1. SOME EUCLIDEAN RESULTS CONCERNING TRIANGLES
TUGAS INDIVIDU
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri
Oleh
IRNA NURAENI
198102020
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SILIWANGI
2020
2. SOME EUCLIDEAN RESULTS CONCERNING TRIANGLES
Teorema 4.7.1
Tiga garis sumbu (perpendicular bisector) pada segitiga konkuren.
Bukti :
Perhatikan β π΄π΅πΆ dibawah ini
Teorema 4.5.1 : βTerdapat lingkaran unik yang mengandung tiga titik ABC. Sehingga
OA=OB=OC , dimana O adalah titik pusat lingkaran tersebut.β
Teorema 3.2.5 Karena O berjarak sama dari A dan B , Maka O harus terletak pada haris
sumbu AB . Begitupun dengan BC dan AC
Jadi,tiga garis sumbu tersebut konkuren pada titik O
Definisi, Jarak dari titik ke garis(jarak terpendek dari titik ke garis/ perpendicular distance)
= Jarak ari titik A ke garis l adala jarak dari P ke kaki perpendicular dari P ke l.
Teorema 4.7.2
Suatu titik terletak pada garis bagi sudut jika dan hanya jika titik tersebut equidistant dari
sisi sisi sudut.
Bukti :
1. Misal π΅πΜ Μ Μ Μ adalah garis bagi seitiga π΄π΅πΆ. Pilih titik π pada π΅π yang jadi tegak lurus dan ππ
ke π΅π΄Μ Μ Μ Μ dan π΅πΆΜ Μ Μ Μ . Apakah ππΜ Μ Μ Μ Μ = ππΜ Μ Μ Μ ?
β πππ΅ β βπππ΅ ?
β πππ΅ dan βπππ΅ = β π πππ’ π πππ’, memiliki πΈπΜ Μ Μ Μ hipotenusa
β ππ΅π = β ππ΅π, karena π΅πΜ Μ Μ Μ ada di garis bagi β ππ΅π
Teorema 3.3.4 (SAS) dapat disimpulkan β πππ΅ dan βπππ΅ jadi ππΜ Μ Μ Μ Μ = ππΜ Μ Μ Μ
2. Jika π equidistant dari sisi sudut maka π berada pada garis bagi sudut.
3. Teorema 4.7.3
Tiga garis bagi dari sudut β sudut dalam segitiga kongruen (pada titik yang disebut incenter).
Bukti : Perhatikan β ABC
Definisi :
Altitude : Garis tinggi segitiga adalah segmen garis tegak lurus dari vertex segitiga sisi yang
berlawanan (diperpanjang jika perlu)
Theorema 4.7.4
Garis garis tinggi segitiga adalah kongruen.
Bukti :
Misal : ππ΄Μ Μ Μ Μ = πβ
ππ΅Μ Μ Μ Μ = πββ
ππΆΜ Μ Μ Μ = πβ
π΄π·Μ Μ Μ Μ β₯ π΅πΆΜ Μ Μ Μ
ο· Misalkan Q adalah titik dimana bisector of β A memotong π΅πΆ
Misalkan R adalah titik dimana bisector of β C memotong π΄π΅
ο· π΄π dan πΆπ berpotongan pada titik Pdalam interior
ο· π β CAB + mβ CBA < 1800 (teorem 3.5.2)
Karena m β 1 =
1
2
(m β CAB) dan m β 2 =
1
2
(m β ACB)
Sehingga m β 1 + m β 2 < 900 < 1800.
ο· Teorema 3.4.4 β π΄π dan πΆπ berpotongan pada titik P
P ada disisi A dari BC
P ada disisi C dari AB
P adalah interior β ABC
4. => ππ΄Μ Μ Μ Μ β₯ π΅πΆΜ Μ Μ Μ
=> π·π΄Μ Μ Μ Μ . ππ΅Μ Μ Μ Μ = π
=> πβ. (πβ β πββ) = π
=> πβ. πβ β πβ. πββ = π β¦ (1)
π΅πΈΜ Μ Μ Μ β₯ πΆπ΄Μ Μ Μ Μ β ππ΅Μ Μ Μ Μ β₯ πΆπ΄Μ Μ Μ Μ
=> ππ΅Μ Μ Μ Μ . πΆπ΄Μ Μ Μ Μ = π
=> πββ. ( πβ. πβ) = π
=> πββ. πβ β πββ. πβ = π β¦ (2)
Jumlahkan (1) dan (2)
(πββ. πβ β πββ. πβ) +( πβ. πβ β πβ. πββ) = π
=> πβ. πβ β π. πβ = π
=> (πβ. πββ). πβ = π
π΅π΄Μ Μ Μ Μ β₯ ππΆΜ Μ Μ Μ
β΄ 3 Garis tinggi segitiga kongruen
Teorema 4.7.5
Setiap Garis bagi sudut segitiga, Jika cukup diperpanjang akan konkuren dengan garis bagi
sudut luar pada dua simpul yang tersisa.
