materi presentasi

1. GEOMETRI NETRAL
DAN
GEOMETRI HIPERBOLIK
KELOMPOK 2
1.ARGI AYU SULISTYANI K. (0401518043)
2.LUKMANUL HAKIM (0401518071)
3.RANGGAMURTI ISWARA (0401518075)
REGULER ROMBEL A1

2. Geometri netral (terkadang disebut geometri yang bersifat mutlak) adalah geometri yang
berasal dari empat postulat pertama dari eucluid, atau yang pertama dari sebelas aksioma
Kita akan mengembangkan geometri netral untuk sesuatu yang cukup untuk menyatakan
sebuah dasar terhadap geometri hiperbolik. Geometri hiperbolik adalah sebuah hasil perdebatan dari
kelima postulat, (hanya satu postulat untuk menunjukkan persamaan). kesejajaran akan menjadi fokus
utama dari bab ini dan topik yang pertama dari beberapa teorema pada geometri netral.
GEOMETRI NETRAL DAN
HIPERBOLIK
GEOMETRI NETRAL

3. Teorema 2. 1
Jika 2 garis di potong oleh sebuah garis transfersal sehingga sepasang sudut dalam
bersebrangan itu kongruen, maka dua garis tersebut sejajar.
Bukti :
 Andaikan sepasang garis l dan m di potong oleh transversal t dari sudut dalam yang kongruen.
 Misalkan t memotong l dan m pada A dan B berturut- turut. Diasumsikan l dan m memotong pada titik C.
(gambar 2.1) dan titik 𝐶′
berada pada m sehingga B terletak diantara C dan 𝐶′
dan 𝐴𝐶 ≅ 𝐵𝐶′
.
 Misalkan D sembarang titik pada l sehingga A diantara D dan C.
 Pandang segitiga ABC dan 𝐵𝐴𝐶′
. Menurut SAS kedua segitiga itu kongruen, jadi sudut 𝐵𝐴𝐶′
dan ABC
kongruen, yang berarti sudut 𝐵𝐴𝐶′
dan BAC saling berpelurus, jadi 𝐶𝐴𝐶′
adalah sudut lurus dan 𝐶′
berada pada l. Tetapi kemudian kita memiliki l dan m berpotongan pada dua titik yang berbeda, yang
mana ini kontradiksi dengan postulat I, jadi l dan m tidak berpotongan, dan teorema ini memiliki dua
akibat.

4. Akibat 2.2
Jika dua garis mempunyai satu garis tegak lurus persekutuan yang sama maka kedua
garis tersebut sejajar.
Akibat 2.3
Diberikan garis l dan titik p yang tidak terletak di l terdapat paling tidak satu garis
yang sejajar dengan l yang melalui titik p.

5. Teorema 2.4
Sudut luar dari sembarang segitiga lebih
besar dari sudut-sudut dalamnya
Bukti :
 Dipunyai segitiga ABC dengan D sinar garis AB sedemikian sehingga B diantara A dan D, segitiga CBD
adalah sudut luar dari segitiga ABC.
 Diasumsikan bahwa sudut ACB lebih besar dari sudut CBD, Maka terdapat sebuah sinar garis CE diantara
sinar garis CA dan CB sedemikian sehingga sudut BCE dan CBD kongruen. Tetapi terdapat sudut dalam
bersebrangan yang terbentuk oleh transversal CB yang memotong CE dan BD, yang menunjukkan bahwa CE
dan BD sejajar , dari teorema sebelumnya. Oleh karena itu sinar garis CE terletak diantara CA dan CB,
memotong segmen garis AB dan juga garis BD, dan terjadi kontradiksi. Kasus untuk sudut BAC simetris.
2.2 The external angle of a triangle is greater than
either remote interior angle

6. Teorema 2. 5 (AAS congruent)
Dipunyai 2 segitiga ABC dan
𝐴′𝐵′𝐶′ , jika sisi 𝐴𝐵 ≅ 𝐴′𝐵′ ,
sudut BCA ≅ 𝐵′𝐶′𝐴′ maka dua
segitiga itu kongruen.
Bukti :
 Andaikan kita mempunyai penjelasan tentang segitiga- segitiga. Jika sisi 𝐵𝐶 ≅ 𝐵′
𝐶′
, segitiga- segitiga itu
kongruen berdasarkan ASA, jadi diasumsikan sisi 𝐵′
𝐶′
> 𝐵𝐶.
 Jika terdapat sebuah titik tunggal pada segmen garis 𝐵′
𝐶′
sedemikian sehingga 𝐵′
𝐷 kongruen dengan BC.
Menganggap segitiga ABC dan 𝐴′
𝐵′
𝐷. Oleh SAS, kedua segitiga itu kongruen, dan sudut 𝐴′
𝐷𝐵′
≅ 𝐴𝐶𝐵 ≅
𝐴′𝐶′𝐵′, ini kontradiksi dengan teorema 2.4, yang mana sudut 𝐴′𝐷𝐵′ adalah sudut luar dari dan 𝐴′
𝐶′𝐵′ sudut
dalam dari segitiga 𝐴′𝐶′𝐷′.
2.3 Angle- angle – side congruence of triangles

7. Teorema 2.6
Pada sebarang segitiga, sudut yang
terbesar dan sisi terpanjang itu selalu
berhadapan.
Bukti :
 Dipunyai segitiga ABC, diasumsikan ABC sudutnya lebih besar, dan sisi AB lebih besar.
 Terdapat titik tunggal D pada segmen garis AB sedemikian sehingga 𝐴𝐷 ≅ 𝐴𝐶. Ini berarti bahwa segitiga
CAD adalah segitiga sama kaki, dan sudut 𝐴𝐶𝐷 ≅ 𝐴𝐷𝐶. Karena dari teorema 2. 4, sudut 𝐴𝐷𝐶 > 𝐴𝐵𝐶. Jadi
sudut 𝐴𝐶𝐵 > 𝐴𝐵𝐶, kontradiksi dengan asumsi.
2.4 The greatest angle is opposite the greatest side

8. Teorema 2.7
Jumlah dari 2 sudut pada segitiga
adalah kurang dari 180°
.
Bukti :
Dipunyai segitiga ABC, diasumsikan bahwa jumlah dari sudut ABC dan BAC adalah lebih dari 180°
.
Kita dapat membangun garis dalam AE pada sudut CAB sedemikian sehingga sudut 𝐵𝐴𝐸 = 180° −
𝐴𝐵𝐶. Diberikan sudut BAD = ABC, tetapi ini adalah sepasang sudut dalam bersebrangan, jadi garis AE
sejajar dengan BC, jelas terjadi kontradiksi. Dalam kasus dimana 𝐴𝐵𝐶 + 𝐵𝐴𝐶 = 180°, titik E berada
pada garis AC, dan kita punyai AC sejajar dengan BC, ini tidak masuk akal, jadi 𝐴𝐵𝐶 + 𝐵𝐴𝐶 < 180°.
2.5 The sum of any two angles of a triagle is less than 𝟏𝟖𝟎°

