1. 1
Геометрія
1. Вектори в трьохвимірному евклідовому просторі. Векторний метод
розв'язування геометричних задач. Приклади.
Відрізок називається направленим, якщо при розгляді його враховується
порядок задання його кінців. Вільним вектором називається множина всіх
еквіполентних направлених відрізків.
Вектори часто задають за допомогою координат. Координатами вектора
АВ, початок якого , а кінець , називають
числа Два вектори
називаються рівними, якщо їх відповідні координати рівні. Рівним векторам
відповідають рівні за довжиною і однаково напрямлені відрізки і
навпаки.Координати вектора можуть бути будь-якими дійсними числами.
Якщо всі. координати вектора — нулі, то його називають нульовим вектором і
позначають символом Це єдиний вектор, якому не відповідає напрямлений
відрізок і який не має напряму.Якщо О — початок координат, а
числа — координати точки А, то ці самі числа є і координатами
вектора . Вектор можна зобразити і напрямленим відрізком ,
де — будь-яка точка простору, а Р — точка з
координатами Адже
Говорять: будь-який вектор можна відкласти від будь-якої точки
простору.Довжиною, або модулем вектора називають довжину напрямленого
відрізка, що зображає його. Позначають довжину
вектора символом Довжинувектора можна виразити
через його координати: Вектори, яким відповідають
паралельні напрямлені відрізки,
називають колінеарними. Вектори ОА і ОВ колінеарні тільки тоді, коли
точки О, А і В лежать на одній прямій. Колінеарні вектори бувають
співнапрямлені або протилежно напрямлені.
Три вектори називають компланарними, якщо відповідні їм напрямлені
відрізки розміщені упаралельних площинах. Вектори ОА, ОВ і ОС компланарні
тільки за умови, що точки О, А, В і С лежать водній площині.
2. 2
2. Система координат у просторі. Найпростіші задачі координатної
геометрії. Метод координатрозв'язуваннягеометричнихзадач.Приклади.
Нехай х, у, z – три попарно перпендикулярні координатні прямі, які
перетинаються в точці О. Назвемо їх координатними осями: «вісь х»,
«вісь у,» «вісь z».
Точка О — початок координат. Кожна вісь точкою О розбивається на дві
півосі — додатну, позначену стрілкою, і від'ємну. Площини, які проходять че-
рез осі х і у, х і z, у і z, — координатні площини. Позначають їх відповідно: ху,
хz і уz. Координатні площини розбивають весь простір на 8 октантів.
Якщо задано таку систему координат, кожній точці простору можна поставити
у відповідність впорядковану трійку дійсних чисел, а кожній трійці чисел —
єдину точку.
Нехай дано точку А. Опустимо з неї на площини уz, хz,
ху перпендикуляри ААx, ААу, ААz. Довжини а, b, с цих перпендикулярів, узяті
з відповідними знаками, називають координатами точки
А, Записують: А(а;b;с).
Теорема. Квадрат відстані між двома точками дорівнює сумі квадратів
різниць їх відповідних координат.
Доведення. Нехай дано дві
точки і . Доведемо, що
Координати проекцій точок А і В на координатні осі х,
у і г дорівнюють: Довжини проекцій
відрізка АВ на ці осі:
Квадрат довжини відрізка дорівнює сумі квадратів довжин його проекцій на
три взаємно перпендикулярні прямі.
Тому
або
Теорему доведено.
3. 3
Як виражаються координати середини відрізка через координати його кінців?
Якщо на координатній прямій дано точки А(а); В(b), то координата середини
відрізка дорівнює . А як виражаються
координати точки ceрединивідрізка АВчерез
координати його кінців і ? Позначимо
cередину відрізка АВбуквою С. Її проекціями на осі х, у, z будуть середини
відрізків Адже довжини проекцій двох відрізків однієї
прямої відносяться, як довжини відрізків, які проектують.
Отже, , .
виходить, кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних
координат його кінців.
Приклад. Якщо дано точки А(1;4;-3) і В(3;0;5), то серединою відрізка АВ є
точка С(2;2;1).
4. 4
3. Скалярний добуток векторів. Застосування скалярного добутку
векторів до розв'язування задач.
Означення. Кутом між двома ненульовими векторами називають кут між
відповідними їм напрямленими відрізками, які виходять з однієї точки.
Від виборуцієї точкиміра розглядуваного кута не залежить. Вважають, що кут
між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180°, а між
співнапрямленими — 0°.
Тепер введемо поняття скалярного добутку двох векторів простору.
Означення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток довжин
цих векторів на косинус кута між ними.
Якщо кут між векторами і дорівнює φ, то їх скалярний добуток
Якщо хоч один з векторів або нульовий, то
Приклад застосування скалярного добутку векторів відомий з Фізики.
Механічна робота А, яку виконує стала сила при переміщенні , дорівнює
скалярному добутку даних векторів:
Застосовується це поняття і в геометрії. З означення скалярного добутку
векторів випливає, що відрізки перпендикулярні тоді і тільки тоді,
коли скалярний добуток векторів дорівнює нулю
(ознака перпендикулярності векторів). Важливі й інші наслідки. Щоб
користуватися ними, треба знати властивості скалярного добутку векторів.
