/2 x 102 - 1/2 x 122
FG2 = 1/2 x 64 + 1/2 x 100 - 1/2 x 144
FG2 = 32 + 50 - 72
FG2 = 82 - 72
FG2 = 10
FG = √10 cm
Soal

58. Terima Kasih 