9. Teorema 2.8
Jumlah sudut dari segitiga adalah kurang dari atau sama dengan 180°.
Bukti :
 Dipunyai segitiga ABC, dan D menjadi titik tengah dari segmen garis BC, dan E menjadi sinar garis AD
sedemikian sehingga D berada dintara A dan E, dan 𝐴𝐷 ≅ 𝐷𝐸. Dari SAS, segitiga ABD dan ECD kongruen.
Karena sudut 𝐵𝐴𝐶 = 𝐵𝐴𝐷 + 𝐸𝐴𝐶, dan oleh subsitusi, 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐸𝐶 + 𝐸𝐴𝐶. Salah satu AEC atau EAC harus
kurang dari atau sama dengan
1
2
𝐵𝐴𝐶. Begitupun segitiga AEC memiliki jumlah sudut yang sama dengan
ABC.
 Sekarang diasumsikan bahwa jumlah dari setiap segitiga adalah lebih besar dari 180°, atau = 180° + 𝑝
dimana p positif.kita lihat dari yang sebelumnya kita dapat membuat segitiga dengan jumlah sudut yang sama
dengan ABC, dengan 1 sudut kurang dari
1
2
𝐵𝐴𝐶. Dari pembangunan penerapan yang berulang, kita
mendapatkan 1 sudut yang lebih kecil dari p. Dengan teorema sebelumnya, jumlah sudut dari ABC harus
kurang dari 180° + 𝑝, terjadi kontradiksi. Jadi jumlah sudu dari segitiga semabrang adalah ≤ 180°.

10. 2.6 The angle sum of a triangle is less than or equal to 𝟏𝟖𝟎°
Teorema 2.9
Dalam geometri euclidian, jumlah sudut dari segitiga sembarang
adalah 180°.

11. Bukti :
 Dipunyai segitiga ABC, misalkan garis l sejajar dan tunggal dengan BC melalui A.
 Misalkan D sebuah titik pada l sedemikian sehingga B dan D terdapat pada sisi yang sama di AC, dan
titik E di l sedemikian sehingga A diantara D dan E. Karena sudut dalam bersebrangan dibentuk dari
transversal yang memotong dua garis sejajar yang kongruen, sudut 𝐸𝐴𝐶 ≅ 𝐴𝐶𝐵 dan sudut 𝐷𝐴𝐶 ≅
𝐴𝐵𝐶. Jadi ketiga sudut itu ditambahkan membentuk sudut lurus, 180°
2.7 The angle sum of an Euclidean triangle is 𝟏𝟖𝟎°

12. Akibat 2.10
Jumlah dua sudut segitiga adalah kurang dari atau sama dengan sudut luar
terjauh.
Jelas bahwa ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐶𝐴 + ∠𝐶𝐴𝐵 ≤ 1800
sehingga ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐶𝐴 ≤ 1800
− ∠𝐶𝐴𝐵 dimana
itu merupakan ukuran dari sudut luar terjauh pada titik A.
Akibat 2.11
Jumlah sudut suatu segiempat adalah kurang dari atau sama dengan 360°.
Kita dapat melihat hal tersebut dengan catatan bahwa sembarang segiempat dapat dipotong
menjadi dua segitiga dengan menggambar satu diagonal. Jumlah sudut dari segiempat adalah
jumlah dari jumlah sudut dua segitiga.

13. Postulat kesejajaran (Euclid)
Bahwa, jika suatu garis lurus memotong dua garis lain, maka akan terbentuk
sudut dalam yang sisinya sama, yang besarnya kurang dari dua sudut siku-siku,
kedua garis lurus tersebut jika diteruskan sampai tak hingga akan bertemu pada
sisi yang jumlah dua sudutnya kurang dari dua sudut siku-siku.
Atau dengan kata lain:
Dipunyai dua garis l dan m dipotong oleh garis transversal t, jika jumlah sudut
dalam pada satu sisi dari t kurang dari 1800, maka l memotong m pada sisi t.

14. Versi yang lebih kita kenal adalah dari John Playfair (1795):
Postulat kesejajaran (Playfair):
Dipunyai suatu garis l dan titik P tidak terletak pada l, terdapat suatu garis m
tunggal melalui P yang sejajar dengan l.
Kedua pernyataan saling ekuivalen.
Teorema 2.12
Postulat kesejajaran Euclid mengakibatkan postulat kesejajaran Playfair dan
sebaliknya

15. Bukti:
 Andaikan postulat kesejajaran Playfair adalah benar.
 Misal garis l dan m dipotong oleh garis transversal t. Misal t memotong l di A, dan m di B, dan missal
C dan D berturut-turut berada pada l dan m pada sisi yang sama dari t (Gambar 2.8).
 Selanjutnya, andaikan bahwa sudut 𝐶𝐴𝐵 + 𝐷𝐵𝐴 < 1800
.
 Misal n adalah garis tunggal melalui A sehingga sudut dalam dipotong oleh t menyilang m dan n
adalah kongruen.
 Menurut teorema 2.1, garis n sejajar dengan m, dan menurut Playfair, kita tahu n adalah garis
tunggal.
 Berdasarkan keadaaan tersebut, n berbeda dari m, dan bertemu l pada titik E. Lebih lanjut, E berada
pada sisi yang sama dari AB seperti C dan D, jumlah sudut segitiga ABE lebih dari 1800.
 Jadi postulat kesejajaran Playfair mengakibatkan postulat kesejajaran Euclid

17.  Sekarang andaikan postulat kesejajaran Euclid adalah benar.
 Diberikan garis m dan titik A tidak pada m, dan suatu garis t melalui A yang memotong m pada B.
Misal D adalah suatu titik pada m selain B. Kita tahu, ada suatu sinar AF tunggal sehingga sudut
𝐵𝐴𝐹 ≅ 𝐷𝐵𝐴 dan garis n yang memuat sinar AF akan sejajar pada m. (Gambar 2.8).
 Garis m dan garis l yang melalui A selain n, tidak akan membentuk sudut dalam berseberangan yang
kongruen jika dipotong oleh t, jadi pada satu sisi AB jumlah dari sudut dalam segitiga akan kurang dari
1800 dan menurut Euclid, l dan m akan bertemu pada satu sisi, dan l tidak akan sejajar pada m.
 Jadi n adalah satu-satunya garis yang sejajar dengan m yang melalui A.
 Terbukti bahwa postulat kesejajaran Playfair dan Euclid adalah sama.
 Pada geometri Euclid, jumlah sudut segitiga adalah 1800, dan kita akan menunjukkan bahwa pada
geometri hiperbolik adalah kurang dari 1800.

18. PADA GEOMETRI EUCLID, SUDUT DEFEK PADA SETIAP
SEGITIGA ADALAH 0, ITULAH MENGAPA ISTILAH TERSEBUT
TIDAK PERNAH DIGUNAKAN. PADA GEOMETRI HIPERBOLIK,
SUDUT DEFEK SELALU POSITIF.
Definisi
Sudut defek dari segitiga adalah 1800 dikurangi jumlah sudut segitiga.
Teorema 2.13
Pada segitiga ABC, titik D pada sisi AB, sudut defek dari segitiga ABC sama
dengan jumlah dari sudut defek dari segitiga ACD dan BCD.

19. Akibat 2.14
Jika jumlah sudut suatu segitiga siku-siku adalah 1800 maka
jumlah sudut tiap segitiga adalah 1800.
Karena suatu segitiga dapat dibagi menjadi dua segitiga siku-siku
(ditunjukkan pada teorema 2.15), sudut defeknya adalah jumlah
sudut defek dari dua segitiga siku-siku yang mana keduanya
adalah nol.

