1. Dokumen ini membahas tentang geseran (translasi) sebagai transformasi geometri. Geseran adalah hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
2. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain teorema yang menyatakan bahwa geseran adalah isometri, komposisi geseran dan setengah putaran adalah setengah putaran, dan balikan dari geseran GAB adalah GBA.
3. Contoh soal juga d
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Jawaban latihan soal bagian 2.3 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Jawaban latihan soal bagian 2.3 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Menjelaskannya di jabarkan berdasarkan proses, bukan di dikte "text book" ,,,, gampang dipahami
*Berbagi ilmu ga akan jadi miskin.. indahnya berbagi
smoga bermanfaat :)
@ritsafaiza
ppt profesionalisasi pendidikan Pai 9.pdfNur afiyah
Β
Pembelajaran landasan pendidikan yang membahas tentang profesionalisasi pendidikan. Semoga dengan adanya materi ini dapat memudahkan kita untuk memahami dengan baik serta menambah pengetahuan kita tentang profesionalisasi pendidikan.
1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB X
GESERAN (TRANSLASI)
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015
2. BAB X
GESERAN (TRANSLASI)
A. Ketentuan dan Sifat-sifat
Dalam bab setengah putaran, dijelaskan bahwa setengah putaran dapat
ditulis sebagai hasil kali dua pencerminan, yaitu kalau A sebuah titik yang
diketahui dan g dan h dua garis yang tegak lurus di A maka hgA MMS ο½ . Dalam
bab ini akan dibahas hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
Teorema 10.1
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A danB
maka "" BBAA ο½ dengan )(" AMMA ghο½ dan )(" BMMB ghο½
Pembuktian:
Diketahui : g // h, titik A dan titik B dengan A=MhMg(A) dan B"=MβM π(B).
Buktikan : AA"Μ Μ Μ Μ Μ = BB"Μ Μ Μ Μ Μ .
Kita tentukan sebuah sistem koordinat dengan g sebagai sumbu-y dan sebuah
garis tegak lurus dengan g sebagai sumbu-x.
B
X
A AββAβ
g
Bββ
Bβ
N
h
Y
4. Definisi :
Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah
ππΜ Μ Μ Μ sehinga setiap titik P pada bidang menjadi Pβ dengan G(P) = Pβ dan
ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ =Μ ππ.Μ Μ Μ Μ Μ
Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau ABΜ Μ Μ Μ suatu garis
berarah maka dengan lambang GAB dimaksudkan sebagai sebuah geseran yang
sesuai dengan ABΜ Μ Μ Μ .
Teorema 10.2
Apabila ππΜ Μ Μ Μ =Μ ππΜ Μ Μ Μ maka π ππ = π ππ
Bukti:
Dipunyai CDAB ο½ο¦
Ambil x sebarang
Misalkan 1)( xxGAB ο½ dan 2)( xxGCD ο½
Maka ABxx ο½ο¦1 dan CDxx ο½ο¦2
Karena CDAB ο½ο¦ maka 21 xxxx ο½ο¦
Ini berarti bahwa x1 = x 2
Jadi CDAB GG ο½
Teorema 10.3
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan ππΜ Μ Μ Μ sebuah garis berarah
tegak lurus pada g dengan π β π dan D β π. Apabila ππΜ Μ Μ Μ =Μ πππΜ Μ Μ Μ maka
GAB=MhMg
Bukti:
Ambil titik P sebarang.
Misal Pβ=GAB(P) dan Pβ=MhMg(P)
5. Akan dibuktikan Pβ=Pβ
Menurut definisi geseran PPβ²Μ Μ Μ Μ =Μ ABΜ Μ Μ Μ
Karena ABΜ Μ Μ Μ =Μ 2CDΜ Μ Μ Μ , maka PPβ²Μ Μ Μ Μ =Μ 2CDΜ Μ Μ Μ
Karena C β π maka MβM π(C) = Mβ[M π(C)] = Mβ(C) = C"
Ini berarti D titik tengah CC"Μ Μ Μ Μ Μ , sehingga CC"Μ Μ Μ Μ Μ =Μ 2CDΜ Μ Μ Μ
Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh CC"Μ Μ Μ Μ Μ =Μ PP"Μ Μ Μ Μ Μ
Jadi CC"Μ Μ Μ Μ Μ =Μ 2CDΜ Μ Μ Μ =Μ PPβ²Μ Μ Μ Μ =Μ PP"Μ Μ Μ Μ Μ akibatnya Pβ=Pβ
Jadi GAB(P)=MhMg(P)
Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg
Catatan
1. Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat ditulis
sebagai hasilkali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada ABβ‘ dan
berjarak
1
2
AB.
