2. а
ах
х
0 0
або
0х – координатна числова вісь
0а – параметрична вісь
(х0а) або (а0х) – КП площина
3. КП – метод заснований на
знаходженні множини всіх точок КП –
площини, де значення координат Х і
параметра а задовольняють заданій в
умовах завдання співвідношенню
F(х;а)=0
4. При запису відповіді поставимо у
відповідність кожному допустимому
фіксованому значенню параметра а
значення шуканої величини Х –
координати відповідних точок
знайденої множини.
5.
6. • Будь-яке рівняння чи нерівність з параметрами
розв’язують як звичайні рівняння чи нерівність
доти, поки всі перетворення або міркування, необхідні
для розв’язування, можна виконати однозначно.
• Буває зручно супроводжувати відповідні міркування
схемами.
• Зазначимо, що рівняння та нерівності з
параметрами найчастіше розв’язують за допомогою їх
рівносильних перетворень, хоча інколи
використовують: властивості функцій, метод
інтервалів (для розв ’язування нерівностей) ,рівняння
– наслідки, рівносильні перетворення.
Орієнтиром
при розв’язуванні завдань з параметрами є:
7. Розв’яжіть рівняння
На першому кроці розбиваємо
розв’язання на 2 випадки:
1) a< 0 - коренів немає,
2) a≥ 0 – корені є;
a=2-xПриклад №1
a=2-x
a<
0
a≥
0
Коренів немає
2
2 ax =−
22
+= ax
При a≥ 0 маємо найпростіше
ірраціональне рівняння, обидві
частини якого невід’ємні.
Розв’язання
1) При a< 0 - рівняння не має коренів;
2) При a≥ 0, . Тоді .
2
2 ax =− 22
+= ax
Відповідь: 1) якщо a< 0 , то коренів немає;
2) якщо a≥ 0, то .22
+= ax
Комментар
8. Розв`яжіть рівняння
Для всіх коренів даного рівняння х≥0. (1)
Тоді задане рівняння рівносильне рівнянням:
(2)
(3)
Для всіх коренів рівняння
(4)
Тоді рівняння (3) рівносильне рівнянням:
(5)
(6)
Розглянемо рівняння (6) як квадратне відносно а:
D=
Тоді а=
Отже, а= або а=
Звідси (7)
Або (8)
Ураховуючи умови (1) і (4), одержимо, що ,
Отже, рівняння (7) не має коренів.
Приклад №2 õõàà =++
2
xxaa =++
axxa −=+ 2
02
≥−ax
224
2 aaxxxa +−=+
0)12( 422
=−++− xxaxa
22422
)12(144)(4)12( +=++=−−+ xxxxxx
2
)12()12( 2
+±+ xx
12
++ xx xx −2
012
=++− xax
xax =−2
22
)( axxa −=+
11)( 2
≥++− xax
Комментар
ОДЗ данного рівняння є
ОДЗ буде враховано при переході
до рівнянь (2) та (5). Для (2),(3),
(5),(6) повністю аналогічне
міркування до прикладу (2)
Аналізуючи рівняння (6),
користуємося орієнтиром, а саме:
спробуйте розглянути задане
рівняння як квадратне відносно
якоїсь змінної(чи функції). У
даному випадку розглянемо це
рівняння як квадратне відносно
параметра a.
* Цей спосіб ефективний тільки
тоді, коли дискримінант
одержаного квадратного тричлена
є повним квадратом, як у
розглянутого випадку.
Розв`язок
0≥++ xaa
0≥+xa
9. Якщо для коренів рівняння (8)
виконується умова (1) (х≥ 0), то
автоматично виконується й
умова (4) ( ).
Із рівняння (8) одержимо:
Це рівняння має корені, якщо
D=1+4а ≥0, тобто при а ≥-
Тоді ,
Для умова х ≥0, виконується,
Отже, - корінь заданого рівняння
при а ≥-
Урахуємо умову х ≥ 0 для :
≥ 0, , ,
.
Відповідь:
1) При
2) При a>0 х= ;
3)При а<- коренів немає.
