2. Існують задачі, в яких треба визначити,Існують задачі, в яких треба визначити,
скільки різних підмножин можна утворити зскільки різних підмножин можна утворити з
елементів даної множини. Їх називаютьелементів даної множини. Їх називають
комбінаторнимикомбінаторними задачами.задачами. А розділА розділ
математики про розв'язуванняматематики про розв'язування
комбінаторних задачкомбінаторних задач називаютьназивають
комбінаторикою.комбінаторикою.
КомбінаторикаКомбінаторика
3. Якщо елемент а можна вибрати m способами,
а елемент b – n способами, то вибір “
a або b “ можна здійснити m + n способами
– правило суми .
Наприклад, якщо на столі лежать 8 яблук
і 3 груші, то один із фруктів можна
вибрати 8 + 3 = 11 способами .
Правило сумиПравило суми
4. Якщо елемент а можна вибрати b
способами , а після цього елемент b можна
вибрати n способами, то вибір “ a і b “
можна здійснити m · n способами –
правило добутку.
Наприклад, якщо на столі лежать 8
яблук і 3 груші, то вибрати пару фруктів -
яблуко і грушу можна 8 · 3 = 24 способами.
Правило добуткуПравило добутку
5. Будь – яка впорядкована множина
( порядок елементів істотний ), яка
складається з n елементів, називається
перестановкою з n елементів.
Рn ─ число перестановок з n
елементів.
Рn = n ! ,
де n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·( n – 1) · n, ( 0! = 1).
ПерестановкиПерестановки
6. Розміщення. КомбінаціїРозміщення. Комбінації
Будь – яка впорядкована підмножина
з п елементів даної множини, яка містить
т елементів ( п ≤ т ), називається
розміщенням з т елементів по п.
Будь – яка підмножина з п елементів
( порядок елементів не істотний) даної
множини, яка містить т елементів,
називається комбінацією з т
елементів по п.
7. Основи теорії
ймовірностей
Одним із найважливіших розділів
сучасної математики є теорія
ймовірностей. Основне її поняття –
ймовірність ( або імовірність ) події.
Подіями в теорії ймовірностей
називають результати (наслідки)
випробувань чи спостережень.
8. П о д і їП о д і ї
Подію називають неможливою, якщо вона
ніколи не може відбутись, достовірною або
імовірною – якщо завжди відбувається.
Якщо подія може відбутися або не відбутися, її
називають випадковою.
Рівноможливі події – події, кожна з яких не має
ніяких переваг у появі частіше за іншу під час
багаторазових випробувань, що проводяться за
однакових умов.
Подія Ā називається протилежною події
А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли не
відбувається подія А.
Р ( Ā ) = 1 – Р ( А ).
9. Класичне означенняКласичне означення
ймовірностіймовірності
Ймовірність випадкової події А
називається відношення кількості подій, які
сприяють цій події, до кількості всіх
рівноможливих подій, які утворюють певну
групу подій під час певного випробування.
Р (А) = , де Р (А) – ймовірність події А, 0 ≤ Р(А) ≤ 1.
т – кількість подій, що сприяють події А:
п - кількість усіх рівноможливих подій, які
утворюють певну групу подій під час певного
випробування.
n
m
10. Ймовірність суми двохЙмовірність суми двох
несумісних подійнесумісних подій
Сумою подій А і В називається подія А + В,
яка відбувається тоді і тільки тоді, коли
відбувається подія А або В.
Ймовірність суми двох несумісних подій
дорівнює сумі ймовірностей цих подій :
Р( А + В) = Р(А) + Р(В).
11. Ймовірність добуткуЙмовірність добутку
двох подійдвох подій
Добутком подій А і В називається подія А · В,
яка відбувається тоді і тільки тоді, коли
відбуваються обидві події А і В.
Ймовірність добутку двох подій дорівнює
добутку ймовірності однієї з них на умовну
ймовірність другої події, яка обчислюється за
умови, що перша подія вже відбулася:
Р ( А · В ) = Р ( А ) · РА ( В ),
де Р(В) – ймовірність події В за умови, що
відбулася подія А.
12. Незалежні події.Незалежні події.
Ймовірність появи хоча бЙмовірність появи хоча б
однієї з незалежних подійоднієї з незалежних подій
Подія В називається незалежною від події А,
якщо поява А не змінює ймовірності події В.
Тоді РА(В) = Р(В) і Р(АВ) = Р(А) · Р(В).
Ймовірність появи хоча б однієї з
незалежних подій А1, А2, ..., Ап
можна обчислити за формулою:
Р( А1 + А2 + ... + Ап ) =
1 – ( 1 – Р(А1)) · ( 1 – Р(А2)) · ... · ( 1 – Р(Ап)).
13. Формула БернуліФормула Бернулі
Нехай проводять п незалежних експериментів,
у кожному з яких
подія А може відбутися, а може й не відбутися.