Bukti :
5. π1 adalah bisektor dari sudut interior A
π2 adalah bisektor dari sudut interior B
π1 tidak paralel dengan π2, jika ya maka β 1 = β 2 ( bersebrangan) ,
dan π β π΅π΄πΆ = π β π·π΅π΄, ini berarti βπ΄π΅πΆ mempunyai
sudut luar di B yang berukuran sama dengan sudut1
dalam A. Hal ini kontradiksi dengan Teorema 3.2.6
Jadi, π1 πππ π2 berpotongan di titik P
Perhatikan gambar b
βππ΅πΉ3 β βππ΅πΉ2
β ππΉ3 β ππΉ2
β ππΉ3 β ππΉ1 karena, P adalah bisektor β πΉ3 π΄πΉ1 (teorema 4.7.2)
β βππΉ2 πΆ β βππ1 πΆ (hpotenus-leg congruence)
Jadi π β πΉ2 πΆπ = π β πΉ1 πΆπ, πΆπΜ Μ Μ Μ angle bisector sudut luar C dan Contains P
(titik potong π1 πππ π2 ) , oleh karena itu π1, π2 πππ π3 konkuren di titik P (excenter βπ΄π΅πΆ)
Corollary 4.7.6
β Setiap Excenter segitiga berfungsi sebagai pusat sebuah lingkaran yang bersinggungan
dengan sebuah sisi segitiga dan perpanjangan dua sisi lainnya .β
Teorema 4.7.7
Jarak dari vertex ke orthocenter dari sebuah segitiga adalah dua kali jarak dari circumcentre
ke titik tengah sisi yang berlewanan dengan vertex.
Bukti:
Misalkan π adalah circumcentre dari βπ΄π΅πΆ
ππ» adalah jumlah vector (ππ΄Μ Μ Μ Μ + ππ΅Μ Μ Μ Μ + ππΆΜ Μ Μ Μ
π΄π» = ππ» β ππ΄, ππ΅ + ππΆ = 2 ππ, π adalah midpoint π΅πΆ
ππ΅ = ππΆ, jari-jari lingkaran
βππ΅πΆ sama kaki, π΄π β₯ ππ
π» terletak pada ketinggian A dan dua ketinggian lain.
Ini membuktikan bahwa ketiga garis tinggi bertemu pada titik yang sama, disebut
orthocenter.
Jarak dari π΄ atau titik manapun = 2kali jarak dari π ke sisi yang berlawanan.
6. Theorema 4.7.8
Orthocenter circumcenter dan centroid dari suatu lingkaran adalah collinier (pada garis
yang disebut Euler Line for Triangle)
Bukti :
Misal : π, π, π merupakan midpoint
ππΜ Μ Μ Μ , ππΜ Μ Μ , ππΜ Μ Μ Μ = Midsegmen
ππΜ Μ Μ Μ : π΄πΆΜ Μ Μ Μ = 1: 2, ππΜ Μ Μ Μ β₯ π΄πΆΜ Μ Μ Μ
Karena setiap midsegments mempunyai ukuran setengah dari sisi terpanjang β, maka
dengan SSS terbukti bahwa suatu β akan sama dengan medial triangle nya dengan ratio 2: 1.
a) Perhatikan altitude, we know that setiap altitude melalui arthocenter, altitude
berpotongan dengan π΄πΆΜ Μ Μ Μ .
b) Perhatikan perpendicolar besector dari titik e, perpendicular beserctor akan melalui
arthocenter dan P.bisector juga berpotongan dengan π΄πΆΜ Μ Μ Μ .
c) Garis yang berpotongan dengan π΄πΆΜ Μ Μ Μ dari a) dan b) adalah garis sejajar.
d) Contruct π΅πΉΜ Μ Μ Μ = Median of β, setiap median akan berpotongan pada tentuoid.
e) By SAS segitiga merah dan supplementary adjacent angke is linier pair
Teorema 4.7.9
Teorema Menelous : jika β³ π΄π΅πΆ adalah segitiga dimana X,Y, dan Z adalah titik collinier
Menelaus pada sisi π΄πΆΜ Μ Μ Μ , π΅πΆ πππ π΄π΅ maka :
π΄π
ππ΅
π₯
π΅πΆ
ππΆ
π₯
πΆπ
ππ΄
=1
7. Bukti :
πΆπΜ Μ Μ Μ Μ π΄π΅Μ Μ Μ Μ
ο· β³ πππΆ β β³ πππ΄
Maka
ππΆ
π΄π
=
ππΆ
ππ΄
ο· β³ πΆππ β β³ π΅ππ
Maka :
ππΆ
π΅π
=
πΆπ
π΅π
ο·
ππΆ
π΄π
=
ππΆ
ππ΄
ο·
ππΆ
π΅π
=
πΆπ
π΅π
, Maka
π΅π
ππΆ
=
π΅π
πΆπ
ο·
ππΆ
π΄π
π₯
π΅π
ππΆ
=
ππΆ
ππ΄
π₯
π΅π
πΆπ
ο·
π΅π
π΄π
=
ππΆ
ππ΄
π₯
π΅π
πΆπ
π₯
π΄π
π΅π
ο· 1 =
ππΆ
ππ΄
π₯
π΅π
πΆπ
π₯
π΄π
π΅π
Teorema 4.7.10 Jika kekonruenan garis cevian π΄πΜ Μ Μ Μ , π΅πΜ Μ Μ Μ π·π΄π πΆπΜ Μ Μ Μ di Tarik dari vertex β³ π΄π΅πΆ,
maka :
Bukti
Misal ABC adalah segitiga dan garis (cervians) AD, BC, CF melalui vertex dengan sisi yang
berlawanan berpotongan di titik P.
1) β³ π΄π΅πΈ βΆ πΉππΆΜ Μ Μ Μ Μ Μ adalah transversal
Jadi
π΄πΉ
πΉπ΅
π₯
π΅π
ππΈ
π₯
πΈπΆ
πΆπ΄
= β1 (Menelaus theorem)