20. BUKTI:
 ANDAIKAN KITA MEMPUNYAI SUATU SEGITIGAABC DENGAN JUMLAH SUDUT 1800.
 KITA TAHU BAHWA SUATU SEGITIGA SEDIKITNYA MEMPUNYAI DUA SUDUT LANCIP. (JIKA
TIDAK, JUMLAH SUDUTNYAAKAN MELEBIHI 1800).
 MISAL SUDUT A DAN B ADALAH LANCIP. MISAL D UJUNG TEGAK LURUS DARI C PADA GARIS
AB. KITA MENYATAKAN BAHWA D TERLETAK DIANTARAA DAN B.
 ANDAIKAN ITU TIDAK BENAR DAN ASUMSIKAN BAHWA A TERLETAK DIANTARA B DAN D
(GAMBAR 2.10).
 MENURUT TEOREMA 2.4, SUDUT 𝐵𝐴𝐶 > 𝐵𝐷𝐶 = 900.
 TERJADI SUATU KONTRADIKSI DENGAN ASUMSI KITA BAHWA SUDUT BAC ADALAH LANCIP.
 MENURUT ARGUMENT YANG SAMA, B TIDAK TERLETAK DIANTARAA DAN D.
Teorema 2.15
Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800, maka setiap segitiga
mempunyai jumlah sudut 1800.

21. Jadi segitiga ABC dapat dibagi menjadi dua segitiga siku-siku, sudut defek
kedua segitiga siku-siku tersebut adalah 0, karena sudut defek dapat dijumlah
dan non negatif.

22. PERHATIKAN SEGITIGA SIKU-SIKU ACD. BERDASARKAN HAL INI KITA DAPAT MEMBUAT PERSEGI
PANJANG
 TERDAPAT SINAR CE TUNGGAL DIHADAPAN AC DARI D SEHINGGA SUDUT 𝐴𝐶𝐸 ≅ 𝐶𝐴𝐷.
 TITIK F TUNGGAL PADA SINAR CE SEHINGGA RUAS 𝐶𝐹 ≅ 𝐴𝐷.
 MENURUT SAS, SEGITIGA 𝐴𝐶𝐹 ≅ 𝐶𝐴𝐷, SEHINGGA SEGIEMPT ADCF ADALAH PERSEGI PANJANG.

23. GEOMETRI NETRAL DIBAGI MENJADI DUA BAGIAN YAITU EUCLID DIMANA JUMLAH
SUDUT HARUS 1800 TEPAT, DAN HIPERBOLIK, DIMANA JUMLAH SUDUT ADALAH
KURANG DARI 1800
Akibat 2.16
Jika terdapat segitiga dengan sudut defek positif, maka semua segitiga
mempunyai sudut defek yang positif.

24. GEOMETRI HIPERBOLIK
MISAL Q ADALAH UJUNG TEGAK LURUS DARI P KE L, A DAN B SECARA BERTURUT-
TURUT ADALAH TITIK PADA M DAN N, DUA GARIS SEJAJAR, SEHINGGA A DAN B PADA
SISI YANG SAMA PADA PQ. (GAMBAR 2.13). SUATU GARIS MEMUAT SINAR PC ANTARA
PA DAN PB JUGA HARUS SEJAJAR PADA L.
Postulat Kesejajaran Hiperbolik:
Dipunyai suatu garis l dan suatu titik P tidak pada l, maka ada dua garis yang
berbeda melalui P maka sejajar pada l.

25. PADA BIDANG EUCLID, DIBERIKAN SINAR PA DAN PB YANG TIDAK SEGARIS,
DAN TITIK Q BERADA DI SUDUT DALAM APB, SUATU GARIS MEMUAT Q HARUS
MEMOTONG SALAH SATU DARI PA, PB ATAU KEDUANYA. INI BUKAN KASUS DI
BIDANG HIPERBOLIK. PADA GAMBAR 2.13 GARIS L MELALUI Q TIDAK MEMOTONG
GARIS N MAUPUN M.

26.  AKIBAT 2.16 MAKA SETIAP SEGITIGA JUMLAH SUDUT-SUDUTNYA KURANG DARI
1800.
 ANDAIKAN KITA MEMPUNYAI GARIS L DAN TITIK P TIDAK PADA L.
 MISALKAN Q ADALAH UJUNG TEGAK LURUS DARI P KE L DAN GARIS M TEGAK
LURUS KE PQ PADA P. MISAL N ADALAH GARIS LAIN YANG TEGAK LURUS PADA L
MELALUI P DIJAMIN OLEH POSTULAT KESEJAJARAN HIPERBOLIK, DAN ANDAIKAN
PAADALAH SINAR DARI N SEHINGGAAANTARA M DAN L.
 MISALKAN JUGA X ADALAH TITIK PADA M SEHINGGA X DAN A PADA SISI YANG
SAMA PADA PQ (GAMBAR 2.14).
Teorema 2.17
Setiap segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800.

27. MISAL ∠𝑋𝑃𝐴 = 𝑝 𝑑𝑎𝑛 ∠𝑄𝑃𝐴 = 900 − 𝑝
MAKA ∠𝑄𝑃𝐵 UNTUK SUATU TITIK B PADA L DIKANAN Q AKAN KURANG DARI ∠𝑄𝑃𝐴.
JIKA KITA DAPAT MENEMUKAN TITIK B PADA L SEHINGGA UKURAN DARI SUDUT QBP
KURANG DARI P, MAKA JUMLAH SUDUT DARI SEGITIGA QBP AKAN KURANG DARI
900+900-P+P, ATAU KURANG DARI 1800 SEPERTI APA YANG KITA INGINKAN.

28.  UNTUK MELAKUKAN ITU, KITA MEMILIH TITIK B’ PADA L DIKANAN Q SEHINGGA 𝑄𝐵′ ≅
𝑃𝑄.
 SEGITIGA QPB’ SEGITIGA SIKU-SIKU SAMAKAKI, SEHINGGA SUDUT QB’P PALING BESAR
450.
 JIKA KITA MEMILIH B” DIKANAN DARI B’ PADA L SEHINGGA 𝐵′𝐵" ≅ 𝑃𝐵′ MAKA SEGITIGA
PB’B” ADALAH SEGITIGA SAMAKAKI DENGAN SUDUT PUNCAK SEDIKITNYA 1350, JADI
SUDUT PB”B’ PALING BANYAK 22
1
2
0.
 DENGAN MENERUSKAN PROSES INI, AKHIRNYA KITA AKAN SAMPAI PADA TITIK B
SEHINGGA SUDUT PBQ KURANG DARI P, DAN KITA MEMPUNYAI SEGITIGA PBQ DENGAN
JUMLAH SUDUT KURANG DARI 1800.
 JADI PADA BIDANG HIPERBOLIK, SEMUA SEGITIGA MEMPUNYAI JUMLAH SUDUT
KURANG DARI 1800.

29. PADA SEGITIGA GEOMETRI EUCLID MUNGKIN KONGRUEN ATAU SAMA. (ATAU TIDAK
ADA SATUPUN), TAPI MASUK GEOMETRI HIPERBOLIK.
Akibat 2.18
Semua segiempat memiliki jumlah sudut kurang dari 360°.
Teorema 2.19
Segitiga yang sama adalah kongruen.