Теорема 26. Скалярний добуток векторів дорівнює
Доведення. Відкладемо дані вектори і від початку координат. Їм
відповідають напрямлені відрізки і , кінці
яких і . Якщо дані вектори не колінеарні, то —
трикутник. За теоремою косинусів
звідки
(*)
Виразимо квадрати довжин векторів через їх координати:
5. 5
Тому
Співвідношення (*) справедливе і для кутів φ, що дорівнюють 0° або 180°.
Адже у першому з цих випадків
а у другому
Отже, теорема, яку доводимо, справедлива і для колінеарних векторів. Завжди
Задачі. 3найдіть кут між векторами і
Доведіть, що трикутник з вершинами в точках А(2;1;3), В(7;4;5)
і С(4;2;1) прямокутний.
6. 6
4. Векторний добуток векторів. Застосування векторного добутку до
розв'язування задач.
Розглянемо у просторі 2 вектори . Векторним добутком 2-х векторів
назив. вектор, який позначається так: і задовольняє наступні умови:
–однаково орієнтовані.
Теорема: якщо дано 2 вектори
, то
.
Дов.: Нехай , тоді із за умови 2 означення позначивши координати
вектора маємо:
(1), отримавши
однорідну с-му 2-х рів-нь і 3-х невідомих, с-ма має безліч розв’язків.
. Знайдемо параметр , для цього
скористаємося 3-ю умовою означення. Оскільки однаково
орієнтовані то визначник матриці переходу від базису
, розкладемо визначник по елементам 3-го рядка:
, замість , підставимо їхні значення:
7. 7
Скористаємося 1-ю умовою:
Знайдемо іншим шляхом
, зробивши відповідні
перетворення під знаком кореня у першому і другому випадку отримаємо той
самий вираз
Властивості:
– не комутативний.
– дистрибутивний закон
Добуток 2-х ненульових векторів =0 тоді і тільки тоді коли вектори колінеарні.
Якщо один з векторів є 0-вектор, то векторний добуток =0.
Застосування векторного добутку:
Для обчислення кута між векторами.Для доведення колінеарності двох
векторів.Для обчислення площі паралелограма.Для обчислення площі
трикутника.Для обчислення моменту сили у фізиці.
8. 8
5. Мішаний добуток векторів. Застосуваннямішаного добутку векторів до
розв'язування задач.
Розглянемо 3 вектори:
Мішаним добутком 3-х векторів взятих в такому порядку назив. скалярний
добутоквектора на векторний добутоквекторів . Мішаним добутком 3-
х векторів є число.
Т: Якщо , то мішаний добуток
векторів .
Доведення: обчислимо спочатку векторний
добуток:
.
Вл. випливають із вл. визначників:
Сталий множник можна винести за знак мішаного добутку
Мішаний добуток дистрибутивний
.
Мішаний добуток 3- ох ненульових векторів =0 тоді і тільки тоді коли вектори
є компланарними.
Модуль мішаного добутку чисельно = об’єму паралелепіпеда побудованого на
даних векторах як на ребрах.
Застосування:
для доведення компланарності векторівдля обчислення об’єму паралелепіпеда.
+для обчислення об’єму тетраедра
9. 9
6. Різні способи задання прямої лінії на площині.
Оскільки курс аналіт. геом. на векторній аксіоматиці, тобто об’єктами є точка
та вектор, то всі інші поняття потрібно означати.
Розглянемо на площині деяку т.М0 і ненульовий вектор .Озн: Прямою, яка
походить через точку М0 , || до вектора наз. множина точок М площини, таких
що =t , t (1), t-параметр або дійсне число. М0-початкова т. прямої, -
напрямний вектор прямої, М-біжуча точка. За початкову т. можна прийняти
будь-яку т. прямої. За напрямний вектор приймемо будь-який вектор || до
даного.
Розглянемо на площині афінний репер R={0, } і припустимо, що
М0(х0,у0),М(х,у), =(а1,а2).Знайдемо координати . =(х-х0,у-у0).
(1) , (2) -параметричні р-ня прямих.
t= , t= . (3) -канонічне р-ня прямої.
Для того, щоб отрим. загальне р-ня прямої розгл. умову колінеарності, якщо
вектори мають координати: =(а1,а2), =(b1,b2). Для того, щоб і були колінеарні
необхідно і достатньо, щоб викон. умова. . Нехай а||b, тоді a1=
, a2= , . Запишемо умову колінеарності векторів М0М і
через визначник ( , )=0. =0 a2x-a2x0-a1y+a1y0=0,
a2x-a1y+(a2x0+a1y0)=0. a2=A, -a1=B, -a2x0+a1y0=C.
(4)Ax+By-C=0-загальне р-ня прямої. А=а2, В=а1, (-В,А). Розглянемо
вектор (-В,А) відносно ортонормованого репера і розгл. скалярний добуток
* =-АВ+АВ=0 , це означає що || до прямої (4) і назвемо його
нормальним вектором . Якщо в р-ні (4) а2+в2=1 то таке р-ня
назвемо нормальним р-ням прямої: xcos +ysin -p=0 (5). Рівняння прямої,
що визначається двома точками: Нехай пряма d задається точками
М1(х1,у1),М2(х2,у2). Приймемо одну із даних точок за початкову напр. М1, а
10. 1
0
вектор за напрямний. Запиш. коорд. вектора =(х2-х1;у2-у1) і
скориставшись р-м (3) маємо -(6) р-ня прямої що визн. 2-
точками. Припустимо,що т.М1 іМ2 належать осям координат ох і
оу. (7)-р-ня прямої у
відрізках. а і b довжини відрізків, які відтинаються на осях координат.
