Definisi Paraboloida Persamaan Paraboloida Eliptik Persamaan Paraboloida Hiperbolik

1. PARABOLOIDA
OLEH:
MUHAMMAD FIRZHA SURURI NAUFAL
180101040636

2. Definisi Paraboloida
Paraboloida yaitu suatu permukaan yang mempunyai irisan dengan bidang yang sejajar
koordinat tertentu berupa parabola. Jika irisan dengan bidang koordinat lain berupa elips, maka
disebut paraboloida eliptik. Jika irisan dengan bidang sejajar koordinat yang lain berupa
hiperbola, maka disebut paraboloida hiperbolik.

3. 1. Persamaan Paraboloida Eliptik
Paraboloida Eliptik adalah suatu permukaan yang dapat diletakkan demikian rupa
sehingga irisannya yang sejajar bidang koordinat berbentuk elips dan irisannya yang sejajar
bidang koordina lainnya berbentuk parabola.

4. 1. Persamaan Paraboloida Eliptik
Diberikan ellips pada bidang XOY dan parabola pada bidang XOZ masing- masing dengan
persamaan :
𝑧 = 0
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
𝑦 = 0
𝑥2
= 2𝑝𝑧
Ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan :
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z.
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang yerletak pada bidangXOZ.
4. Ellips tetap sebangun denga ellips yang digerakkan.

5. 1. Persamaan Paraboloida Eliptik
Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai
berikut :
Misalkan ellips pada bidang XOY yang
diberikan, yaitu :
𝑧 = 0
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
Digerakkan sehingga terleka pada bidang 𝑧 =
𝜆 dan setengah sumbu sumbunya adalah 𝑥°
sejajar sumbu 𝑥 dan 𝑦° sejajar sumbu 𝑦.
sesuai aturan 1, 2 dan 3 maka titik (𝑥°, 0, 𝜆)
Memenuhi:
𝑦 = 0
𝑥2
= 2𝑝𝑧
Sesuai aturan 1, 2 dan 4 maka
𝑥0
𝑦0
=
𝑎
𝑏
, sehingga
𝑥0
2
𝑦0
2 =
𝑎2
𝑏2 atau 𝑦0
2
=
𝑏2
𝑎2 𝑥0
2
𝑦0
2
=
𝑏2
𝑎2 2𝑝𝑧

6. 1. Persamaan Paraboloida Eliptik
Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 tersebut adalah :
𝑧 = 𝜆
𝑥2
𝑥0
2 +
𝑦2
𝑦0
2 = 1 atau
𝑧 = 𝜆
𝑥2
2𝑝𝑧
+
𝑦2
𝑏2
𝑎22𝑝𝑧
= 1
Dengan mengeliminasi 𝜆 pada persamaan tersebut diperoleh persamaan :
Diperoleh pesamaan paraboloida ellips titik puncak O(0,0).
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 =
2𝑝
𝑎2 𝑧

7. Contoh Soal Persamaan Paraboloida
Eliptik
1. Diberikan ellips dengan persamaan z = 0,
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1 dan parabola dengan persamaan
𝑥 = 0, 𝑦2
= 16𝑧 tentukan luas yang terjadi bila elips tersebut digerakkan dengan aturan:
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z.
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang yerletak pada bidang YOZ.
4. Ellips tetap sebangun denga ellips yang digerakkan.

8. Contoh Soal Persamaan Paraboloida
Eliptik
Penyelesaian:
Misalkan ellips pada bidang XOY yang
diberikan yaitu :
𝑧 = 𝑜
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
Digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑧 =
𝜆 dan setengah sumbu-sumbunya adalah 𝑥°
dan 𝑦° berturut-turut sunbu yang sejajar
sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦
Karena memenuhi aturan 1, 2 dan 3, maka
titik (0, 𝑦°, 𝜆) terletak pada ellips sehingga
memenuhi
𝑥 = 0
𝑦° = 16 𝑧
karena menurut aturan 1, 2 dan 4 maka
dipenuhi
𝑥°
𝑦°
=
𝑎
𝑏
Dimana 𝑎 = 5 dan 𝑏 = 4
𝑥°
𝑦°
=
5
4
Atau
...

9. Contoh Soal Persamaan Paraboloida
Eliptik
𝑥0
2
𝑦0
2 =
𝑎2
𝑏2
𝑥0
2
𝑦0
2 =
25
16
𝑥0
2
=
25
16
= 𝑦0
2
𝑥0
2
=
25
16
= 16𝜆
Jadi persamaan ellips yang terletak
pada bidang 𝑧 = 𝜆 tersebut adalah
𝑧 = 𝜆
=
𝑥2
𝑥0
2 +
𝑦2
𝑦0
2 = 1
=
𝑥2
25
16
×16𝜆
+
𝑦2
𝑦0
2 = 1
=
𝑥2
25
16
×16𝜆
+
𝑦2
16𝜆
= 1
=
𝑥2×16 +(25×𝑦2)
25×16𝜆
= 1
=...