30.  DIPUNYAI DUA SEGITIGA YANG SAMAABC DAN A'B'C’,
 ASUMSIKAN KEDUA SEGITIGA TIDAK KONGRUEN, YAITU SUDUT YANG
BERSESUAIAN KONGRUEN, TAPI SISI YANG BERSESUAIAN TIDAK KONGRUEN.
 AKIBATNYA, TIDAK ADA PASANGAN SISI YANG BERSESUAIAN YANG KONGRUEN,
ATAU DENGAN POSTULAT SUDUT SISI SUDUT (ASA), SEGITIGAAKAN KONGRUEN.
 JADI SALAH SATU SEGITIGA HARUS MEMILIKI DUA SISI YANG LEBIH PANJANG
DARI SISI DALAM SEGITIGAYANG LAIN.
 MISALKAN AB > A'B' DAN AC > A'C'. INI BERARTI KITA DAPAT MENEMUKAN TITIK D
DAN E PADA MASING-MASING SISI AB DAN AC SEDEMIKIAN SEHINGGA AD ≅ A'B'
DAN AE ≅ A'C'.

31.  (GAMBAR 2.15), DENGAN SISI SUDUT SISI SEGITIGA ADE ≅ A'B'C' DAN SUDUT YANG
SESUAI ADALAH KONGRUEN, KHUSUSNYA, SUDUT ADE ≅ A'B'C' ≅ ABC DAN AED ≅
A'C'B' ≅ ACB.
 HAL INI BERARTI SEGIEMPAT DECB MEMILIKI JUMLAH SUDUT 360°.
 INI BERTENTANGAN DENGAN AKIBAT 2.18, DAN SEGITIGA ABC KONGRUEN
DENGAN SEGITIGAA'B'C’.

32. SEGIEMPAT SACCHERI DAN LAMBERT
• DALAM BIDANG EUCLIDEAN, TENTU INI AKAN MENJADI PERSEGI PANJANG, TAPI
DENGAN AKIBAT 2.18 TIDAK TERDAPAT PERSEGI PANJANG DALAM BIDANG
HIPERBOLIS
• PERHATIKAN BAHWA SUDUT PUNCAK DARI SEGIEMPAT SACCHERI MERUPAKAN
KONGRUEN DAN LANCIP, DAN SEGMEN YANG TERGABUNG DENGAN TITIK
TENGAH ALAS DAN PUNCAK PADA SEGIEMPAT SACCHERI TEGAK LURUS
TERHADAP KEDUANYA. FAKTA INI MUDAH UNTUK DIPERIKSA DENGAN
MEMPERTIMBANGKAN GARIS TEGAK LURUS PADAALAS.
Definisi
Sebuah segiempat dengan sudut alasnya siku-siku dan sisinya kongruen disebut
segiempat Saccheri. Sisi yang berhadapan dengan alas adalah puncak, dan
sudut yang terbentuk antara sisi dan puncak adalah sudut puncak.

33. (MM' PADA GAMBAR 2.16) DENGAN SAS, SEGITIGA MM'D DAN MM'C ADALAH
KONGRUEN, DAN MENURUT SAS JUGA, SEGITIGA AMD DAN BMC KONGRUEN.
INI MENUNJUKKAN BAHWA M ADALAH TITIK TENGAH, DAN TEGAK LURUS
TERHADAP SISI AB, DAN JUGA SUDUT DAM DAN SUDUT CBM ADALAH
KONGRUEN.
GAMBAR 2.16 SEGIEMPAT SACCHERI

34. GAMBAR 2.17 SISI YANG LEBIH PANJANG BERHADAPAN DENGAN
SUDUT YANG LEBIH BESAR.
Teorema 2.20
Diberikan segiempat ABCD dengan sudut siku-siku di C dan D, maka sisi AD
> BC jika sudut ABC> BAD.

35. AKIBAT LANGSUNG DARI HAL INI ADALAH BAHWA RUAS YANG
MENGHUBUNGKAN TITIK TENGAH KE TITIK PUNCAK DAN ALAS
SEGIEMPAT SACCHERI LEBIH PENDEK DARI PADA SISI-SISINYA. KITA
JUGA TAHU BAHWA RUAS INI ADALAH SATU-SATUNYA RUAS YANG
TEGAK LURUS DENGAN ALAS DAN PUNCAK (SISI BC). (JIKA ADA YANG
LAIN, MAKA KITAAKAN MEMILIKI PERSEGI PANJANG).
Teorema 2.21
Ruas yang menghubungkan titik tengah dari puncak dan alas sebuah segiempat
Saccheri lebih pendek dari sisi, dan merupakan ruas khusus yang tegak lurus
untuk kedua puncak dan alas.

36. • BUKTI:
• DIBERIKAN DUA GARIS SEJAJAR 𝑙 DAN 𝑙′,
• ANGGAP BAHWA TITIK-TITIK A, B DAN C YANG BERBEDA TERLETAK PADA 𝑙 DAN BERJARAK SAMA
DARI 𝑙′.
• MISALKAN A', B' DAN C' ADALAH KAKI YANG TEGAK LURUS DARI TITIK YANG BERSESUAIAN KE 𝑙′.
(GAMBAR 2.18) ABB'A', ACC'A' DAN BCC'B' SEMUANYA SEGIEMPAT SACCHERI, DAN SEMUA SUDUT
PUNCAKNYA KONGRUEN, JADI SUDUT ABB' DAN CBB' ADALAH SUDUT PELURUS YANG KONGRUEN,
• SEHINGGA PERNYATAAN ITU BENAR. TAPI KITA TAHU ITU LANCIP, JADI TERDAPAT KONTRADIKSI,
DAN HIMPUNAN TITIK-TITIK PADA 𝑙 YANG BERJARAK SAMA DARI 𝑙′ MEMUAT KURANG DARI TIGA
TITIK.
GAMBAR 2.18 TIGA TITIK PADA GARIS 𝒍 YANG BERJARAK SAMA DARI 𝒍′ SEJAJAR DENGAN 𝒍
Teorema 2.22
Jika garis 𝑙 dan 𝑙′ adalah garis berbeda yang sejajar, maka himpunan titik pada l yang berjarak
sama dari 𝑙′ memuat paling banyak dua titik.