Розглянемо канонічне р-ня прямої поділимо
праву і ліву частину на а1, - кутовий коефіцієнт прямої.
(y-y0)=k(x-x0)-(8)-р-ня прямої з кутовим коефіцієнтом прямої k. Зауважимо, що
в прямокутній сист. корд. k=tg , -кут, який утв. пряма з додатнім напрямом
осі ох.
З р-ня 8 можна отримати: y=y0+kx-kx0, kx0,y0- числа, y=kx+b(9)-р-ня прямої з
кутовим коеф. прямої k. y0+kx0=b(початкова ордината).
Припустимо, що пряма визнач. т.М0(х0,у0) і нормальним вектором (a,b). Нехай
М(х,у)-довільна т. прямої тоді і є ортогональними. * =0.
A(x-x0)+B(y-y0)=0 (10)-р-ня прямої, що визнач. початковою точкою і
нормальним вектором.
Зауваж. Для того, щоб від загального р-ня 4 перейти до 9, визначимо у: By=Ax-
C, y=kx+b, y=- .
11. 1
1
7. Циліндричні поверхні.
Розглянемо площину П і лінію , є П і вектор , який не паралельний
до площ. П. Вектор визначає в’язкупаралельних прямих. Серед прямих цієї
вязки будуть такі, які перетнуть площину П у точках, що належать лінії .
Озн.:Циліндричною поверхнею,або циліндром 2-го порядку наз. множина
точок, які належать тим прямим в’язки, яка визначається , які перетинають
площину П у т. що належать прямій .
Лінію назвемо напрямною циліндричній поверхні, пряму що
перетинає назв. твірною. Знайдемо загальне р-ня циліндричної поверхні,
для цього введемо репер R=(0, ). Припустимо, що відносно репера
вектор має коорд. =(а1,а2,а3) і загальне р-ня прямої:
=а11х2+2а12ху+а22у2+2а13х+2а22у+а33=0 (1), М(х;у;z), N(х/,у/,0). Запишемо
умову колінеарності = (2), =(х/-х,у/-у,0-
z)
Так як N то корд. її повинні задовольняти р-ня
1. а11х/2+2а12х/у/+а21у/2+2а13х/+2а12у/+а33=0(3),
12. 1
2
-
(4). f
Припустимо, що твірна, а отже і паралельні до осі координат в даному
випадку до осі oz, тоді матиме координати =(0,0,а3).
Тоді р-ня циліндричної поверхні f(x,y)=0.Отже, якщо твірна циліндричної
поверхні паралельна до осі координат то р-ня напрямної і є р-ня циліндричної
поверхні. В залежності від того, яка лінія 2-го порядку служить за напрямну,
будемо розрізняти такі цил.пов. Якщо за напрямну служить еліпс, то маємо
еліптичний циліндр. Якщо за напрямну гіпербола то це гіперболічний циліндр.
Якщо 2 паралельні прямі то циліндричною поверхнеює 2 паралельні площини.
Так як у випадку коли твірна цил.пов. паралельна до осі коорд. є р-ня
напрямної то припустимо, що напрямна задається канонічним р-ням тоді це р-
ня є канонічним р-ням цил.пов.
14. 1
4
8. Група рухів (переміщень) площини. Застосування рухів до
розв'язування задач.Приклади.
Озн: Рухом або переміщенням площини наз перетворення площини при
якому зберігається відстань між будь-якими 2
точками. (1)
Властивості руху:
1.При русі зберігається відношення лежати між(тобто одна точка завжди
лежить між двома іншими) .
2.При русі зберігається просте відношення 2-х
точок. .
3.При русі пряма переходить в пряму, промінь в промінь, коло-коло, кут-кут,
відрізок-відрізок. Властивість випливає з перших двох.
4.При русі ортонормованийрепер , так що т.М/, яка є образом т.М,
відносно R/ має такі ж координати, як і т.М відносно R.
5.Множина всіх рухів площини утворює групу.
Під формулами руху будемо розуміти співвідношення між (координатами)
точками образа і прообраза ортонорм. репера R. f(R)=R/, f(M)=M/ .Розглянемо
т.М/ і репери R і R/, маємо перетворення ортонормованого репера. R:М(х,у),
R/:М/(х,у), R/М/(х/,у/). Запишемо формулу перетворення ортонормованого
репера R: (3) . Розглянемо т.М і М/, R, a
R/-не беремо. Формули (3) виражають відношення між координатамиточок М і
М/(прообразу і образу) при русі Ф при одному і тому ж реперу R. Це означає,
що формули (3) і є одночасно формулами аналітичного задання руху.
Якщо то рух наз. першого роду, якщо то маємо рух другого
роду.
Озн: Рух першого роду-це рух при якому геометрична фігура переходить у
однаково орієнтовану фігуру.
15. 1
5
Озн: Рух при, якому орієнтація фігури міняється на протилежну наз. другого
роду.