2. Jika ABβ‘ sebuah garis dan M titik tengah ABΜ Μ Μ Μ sedangkan g, h dan n tiga garis
masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada ABβ‘ maka
GAB=MhMg=MnMh.
3. Karena setiap geseran sebagai hasilkali dua reflexi sedangkan reflexi adalah
suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang
merupakan isometri. Jadi suatu reflexi adalah suatu isometri. Suatu geseran
adalah suatu isometri langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri
lawan.
A M
nhg
B
6. Teorema 10.4
Jika GAB sebuah geseran maka (GAB )-1 = GBA
Bukti:
Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3)
Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1)
Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1)
Maka setiap geseran memiliki balikan
Perhatikan gambar berikut:
Dari uraian diatas
Diperoleh GAB(A)=MhMg(A)
=Mh[Mg(A)]
=Mh(A)
=B
GAB(A)=MnMh(A)
=Mn[Mh(A)]
=Mn(B)
=B
Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh
Sedangkan GBA(B)=MhMn(B)
=Mh[Mn(B)]
=Mh(B)
=A
GBA(B)=MgMh(B)
=Mg[Mh(B)]
=Mg(A)
=A
Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh
Sehingga (GAB)-1
= (MnMh)-1
= Mh
-1
Mn
-1
= MhMn
=GBA
Jadi (GAB)-1
=GBA
nhg
A BC |
|
7. Teorema 10.5
Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga
ππΜ Μ Μ Μ =Μ πππΜ Μ Μ Μ maka
GAB = SCSD
Bukti :
Andaikan π = CDβ‘ , k g di C, m g di D (gambar 10.5)
Maka CDΜ Μ Μ Μ ruas garis berarah dari k ke m. Karena ABΜ Μ Μ Μ =Μ 2CDΜ Μ Μ Μ maka GAB = MmMk
( Berdasarkan Teorema 10.3) β¦β¦β¦β¦β¦β¦.(*)
sedangkan SD = MmMg
(Menurut Teorema 7.1 βandaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak
lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg )
dan SC = MgMk
(Menurut Teorema 7.1 βandaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak
lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk )
A
B
C
D
g
k
m
Gambar 10.5
D
g
m
8. Jadi :
SCSD = (MmMg)(MgMk)
= Mm (MgMg) Mk (Sifat asosiatif hasil kali transformasi)
= Mm I Mk
= MmMk β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦(**)
Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh :
GAB = SCSD
CONTOH:
Jika A = (3,-1), dan B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik-titik yang diketahui
tentukan sebuah titik D sehingga GAB = SCSD.
JAWAB:
sebuah titik sehingga, CEΜ Μ Μ Μ =Pilih E
C
g
k
(Transformasi identitas)
6
2
0
1
3
4
5
Y
X-1 654321
-4
-3
-2
-1
7
A
B
C
9
8
10
9. ABΜ Μ Μ Μ maka E = (4 + [1 β 3], 2 + [7 β (β1)]) atau E = (2,10). Apabila D titik
tengah CEΜ Μ Μ Μ maka D = (3,6) sehingga CEΜ Μ Μ Μ = 2CDΜ Μ Μ Μ .
Atau ABΜ Μ Μ Μ = 2CDΜ Μ Μ Μ .
Menurut Teorema 10.5 diperoleh GAB = SCSD jadi titik D yang dicari adalah
(3,6).
Teorema 10.6
Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu
setengah putaran.
Bukti:
Andaikan GAB suatu geseran.
Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga CEΜ Μ Μ Μ =Μ ABΜ Μ Μ Μ
Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah CEΜ Μ Μ Μ , berarti CEΜ Μ Μ Μ =Μ 2CDΜ Μ Μ Μ
Menurut teorema 10. 5,
GAB = SDSC
β GABSC = SDSCSC
β GABSC = SD[SCSC]
β GABSC = SDI
β GABSC = SD
Jadi, komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah
putaran.
Akibat :
Andaikan π π, π π dan π π masing-masing setengah putaran, maka
π π π π π π = π π dengan D sebuah titik sehingga ππ =Μ ππ.
Bukti :
Diperoleh berturut-turut π π π π = π ππ
β π π π π π π = π ππ π π
Ambil titik X sebarang
Misal π ππ π π = π π
10. Sehingga diperoleh 2BCΜ Μ Μ Μ =Μ 2AXΜ Μ Μ Μ atau BCΜ Μ Μ Μ =Μ AXΜ Μ Μ Μ
Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan
titik D maka diperoleh
π ππ π π = π π
β π π π π π π = π π dengan AD = BC.
Jadi, jika SA, SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka π π π π π π = π π
dengan D sebuah titik sehingga ADΜ Μ Μ Μ =Μ BCΜ Μ Μ Μ .
Teorema 10.7
Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi
Bukti :
Andaikan dua buah geseran yaitu GAB dan GBC
Diperoleh GAB(A) = B dan GBC(B) = C
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui A
maka didapat GBCGAB(A) = GBC[GAB(A)]
= GBC(B)
= C
Andaikan titik E sebarang
Diperoleh GAB(E) = Eβ²
Berarti EEβ²Μ Μ Μ Μ =Μ ABΜ Μ Μ Μ
GBC(Eβ²) = Eβ²β²
Berarti Eβ²Eβ²β²Μ Μ Μ Μ Μ Μ = BCΜ Μ Μ Μ
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui titik E, maka diperoleh
GBCGAB(E) = GBC[GAB(E)]
= GBC(Eβ²)
A
B
C E
Eβ
Eββ
11. = E"
Berarti EEβ²β²Μ Μ Μ Μ Μ =Μ ACΜ Μ Μ Μ sehingga diperoleh
GEE"(E) = E" = GAC
Jadi GBCGAB = GAC
Atau
Pembuktian menggunakan teorema 10.5
Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2PQΜ Μ Μ Μ =Μ ABΜ Μ Μ Μ dan titik R sehingga 2QRΜ Μ Μ Μ =Μ BCΜ Μ Μ Μ
Diperoleh GAB = SQSP dan GBC = SRSQ
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB maka diperoleh
GBCGAB = (SRSQ)(SQSP)
= SR(SQSQ)SP (assosiatif)
= SRISP (Identitas transformasi)
= SRSP (Identitas transformasi)
Karena 2PRΜ Μ Μ Μ = ACΜ Μ Μ Μ maka diperoleh SRSP = GAC
Jadi GBCGAB = GAC
Teorema 10. 8
Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan
A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y)
sebagai T(P) = (x + a, y + b) maka π = π ππ.
Bukti :
Ambil titik P(x, y) dengan T(P) = (x + a, y + b)
Missal GOA(P) = Pβ², berarti PPβ²Μ Μ Μ Μ = OAΜ Μ Μ Μ
Pβ²
= (x + a β 0, y + b β 0) = (x + a, y + b)
Jadi, T(P) = Pβ²
= GOA(P), β P β V
Artinya
Ini berarti π = π ππ.
Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7
Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH
12. Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan OAΜ Μ Μ Μ = EFΜ Μ Μ Μ dan OBΜ Μ Μ Μ = KHΜ Μ Μ Μ
Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh
GOA(P) = Pβ= (x+a,y+b) dan GOB(P) = Pβ = (x+c,y+d)
Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)
Karena maka GOB(P) = Pβ = GKH = (x+c,y+d)
Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh
GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)]
= GKH(x+a,y+b)
= ((x+a)+c,(y+b)+d)
= (x+(a+c),y+(b+d))
Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik
(a+c,b+d).