37. • BUKTI:
• MISALKAN A DAN B BERADA DI L YANG BERJARAK SAMA DARI 𝑙′, DAN
• MISALKAN A' DAN B' ADALAH KAKI TEGAK LURUS DARI A DAN B UNTUK 𝑙'. (GAMBAR
2.19) ADANYA GARIS TEGAK LURUS BERDASARKAN (TEOREMA 2.21).
• UNTUK MENUNJUKKAN BAHWA GARIS TEGAK LURUS MERUPAKAN JARAK TERPENDEK
ANTARA 𝑙 DAN 𝑙′,
• PILIH SEMBARANG TITIK C PADA 𝑙, DAN
• MISALKAN C' MENJADI KAKI YANG TEGAK LURUS DARI C KE 𝑙′.
• JADI MM'C'C ADALAH SEGIEMPAT LAMBERT, DAN DENGAN TEOREMA 2.20, SISI CC'
LEBIH BESAR DARI MM'.
Teorema 2.23
Jika 𝑙 dan 𝑙′ adalah garis berbeda yang sejajar, dimana ada dua titik A dan B di 𝑙 berjarak
sama pada 𝑙′, maka 𝑙 dan 𝑙′ memiliki segmen tegak lurus yang sama yaitu segmen terpendek
dari 𝑙 ke 𝑙′.
Gambar 2.19
Garis yang tegak lurus adalah segmen terpendek antara dua garis sejajar

38. • BUKTI:
• KITA TAHU BAHWA JIKA 𝑙 DAN 𝑙′ MEMILIKI GARIS TEGAK LURUS PERSEKUTUAN YAITU MM',
• MAKA 𝑙 SEJAJAR DENGAN 𝑙′ BERDASARKAN (TEOREMA 2.1).
• KITA JUGA TAHU MM' ITU TUNGGAL KARENA JIKA TIDAK, KITAAKAN MEMILIKI PERSEGI PANJANG.
• AKAN DITUNJUKKAN BAHWA A DAN B, BERJARAK SAMA DENGAN 𝑙′. SEPERTI YANG DI ATAS (GAMBAR 2.20). DENGAN SAS,
SEGITIGAAMM' DAN BMM' KONGRUEN, DAN OLEH AAS, SEGITIGAAA'M' DAN BB'M' ADALAH KONGRUEN.
• JADI SEGMEN AA' DAN BB' KONGRUEN.
GAMBAR 2.20
TITIK YANG BERJARAK SAMA DARI GARIS YANG SALING TEGAK LURUS BERJARAK SAMA DARI 𝒍′
Teorema 2.24
Jika garis 𝑙 dan 𝑙′ memiliki segmen garis tegak lurus persekutuan MM' dengan M pada 𝑙 dan M' di 𝑙
′, maka 𝑙 sejajar dengan 𝑙′, MM' adalah satu-satunya segmen garis tegak lurus terhadap kedua 𝑙 dan
𝑙′, dan jika A dan B terletak pada 𝑙 sedemikian sehingga M adalah titik tengah segmen AB, maka A
dan B berjarak sama dari 𝑙′.

39. • BUKTI:
• DIBERIKAN SITUASI YANG DINYATAKAN. JIKA A ANTARA M DAN B, MISALKAN 𝐴′ DAN 𝐵′ MENJADI KAKI TEGAK LURUS DARI 𝐴 DAN 𝐵
UNTUK 𝑙′, DAN
• PERTIMBANGKAN SEGIEMPAT SACCHIERI ABB'A' (GAMBAR 2.21) KITA TAHU BAHWA SUDUT MAA' DAN ABB' LANCIP, JADI A'AB ADALAH
TUMPUL, DAN KARENA ITU LEBIH BESAR DARI ABB'. DENGAN TEOREMA 2.22 SISI BB' > AA', DAN B LEBIH JAUH DARI 𝑙′ DARIPADA A.
• JIKA M ADALAH ANTARAA DAN B,
• MAKAADA TITIK TUNGGAL C PADA SEGMEN MB SEDEMIKIAN SEHINGGA M ADALAH TITIK TENGAH SEGMEN AC.
• MISALKAN C' MENJADI KAKI TEGAK LURUS DARI C KE 𝑙′. TERAPKAN TEOREMA 2.22 UNTUK SEGI EMPAT CBB'C', DAN FAKTA BAHWA CC‘ ≅
AA', DAN KITA MEMILIKI TEOREMA.
GAMBAR 2.21
TITIK YANG LEBIH DEKAT DENGAN GARIS YANG TEGAK LURUS LEBIH DEKAT DENGAN 𝒍′
Teorema 2.25
Diberikan garis 𝑙 dan 𝑙′ memiliki garis tegak lurus persekutuan MM', jika titik A dan B berada
di 𝑙 sedemikian sehingga MB > MA, maka A lebih dekat dengan 𝑙′ daripada B.

40. • JADI DUA GARIS SALING TEGAK LURUS YANG BERLAWANAN DI KEDUA ARAH.
KITA DEFINISIKAN GARIS SEPERTI ITU MENJADI:
• HAL INI JUGA BIASANYA BERLAKU UNTUK GARIS YANG DISEBUT ULTRA-
PARALEL ATAU SUPERPARALEL. SEBUAH GAMBAR INTUITIF GARIS ULTRA-
PARALEL DITUNJUKKAN PADA GAMBAR 2.22.
Definisi
Dua garis yang memiliki sebuah garis tegak lurus persekutuan dikatakan saling sejajar
divergen (divergently-parallel).
Gambar 2.22
Garis sejajar yang divergen

41. • BUKTI:
• DIBERIKAN GARIS L DAN P TIDAK PADA L, DENGAN Q TEGAK LURUS DARI P KE L,
• MISALKAN M ADALAH GARIS TEGAK LURUS TERHADAP PQ PADA TITIK P. GARIS M SEJAJAR
DENGAN L. DAN ∑ MERUPAKAN SEBUAH TITIK PADA M DISEBELAH KIRI P. PERHATIKAN SEGMEN
SQ. (GAMBAR 2.23)
• MISALKAN POIN PADA GARIS SQ SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA SINAR PT MEMENUHI L, DAN ∑’
'KOMPLEMEN DARI ∑.
• KITA BISA LIHAT BAHWA JIKA T PADA SQ ADALAH BAGIAN DARI ∑, KEMUDIAN SEMUA SEGMEN
TQ DI ∑.
Teorema 2.26
Jika dua garis dipotong oleh garis melintang (transversal) sehingga sudut dalam
berseberangan kongruen, Maka garisnya adalah sejajar.
Teorema 2.27
Diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P yang tidak berada pada garis l, dengan Q tegak
lurus dari P ke l, maka ada dua sinar unik PX dan PX ' pada sisi berlawanan dari PQ yang
tidak bertemu l dan memiliki sinar PY yang bertemu l, jika PY berada diantara PX dan PX
'.Selain itu, sudut QPX dan QPX 'kongruen.

42. • JELAS, S ADALAH BAGIAN DARI ∑’, JADI ∑’ TIDAK KOSONG.
• JADI HARUS ADA TITIK X YANG UNIK PADA SEGMEN SQ,
• SEHINGGA SEMUA TITIK DI XQ TERMASUK SEGMEN TERBUKA MILIK S, DAN
SEMUA TITIK PADA SEGMEN TERBUKA XS, KE ∑ '. PX ADALAH SINAR KITA CARI.
• MUDAH UNTUK MENUNJUKKAN BAHWA PX TIDAK BERTEMU L.
• MISALKAN PX TIDAK BERTEMU L DI A, MAKA KITA DAPAT MEMILIH TITIK B
PADA L SEDEMIKIAN SEHINGGA A BERADA ANTARA B DAN Q, DAN SINAR PB
BERTEMU L, NAMUN MEMOTONG BAGIAN XS YANG TERBUKA, DENGAN
KONTRADIKSI YANG KITA KETAHUI TENTANG X. (GAMBAR 2.24). JADI PX TIDAK
BISA BERTEMU L.