Зауваж: Множина рухів 1-го роду утв. групу, а множина рухів 2-го роду групу
не утворюють(бо композиція двох ручів 2-го роду є рухом 1-го роду).
Озн: Дві фігури Ф1 і Ф2 наз рівними, якщо існує рух (переміщення), яке
переводить одну фігуру Ф1 у Ф2.
Доведіть, що це афінне
перетворення:
, отже, це переміщення другого роду.
16. 1
6
9. Класифікація рухів. Розклад рухів в добуток осьових симетрій.
Класифікація рухів:
1.Паралельне перенесення. Нехай на площині дано вектор і довільну точку
М(х,у).
Озн: Паралельним перенесенням на наз таке перетворення площині при
якому так, що = . Позначається Т . Знайдемо формули
аналітичного задання перенесення ММ/=(х/-х, у/-у), М/=(х/,у/).
(1) (2).
Паралельне перенесення це рух другого роду. Паралельне перенесення на є
одиничним перенесенням. При паралельному перенесенні і нерухомих
точок немає. При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну
пряму. Пряма паралельна до переходить сама в себе. Множина всіх
паралельних перенесень площини утв. групу, яка є підгрупою групи першого
роду.
2.Поворот площини. Нехай на площині задано т.М і . Озн: Поворотом
площини навколо т.М0 на наз. таке перетворення площини при якому
т.М т.М/ так, що відстань і . M0-центр
повороту, -кут повороту. Позначається .
- формули аналітичного задання повороту.
Якщо ж за центр повороту прийняти довільну точку то формули повороту
набувають такого вигляду:
- формули повороту навколо точки.
Властивості:
17. 1
7
1.Поворот площини є рух, причому рух 1-го роду.
2.При повороті пряма переходить у пряму, коло у рівне коло, кут у рівний кут,
відрізок у рівний відрізок.
3.множина всіх поворотів площини утв. групу, яка є підгрупою рухів групи
рухів 1-го роду.
Поворот на кут 1800
наз. центральною симетрією, якщо у формулах
повороту прийняти то позн. центр. симетрію будемо так
z0. - відносно початку координат.
3.Осьова симетрія. Розглянемо на площ. деяку пряму і т.М.
Озн: Осьовою симетрією з віссю l, або симетрією відносно lназ таке
перетворення площини, при якому т.М переходить у М/, так що відрізок
ММ/ і т. перетину М0 з віссю l ділиться пополам. Позначається- .
Знайдемо формули осьової симетрії, прийнявши за вісь ох або оу ортон.
системи репера. OX: ОУ:
Зауваження:
1.Що осьова симетрія є рух, при чому рух другого роду.
2.Оскільки рух 2-го роду не утв. групу, то множ. осьових симетрій не утв.
групу.
3.При осьовій симетрії точки осі є нерухомими.
4.Пряма перпендикулярна осі переходить сама в себе.
4.Ковзна (коса) симетрія.
18. 1
8
Озн: Ковзною симетрієюназ перетворення площини, яке є композицією
осьової симетрії і паралельного перенесення на вектор паралельний до осі
симетрії . Ковзна симетрія є композицією двох рухів, отже це
рух другого роду.
Знайдемо формулу ковзної симетрії
прийнявши спочатку вісь: ОХ: . М(х,у), .
Запишемо формули осьової симетрії
Якщо за вісь симетрії взяти вісь
ОУ: .
19. 1
9
10. Група перетворень подібності площини та її підгрупи. Застосування
перетворень подібності до розв'язування задач.
Озн: Перетворенням подібності площин з коефіцієнтом подібності k>0 анз.
таке перетворення площини коли т.М , так, що вик.
співвідношення -(1), k-коефіцієнт подібності. .
Якщо k=1, то - рух.
Рух є частковим випадком пертв. подібності, другим частковим випадком є
гомотетія.
Озн: Гомотетією з центром М0 і наз. таке перетворення площини при
якому т.М , так що = (2). М0-центр.
Якщо k>0, гомотетія наз. першого роду(додатня). Якщо k<0, гомотетія є
від’ємна. При k>0, М і М/ лежать по один бік від М0, а при від’ємній k<0 по
різні боки від М0. Властивості гомотетії:
1.Гомотетія визначається повністю центром гомотетії і k, центром гомотетії і
парою відповідних точок.
2.При гомотетії зберігається просте відношення трьох точок.
3.Пряма проходить у паралельну пряму, відрізок у паралельний відрізок,
промінь у паралельний промінь.
4.Гомотетія з коеф. є перетворення подібності з коефіцієнтом .
Д-ня: = , (3)
5.Кут переходить у рівний кут.
6.Відємна гомотетія є композиція додатної гомотетії і центральної симетрії
відносно центра гомотетії.
а) Розглянемо: центр гомотетії збігається з початком координат.
20. 2
0
, М(х,у), М/(х/,у/). = , =(х,у), =(х/,у/).
б)Нехай центр гомотетії є довільна точка М0.
= , (х-х0,у-у0),
(х/-х0,у/-у0).
Множина всіх гомотетій із спільним центром утв. рух.
Перетворення оберненої до даної гомотетії є гомотетія з коефіцієнтом 1/k,
таким чином множина всіх гомотетій із спільним центром утв. групу.
Знайдемо формули аналітичного вираження перетворення подібності.
Теорема Всяке перетворення подібності є композицією гомотетії і руху.