13. SOAL TUGAS 1
1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris.
a. Lukislah
b. Lukislah
c. Lukislah garis β garis g dan h dengan A g dan
d. Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga
2. Diketahui titik β titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah :
a. Garis h sehingga
b. Garis k sehingga
c. Garis m sehingga mβ
d. Titik C sehingga
3. Diketahui garis β garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis β garis
trersebut.
a. Lukislah titik B sehingga
b. Lukislah titik C sehingga
4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar
A
B
D
P
g
C
14. Lukislah :
a.
b. Garis h sehingga g
c.
d.
5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :
a. R
b. R
c. R
6. Apakah ungkapan β ungkapan di bawah ini benar atau salah :
a. Jika maka
b. Setiap translasi adalah suatu involusi
c. dengan
d. Apabila M titik tengah , maka
e. Apabila gβ (g), maka gβ // g
7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
8. Diketahui titik β titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4)
a. Tentukan Cβ
b. Tentukan persamaan garis β garis g dan h sehingga C g dan sehingga
15. 9. Diketahui titik β titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke
B.
a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C)
b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P)
10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah :
a. jika P = (x,y)
b. Titik D sehingga
c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h (g)
16. SOAL TUGAS 2
1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P
a. Tentukan GABSC(P)
b. Tentukan SCGAB (P)
c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB
b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE
c. Tentukan F sehingga GABSC = SF
3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah :
a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE
b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X
4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b).
Tentukan S-1
(P)
b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1
5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang
bersangkutan?
a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan
b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan
c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi)
d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan
6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
17. Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3)
Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G
7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan
koordinat- koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.
8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat- koordinat,
buktikan :
a. SBSA adalah suatu translasi
b. Jika P sebuah titik dan Pβ = SBSA(P), maka = 2
9. Buktikan sifat-sifat berikut :
a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap
b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa
10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5)
a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P)
b. L = . Tentukan persamaan himpunan Lβ = SASB(L)
18. JAWABAN TUGAS 1
1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris
a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B)
b. Lukislah GAB(C)
c. Lukislah garis-garis g dan h dengan gAο dan GAB=MhMg
d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga gC ο dan sehingga GAB=MhMg
A B
C
A B=GAB(A) Aβ=GAB(B)
A B
C Cβ=GAB(C)
hg
A B
C
GAB(A) =B
MhMg(A)=B
} GAB=MhMg
A B
g h
19. A
gk
B
m
A
mβ
B
2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga g ο AB.
a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB
b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB
c. Garis m sehingga mβ = GAB(m)
GAB (m) = B
mβ = B
hg
A B
GAB(A)= B
MhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B } MhMg=GAB
GAB(A)= B
MgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B } MgMk=GAB
mβ = GAB(m)
20. d. Titik C sehingga GBA(C) = B
GAB(C) = B
3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut.
a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB
Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(Aβ)=B
b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC
Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(Aβ)=C
g h
A Mg(A)=Aβ
B= Mh(Aβ)
g h
C= Mg(Aβ ) A Mh(A)=Aβ
A B C
21. A
B
P
C
D
P
Pβ
Pβ
Pβ
Pβ
P
4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g
Lukislah !
a) GCD GAB (P)
GAB (P) = Pβ dimana PPβ = AB
GCD (P) = Pβ dimana PβPβ = CD
b) GCD GBA (P)
GBA (P) = Pβ dimana PPβ = BA
GCD (PP) = Pβ dimana PβPβ = CD
22. hβ = GDC (h)
h
g = GABGDC (h)
P
Pβ
Pβ
Pββ = G3
AB (P)
c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g
d) G3
AB (P)
5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana:
a. GABGCD(P)=R
b. SAGBC(P)=R
c. (GAB)-1
Mg(P)=R
Penyelesaian:
23. 6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah:
a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah)
Bukti:
Dipunyai GAB=MgMh.
Jelas MgMh β MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif).
Jadi GAB β MhMg.
