2. 2
План
1. Визначення границі функції.
2. Односторонні границі.
3. Нескінченно малі і нескінченно
великі.
4. Теореми про границі.
5. Деякі ознаки існування границі.
6. Чудові границі.
7. неперервність.
8. Властивості неперервних
функцій.
3. Визначення функції
Якщо кожному елементу х є Х
поставлений у відповідність
єдиний елемент у = f (х) є У, де Х і Y-
дані числові множини, і при цьому
кожному елементу у є У
поставлений у відповідність хоча б
один елемент х є Х, то у
називається функцією від х,
визначеної на множині Х.
4. Зворотна функція
Нехай між елементами множин X і Y
функція y = f (x) встановлює взаємно
однозначну відповідність, тобто x є X
відповідає один і тільки один його
образ y = f (x) є Y і назад, для y є Y
знайдеться єдиний прообраз x є X
такий, що f (x) = y. Тоді функція, де y є
Y, що встановлює відповідність між
елементами множин Y і X,
називається зворотної для функції y =
f (x).
)(1
yfx −
=
5. Визначення окола
Околом О (а) точки а називається
будь-який інтервал α < x < β,
навколишній цю точку, з якого, як
правило, видалена сама точка а.
Під околицею О (∞) символу
нескінченність розуміється зовнішність
будь-якого відрізка [α,β], то є О (∞) =
(-∞,α) ∪ (β,+ ∞).
7. Точку а ми будемо називати
граничної точкою множини X,
якщо в будь δ-околі точки а міститься
нескінченно багато точок x є X, тобто О
(а) ∩ X ≠ ∅ для О (а)
8. Визначення границі
Число А називається границею функції
f (x) в точці а (або при x→а), якщо ε > 0
існує число δ(ε) > 0 таке, що для будь-
якого x є X, що задовільняє умові
0 < x – а <δ, слідує нерівність
f (x) – A< ε.
9. Інше визначення границі
Кажуть, що число А є межею
функції f(x) при x→а, якщо для ∀ ε > 0
існує δ-околиця точки а О (а,δ) = {x| 0<
|x-a|<δ}, де
δ =δ (ε), така, що для ∀ x є O (а, δ)
виконується нерівністьf(x) – A < ε.
При цьому пишуть: ( ) .lim Axf
ax
=
→
10. Затвердження еквівалентно
наступному:
• f(x) – A < ε при x > ∆, де ∆ = ∆(ε)
залежить від і за змістом визначення є
достатньо великим позитивним числом.
• Безліч усіх точок x, для яких
x > ∆, очевидно є симетричною околицею
символу∞.
( ) Axf
x
=
∞→
lim
12. Наведемо ще один малюнок, що
пояснює визначення границі.
а
А
А+ε
А-ε
а-δ а+δ х
у
У=f(x)
0
о
13. На цьому малюнку зображена
функція, яка в точці а не має границі.
а х
у
0
Y=f(x)
14. Односторонні границі
•Будь-який інтервал (α, а), правим
кінцем якого є точка а, називається
лівою околицею точки а.
• Аналогічно будь-який інтервал (a,
β), лівим кінцем якого є точка а,
називається її правою околицею.
15. Односторонні границі
Символічно запис означає,
що х прагне до а праворуч,
залишаючись великим а, тобто при х >
а;
• запис
• означає, що х прагне до а ліворуч,
тобто при х < а.
0+→ ax
0−→ ax
17. Односторонні границі
• Теорема про існування границі
• Функція у = f(х) має
• в тому і тільки тому випадку, коли
існують і рівні один одному її
лівобічний і правобічний границі прі.
• Tогда =
=
( ) Axf
ax
=
→
lim
ax →
( )xf
ax 0
lim
−→
( )xf
ax 0
lim
+→
( ) .lim Axf
ax
=
→
18. Нескінченно малі і
нескінченно великі
Функція α(x) називається бескінечно
малою при х→а, якщо
Ясно, що тоді α(x) ∠ ε для всіх
x є O(а, δ) и ∀ ε > 0.