Д-ня: Нехай при перетворені т.М і т.N переходять у точки М/ і N/ відповідно,
маємо що . Розглянемо гомотетію з центром М0 і k.
, за властивістю 4 маємо.
Отже, перетворення, яке переводить точки М// у М/, N// у N/ є
рух. ,
Використовуючи теорему запишемо формули і центр гомотетії є початок
координат. ,
21. 2
1
+Знайдемо композицію гомотетії і
руху
Якщо -перетворення подібності 1-го роду, якщо перетворення 2-го роду.
Зауваження: Множина всіх перетворень подібності утв. групу підгрупами, якої
є група гомотетії і руху.
Дві фігури Ф і Ф1 наз. подібними, якщо існує перетворення фігури Ф у Ф1.
22. 2
2
11. Група афінних перетворень площини і її підгрупи. Застосування
афінних перетворень до розв'язування задач.
Нехай маємо 2 репери і і точки і .
Афінним перетворенням площини наз. таке перетворення, при якому афінний
репер переходить в афінний репер , т. у т. , так, що т. відносно репера має такі
координати як і точка відносно репера .
– образ; – прообраз.
Властивості:
1. Зберігається просте відношення трьох точок;
2. Зберігається відношення “лежати між”;
3. Пряма переходить у пряму;
4. Множина всіх афінних перетворень площини утворює групу.
Знайдемо формули аналітичного задання афінного репера.
Розглянемо репери і і точку (не приймаючи до уваги т. ). Маємо перетворення
афінного репера:
– формули перетворення афінної системи координат.
Розглянемо репер і точки і . Ті ж самі формули виражають зв'язок між
координатамиточокобразуі прообразувідносно одного і того ж репера , тому
ці ж самі формули і є формулами афінного перетворення площини.
В залежності від того, які репери і розглядати, можна отримати різні афінні
перетворення.
Гомотетія, перетворення подібності, рух є афінними перетвореннями. Афінне
перетворення є стиск площини.
Група афінних перетворень є найпершою групою, підрупами якої є підгрупи
гомотетії.
23. 2
3
12. Загальне рівняння лінії другого порядку і її зведення до канонічного
вигляду. Класифікація ліній другого порядку на евклідовій площині.
Загальне рівняння другого порядку з двома змінними має вигляд
В залежності від коефіцієнтів це рівняння може бути рівнянням слідуючих
геометричних фігур : 1) еліпса; 2) гіперболи; 3) параболи; 4) прямих, що
перетинаються; 5) паралельних прямих; 6) прямих, що співпадають; 7)
точки; 8) пустої множини.
Кривими другого порядку називаються лінії, які визначаються рівнянням
другого степеня відносно змінних х і у. Це коло, еліпс, гіпербола та
парабола.
24. 2
4
13. Різні способи задання площини у просторі (в аналітичному вигляді).
Взаємне розміщення двох площин. Кут між площинами.
31. 3
1
16. Конічні поверхні і їх властивості.
Означення 5.1. Поверхня, утворена внаслідок руху прямої, яка проходить
через дану точку M0 і перетинає дану криву L, називається конічною
поверхнею або конусом. При цьому задана точка називається вершиною
конічної поверхні, крива L - напрямною кривою. Прямі, які повністю лежать на
поверхні конуса, проходять через його вершину і перетинають напрямну
криву, називаються твірними конуса (рис. 13).
З цього означення випливає, що поверхня буде
конусом з вершиною в точці М0 тоді і тільки тоді,
коли разом з деякою точкою М цій поверхні
належать усі точки прямої М0М.
Означення 5.2. Функція F(x; y; z) називається
однорідною, якщо для довільного t ≠ 0 виконується
умова F(tx; ty; tz) = φ(t)F(x; y; z).
Наприклад, F(x; у; z) = xy3 + x4 – x2 z2 - однорідна
функція, бо
F(tx; ty; tz) = tx • t3 y3 + t4 x4 – t2 x2 • t2 z2 = = t4 (xy3 + x4 – x2 z2) = t4 F(x; y; z).
Припустимо тепер, що прямокутна система координат вибрана так, що її
початок збігається з вершиною
конічної Рис.13 поверхні.
Теорема 3. Якщо F(x; у; z) - однорідна функція, а
рівняння
F(x;y;z) = 0 (13)
задає деяку поверхню σ в просторі, то це буде конічна
поверхня з вершиною в початку координат.
Доведення. Нехай М(х; у; z) - довільна точка цієї
поверхні, а М1 (x1 ;y1 ; z1 ) - довільна точка, яка лежить на прямій ОМ (рис. 14).
Покажемо, що точка M1 також належить даній поверхні. М є σ, тому F(x; у; z) =
0.
Рис.14
Розглянемо вектори
ОМ (х; у; z) і ОМ1 (х1; y1; z1). Оскільки ОМ || ОМ1 ,
32. 3
2
то звідки x1=tx, y1=ty, z1=tz.
Тоді F(x1; y1; z1 ) = F(tx; ty; tz) = φ(t)F(x; y; z) = 0, оскільки F(x; y; z) = 0.
