Makalah ini membahas tentang geometri netral, yaitu geometri yang memiliki sistem aksioma kesejajaran, urutan, kekongruenan, dan Archimedes tetapi tidak menentukan banyaknya garis sejajar melalui suatu titik. Makalah ini mengkaji apakah persegi panjang ada dalam geometri netral dan apa yang dapat didasarkan pada persegi panjang tersebut."

1. REVISI TUGAS GEOMETRI EUCLIDES DAN NON EUCLIDES
GEOMETRI NETRAL
Disusun Oleh
Kelompok IV
ARLIANTO RAMADHAN
FRISKA B. SIAHAAN
KWOK HIN
ROSLINA TANJUNG
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCA SARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2010

2. KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang
telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya, sehingga kami dapat menyelesaikan
makalah ini tepat pada waktunya.
Makalah ini disusun sebagai tugas mata kuliah Geometri Euclides dan Non-
Euclides, kami mengangkat mengenai “Geometri Netral”.
Dalam penyusunan makalah ini kami menggunakan literatur perpustakaan
dan hasil browsing dari internet. Dengan demikian, diharapkan dapat memberi
hasil seperti harapan semua pihak. Terlepas dari semuanya itu, kami sadar bahwa
makalah ini masih memiliki banyak keterbatasan dan kelemahan. Oleh karena itu,
saran dan kritik membangun senantiasa diharapkan demi penyempurnaan makalah
ini lebih lanjut.
Medan, Februari 2010
Penyusun

3. DAFTAR ISI
Kata Pengantar i
Daftar Isi ii
BAB I PENDAHULUAN 1
BAB II PEMBAHASAN 2
1. Jumlah Sudut Pada Segitiga 2
2. Adakah persegi panjang itu? 5
BAB III KESIMPULAN 10
DAFTAR PUSTAKA 11

4. BAB I
PENDAHULUAN
Suatu geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidenst,
sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut,
segitiga) dan sistem aksioma-aksioma Archimedes disebut dengan Geometri
Netral. Di dalam geometri ini ada konsep kesejajaran dua garis, di dalam geometri
netral ini tidak disebut banyaknya garis yang melalui sebuah titik T di luar sebuah
garis lain yang dapat sejajar dengan garis itu.
Kalau banyaknya garis itu hanya satu, geometri netral itu disebut geometri
Euclid. Jika ada lebih dari satu garis, geometri netral ini disebut geometri
Lobachevsky. Geometri ini adalah salah satu geometri non Euclid.
Dalam geometri netral ini ada konsep kesejajaran, akan tetapi ada satu hal
yaitu bahwa melalui sebuah titik di luar seluruh garis tidak perlu ada tepat satu
garis sejajar dengan garis yang diketahui, yang jelas dalam geometri ini ada garis
yang sejajar dengan garis yang diketahui melalui titik tadi yang fundamental.
Hal yang amat mendasar, bahwa dalam geometri netral ini ada
kemungkinan adanya persegi panjang atau ada kemungkinan tidak ada persegi
panjang. Dalam hal geometri netral mengandung persegi panjang, maka jumlah
besar sudut-sudut dalam setiap segitiga adalah 1800
. Dalam geometri netral ada
segi empat yang penting, yaitu yang dinamakan segi empat Saccheri. Dalam
Geometri Euclide, tidak ada perbedaan antara segiempat Sachheri dan sebuah
persegi panjang.

5. BAB II
PEMBAHASAN
1. Jumlah sudut pada segitiga
Teorema 1.
Jumlah besar dua sudut dalam setiap segitiga kurang dari 1800
.
Bukti :
Misalkan diketahui ΔABC, (seperti pada gambar), akan ditunjukkan bahwa
∠ A + ∠ B < 1800
.
Perpanjang CB melalui B ke D,
maka ∠ ABD adalah sudut luar ∠
ABC
Menurut teorema yang mengatakan bahwa : “sudut luar suatu segitiga lebih
besar daripada sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut”.
Maka :
∠ ABD > ∠ A; tetapi
∠ ABD = 1800
- ∠ B
Dengan demikian berarti :
1800
- ∠ B > ∠ A; atau
1800
> ∠ A + ∠ B
Jadi, ∠ A + ∠ B < 1800
(terbukti)
Teorema 2.
Jika diberikan ΔABC dan ∠ A, maka terdapat ΔA1B1C1 sedemikian sehingga
ΔA1B1C1 mempunyai jumlah sudut yang sama dengan ΔABC dan ∠
A1 ≤ ½ ∠ A.
A
BC D