10. Contoh Soal Persamaan Paraboloida
Eliptik
= 𝑥2
× 16 + 25 × 𝑦2
= 25 × 16𝜆 ×
1
25×16
=
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 𝜆
=
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 𝑧
Sehingga persamaan paraboloida eliptic dengan sumbu z sebagai sumbunya adalah:
𝒙 𝟐
𝟐𝟓
+
𝒚 𝟐
𝟏𝟔
= 𝒛

11. 2. Paraboloida Hiperbolik
Paraboloida hiperbolik adalah suatu permukaan yang dapat diletakkan sedemikian rupa
sehingga irisannya dengan bidang yang sejajar dengan salah satu bidang koordinat
berbentuk hiperbola dan irisan dengan bidang koordinant lainberupa parabola. Berikut
ini adalah gambar paraboloida hiperbolik.
Keterangan :
1. Irisan bidang yang sejajar bidang koordinat XOY berbentuk hiperbola.
2. Irisan dengan bidang koordinat XOZ dan YOZ berbentuk parabola.

12. 2. Paraboloida Hiperbolik
Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak
pada bidang XOY dengan persamaan
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
𝑧 = 0
dan garis arahnya berupa parabola pada bidang
YOZ dengan persamaan :
𝑦2
= 2𝑝𝑧
𝑥 = 0
Aturan menggerakan hiperbola adalah sebagai
berikut :
1. Bidangnya sejajar dengan bidang XOY
2. Titik pusatnya selalu terletak pada sumbu z
3. Hiperbolanya selalu sebangun dengan
hiperbola semula
4. Titik puncaknya selalu terletak pada garis
arah.

13. 2. Paraboloida Hiperbolik
Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai berikut:Misalkan hiperbola pada
bidang XOY yang diberikan, yaitu:
𝑧 = 0
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
Digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 dan sengah sumbu-sumbu nya adalah 𝑥° sejajar
sumbu 𝑦° sejajar sumbu y.sesuai aturan i,ii,dan iii maka
titik (𝑥°, 0, 𝛼) terletak pada parabola
𝑦 = 0
𝑥0
2
= 2𝑝𝜆
sehingga 𝑥0
2
= 2𝑝𝜆

14. 2. Paraboloida Hiperbolik
Jadi persamaan elips yang terletak pada bidang 𝑧 = 𝛼 tersebut adalah:
𝑧 = 𝜆
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
atau
𝑧 = 𝜆
𝑥2
2𝑝𝑧
+
𝑦2
𝑏2
𝑎22𝑝𝑧
= 1
Dengan mengeliminasi 𝛼 pada persamaan tersebut diperoleh persamaan:
Diperoleh persamaan parabolodia hiperbolik berdaun satu
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 =
2𝑝
𝑎2 𝑧

15. Contoh Soal Persamaan Paraboloida
Hiperbolik
1. Diberikan hiperbola dengan persamaan
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1, 𝑧 = 0 dan parabola dengan persamaan
𝑦2 = 8𝑧, 𝑥 = 0 Tentukan luasan yang terjadi bila hiperbola.
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
𝑧 = 0
Digerakkan dengan aturan:
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabaola pada bidang YOZ
4. Hiperbola tetap sebangun dengan hiperbola yang digerakkan.

16. Contoh Soal Persamaan Paraboloida
Hiperbolik
Penyelesaian:
Misalkan hiperbola digerakkan sehingga
terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 dan terletak pada
garis arah sehingga 𝑦0
2
= 8𝜆.
Karena aturan 1, 2, dan 4 maka dipenuhi:
𝑥0
𝑦0
=
3
4
Atau
𝑥0
2
𝑦0
2 =
𝑎2
𝑏2
=
𝑥0
2
𝑦0
2 =
9
16
= 𝑥0
2
=
9
16
× 𝑦0
2
= 𝑥0
2
=
9
16
× 8𝜆
Jadi persamaan hiperbola yag terletak pada
bidang 𝑧 = 𝜆 tersebut adalah:
𝑧 = 𝜆
=
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
=
𝑥2
9
16
×𝑦0
−
𝑦2
𝑏2 = 1
=...

17. Contoh Soal Persamaan Paraboloida
Hiperbolik
=
𝑥2
9
16
×𝑦0
−
𝑦2
𝑦0
= 1
=
𝑥2
9
16
×8𝜆
−
𝑦2
8𝜆
= 1
=
𝑥2×16
𝑎22𝑝𝜆
−
𝑦2
8𝜆
= 1
=
𝑥2×16−9×𝑦2
9×8𝜆
= 1
= 𝑥2
× 16 − 19 × 𝑦2
= 9 × 8𝜆
= 𝑥2 𝑏2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎22𝑝𝜆 ×
1
92×162
=
𝑥2
9
−
𝑦2
16
=
8𝜆
16
=
𝑥2
9
−
𝑦2
16
=
1
2
𝑧
Sehingga persamaan parabloida hiperbolik
dengan sumbu z sebagai sumbunya z adalah:
𝐱 𝟐
𝟗
−
𝐲 𝟐
𝟏𝟔
=
𝟏
𝟐
𝐳

18. TERIMA KASIH
OLEH:
FIRZHA SURURI NAUFAL (180101040636)
KELAS B PMTK 2018
DOSEN:
AZIS MUSLIM, M. PD

19. “Learning never exhausts the mind”
(Leonardo Da Vinci)

20. Vitruvian Man of Math dari Da Vinci - James Earle
(BONUS)

21. Gambar Manusia
Vitruvian ini,
diambil dari
Skestches
Leonardo, telah
menjadi salah satu
simbol Renaisans
yang paling
dikenal. Tapi
Kenapa ?!
Ini gambar pena dan tinta
sederhana, bukan? Salah!
Mari kita mulai menjawab
pertanyaan ini dengan soal
matematika.