Таким чином, разом з точкою М даній поверхні належить і точка M1 , що
лежить на прямій ОМ. Звідси випливає, що рівняння (13) є рівнянням конічної
поверхні з вершиною в початку координат. Теорему доведено. ■
Будемо розглядати тепер конічні поверхні другого порядку. З доведеної
теореми випливає, що загальне рівняння конічної поверхні другого порядку
має вигляд:
a11x2 + a22y2 +a33z2 + 2a12xy +2a13xz + 2a23yz = 0. (14)
Пізніше буде встановлено, що за допомогою перетворення системи координат
у рівнянні (14) можна позбутися добутків змінних, тобто рівняння (14) може
бути зведене до вигляду
a11x2 + a22y2 + a33z2 = 0, або, якщо a11 a22 a33 ≠ 0, до вигляду
(15)
Якщо всі числа а11, а22, а33 одного знаку, то це рівняння задає деяку уявну
поверхню з однією дійсною точкою (0; 0; 0). її називають уявним конусом.
Припустимо, що серед цих чисел є числа різного знаку. Нехай, наприклад, а11 >
0, a22> 0, а33 < 0. Тоді, ввівши відповідні позначення, рівняння (15) можна
записати у вигляді
(16)
Це рівняння називається канонічним рівнянням конуса. З нього випливають
такі його властивості:
1. Конус симетричний відносно координатних площин, координатних осей і
початку координат, бо всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.
2. Якщо цей конус перетнути площиною z =h, паралельною до площини OXY,
то в перерізі утвориться крива, проекція якої на площину OXY має рівняння
33. 3
3
Або
Це є рівняння еліпса.
Отже, напрямною кривою даного конуса є еліпс. При зростанні абсолютної
величини h розміри еліпса збільшуються. Вісь OZ у цьомувипадку називається
віссю конуса (рис. 15).
Якщо віссю конуса є вісь OY, то рівняння конічної поверхні другого порядку
таке:
Якщо ж віссю конуса є вісь ОХ, то його рівняння буде
34. 3
4
17. Поняття лінії і гладкої кривої в евклідовому просторі, їх параметризація за
допомогою вектор-функції.
Основним поняттям диференціальної геометрії кривих ліній є поняття кривої
лінії. Це поняття пройшло довгий шлях формування. Криву лінію в математиці
розуміють по-різному: як нерозтяжну нитку; як ГМТ, координати яких
задовольняють певне рівняння; як лінію перетину двох поверхонь і т. п.
Введемо тепер поняття елементарної (простої) кривої лінії. Для цього
розглянемо деякий відкритий відрізок a,b)R. Будемо відображати усі
точки цього відрізка у простір за допомогою гомеоморфного відображення.
Тодідовільній точці t a,b) ставиться у відповідність точка M просторуз
координатами x yz) , причому x yz – залежать від параметра t:
35. 3
5
→ → → →
Означення: елементарною кривою у просторі називається геометричне місце точок
простору, яке є образом відкритого відрізка при гомеоморфному відображенні його у простір.
Означення: кривою лінією у тривимірному евклідовому просторі називають геометричний
образ, який складається із скінченного, або зчисленного, числа елементарних кривих.
Зауважимо, що рівняння (1) визначають гомеоморфне відображення.
Рівності (1) назвемо параметричними рівняннями кривої, тобто маємо
перший спосіб задання кривої – параметричний.
Домножимо рівності(1): першу – на вектор i
→
, другу – на
→
→
j , третю – на
k , і додамо їх:
xi
→
y
→
j zk x(t)i y(t) j z(t)k
Отримали в результаті рівність двох векторів r
→
і
r
→
r
→
(t)
r
→
(t) :
(2)
(2) – векторне задання прямої.
Припустимо тепер, що одну із рівностей (1), наприклад першу, нам
вдалося розв’язативідносно змінної t: t t x. Підставивши значення у інші
два рівняння, отримаємо третій спосіб параметризації:
y y(t x)
y y(x)
z z(t x)
z z(x) (3)
Всі, вказані вище, способи параметризації пов’язані між собою.
Наприклад, якщо в (3) припустити, що x t , то
y y(x)
z z(x)
x t
Якщо задана параметризація (1), то маємо
36. 3
6
r
→
(t) (x(t), y(t), z(t)).
Криву лінію у просторі можна задати ще як лінію перетину двох
поверхонь:
F (x, y, z) 0
(x, y, z) 0
(4)
І, нарешті, криву лінію у просторіможна задати як годограф деякої
векторної функції скалярного аргументу.
37. 3
7
18. Поняття поверхні в евклідовому просторі. Гладкі поверхні і їх
параметризація. Перша квадратична форма поверхні і її застосування.
52. 5
2
25. Кліткове розбиття поверхні. Орієнтовні і неорієнтовні поверхні.
Приклади.
Система кривих здійснює кліткове|кліткове| розбиття поверхні, якщо
виконані наступні|слідуючі| умови:
α) кожна з кривих γі (t = 1, 2, ..., k) гомеоморфна| замкненому відрізку;
β) дві криві γі, γj (i ≠ j) мають не більше
однієї спільної|спільної| точки|точки|;
γ) з|із| кожного кінця кривої γі виходить щонайменше ще одна крива γj, i≠j;
δ) криві γ1, γ2,…, γk розбивають поверхню S на клітки|клітини| G1, G2, ..., Gf;
кожна
з кліток|клітин| Gі гомеоморфна| відкритому|відчиненому| кругу|колу|,
дві клітки|клітини| Gі і gj (i ≠ j) не мають спільних
точок|спільних|точок|точок|, межа|кордон| кожної клітки|клітини| складає
ться з декількох кривих γі;
ε) кожна з кривих γі служить частиною|часткою| межі|кордону| двох і лише
двох кліток|клітин|;
ζ) S = G1 ∪ G2 ∪ … ∪ Gf ∪ γ1 ∪ γ2 ∪ … ∪ γk.
