1. ПОКАЗНИКОВІ, ЛОГАРИФМІЧНІ, ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ,
НЕРІВНОСТІ ТА ЇХНІ СИСТЕМИ
Показниковим називається рівняння, що містить невідоме тільки у показнику степеня.
Найпростіше показникове рівняння: ах
= b (a > 0, b > 0, a ≠ 1).
Його розв’язком є число x = logab.
Розв′язання показникових рівнянь
g(x)
a
f(x)
a = , де а > 0, а ≠ 1 ⇔ f(x) = g(x);
g(x)
b
f(x)
a = , де а > 0, а ≠ 1, де b > 0, b ≠ 1 ⇔ b
c
xga
c
xf log)(log)( = , с > 0, с ≠ 1.
g(x)
(u(x))
f(x)
(u(x)) =
=
≠
>
⇔
),()(
,1)(
,0)(
xgxf
xu
xu
і
=
−
1.
,визначені)(),(
u(x)
xgxf
При розв’язуванні показникових нерівностей використовують такі теореми.
Теорема 1. ൜ܽ(௫)
> ܽሺ௫ሻ
,
0 < ܽ < 1
⇔ f (x) < g(x).
Теорема 2. ൜ܽ(௫)
> ܽሺ௫ሻ
,
ܽ > 1
⇔ f (x) > g(x).
Логарифмічними називаються рівняння, що містять невідоме під знаком логарифма
або в основі логарифма.
Найпростіше логарифмічне рівняння logax = t, де a > 0, a ≠ 1,
має єдиний розв’язок x = at
.
До найпростіших логарифмічних рівнянь належать також рівняння logxa = b.
Розглянемо всі можливі випадки.
1) a = 1, b = 0. Розв’язком рівняння є будь-яке додатне число, відмінне від одиниці.
2) a = 1, b ≠ 0. Розв’язків немає.
3) a ≠ 1, b = 0. Розв’язків немає.
4) a ≠ 1, b ≠ 0. Рівняння має єдиний розв’язок ݔ = ܽ
భ
್ або ݔ = √ܽ
್
.
Розв′язання логарифмічних рівнянь
logaf(x) = logag(x),
a > 0, a ≠ 1 ⇔
=
>
>
)()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
logaf(x) = b, a > 0, a ≠ 1 ⇔ f(x) = ab
.
У випадках, коли рівняння містить логарифми за різними основами, слід привести всі
логарифми до спільної основи.
2. Використання властивостей логарифмів (формул) при розв’язуванні логарифмічних
рівнянь може призвести до появи сторонніх коренів або втрати коренів. Тому
потрібно робити перевірку.
При розв’язуванні логарифмічних нерівностей використовують такі теореми.
Теорема 1. ቄ
log ݂()ݔ > log ݃ሺݔሻ,
ܽ > 1
⇔ f (x) > g(x) > 0.
Теорема 2. ቄ
log ݂()ݔ > log ݃ሺݔሻ,
0 < ܽ < 1
⇔ 0 < f (x) < g(x).
У випадках, коли основа логарифма містить невідоме, можна застосовувати загальний
метод розв’язування нерівностей.
Тригонометричними називаються рівняння у яких невідома (або змінна) є
аргументом тригонометричної функції.
Такі рівняння або не мають розв'язків, або мають безліч розв'язків (бо функції
періодичні).
Загального способу розв'язування тригонометричних рівнянь не існує.
У процесі розв’язування тригонометричного рівняння можуть з’явитися сторонні
корені. Для їх вилучення потрібно робити перевірку.
Розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь:
Тригонометричне рівняння Розв'язок
sin x = a
cos x = a
tg x = a
x = (–1)k
·arcsin a + kπ, k ϵ Z
x = ± arccos a + 2kπ, k ϵ Z
x = arctg a + kπ, k ϵ Z
Окремі випадки:
sin x = 1, Zkkx ∈+= ,2
2
π
π
sin x = 0, Zkkx ∈= ,π
sin x = –1, Zkkx ∈+−= ,2
2
π
π
cos x = 1, Zkkx ∈= ,2 π
cos x = 0, Zkkx ∈+= ,
2
π
π
cos x = –1, Zkkx ∈+= ,2 ππ
3. Розв'язки складніших тригонометричних рівнянь:
sin kx = a,
( )
k
na
x
n
π+⋅−
=
arcsin1
! Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями.
cos (kx + c) = a,
k
cna
x
−+±
=
π2arccos
! Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями.
Найпростіші тригонометричні нерівності
Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування
найпростіших тригонометричних нерівностей виду:
sin x ≥ a
cos x ≥ a
tg x ≥ a
ctg x ≥ a
sin x > a
cos x > a
tg x > a
ctg x > a
sin x ≤ a
cos x ≤ a
tg x ≤ a
ctg x ≤ a
sin x < a
cos x < a
tg x < a
ctg x < a
! Тригонометричні нерівності зручно розв'язувати графічним способом.