22. Saya tahu cara menghitung luas lingkaran. Saya
mengambil nilai Pi dan mengalikannya dengan radius
kuadrat.

23. Saya juga tahu cara mengambil luas persegi.
Saya mengalikan basis dengan sendirinya.

24. Tapi bagaimana saya bisa mengambil luas lingkaran dan membuat persegi dengan luas yang sama ?

25. Ini adalah masalah yang sering disebut
"Squaring a Circle (Mengkuadratkan
Lingkaran)" yang diajukan di dunia kuno
dan seperti banyak ide di dunia kuno,
hal itu diberikan kehidupan baru selama
Renaissance.

26. Ternyata, masalah ini tidak
mungkin diselesaikan karena sifat
𝑷𝒊 (𝝅), tapi itu cerita lain.

27. Sketsa Leonardo, yang dipengaruhi oleh tulisan arsitek
Romawi, Vitruvius

28. Vitruvius, menempatkan seorang
laki-laki dengan kokoh di canter
lingkaran dan bujur
sangkarVitruvius mengklaim pusar
adalah pusat tubuh manusia
dan jika seseorang
mengambil kompas dan
menempatkan titik tetap
di pusar, sebuah lingkaran
dapat digambar dengan
sempurna di sekitar
tubuh.

29. Selain itu, Vitruvius menyadari bahwa
rentang dan tinggi lengan memiliki
kesesuaian yang hampir sempurna di
tubuh manusia

30. sehingga
membenamkan
tubuh dengan
sempurna di dalam
persegi juga.

31. Leonardo menggunakan
gagasan Vitruvius untuk
memecahkan masalah
kuadrat lingkaran yang
secara metaforis
menggunakan umat
manusia sebagai luas
untuk kedua bentuk.

32. Leonardo tidak hanya memikirkan
Vitruvius, pikirnya. Ada gerakan
intelektual di Italia pada saat itu yang
disebut Neoplatonisme.

33. Gerakan ini mengambil konsep lama dari abad ke-4 yang dikembangkan oleh Plato
dan Aristoteles, yang disebut “The Great Chain of Being”.

34. Keyakinan ini
berpendapat
bahwa alam
semesta memiliki
hierarki yang
menyerupai rantai,
dan rantai itu
dimulai dari atas
bersama Tuhan,
kemudian
bergerak turun
melalui malaikat,
planet, bintang,
dan semua bentuk
kehidupan
sebelum berakhir
dengan setan dan
iblis.
Pada awal gerakan
filosofis ini, tempat
umat manusia
dalam rantai ini
dianggap tepat di
tengah

35. Karena manusia memiliki tubuh yang fana
disertai dengan jiwa yang tidak berkematian, kita
membagi alam semesta menjadi dua dengan baik

36. Sekitar waktu Leonardo
membuat sketsa Manusia
Vitruvian, namun, seorang
Neoplatonis bernama Pico
Della Mirandola memiliki
gagasan yang berbeda. Dia
melepaskan manusia dari
rantai dan mengklaim
bahwa “manusia memiliki
kemampuan unik untuk
mengambil posisi apa pun
yang mereka inginkan”

37. Pico mengklaim bahwa Tuhan menginginkan makhluk yang
mampu memahami alam semesta yang indah dan rumit yang telah
diciptakannya.

38. Hal ini menyebabkan terciptanya umat manusia, yang ia tempatkan di pusat alam
semesta dengan kemampuan untuk mengambil bentuk apa pun yang diinginkannya.

39. Manusia, menurut Pico, bisa merangkak turun rantai dan berperilaku seperti binatang atau
merangkak naik rantai dan berperilaku seperti tuhan, itu pilihan kita.

40. Melihat kembali sketsa
tersebut, kita dapat
melihat bahwa dengan
mengubah posisi
manusia, dia dapat
mengisi area lingkaran
dan persegi yang tidak
dapat direkonsiliasi.
Jika Geometri adalah
bahasa penulisan alam
semesta
maka skecth ini
sepertinya
mengatakan kita
bisa ada di dalam
semua elemennya.
Umat ​​manusia dapat
mengisi bentuk
apapun yang dia
suka secara
geometris dan
filosofis juga.

41. Dalam sketsa yang satu ini, Leonardo mampu memadukan matematika, agama, filsafat, arsitektur, dan
keterampilan artistik pada zamannya. Tidak heran jika dia menjadi ikon untuk seluruh periode waktu.