0
4
1
≤≤− à
2
411
1
a
x
++
=
2
411
2
a
x
+−
=
2
411 a+−
4
1
Комментар
Перед записом відповіді
зручно зобразити на рисунку всі одержані розв`язки і
напроти кожного розв`зку відмітити, при яких значеннях
параметра цей розв`язок можна використати.
2
411
1
a
x
++
=
2
411
2
a
x
+−
=
а0- 4
1
Із цього рисунку видно, що при а>0
у відповідь потрібно записати тільки
одну формулу( ), при
дві формули ( і ), а при a<- коренів немає.
02
≥− ax
02
=−− axx
4
1
2
411
1
a
x
++
=
2
411
2
a
x
+−
=
1x
1x
4
1
2x
2
411 a+− 141 ≤+ a 1410 ≤+≤ a
0
4
1
≤≤− à
1x 0
4
1
≤≤− à
2õ1x 4
1
10. Розв`яжіть нерівність
• Із теорії відомо:
• або
• Якщо в одержані системи параметр а входить лінійно, то в таких
випадках іноді буває зручно виразити параметр через змінну,
розглянути параметр як функцію від цієї змінної і використати
графічну ілюстрацію розв`язування нерівностей (у системі
координат хОа) для зображення розв`язків сукупності
нерівностей зручно використовувати дві системи координат, у
яких осі Ох розташовані на одній прямій,
• І на кожній виділять штриховкою відповідні розв`язки.При
різних значеннях а пряма а=const або не перетинає заштриховані
області (при а ), або перетинає їх по відрізках. Абсциси точок
перетину є розв`язками систем (1)і (2), а отже, і розв`язками
заданої нерівності.
Приклад №3 1+− xax
0)( ≥xg
⇔)()(2
xgxfk
)()( 2
xgxf k
0)( >xf
0)( ≥xg
4
3
−≥
11. Розв`язання
Задана нерівність рівносильна сукупності систем:
або
Тоді (1)
Або (2)
Зобразимо графічно розв`язки систем нерівностей(1) і (2) у системі
координат хОа(на малюнку відмічено області 1 і 2).
X=-1
a
x
X=-1
4
3
−a
4
3
1 −≤− a
1−à
2
1
−
4
3
−
-1
-1
0
1
a
x
1−à
4
3
1 −≤− a
4
3
−a
a=x
4
3
−
-1
0
2
01 ≥+x
2
)1( +− xax
0≥−ax
01 +x
1−≥x
12
−−− xxa
xa ≤
1−x
12. За малюнками ми бачимо, що при а розв`язків немає(немає
зафарбованих точок); якщо , то пряма а=const перетинає тільки
заштриховану область 1 Причому одержаний інтервал обмежений зліва
і справа вітками параболи а= . Але для відповіді нам потрібно
записати х через а. Для цього з рівняння
знаходимо х:
Як бачимо, ,тобто - рівняння правої вітки
параболи, а - лівої.
Тоді відповідь у цьому випадку буде такою :
Якщо a<-1, то пряма а=const перетинає заштриховані області 1 і 2. Для
області 1 інтервал для х зліва обмежений прямою х=-1, а справа -
правою віткою параболи , тобто .
4
3
−≥
4
3
1 −≤− a
12
−−− xx
012
=+++ àxx
1
4
1
2
1
−−±−= ax
2
1
4
3
2
1
−−−+−= ax
2
1
4
3
2
1
−−−+−= ax
2
1
4
3
2
1
−−−−−= ax
axa −−+−−−−−
4
3
2
1
4
3
2
1
ax −−+−≤−
4
3
2
1
1
13. Для області 2 інтервал для х обмежений зліва прямою
х=а, а справа – прямою х=-1, тобто
Об`єднання цих інтервалів можна коротше
записати так :
Відповідь:
1) При - розв`язків немає;
2) При - ;
3) При а<-1 .
Для розв`язування деяких дослідницьких завдань з
параметрами можна використати властивості
квадратного тричлена і, зокрема, умови розміщення
коренів квадратного тричлена відносно заданих
чисел.
1−≤≤ xa
axa −−+−≤
4
3
2
1
4
3
−a
4
3
1 −≤− a axa −−+−−−−−
4
3
2
1
4
3
2
1
axa −−+−≤
4
3
2
1