43. • KITA BISA MENEMUKAN X 'DI SEBELAH KANAN PQ DENGAN CARA YANG SAMA,
DAN SEMUA YANG MASIH ADA DITUNJUKKAN BAHWA SUDUT QPX DAN QPX '
KONGRUEN.
• ASUMSIKAN BAHWA MEREKA TIDAK KONGRUEN, DAN SUDUT QPX> QPX '.
• PILIHLAH Y DI SISI YANG SAMA DENGAN PQ SEPERTI X SEDEMIKIAN RUPA
SEHINGGA SUDUT QPY ≅ QPX '. (GAMBAR 2.25) PY AKAN MEMOTONG L DI A. ADA
TITIK UNIK A' PADA L SEDEMIKIAN SEHINGGA Q ADALAH TITIK TENGAH
SEGMEN AA'. DENGAN SAS, SEGITIGA PAQ≅PA'Q, DAN SUDUT A'PQ ≅ APQ ≅ X'PX
', DAN A 'TERLETAK PADA PX', INI MERUPAKAN KONTRADIKSI,
• JADI SUDUT QPX DAN QPX' KONGRUEN QED.

44. GARIS-GARIS INI TERKADANG DISEBUT ASIMTOTIK SEJAJAR. KAMI AKAN NYATAKAN BEBERAPA
FAKTA YANG CUKUP INTUITIF DI SINI TENTANG MEMBATASI KESEJAJARAN TANPA BUKTI,
• PERTAMA: MEMBATASI PARALELISME BERSIFAT SIMETRIS, YAITU JIKA GARIS L MEMBATASI
GARIS SEJAJAR DARI P KE BARIS M, DAN TITIK Q ADA DI M, MAKA M ADALAH PEMBATAS
GARIS SEJAJAR DARI Q KE L PADA PERSAMAAN YANG MEMILIKI ARAH SAMA.
• KEDUA: MEMBATASI PARALELISME ADALAH TRANSITIF, JIKA TITIK P, Q DAN R TERLETAK
PADA GARIS L, M DAN N MASING-MASING, DAN L MEMBATASI PARALEL DARI P KE M, DAN M
MEMBATASI PARALEL DARI Q KE N KE ARAH YANG SAMA, MAKA L ADALAH PARALEL
PEMBATAS DARI P KE N KE ARAH ITU.
• KETIGA: JIKA GARIS L MEMBATASI PARALEL DARI P KE M, DAN TITIK Q JUGA ADA DI L, MAKA L
SEJAJAR YANG MEMBATASI Q KE M KE ARAH YANG SAMA.
Definisi
Diberikan garis l dan titik P yang tidak berada di garis l, sinar PX dan PX' memiliki sinar PY
yang bertemu l jika PY berada diantara PX dan PX' yang disebut sinar paralel yang membatasi
dari P ke l, dan garis yang mengandung sinar PX dan PX 'disebut pembatas garis sejajar, atau
hanya membatasi garis sejajar.

45. • PERHATIKAN BAHWA P (D) ADALAH FUNGSI DARI D SAJA, JADI UNTUK SETIAP TITIK PADA JARAK
TERTENTU D DARI GARIS APAPUN, SUDUT PARALELISME SAMA. JUGA: II (D) ADALAH SUDUT LANCIP
D UNTUK SEMUA YANG MENDEKATI 90 ° SEBAGAI D MENDEKATI 0, DAN MENDEKATI 0 ° D
MENDEKATI ∞. INI TIDAK JELAS KEBENARANNYA, DAN KITA AKAN MEMBUKTIKANNYA DI BAB V
SAAT KITA MENURUNKAN FORMULA UNTUK II (D). INI INTUITIF (DAN BENAR) BAHWA SEBUAH TITIK
PADA SAYA BERGERAK SEPANJANG SAYA KE ARAH LURUS, JARAKNYA DARI M MENJADI LEBIH
KECIL, DAN SAAT BERGERAK KE ARAH LAIN, JARAKNYA MEMANJANG. JADI MEMBATASI
KESEJAJARAN MENDEKATI SATU SAMA LAIN DALAM SATU ARAH DAN MENYIMPANG DI SISI LAIN.
INI MEMBEDAKAN MEREKA DARI PARALEL YANG BERBEDA. KITA BISA MENUNJUKKANNYA
PENDEKATAN ASIMTOTIK SATU SAMA LAIN DAN MENYIMPANG KE TAK TERHINGGA.
Definisi
Diberikan garis l, titik P tidak berada pada l, dan Q tegak lurus dari P ke l, ukuran sudut
yang terbentuk dengan membatasi sinar paralel dari P ke l dan Segmen PQ disebut sudut
paralelisme yang terkait dengan panjang d pada Q, dan dilambangkan II (d). (Gambar 2.26)

46. • MISALKAN, KITA MEMILIKI GARIS L DAN M YANG MEMBATASI SEJAJAR SATU SAMA LAIN KE KANAN.
• PILIH TITIK A PADA L, DAN BIARKAN Q TEGAK LURUS DARI A KE M. (GAMBAR 2.27) KITA DAPAT MEMILIH TITIK R
PADA SEGMEN AQ SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA SEGMEN QR MEMILIKI PANJANG KURANG DARI AQ.
• MISALKAN GARIS N ADALAH PEMBATAS KESEJAJARAN DARI R KE M KE KIRI.
• SEJAK N TIDAK DAPAT BERTEMU M, DAN TIDAK BISA MEMBATASI KESEJAJARAN DENGAN M KE KANAN, (ATAU
N = M) N AKAN BERTEMU L PADA TITIK S.
• MISALKAN T TEGAK LURUS DARI S KE M, DAN PILIH Q ' PADA M, BAHWA T ADALAH TITIK TENGAH SEGMEN QQ '.
DENGAN SAS, SEGITIGA STQ DAN STQ 'KONGRUEN, DAN SQ≅ SQ '. YANG TEGAK LURUS DENGAN M DI Q 'AKAN
MEMOTONG L DI R'. DENGAN PENGURANGAN SUDUT DAN SEGITIGA KONGRUEN, KITA MELIHAT Q'R' ≅ QR YANG
KECIL.
• SEBUAH ARGUMEN SIMETRIS, MEMILIH R PADA GARIS AQ SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA A BERADA DI ANTARA
Q DAN R, AKAN MEMBERI KITA Q'R ' YANG BERUBAH BESAR. JADI, PEMBATAS KESEJAJARAN SAMA ASIMTOTIK
DENGAN ARAH PARALELISME, DAN MENYIMPANG TANPA TERIKAT DI SISI LAIN. JUGA, KARENA R DIPILIH DI
SEBUAH JARAK DARI M, ADA TITIK P PADA KEDUA JALUR SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA JARAKNYA DARI P KE
BARIS LAINNYAADALAH D. JADI

47. Teorema 2.28
Membatasi kesejajaran yang satu dengan yang lain pada jarak dari kesejajaran, menyimpang
tanpa batas di sisi lain, dan jarak dari satu ke yang lain bernilai positif

48. DEFINISI
SEBUAH SEGITIGA YANG MEMPUNYAI SATU ATAU LEBIH TITIK SUDUT TAK
TERHINGGA (SEBUAH TITIK IDEAL) ADALAH SEGITIGA ASYMTOT. TUNGGAL,
GANDA, DAN TRIPEL SEGITIGA ASIMTOT BERTURUT-TURUT MEMPUNYAI SATU, DUA
DAN TIGA TITIK SUDUT TAK TERHINGGA.
Segitiga dengan asymtot tunggal, ganda dan tripel