6. Bukti :
- Misalkan E titik tengah AC
- Perpanjang BE sampai di F
sedemikian sehingga BE = EF
Karena BE = EF
∠ AEB = ∠ CEF
(bertolak belakang)
CE = EA
Maka ΔAEB ΔCEF, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian sama.
- Akan ditunjukkan bahwa ΔAFC adalah ΔA1B1C1 yang dicari.
Pada gambar dapat kita lihat bahwa :
∠ 2 = ∠ 2’
∠ 3 = ∠ 3’
Pada Δ ABC
∠ A+ ∠ B+ ∠ C = ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4
= ∠ 1+ ∠ 2’+ ∠ 3’+ ∠ 4
= ∠ CAF+ ∠ AFC+ ∠ FCA
Maka ΔACF adalah ΔA1B1C1 yang dicari
- Perhatikan bahwa :
∠ A = ∠ 1 + ∠ 2
= ∠ 1 + ∠ 2’
Karena A = ∠ 1 + ∠ 2’ maka pastilah salah satu berlaku yaitu :
∠ 1 ≤ ½ ∠ A ; atau
∠ 2’ ≤ ½ ∠ A
Jika ∠ 1 < ½ ∠ A maka A sebagai A1, C sebagai C1 dan F sebagai B1.
Tetapi,
jika ∠ 2’ ≤ ½ ∠ A maka F sebagai A1, C sebagai B1 dan A sebagai C1.
(terbukti)
A
B C
E
F
2
1 4
3’
3 2’

7. Teorema 3.
(Saccheri – Legendre)
Jumlah besar sudut-sudut dalam setiap segitiga adalah kurang atau sama
dengan 1800
.
Bukti :
Andaikan diketahui ΔABC dan andaikan ∠ A + ∠ B + ∠ C > 1800
, maka
ada p0
> 0 sehingga ∠ A + ∠ B + ∠ C = (180 + p)0
.
Dengan menggunakan teorema 2;
maka ada ΔA1B1C1 sehingga ∠ A1 + ∠ B1 + ∠ C1 = (180 + p)0
dan ∠ A1 ≤ ½ ∠ A,
begitu pula ada : ΔA2B2C2 sehingga ∠ A2 + ∠ B2 + ∠ C2 = (180 + p)0
dan ∠ A2 ≤ ½ ∠ A1 ≤ (½)2
∠ A.
Jika proses ini dilanjutkan maka diperoleh :
ΔAnBnCn sehingga ∠ An + ∠ Bn + ∠ Cn = (180 + p)0
dan ∠
An = (½)n
∠ A.
Dalam hal ini kita dapat memilih ΔAnBnCn sedemikian sehingga
∠ An = (½)n
∠ A ≤ p dengan n cukup besar.
Jadi, ∠ An + ∠ Bn + ∠ Cn ≤ p + ∠ Bn + ∠ Cn sehingga
1800
+ p ≤ p + ∠ Bn + ∠ Cn atau ∠ Bn + ∠ Cn ≥ 1800
Hal ini merupakan kontradiksi dari teorema 1, berarti pengandaian salah
sehingga haruslah ∠ A + ∠ B + ∠ C ≤ 1800
.
Teorema Akibat (Corollary)
Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama dengan 3600
.
Teorema akibat ini sejalan dengan kesimpulan Saccheri bahwa hipotesis
sudut tumpul adalah salah. Demikian juga, teorema ini menyangkal bahwa
jumlah sudut suatu segitiga dapat melebihi 1800
. Tetapi kemungkinan
bahwa jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 1800
, yang bersesuaian
dengan hipotesis Saccheri tentang sudut lancip menarik perhatian kita
sendiri.

8. 2. Adakah persegi panjang itu?
Untuk melanjutkan studi kita tentang geometri netral, kita jadi tertarik apakah
persegipanjang dapat muncul dalam geometri netral ini dan apa yang dapat
didasarkan pada persegipanjang itu. Jika memang ada.
Adanya persegipanjang dalam geometri merupakan yang penting. Bayangkan
bagaimana untu geometri Euclides jika kita tidak punya atau tidak dapat
menggunakan persegipanjang. Tentu saja sulit sekali akan membuat suatu
persegipanjang tanpa mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran Euclides,
atau salah satu dari teorema akibatnya, misalnya jumlah sudut segitiga adalah
1800
. akibatnya seluruh teorema kita dalam pembahasan ini dapat dianggap bahwa
persegi panjang itu ada. Untuk menghindari kesalah pahaman, secara formal kita
defenisikan istilah persegi panjang sebagai berikut.
Defenisi.
Suatu persegiempat disebut persegipanjang jika semua sudutnya adalah sudut
siku-siku.
Ingat, karena kita mempelajari geometri netral, tidak otomatis kita dapat
menggunakan oposisi Euclides yang terkenal seperti:
a) Sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang adalah sejajar.
b) Sisi-sisi tersebut sama panjang
c) Diagonal persegipanjang membagi persegipanjang menjadi dua segitigayang
kongruen.
Jika kita ingin mennyatakan sembarangan akibat, kita harus membuktikan
denganberdasarkan defenisi di atas tanpa menggunakan postulat kesejajaran.
Sebagai contoh, (a) adalah akibat langsung dari teorema akibat 1 dari teorema 2
bab 2 (garis sisi yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar).