Jadi jika GAB=MgMh maka GAB β MhMg
b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah)
Bukti:
Misal: GAB=MhMg.
Maka diperoleh (GAB)-1
= (MhMg)-1
= Mg
-1
Mh
-1
= MgMh
β GAB.
Jadi GAB bukan suatu involusi.
c. GABGAB= GCD dengan (Benar)
Bukti:
Ambil sembarang titik P.
Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5.
Karena GAB(P)=P2 maka
GAB(P2)=P4 maka dan
24. GABGAB(P)=P4 maka
Sehingga , akibatnya .54 PP ο½
Jadi GABGAB(P)= GCD(P).
Karena P sembarang maka GABGAB= GCD.
d. Apabila M titik tengah , maka (Benar)
e. Apabila gβ = (g), maka gβ//g ( Benar)
7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
Jawab :
Jelas g dan h ο dan jarak antara g dan h
Persamaan garis
Jadi
Misal A β g maka persamaan garis g
Jarak antara g dan h , A β g maka h melalui c sehingga C midpoint
AB
)
)
25. Jadi C(-1,5)
Persamaan garis h ο AB dan melalui C(-1,5)
Jadi g : y =
h : y =
8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4).
a. Tentukan ).(' CGC ABο½
Penyelesaian:
Karena )(' CGC ABο½ maka
Jelas
Sehingga 242 22 οο½οοο½ο xx dan .044 22 ο½οοο½ο yy
Jadi ).0,2()(' οο½ο½ CGC AB
b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga gC ο dan sehingga
MhMg= GAB.
Penyelesaian:
Jelas
.1
4
4
15
31
12
12
ο½
ο
ο
ο½
ο«ο
οο
ο½
ο
ο
ο½
xx
yy
mAB
Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan ., ABhABg οο
222
2
2
2
222
2
2
2
2
12
2
12
2
12
2
12
22
)4()4()4()2(
)31()15()4()2(
)()()()(
'
'
οο«οο½οο«οο
οοο«ο«οο½οο«οο
οο«οο½οο«οο
ο½ο
ο½
yx
yx
yyxxyyxx
ABCC
ABCC
26. Sehingga diperoleh
Karena g//h maka 1οο½ο½ hg mm .
Misal garis h melalui titik D maka
Sehingga diperoleh
Jadi 042 22
1
2 ο½οοοο½ο xx dan .244 22
1
2 ο½οοοο½ο yy
Jadi titik D(0,2).
Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan 1οο½gm adalah
6
24
)2(14
)( 11
ο«οο½ο
ο«οο½οο
οοο½οο
οο½ο
xy
xy
xy
xxmyy
dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan 1οο½hm adalah
.2
2
)0(12
)( 11
ο«οο½ο
οο½οο
οοο½οο
οο½ο
xy
xy
xy
xxmyy
9. Diket A(2,1), B(5,-3)
Ditanyakan
a.
misal maka
sehinggga
dan
.1
11
1
οο½ο
οο½οο
οο½ο
g
g
gAB
m
m
mm
2
2
12
2
12
2
2
2
2
4
12
4
12
2
2
2
2
12
2
124
12
12
2
12
2
4
12
2
1
)4()4()4()2(
)31()15()4()2(
])()[()()(
οοο«οοο½οο«οο
οοο«ο«οο½οο«οο
οο«οο½οο«οο
ο½ο
ο½
yx
yx
yyxxyyxx
ABCD
ABCD
28. dan
Jadi
10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)y+2x=4}.
a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y).
Jawab:
Jelas BAGAB ο½)(
).4,3()1,2(
)4,3()1,2(
ο½ο«οο«ο
ο½οο
ba
GAB
Sehingga 132 ο½οο½ο« aa dan .541 ο½οο½ο«ο bb
Jadi ).5,1(),()( ο«ο«ο½ο½ yxyxGPG ABAB
b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3).