49. Teorema 2.29:
Jika diberikan dua segitiga asymtot sedemikan hingga sudut-sudut tak nolnya
berpasangan sama besar. Maka sisi terhingganya sama panjang.
Bukti:
Andaikan kita diberi 𝐴𝐵 dan 𝑃𝑄, keduanya segitiga asymtot sedemikian hingga pasangan sudut 𝐴𝐵
dan 𝑃𝑄, dan 𝐵𝐴 dan 𝑄𝑃 sama besar. (Gambar 2.29) Misalkan 𝐴’ dan 𝑃’ kaki-kaki tegak lurus
berturut-turut dari 𝐴 dan 𝑃 ke 𝐵 dan 𝑄. Andaikan ruas garis 𝐴𝐵 > 𝑃𝑄, maka 𝐴𝐴’ > 𝑃𝑃’. Misalkan 𝐶
pada ruas garis 𝐴𝐵 sedemikan hingga 𝐵𝐶 sama dengan 𝑃𝑄, dan misalkan 𝐶’ kaki tegak lurus dari 𝐶 ke
𝐵. Karena Sd.Sd.S maka 𝐶𝐶’ sama dengan 𝑃𝑃’, dan kurang dari 𝐴𝐴’.

51. Karena 𝐴𝐴’ > 𝑃𝑃’, dan karena 𝐴 asymtot dengan 𝐵, kita dapat mencari titik tunggal 𝐷 di 𝐴 sedemikian
hingga 𝑃𝑃’ sama dengan 𝐷𝐷’, di mana 𝐷’ adalah kaki tegak lurus dari 𝐷 ke 𝐵. (Gambar 2.29) Sudut 𝐷’𝐷
sama dengan 𝑃’𝑃. Dengan memilih titik 𝐸 pada sinar 𝐷𝐵 sedemikian hingga 𝐷’𝐸 sama dengan 𝑃’𝑄, kita
dapatkan segitiga 𝐷𝐷’𝐸 𝑃𝑃’𝑄, dan sudut 𝐷𝐸𝐷’ 𝑃𝑄𝑃’ 𝐴𝐵𝐷𝐴’. 𝐴𝐵 sejajar dengan 𝐷𝐸, menurut teorema 2.1,
dan 𝐴𝐷𝐸𝐵 adalah segiempat dengan jumlah sudut 3600, ini kontradiksi dengan akibat 2.18, jadi 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄.
Teorema 2.30:
Garis tertutup (The Line of Enclosure): diberikan dua garis berpotongan, terdapat
sebuah garis ketiga yang sejajar terbatas ke masing-masing garis yang diberikan,
dengan arah berlawanan.

52. BUKTI
• DIPUNYAI GARIS 𝑙 DAN 𝑚 BERPOTONGAN DI TITIK 𝑂, PERHATIKAN SALAH
SATU DARI EMPAT SUDUT YANG DIBENTUK OLEH GARIS TERSEBUT.
MISALKAN TITIK-TITIK IDEAL PADAAKHIR GARIS 𝑙 DAN 𝑚 BERTURUT-
TURUT  DAN . PILIH TITIK 𝐴 DAN 𝐵 BERTURUT-TURUT PADA 𝑂 DAN 𝑂
SEDEMIKIAN HINGGA 𝑂𝐴 𝑂𝐵.
• GAMBAR RUAS GARIS 𝐴𝐵, DAN SEJAJAR TERBATAS DARI 𝐴 KE 𝑚(𝐴), DAN
DARI 𝐵 KE 𝑙 (𝐵). GARIS INI AKAN BERPOTONGAN PADA TITIK
𝐶.KEMUDIAN, GAMBAR GARIS BAGI SUDUT 𝑛 DAN 𝑝 DARI SUDUT-SUDUT
𝐴 DAN 𝐵. INI MEMOTONG 𝐵 DAN 𝐴 BERTURUT-TURUT PADA 𝐹 DAN
𝐺. JUGA, MISALKAN TITIK 𝐷 PADA SINAR 𝐴𝐹 SEDEMIKIAN HINGGA
𝐹 DIANTARA 𝐴 DAN 𝐷.

53. • KITA DAPAT MELIHAT BAHWA SUDUT 𝑂𝐴𝐶 DAN 𝑂𝐵𝐶 SAMA BESAR, DAN
BEGITU JUGA SUDUT 𝐴𝐶 𝐵𝐶, DAN KITA PUNYA 𝐴𝐹 𝐹𝐴𝐶 𝐶𝐵𝐺 𝐵𝐺.
KITA AKAN MENUNJUKAN BAHWA 𝑛 DAN 𝑝 ULTRA-SEJAJAR, DAN KITA
AKAN MELIHAT BAHWA SALING TEGAK LURUS INI SEJAJAR DENGAN
KEDUA GARIS 𝑙 DAN 𝑚.
• PERTAMA, ANDAIKAN BAHWA SINAR 𝐴𝐹 DAN 𝐵𝐺 BERPOTONGAN DI 𝐻. JIKA
DEMIKIAN, MAKA SUDUT 𝐵𝐴𝐻 DAN 𝐴𝐵𝐺 SAMA BESAR, DENGAN
PENGURANGAN SUDUT, DAN 𝐴𝐻 𝐵𝐻. DENGAN KEKONGRUENAN, 𝐻
SAMA JARAKNYA DARI 𝐴 DAN 𝐵, JADI JIKA KITA MENGGAMBAR SINAR
𝐻, MAKA SUDUT 𝐴𝐻 𝐵𝐻, YANG MANA TIDAK BISA DILAKUKAN. JADI
SINAR 𝐴𝐹 DAN 𝐵𝐺 TIDAK BERPOTONGAN. KARENA SUDUT 𝐴𝐹 + 𝐹𝐴 <
180°, DENGAN PENGURANGAN, 𝐺𝐵𝐹 + 𝐵𝐹𝐷 < 180°, JADI SINAR 𝐹𝐴 DAN 𝐺𝐵
TIDAK DAPAT BERPOTONGAN, DAN GARIS 𝑛 DAN 𝑝 TIDAK BERPOTONGAN.