9. Teorema 2.
Jika sebuah persegipanjang, maka akan ada juga sebuah persegipanjang dengan
salah satu sisinya lebih panjang dari pada ruas garis tertentu.
Dengan kata lain, jika ada persegipanjang ABCD ada ruas garis XY. Maka
persegipanjang yang satu sisinya lebih panjang pada XY.
B C C2 C3 Cn
A D D2 D3 Dn
X Y
Bukti :
Kita gunakan ABCD sebagai “kotak pembangun” (building block), untuk
melukiskan persegipanjangyang kita inginkan. Lukis segi empat D2C2CD yang
kongruen dengan ABCD sedemikian sehingga C2D2 dan BA berlainan pihak
terhadap CD. (Caranya dengan memperpanjang AD kearah C sehingga panjang
CC2 sama dengan BC dan memperpanjang AD kearah D sehingga panjang DD2
sama dengan AD). Maka D2C2CD adalah persegipanjang. Lebih dari itu B, C, C2
terletak pada suatu garis, karena hanya ada satu garis yang tegak lurus pada CD di
C. Demikian juga A, D, D2 terletak dalam satu garis , jadi ABCC2D2D merupakan
segi empat ABC2D2, dan merupakan persegi empat. Ingat bahwa ABC2D2
mempunyai sifat:
AD2= 2 AD

10. Dengan cara yang sama lukis D3C3C2D2 kongruen dengan DCC2D2 sehingga C3D3
dan CD bersesuaian letaknya dan berlainan pihak terhadap C2D2. Akibatnya
ABC3D3 adalah persegipanjang, dan
AD3= 3 AD
Selajutnya dengan cara yang sama, kita dapatkan bahwa untuk sebarang bilangan
bulat positif n ada persegipanjang ABCnDn sedemikian hingga:
ADn= n AD
Pilih n cukup besar sehingga n AD > XY, dengan demikian persegipanjang
ABCnDn merupakan persegipanjang yang kita inginkan.
Teorema Akibat
Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada persegipanjang yang dua sisinya yang
berdekatan panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua segmen tertentu.
Dengan kata lain, jika ada persegipanjang ABCD dan segmen garis XY dan ZW
di berikan. Maka ada persegipanjang PQRS sedemikian sehingga PQ > XY dan
PS > ZW.
G H
B
A
E
F
C
D
X Y
Z
W

11. Bukti :
Sesuai dengan teorema 2, ada persegipanjang ABEF dengan AF > XY. Dengan
melukiskan persegi panjang yang kongruen dengan persegipanjang ABEF
berulang-ulang dengan menempatkan diatasnya, kita dapat melukis AFHG denga
AG > ZW. Karena AF > XY. Maka AFHG merupakan persegipanjang PQRS
yang dimaksudkan pada teorema akibat diatas.
Teorema 3.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada persegipanjang dengan panjang dua sisi
yang berdekatan masing-masing sama dengan XY dan ZW.
Bukti :
Cara kita membuktikan seperti apa yang kita lakukan penjahit. Dengan
mengunakan teorema akibat terdahulu, maka kita memiliki persegipanjang PQRS
dengan PQ > XY dan PS > ZW; kemudian kita potong sedemikian hingga
panjang PQ = XY dan PS = ZW.
Jadi ada titik Q’ pada PQ sedemikian hingga PQ’ = XY. Dari Q’ ditarik
garis yang tegak lurus RS dengan kaki R’. kita tunjukkan bahwa PQ’R’S adalah
persegipanjang.
S R’
S’
P
R*
Q’
R
Q
X Y
Z
W

12. Sudut P, R’ dan S adalah siku-siku. Kita tunjukkan pula bahwa ∠ PQ’R’ juga
siku-siku. Andaikan ∠ PQ’R’ > 90º, maka jumlah sudut segi empat
PQ’R’S > 360º, kontradiksi dengan teorema akibat 1 dari teorema 1. andaikan ∠
PQ’R’ < 90º , maka ∠ QQ’R’ > 90º dan jumlah sudut persegi panjang QQ’R’R
> 360º (Kontradiksi).
Jadi satu-satunya kemungkinan adalah ∠ PQ’R’ = 90º, dan PQ’R’S adalah
persegipanjang.
Dengan cara yang sama, ada titik S’ pada PS sedemikian hingga
PS’ = ZW. Tarik garis dari S’ tegak lurus pada Q’R’ dengan kaki R*
. maka
sebagaimana diatas, PQ’R*
S’ adalah persegipanjang. Sisi-sisinya yang berdekatan
PQ’ dan PS’ masing-masing sama dengan XY dan ZW, dan teorema terbukti.

13. BAB III
KESIMPULAN
Geometri netral mengandung persegi panjang, maka jumlah besar sudut-
sudut dalam setiap segitiga adalah kurang dari atau sama dengan 1800
. Dalam
geometri netral ada segi empat yang penting, yaitu yang dinamakan segi empat
Saccheri. Jika ada ada sebuah persegi panjang, maka ada persegi panjang yang
dua sisinya yang berdekatan panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua
segmen tertentu.

14. DAFTAR PUSTAKA
Moeharti, Hw, 2000, Sistem-Sistem Geometri, Modul 1-6, PMAT 4438.
retniparadesa.blogspot.com/2009_0501/archive.html
Soemadi & Masriyah, 2000, Sistem Geometri, Departemen Pendidikan dan
Kebudayaan Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Surabaya : University
Press IKIP Surabaya.
trisyanaharti_42m.werdpress.