Jawab:
Misal titik ),( 11 yxD maka
).3,1()5,1(
)3,1(),(
)3,1()(
11
11
ο½ο«ο«ο
ο½ο
ο½
yx
yxG
DG
AB
AB
Sehingga 011 11 ο½οο½ο« xx dan .235 11 οο½οο½ο« yy
Jadi titk D(0,-2).
c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga ).(gGh ABο½
Jawab:
.32
4225
4)1(25
)42()(
οο½ο«ο
ο½ο«ο«ο«ο
ο½ο«ο«ο«ο
ο½ο«ο½ο½
yx
xy
xy
xyGgGh ABAB
29. JAWABAN TUGAS 2
1. Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P
a) Tentukan GABSC(P)
Penyelesaian :
GABSC(P)=GAB[SC(P)]
=GAB(Pβ) dengan C adalah titik tengah
=Pβ dengan
b) Tentukan SCGAB(P)
Penyelesaian :
SCGAB(P)=SC[GAB(P)]
=SC(Pβ) dengan
=Pβ dengan C titik tengah
c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X
Penyelesaian :
Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD
Ambil titik X sebarang
GABSC(X)=SD(X)
Diperoleh SD(X)=X, berartti X=
Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti
Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D)
= GAB[SC(X)]
=GAB(Dβ) dengan C titik tengah Dβ,
berarti
=D dengan
=X
Jadi titik X adalah titik tengah dimana
30. 2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis
dimana,
2
b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE
Penyelesaian :
Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik
C dimana,
c) Tentukan F sehingga GABSC=SF
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti
dimana,
3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah :
a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE
b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X
4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b).
Tentukan S-1
(P).
Penyelesaian :
Menurut teorema 7. 3 S-1
(P)=S(P)
31. =(x+a,y+b)
b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1.
Penyelesaian :
Ambil titik P sebarang
Misal G1=GAB dan G2=GCD
G1G2(P)=G1[G2(P)]
=G1(Pβ) dengan
=Pβ dengan
Jadi, β¦β¦β¦(1)
G2G1(P)=G2[G1(P)]
=G2(Pβ) dengan
=Pβ dengan
Jadi, β¦β¦β¦(2)
Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB
G1G2=G2G1
5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang
bersangkutan?
a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan.
Penyelesaian :
b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan
Penyelesaian :
c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi)
Penyelesaian :
d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
Penyelesaian :
e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan.
32. Penyelesaian :
6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7).
Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G
Penyelesaian :
SDSC(P)=G(P)
SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3)
Misalkan D(a,b)
[2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)
ο 2a-(2-x)=x+2
2a=x+2+2-x
2a=4
a=2
ο 2b-(-14-y)=y+3
2b=y+3-14-y
2b=-11
b=-5,5
Jadi titik D(2,-5,5)
7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan
koordinat-koordinat titik D sehingga GCD=SBSA.
Penyelesaian :
Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8])
=(4+x,y-8)
Apabila B titik tengah maka,
ο
33. x=-1
ο
y=18
Jadi koordinat D=(-1,18)
8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-
koordinat. Buktikan :
a) SBSA adalah suatu translasi
Penyelesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
SBSA(P)=SB[SA(P)]
=SB(2a1-x,2a2-y)
=(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y)
=[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
b) Jika P sebuah titik dan Pβ=SASB(P), maka =
Penyeleesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
Dari hasil a) diperoleh Pβ=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
=( b1βa1,b2-a2)
=[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y]
=[ 2(b1-a1),2(b2-a2)]
=2( b1βa1,b2-a2)
=2
Jadi terbukti =
9. Buktikan sifat-sifat berikut :
a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap
Penyelesaian :
34. b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
Penyelesaian :
c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA
Penyelesaian :
10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5)
a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P)
Penyelesaian :
SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y)
=SA(-6-x,10-y)
=2.2-(-6-x),2.1-(10-y)
=(10+x,-8+y)
Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y)
b) L={(x,y)| x2
+y2
=4}. Tentukan persamaan himpunan Lβ=SASB(L).
Penyelesaian :
L= x2
+y2
=4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2
SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0]
=SA(-6,10)
=[2.2-(-6),2.1-10]
=(10,-8)
Jadi Lβ={(x,y)|(x-10)2
+(y+8)2
=4}