55. • SEKARANG ASUMSIKAN BAHWA 𝑛 DAN 𝑝 SEJAJAR TERBATAS.
• KARENA SUDUT 𝐷𝐹𝐵 + 𝐹𝐵𝐺 < 180°, KITA TAHU BAHWA 𝑛 DAN 𝑝 HARUS SEJAJAR
TERBATAS DENGAN ARAH SINAR 𝐴𝐹 DAN BERPOTONGAN DI TITIK IDEAL .
DENGAN MENERAPKAN TEOREMA 2.3.1 KE SEGITIGAASYMTOT TUNGGAL 𝐹𝐴 DAN
𝐹𝐵, KITA DAPAT MELIHAT BAHWA 𝐹𝐴 𝐹𝐵, DAN SUDUT 𝐵𝐴𝐹 𝐴𝐵𝐹 DIMANA INI
TIDAK MUNGKIN. JADI 𝑛 DAN 𝑝 TIDAK SEJAJAR TERBATAS, DAN HANYA TINGGAL
KASUS BAHWA 𝑛 DAN 𝑝 ULTRA-SEJAJAR DAN SALING TEGAK LURUS.
• MISALKAN GARIS TEGAK LURUS INI `MEMOTONG 𝑛 DI 𝑁 DAN 𝑝 DI 𝑃. (GAMBAR
2.31)

56. • 𝐴𝐵𝑃𝑁 ADALAH SEGIEMPAT SACCHERI, JADI 𝐴𝑁 𝐵𝑃. ANDAIKAN 𝑁𝑃 TIDAK
SEJAJAR TERBATAS KE 𝑚, DAN GAMBAR 𝑁 DAN 𝑃. MEMPERTIMBANGKAN
BAHWA 𝑁 DAN 𝑃 SAMA JARAKNYA BERTURUT-TURUT DARI 𝐴 DAN 𝐵 (DENGAN
KETEGAK LURUSAN DAN MENGGUNAKAN SD.SD.S) SUDUT 𝐴𝑁 DAN 𝐵𝑃 SAMA
BESAR, TETAPI INI MEMBERITAHU KITA BAHWA SEGITIGA 𝑁𝑃 MEMPUNYAI SATU
SUDUT LUAR SAMA DENGAN SUDUT DALAM BERSEBERANGAN, INI KONTRADIKSI
DENGAN TEOREMA 2.4. JADI SINAR 𝑁𝑃 SEJAJAR TERBATAS KE 𝑚 DAN DENGAN
ALASAN YANG SAMA, JUGA KE 𝑙, DAN GARIS 𝑁𝑃 SEJAJAR TEBATAS KE KEDUA
GARIS BERPOTONGAN 𝑙 DAN 𝑚. DI SINI, TENTU SAJA, TIGA GARIS LAINNYA UNTUK
MASING-MASING SUDUT YANG DIBENTUK OLEH 𝑙 DAN 𝑚.

58. LINGKARAN DALAM SEGITIGA DAN LINGKARAN LUAR
SEGITIGA
DEFINISI
DIPUNYAI SUDUT 𝐴𝐵𝐶, GARIS YANG MELALUI SUDUT DALAM, DAN SEJAJAR TERBATAS
KE KEDUA SINAR 𝐵𝐴 DAN 𝐵𝐶 ADALAH GARIS TERTUTUP (THE LINE OF ENCLOSURE) DARI
SUDUT 𝐴𝐵𝐶.
Teorema 2.31 :
Di dalam segitiga sebarang dapat dilukis sebuah lingkaran yang menyinggung di
ketiga sisi-sisinya.
Teorema 2.32:
Dipunyai segitiga sebarang, garis sumbu ketiga sisinya memotong di titik yang
sama, saling terbatas sejajar, atau sejajar divergen dan memberikan garis tegak
lurus persekutuan

59. BUKTI:
MISALKAN KITA PUNYA SEGITIGA 𝐴𝐵𝐶 DENGAN 𝑙 DAN 𝑚 GARIS
SUMBU DENGAN RUAS GARIS 𝐴𝐵 DAN 𝐵𝐶.
KASUS I:
ANDAIKAN 𝑙 BERPOTONGAN DENGAN 𝑚 DI 𝑂. (GAMBAR 2.32) KITA
HARUS MENUNJUKAN BAHWA GARIS SUMBU 𝐴𝐶 MELALUI 𝑂. KARENA
S.SD.S, KITA DAPAT MELIHAT BAHWA 𝐴𝑂, 𝐵𝑂, DAN 𝐶𝑂 SEMUA SAMA
PANJANG, JADI SEGITIGA 𝐴𝑂𝐶 SAMA KAKI, JADI GARIS TEGAK LURUS
DARI 𝑂 KE 𝐴𝐶 AKAN MEMBAGI 𝐴𝐶, DENGAN 𝐻𝐿 SAMA, DAN
KENYATAAN BAHWA GARIS SUMBU DARI 𝐴𝐶 TUNGGAL, MELALUI 𝑂.

61. • KASUS II:
• MISALKAN 𝑙 DAN 𝑚 SEJAJAR DIVERGEN DENGAN GARIS TEGAK LURUS
PERSEKUTUAN 𝑝. (GAMBAR 2.33)
• KITA HARUS MENUNJUKAN BAHWA GARIS SUMBU DARI 𝐴𝐶 TEGAK LURUS JUGA
KE 𝑝. TARIK TEGAK LURUS 𝐴𝐴’, 𝐵𝐵’ DAN 𝐶𝐶’ DARI 𝐴, 𝐵, DAN 𝐶 KE 𝑝, DAN MISALKAN
𝑙 MEMOTONG 𝐴𝐵 DAN 𝑝 BERTURUT-TURUT DI 𝐿 DAN 𝐿’, DAN 𝑚 MEMOTONG 𝐵𝐶 DAN
𝑝 BERTURUT-TURUT DI 𝑀 DAN 𝑀’.
• SEKARANG, KARENA S.SD.S, SEGITIGA 𝐴𝐿’𝐿 DAN 𝐵𝐿’𝐿 KONGRUEN, JADI RUAS
GARIS 𝐴𝐿’ = 𝐵𝐿’, DAN SUDUT 𝐴𝐿’𝐿 = 𝐵𝐿’𝐿.
• DENGAN PENGURANGAN SUDUT, KITA PUNYA SUDUT 𝐴𝐿’𝐴’ = 𝐵𝐿’𝐵’, DAN KARENA
SD.SD.S, SEGITIGA 𝐴𝐿’𝐴’ 𝐵𝐿’𝐵’. INI MEMBERI KITA 𝐴𝐴’ = 𝐵𝐵’, DAN DENGAN
ALASAN YANG SAMA, 𝐵𝐵’ = 𝐶𝐶’. 𝐴𝐶𝐶’𝐴’ ADALAH SEGIEMPAT SACCHERI, DAN RUAS
GARIS YANG MENGHUBUNGKAN PERTENGAHAN 𝐴’𝐶’ DAN 𝐴𝐶 TEGAK LURUS PADA
KEDUANYA, DAN OLEH KARENANYA GARIS SUMBU DARI SISI 𝐴𝐶 TEGAK LURUS KE
𝑝.

63. KASUS III:
KASUS INI SEPELE, JIKA 𝑙 DAN 𝑚 SEJAJAR TERBATAS, GARIS SUMBU 𝐴𝐶
MENJADI APA SAJA SELAIN DARIPADA GARIS SEJAJAR TERBATAS KE KEDUANYA
DAN BERTENTANGAN DENGAN SALAH SATU DARI KEDUA KASUS PERTAMA, DAN
KITA TELAH MEMBUKTIKAN TEOREMA INI.
KITA AKAN MELIHAT LAGI SIFAT-SIFAT SEGITIGA DAN LINGKARAN PADA
GEOMETRI HIPERBOLIK. SEBELUM KITA MELAKUKANNYA, NAMUN, KITA AKAN
MEMPERKENALKAN BEBERAPA MODEL GEOMETRI HIPERBOLIK YANG TELAH KITA
PELAJARI SECARA ABSTRAK SEJAUH INI. MODEL INI AKAN MEMUNGKINKAN KITA
UNTUK MEMVISUALISASIKAN SIFAT-SIFAT NON-EUCLIDEAN GEOMETRI JAUH LEBIH
JELAS.