Наприклад, функція є
нескінченно малою при x→0.
19. Нескінченно малі і нескінченно
великі
Функція f(х) називаєтся бескінечно
великою при якщо .
Це рівнозначно тому, що яким би не
було число М > 0, найдется така
окколиця О (а, δ), що для всіх
x є O (а, δ) > M.
Наприклад, бескінечно
велика при x→0 .
,ax → ( ) ∞=
→
xf
ax
lim
( )xf
−= 2
1
)(
x
xg
20. Нескінченно малі і
нескінченно великі
Лемма.
Якщо f(х)→∞ при х→а,
→0 при х→а.
Якщо α (x) → 0 при x→ a, то → ∞
при x → a и α (x) ≠ 0.
)(
1
xf
)(
1
xα
22. Теорема 2.
Твір кінцевого числа нескінченно
малих при x → a функцій є
нескінченно мала приx → a
функція.
23. • Теорема 3.
Твір нескінченно малою приx→a
функції на функцію, обмежену при
x → a, є нескінченно мала при
x → a.
24. Наслідок
• Ціла позитивна ступінь
нескінченно малою при x → a
функції α(x) є нескінченно мала при
x → a.
n
x))((α
25. Якщо , то в силу
визначення границі функції
отримуємо: f(x)-A<ε при
xє O(а,δ), що означає, що f(x) – A є
нескінченно малою при
x→ a.
( ) Axf
ax
=
→
lim
26. Тоді, вважаючи f(x)-A=α(x),
получимо: f(x) = A + α(x), де
α(x) → 0 при x → a.
Таким чином, маємо:
<=> f(x) = А+ α(x),
где α(x)→ 0 при x → a.
( ) Axf
ax
=
→
lim
27. Теореми про границі
Теорема.
Якщо функція f(х) = с постійна в
деякій околиці точки а, то
Теорема.
Якщо f(х) маємо межу при х→а, то ця
границя єдина.
( ) .lim cxf
ax
=
→
28. Теореми про границі
Функція f(х) називаєтся обмеженою на
даній безлічі Х, якщо існує таке
позитивне число М, что |f(х)| ≤ М при
всіх х єХ.
Якщо таке число М не існує, то функція
f(х) називаєтся необмеженою
29. Теореми про границі
Лемма. Якщо функція f(х) має межу А
при х→а, то вона обмежена в деякій
околиці точки х = а.
Теорема. Нехай існує
і нехай М < f(x) < N в
деякій околиці точки x = a. Тоді
М ≤ А ≤ N.
Позитивна функція не може мати
негативного границі.
( ) Axf
ax
=
→
lim
30. Теореми про границі
Теорема 1.
Якщо в точці а існують границі
функційf(x) і g(x), то в цій точці існує
і границя суми f(x)±g(x),причому
( ) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgxf
axaxax →→→
±=± limlimlim
31. Теореми про границі
Теорема 2.
Якщо в точці а існують границі
функцій f (x) и g (x), то існує і
границя вироблення f(x)⋅g(х),
причому
[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax →→→
⋅=⋅
33. Теореми про границі
Теорема 3. Якщо в точці а існують
границі функцій f(х) и g (x) і при
цьому, то існує і
границя приватного, причому
.
.
0)(lim ≠
→
xg
ax
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
=
34. Приклад
Знайти .
По теоремі про межу приватного
2
15
lim 2
2
−−
+−
∞→ xx
xx
x
.
21
1
15
1
lim
2
15
lim
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
−−
+−
=
−−
+−
∞→∞→
1
)
21
1(lim
)
15
1(lim
2
15
lim
2
2
2
2
=
−−
+−
=
−−
+−
∞→
∞→
∞→
xx
xx
xx
xx
x
x
x
35. Приклад
Знайти
• Перетворимо цю функцію так, щоб
виділити в чисельнику і знаменнику
множник , на
який і розділимо далі чисельник
і знаменник:
.