Ймовірність того, що подія А відбудеться, у
кожному з експериментів однакова і дорівнює р,
а ймовірність того, що подія А не відбудеться,
дорівнює q = 1 – p.
Тоді ймовірність того, що в п незалежних
експериментах подія А відбудеться точно т разів
обчислюється за формулою Бернулі :
14. Перші відомостіПерші відомості
про статистикупро статистику
Статистика – це наука, яка займається
збиранням, обробкою і вивченням різних даних,
пов'язаних з масовими явищами, процесами та
подіями.
Предметом вивчення статистики є вивчення
кількісної сторони явищ. Статистика вчить, як
проаналізувати інформацію, виявити та оцінити
закономірності формування, розвитку та
взаємодії складових за своєю природою
соціально-економічних явищ.
15. Математична статистикаМатематична статистика
Математична статистика – це розділ
математики, присвячений математичним методам
систематизації, обробки та дослідження
статистичних даних для наукових і практичних
висновків ЇЇ основне завдання – розробляти ефективні
методи вивчення великих сукупностей об єктів на
основі порівняно невеликих вибірок.
Її широко застосовіють соціально-економічні
дисципліни та інші галузі, а саме: астрономія ( розподіл
і рух зірок у небесному просторі), фізика
( термодинаміка), біологія ( закони спадковості),
гідрологія ( прогноз погоди), індустрія ( контроль
якості виробів) тощо.
16. СтатистичнеСтатистичне
спостереженняспостереження
Першим етапом будь-якого дослідженняПершим етапом будь-якого дослідження
є збирання інформації, а саме, статистичнеє збирання інформації, а саме, статистичне
спостереження.спостереження.
Статистичне спостереженняСтатистичне спостереження –– цеце
спланований, науково організований збірспланований, науково організований збір
масових даних про соціально-економічнімасових даних про соціально-економічні
явища та процеси.явища та процеси.
Приклади статистичних спостережень:Приклади статистичних спостережень:
перепис населення; реєстрація шлюбів уперепис населення; реєстрація шлюбів у
загсах; телефонне опитування та інші.загсах; телефонне опитування та інші.
17. ВибіркаВибірка
Статистичні відомості про якусь велику
сукупність об'єктів (генеральну сукупність)
одержують здебільшого в результаті аналізу
тільки незначної її частини – вибірки.
Кожний елемент вибірки називають її
варіантою. Вибірка, одержана в результаті
спостережень, буває невпорядкованою.
Упорядкувавши її, дістають варіаційний ряд.
Різниця між крайніми членами варіаційного
ряду – розмах вибірки.
18. Мода. Медіана.Мода. Медіана.
Середнє значення.Середнє значення.
Мода вибірки – її варіанта з найбільшою частотою
( найчастіше трапляється в даному ряді
розподілу).
Медіаною вибірки – число, яке “поділяє”
відповідний варіаційний ряд навпіл: якщо кількість
чисел ряду непарна, то медіана – це число розміщене
посере-
дині; якщо ж кількість чисел ряду парна, то медіана
– це середнє арифметичне двох чисел, що стоять
посередині.Середнім значенням вибірки називають середнє
арифметичне усіх її варіант.
19. ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГОВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО
РОЗВ'ЯЗУВАННЯРОЗВ'ЯЗУВАННЯ - І варіант- І варіант
1.1. Скількома способами можна вишукувати вСкількома способами можна вишукувати в
колону по одному шість учнів ?колону по одному шість учнів ?
2.2. Скільки можна написати трицифрових чисел зСкільки можна написати трицифрових чисел з
різними цифрами, не використовуючи цифри 0 ?різними цифрами, не використовуючи цифри 0 ?
3.3. Виготовлено 10 виробів. Для вибірковогоВиготовлено 10 виробів. Для вибіркового
контролю треба взяти 2 з цих десяти виробів.контролю треба взяти 2 з цих десяти виробів.
Скількома способами можна це зробити ?Скількома способами можна це зробити ?
4.4. В урні лежать десять однакових за розміромВ урні лежать десять однакових за розміром
кульок: сім білих і три чорних. Кулькикульок: сім білих і три чорних. Кульки
перемішані. Знайти ймовірність того, щоперемішані. Знайти ймовірність того, що
навмання вийнята кулька біла.навмання вийнята кулька біла.
20. ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГОВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО
РОЗВ'ЯЗУВАННЯРОЗВ'ЯЗУВАННЯ -- ІІ варіантІІ варіант
1.1. Скільки чотирицифрових чисел можнаСкільки чотирицифрових чисел можна
утворити з цифр 0 , 1, 2, 3 так, щоб жодна зутворити з цифр 0 , 1, 2, 3 так, щоб жодна з
них в числі не повторювалась?них в числі не повторювалась?
2.2. Скількома способами можна обратиСкількома способами можна обрати
президію з трьох учнів на класних зборах, депрезидію з трьох учнів на класних зборах, де
присутні 20 учнів ?присутні 20 учнів ?