Кожна з кривих γ1, γ2,…, γk | називається ребром кліткового|кліткового|
розбиття, кінці ребер — його вершинами. Деякі з кривих γі можуть входити
до складу краю поверхні; такі криві γі, звичайно, не повинні фігурувати в
правій частині|частці| умови ζ).
Візьмемо будь-який опуклий|випуклий| многогранник і сферу, центр якої
лежить усередині многогранника. Спроектувавши всі ребра многогранника
на сферу з|із| її центру, ми одержимо|отримаємо| систему сферичних
многокутників, які і утворюють кліткове|кліткове| розбиття сфери.
Рис.1. Рис. 2.
53. 5
3
Для кожної клітки|клітини| задамо її орієнтацію, тобто порядок|лад|обходуїї
вершин. Дві сусідні клітки|клітини|
вважаються|лічаться| орієнтованими узгоджено|узгоджено|, якщо вони
визначають на спільному|спільному| ребрі протилежні напрями|направлення|.
Так, на малюнку 1 дві сусідні клітки|клітини| мають
орієнтації x1x2…xr i x1xr…x5x4, ці орієнтації узгоджені|погоджені|,
оскільки|тому що| для загального|спільного| ребра x1xr маємо в обох
клітках|клітинах| протилежні напрями|направлення|.
Поверхня S називається орієнтованою, якщо всі клітки|клітини| її
кліткового|кліткового| розбиття можна орієнтувати так, щоб будь-які дві
сусідні клітки|клітини| виявилися орієнтованими узгоджено|узгоджено|.
Можна довести, що властивість поверхні S бути орієнтованою топологічно
інваріантна; внаслідок цього, якщо одне кліткове|кліткове| розбиття
поверхні S орієнтоване, то те ж буде справедливе і для будь-якого іншого її
кліткового|кліткового| розбиття.
Узявши яке-небудь кліткове|кліткове| розбиття сфери, можна легко
переконатися, що сфера є орієнтована поверхня.
Покажемо, що існують неорієнтовані поверхні. Прикладами|зразками| таких є
лист|аркуш| Мебіуса і проективна площина|плоскість|.
Лист|аркушу| Мебіуса по самій його побудові|шикуванню| гомеоморфний|
прямокутнику| АВАВ| (мал. 2), у|в,біля| якого ототожнені точки А і А, В і
В, Р і Р|із| і т.п. двох протилежних сторін. Показане на малюнку 2 розбиття
прямокутника АВАВ| на три клітки|клітини| є|з'являється,являється| його
клітковим|клітковим| розбиттям, оскільки|тому що| всі вимоги α), β), ..., ζ),
очевидно, виконані. Задамо середній клітці|клітині| орієнтацію
KLMN; тоді визначаться узгоджені|погоджені| орієнтації крайніх
прямокутників ABLK і NМAВ|. Ребро АВ| в обох крайніх прямокутниках, які
на листі|аркуші| Мебіуса будуть сусідніми клітками|клітинами|, орієнтоване
однаково від А до В, отже орієнтації виявилися неузгодженими.
Неорієнтовність листа|аркуша| Мебіуса встановлена|установлена|.
На проективній площині|плоскості| розглянемо|розгледимо| трьовершинник|
ABC (мал. 3). Прямі АВ|, ВС| і |із| СА розбивають всі точки проективної
площини|плоскості| на чотири області, які назвемо|накликатимемо|
трикутниками. На малюнку 3 трикутник 1 видно повністю, а кожний з решти
трикутників 2, 3 і 4 розділений нескінченно віддаленою|віддаленій| прямою
на два куски. Орієнтуємо трикутник 1 проти|супроти| годинникової стрілки;
54. 5
4
тим самим за узгодженням визначаться орієнтації всіх сусідніх трикутників
2, 3, 4, причому їх орієнтації будуть неузгодженими одна з одною:
наприклад, сторона АС в обох сусідніх трикутниках 2, 4 напрямлена
однаково, від А до С.
55. 5
5
26. Теорема Ейлера для многогранників.
27. Поверхня обертання. Еліпсоїди і їх властивості.
Поверхня обертання - поверхню, утворена при обертанні навколо прямої (осі
поверхні) довільної лінії ( прямий, плоскої або просторової кривої).
Наприклад, якщо пряма перетинає вісь обертання, то при її обертанні вийде
конічна поверхню, якщо паралельна осі - циліндрична, якщо схрещується з
віссю - однопорожнинні гіперболоїд обертання. Одна і та ж поверхня може
бути отримана обертанням найрізноманітніших кривих.
Є об'єктом вивчення в математичному аналізі, аналітичної і нарисної
геометрії [1]
3. Еліпсоїд– це поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат може
бути задана рівнянням
. (6)
Дане рівняння називають канонічним рівнянням еліпсоїда. Опишемо деякі
властивості цієї поверхні, які безпосередньо випливають із рівняння (6).