12
lim 3
2
1 xx
xx
x −
+−
→
.0
)1(
1
lim
)1)(1(
)1(
lim
12
lim
1
2
13
2
1
=
+
−
=
+−
−
=
−
+−
→→→ xx
x
xxx
x
xx
xx
xxx
1−x
36. Приклад
Знайти
Перетворимо дану функцію, помноживши
чисельник і знаменник на
.
10
31
lim
10 −
−−
→ x
x
x
.31
1
)31)(10(
10
)31)(10(
91
)31)(10(
)31)(31(
10
31
+−
=
+−−
−
=
=
+−−
−−
=
+−−
+−−−
=
−
−−
xxx
x
xx
x
xx
xx
x
x
.31 +−x
.
6
1
31
1
lim
10
31
lim
1010
=
+−
=
−
−−
→→ xx
x
xx
37. Приклад
Ще один приклад. Вичислити
Покладемо.
.
1
1
lim
4
3
1
−
−
→
x
x
x
12
yx =
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( ) .
3
4
1
11
lim
11
111
lim
11
11
lim
1
1
lim
1
1
lim
2
2
12
2
1
2
22
13
4
14
3
1
=
++
++
=
++−
++−
=
=
++−
+−
=
−
−
=
−
−
→→
→→→
yy
yy
yyy
yyy
yyy
yy
y
y
x
x
yy
yyx
39. Теореми про границі
Теорема (про проміжної функції).
Нехай в деякій околиці О (а) точки а
функція f(x) укладена між двома
функціями и , мають
однаковий границя А при x → a, то є
и
Тоді функція f(x) має таку ж межу:
)(xϕ )(xψ
)()()( xxfx ψϕ ≤≤
.)(lim)(lim Axx
axax
==
→→
ψϕ
( ) .lim Axf
ax
=
→
40. Перша чудова границя
Теорема. Границя відношення синуса
нескінченно малою дуги до самої дузі,
вираженої в радіанах, дорівнює одиниці,
тобто
.
Ця границя називають першим чудовим
межею.
1
sin
lim
0
=
→ x
x
x
41. Перша чудова границя
Це пояснюється тим, що нескінченно
мала дуга майже не встигає змінити
свій напрямок, тобто викривити.
x
x
y 1
sin
lim
0
=
→ x
x
x
А
В
42. Друга чудова границя
Друга чудова границя:
або абоe
x
x
x
=
+
∞→
1
1lim ex x
x
=+
→
1
0
)1(lim
( )
exa xa
x
=+
→
)(
1
0
))(1(lim
α
45. Порівняння нескінченно малих
• Дві нескінченно малі при х→а
функції α(х) и β(х) називаются
нескінченно малими однакового
• порядку, якщо k, где k ≠0
При цьому пишуть: α(х) =О(β(х))
( )
( )
=
→ x
x
ax β
α
lim
46. Еквівалентні функції
Дві бескінечно малі х→а функції
α(х) и β(х) називаются
еквівалентними при х→а, якщо
.
Це записують так:α (x) ≈ β(x) при
x→a.
1
)(
)(
lim =
→ x
x
ax β
α
47. Функція вищого порядку
Бескінечно мала при х→а функція α(х)
називається функцією вищого порядку
порівняно з функцією β(х) при х→а,
якщо
.
В цьому випадку при α(х) = о (β(х)) при
x→a.
0
)(
)(
lim =
→ x
x
ax β
α
48. Приклади
Наведемо деякі чудові приклади на
додаток до першої і другої чудових
границь.
.ln
1
lim,1
1
lim,1
)1ln(
lim
0x00
a
x
a
x
e
x
x xx
xx
=
−
=
−
=
+
→→→
49. Теорема
Теорема. Якщо при бескінечно
мала , то
Приклад.
ax →
)()( xx ψϕ ≈
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xf
x
xf
x
axax
ψϕ
→→
=
.0
2
lim
2
sin
lim
1
)sin1ln(
lim
2
0
2
02
2
0
===
−
+
→→→ x
x
x
x
e
x
xxxx