3.3. Знайти ймовірність того, що прикиданніЗнайти ймовірність того, що прикиданні
грального кубика випаде парне число ?грального кубика випаде парне число ?
4.4. Стрілець зробив 10 пострілів. ІмовірністьСтрілець зробив 10 пострілів. Імовірність
влучення при кожному пострілівлучення при кожному пострілі рр = 0,7. Яка= 0,7. Яка
ймовірність того, що він влучив 8 раз ?ймовірність того, що він влучив 8 раз ?
21. ВІДПОВІДІ до вправ дляВІДПОВІДІ до вправ для
самостійногосамостійного РОЗВ'ЯЗУВАННЯРОЗВ'ЯЗУВАННЯ ..
І – варіантІ – варіант
1)1) 720720 2)2) 504504 3)3) 4545 4)4) 0,70,7
ІІ – варіантІІ – варіант
1)1) 1818 2)2) 11401140 3)3) 0,50,5 4)4) 0,230,23
22. Тренувальний тестТренувальний тест
Завдання з вибором однієї правильної відповіді
1. Якщо з цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7,8 скласти трицифрові
числа так, що цифри в числі не повторюються, то
таких чисел буде:
А 21
Б 7
В 210
Г 343
Д 147
2. З 10 книжок, які стоять на полиці, вибирають три.
Скількома способами їх можна вибрати.
А 210
Б 30
В 13
Г 7
Д 120
23. 3.3. Скількома способами з 10 кандидатів можнаСкількома способами з 10 кандидатів можна
вибративибрати 3 –х членів журі3 –х членів журі олімпіади з математики ?олімпіади з математики ?
АА 120120
ББ 3030
ВВ 6060
ГГ 33
ДД 720720
44. Неможливою є подія:. Неможливою є подія:
АА –– при одному пострілі по мішені вибили 7 очок;при одному пострілі по мішені вибили 7 очок;
ББ –– при підкиданні монети випав герб;при підкиданні монети випав герб;
ВВ –– при вийманні однієї карти з колоди вийнялипри вийманні однієї карти з колоди вийняли
десятку;десятку;
ГГ –– при підкиданні двох гральних кубиків випало 13при підкиданні двох гральних кубиків випало 13
очок;очок;
ДД –– при купівлі лотерейного білета купилипри купівлі лотерейного білета купили
виграшний білет.виграшний білет.
24. Завдання на встановленняЗавдання на встановлення
відповідностівідповідності
Установіть відповіднсть між завданнями та
відповідями, що їм відповідають:
5. В сім’ї п’ять дітей. Ймовірність народження
хлопчиків дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того,
що серед цих дітей:
а) два хлопчика; А) 0,48
б) не більше двох хлопчиків; Б) 0,62
в) більше двох хлопчиків; В) 0,36
г) не менше двох і не більше Г) 0,31
трьох хлопчиків; Д) 0,52
25. Завдання відкритої формиЗавдання відкритої форми
з короткою відповіддюз короткою відповіддю
6. Дано вибірка деякої випадкової величини
Х: 1; 2; 8; 4; 2; 3; 5; 4; 2; 3.
Знайти середнє значення, моду й медіану,
у відповідь записати суму цих величин.
Відповідь: _______
7. Скількома способами можна вибрати
3 олівці та 2 ручки із 5 різних олівців
і 4 різних ручок?
Відповідь: _______
26. Оцінювання завдань різнихОцінювання завдань різних
форм тесту з математикиформ тесту з математики
Завдання кожної форми оцінюються за
відповідною системою.
1. Завдання з вибором однієї правильної
відповіді : 0 або 1тестовий бал .
2. Завдання на встановлення відповідності
(логічні пари) : 0, 1, 2, 3, 4 тестових бали.
3. Завдання з короткою відповіддю:
0 або 2 тестових бали .
27. В і д п о в і д і :В і д п о в і д і :
Завдання з вибором однієї правильної
відповіді: 1) В ; 2) Д; 3) А; 4) Г.
Завдання на встановлення відповідності:
5) а) - Г) 0,31;
б) - А) 0,48;
в) - Д) 0,52;
г) - Б) 0,62.
Завдання з короткою відповіді:
6) 8,4; 7) 60.
28. Література:Література:
1. Є.П.Нелін, О.Є.Долглва.
Алгебра і початки аналізу. 11 клас, 2006.
2. М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук.
Алгебра і початки аналізу. 11 клас, 2006.
3. Г.П.Бевз. Алгебра і початки аналізу. 10-11кл.2006.
4. О.М.Роганін, О.І.Каплун. Математика за всією
шкільною програмою. Практичний довідник. 2008.
5. М.І.Бурда, О.Я.Біляніна, О.П.Вашуленко,
Н.С.Прокопенко. Збірник завдань для державної
підсумкової атестації з математики, 11 клас, 2009.