Властивість 1. Дана поверхня симетрична відносно початку координат,
координатних площин та осей.
Властивість 2. Еліпсоїд перетинає координатні осі в точках ,
, , , , .
Властивість 3. Точки еліпсоїда розташовані всередині прямокутного
паралелепіпеда, який визначається системою рівнянь
Для доведення властивості 1 достатньо побачити, що разом з
точкою поверхні належать також точки ,
, , , ,
та . Дана властивість фактично означає, що
координатні площини є площинами симетрії, координатні осі – осями
симетрії, а початок координат – центром симетрії для еліпсоїда.
Доведення властивості 2 очевидне.
56. 5
6
Для доведення властивості 3 припустимо, що для точок, які належать
еліпсоїду, виконується умова або . А це суперечить рівності (6).
Отже, для всіх точок еліпсоїда виконується умова . Аналогічно
доводяться друга та третя нерівності системи.
Розглянемо перерізи еліпсоїда площинами, які паралельні до координатних
площин. Система
визначає сім’ю ліній, проектуючи які на площину , дістаємо лінії, які
задаються рівняннями . Якщо , то це рівняння задає
параметричну сім’ю еліпсів з півосями та . Оскільки
відношення півосей, яке визначає ексцентриситет, а, отже, і форму еліпса, не
залежить від , то всі еліпси мають однакову форму. Найбільший із еліпсів
отримаємо при . Він знаходиться у площині . При зростанні від 0 до
півосі еліпса зменшуються і він стягується в точку при . Аналогічно,
системи рівнянь
задають та параметричні сім’ї еліпсів, які лежать у площинах,
паралельних до площин та . Виконані дослідження дозволяють
зобразити дану поверхню (рис. 1).
Точки та називаютьвершинами еліпсоїда, початок
координат – його центром, а числа та -півосями еліпсоїда. Оскільки
при площини перетинають еліпсоїд по колах, то рівняння
57. 5
7
задає поверхню обертання. Її називають еліпсоїдом обертання з віссю
обертання . Аналогічно, рівняння та задають
еліпсоїди обертання з осями обертання та відповідно. При
рівняння виражає сферу.
4. Однопорожнинний гіперболоїд - це поверхня, яка у деякій прямокутній
системі координат може бути задана рівнянням
, (7)
яке називають канонічним рівнянням однопорожнинного гіперболоїда.
Аналогічно, як і у попередньому випадку, можна довести, що координатні
площини є площинами симетрії, координатні осі – осями симетрії, а початок
координат – центром симетрії для однопорожнинного гіперболоїда. Поверхня
перетинає координатніосів точках , , , ,
а вісь - не перетинає.
Дослідимо перерізи однопорожнинного
гіперболоїда. площинами, які паралельні до
координатних площин. Система
задає -параметричну сім’ю
ліній, проекції яких на площину
запишуться у виді рівнянь . Очевидно, що при дане
співвідношення визначає дві прямі , а при - параметричну
сім’ю гіпербол із однаковим відношенням півосей, тобто з однаковим
ексцентриситетом. Всі цігіперболи мають однакову форму. Аналогічні
висновки можна зробити про систему . У випадку системи
дістаємо параметричну сім’ю еліпсів однакової форми з
58. 5
8
півосями та , які лежать у площинах, паралельних до
площини . При зростанні , тобто коли січні площини віддаляються від
площини , півосі еліпсів збільшуються. Найменші півосі та має еліпс,
який утворюється при перетині однопорожнинного гіперболоїда площиною
- це так званийгорловий еліпс. Зображення однопорожнинного
гіперболоїда наведено на рисунку 2.
Точки , , в яких координатні осі перетинають однопорожнинний
гіперболоїд, називаютьвершинами однопорожнинного гіперболоїда, а
початок координат – його центром.
Оскільки при площини виду перетинають поверхню по колах, то
рівняння
задає поверхню обертання. Її називають однопорожнинним гіперболоїдом
обертання з віссю обертання .
5.Ще один частинний випадок рівняння (3) – це рівняння
. (8)
59. 5
9
Поверхню, задану таким рівнянням, називають двопорожнинним
гіперболоїдом. Очевидно, що дана поверхня симетрична відносно
координатних площин, координатних осей та початку координат. Вісь
перетинає її у двох точках та . Інші дві координатні осі
спільних точок із поверхнею не мають. На двопорожнинному гіперболоїді
немає точок, абсциси яких задовольняють нерівність . Справді, у
цьому випадку виконувалася б нерівність , а при цій умові рівність (8)
неможлива. Перерізи двопорожнинного гіперболоїда площинами , де
, утворюють еліпси однакової форми,
півосі яких та
збільшуються при зростанні , тобто, коли
площина віддаляється від площини .
Площини виду та перетинають
поверхню по лініях
та
які, очевидно, є гіперболами з півосями, що збільшуються при зростанні та
. Зображення двопорожнинного гіперболоїда наведено на рисунку 3.
+Зауважимо, що при площини ( ) перетинають поверхню по
колах. У цьому випадку ми отримуємо поверхню, яка задається рівнянням
і називаєтьсядвопорожнинним гіперболоїдом обертання з
віссю обертання .
