Geometri affin teorema 4.3

1. ASSALAMUALAIKUM.......

2. Teorema 4.3
Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’
pada garis-garis yang sejajar
menentukan dengan tunggal suatu
dilatasi AB A’B’.

3. Bukti
P
A
C
B
P’
A’
C’
B’

4. Misalkan P sebarang titik pada bidang. Untuk
melukis bayangan P1 di buat garis melalui A’
yang sejajar AP dan garis melalui B’ yang
sejajar BP. Titik potong kedua garis ini ialah P1
, bayangan dari P. Garis-garis melalui A’ dan B’
tidak mungkin sejajar, sebab AP dan BP tidak
sejajar. Dengan jalan serupa, jika C diketahui,
maka dapat dilukis C’. Menurut Teorema 4.1,
maka AA’//BB’//P P1.

5. Jadi jika garis-garis sejajar AB dan A’B’
tidak berimpit, maka garis-garis AA’ dan
BB’ , CC’ dan P P1 adalah kongruen atau
sejajar, sehingga C’ sejajar dengan CP. Jadi
transformasi itu betul suatu dilatasi dan
tunggal
• Jika garis-garis AB dan A1B1 berimpit,
maka tran sformasi dapat dipandang
sebagai AC  A1C1.
• Sehingga dua segmen sejajar menentukan
dengan tunggal suatu latasi

6. Definisi 4.3
Invers dari dilatasi AB  A’B’ ialah dilatasi A’B’ 
AB
Definisi 4.4
Yang dimaksud dengan hasil kali dua dilatasi ialah
suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi
yang lain.
Maka hasil kali dua dilatasi AB  A’B’ dan A’B’ 
A’’B’’ ialah dilatasi
AB  A’’B’’

7. A’ B’
A” B”
A B

8. Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya adalah
identitas AB  AB.
Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan
bayangnya adalah garis-garis invarian. Garis-garis
ini berpotongan pada satu titik atau sejajar. Jika
garis-garis yang menghubungkan titik dan
bayangannya, yaitu yang menghubungkan dua titik
berkorespondensi, berpotongan pada satu titik,
dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik potong garis-
garis itu disebut titik pusat dilatasi 0, titik pusat
dilatasi ini tunggal.
Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik
berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu
translasi.

9. A’ A A’
A
0 C C’ C C’
B B’ B B’

10. Jika pada translasi AB  A’B’ ,
AA’B’B tidak berupa jajargenjang
dapat ditunjukkan jajargenjang
lainnya seperti pada gambar
berikut:

11. C C’
A A’ B B’

12. AB A1B1 sama dengan AC A1C1 dengan AA1 C1 C suatu
jajargenjang atau AD  A’D’ suatu jajargenjang. Jika
A, A’ dan B diketahui, maka letak B’ tidak tergantung
dari pemilihan C atau D, sehingga terdapat Teorema
Berikut :
Teorema 4
Sebarang dua titik A dan A’ menentukan translasi
tunggal A  A’

13. Bukti :
Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila
dan hanya bila tidak mempunyai titik invarian.
Translasi A  A’ sama dengan translasi B  B’,
jika AA’ B’B suatu jajargenjang
A’
A B’
B

14. WASSALAM.................