1. ВекториВектори тата їхїх
властивостівластивості
СтворилиСтворили
Гурко Катерина таГурко Катерина та
Зінченко ІринаЗінченко Ірина
Історична довідка
означення вектора
Рівні вектори
Довжина вектора
Додавання векторів
теорема
Способи побудови суми векторів
віднімання векторів
Множення вектора на число
Скалярний добуток векторів
задача
фото
2. Інтерес до векторів і векторного методу виник у математиків уІнтерес до векторів і векторного методу виник у математиків у
19ст. через потреби фізики й механіки. Але витоки числення з19ст. через потреби фізики й механіки. Але витоки числення з
напрямленими відрізками знаходимо ще в далекій давнині, внапрямленими відрізками знаходимо ще в далекій давнині, в
роботах піфагорійців і геометричній теорії Евдокса (408-355 дороботах піфагорійців і геометричній теорії Евдокса (408-355 до
н. е). У геометричному численні, що його виклав Евклід,н. е). У геометричному численні, що його виклав Евклід,
додавання і віднімання чисел зводилося до відповіднихдодавання і віднімання чисел зводилося до відповідних
операцій з відрізками, а множення - до побудови прямокутникаоперацій з відрізками, а множення - до побудови прямокутника
зі сторонами, довжини яких дорівнюють множникам.зі сторонами, довжини яких дорівнюють множникам.
У 14-16 ст. геометрична алгебра через обмеженість засобівУ 14-16 ст. геометрична алгебра через обмеженість засобів
дослідження майже не розвивалася. Однак удослідження майже не розвивалася. Однак у
1587р.фламандський учений Симон Стевін (1548-1620),1587р.фламандський учений Симон Стевін (1548-1620),
розглядаючи додавання двох сил у роботі “ Початки статики “,розглядаючи додавання двох сил у роботі “ Початки статики “,
дійшов висновку, що для визначення рівнодійної сліддійшов висновку, що для визначення рівнодійної слід
скористатися так званим “ паралелограмом сил “. Дляскористатися так званим “ паралелограмом сил “. Для
позначення сил Стевін першим увів відрізки зі стрілками.позначення сил Стевін першим увів відрізки зі стрілками.
Значно пізніше, у 1803р., французький математик Луї ПуансоЗначно пізніше, у 1803р., французький математик Луї Пуансо
(1777-1859) розробив загальну теорію векторів, узагальнивши(1777-1859) розробив загальну теорію векторів, узагальнивши
дослідження попередників.дослідження попередників.
назад
3. Вектор – це напрямлений відрізокВектор – це напрямлений відрізок
А а ВА а В
Нульовий вектор – це вектор початок иНульовий вектор – це вектор початок и
кінець якого збігаютьсякінець якого збігаються
АА..АА
продовжень назад
4. Ненульові вектори називаютьсяНенульові вектори називаються
колінеарнимиколінеарними,, якщо вони лежать на однійякщо вони лежать на одній
прямій або на паралельних прямихпрямій або на паралельних прямих..
А ВА В FF EE
А ВА В
Вектори АВ і СВектори АВ і СDD називаютьсяназиваються співспів
напрямлениминапрямленими (або(або однаковооднаково
напрямлениминапрямленими), якщо промені АВ і С), якщо промені АВ і СDD
співнапрямлені .співнапрямлені .
Вектори АВ і СВектори АВ і СDD називаютьсяназиваються протилежнопротилежно
напрямлениминапрямленими,, якщо променякщо променіі АВ і САВ і СDD
протилежно напрямлені.протилежно напрямлені.
назад
5. Два вектори називаютьсяДва вектори називаються рівнимирівними, якщо вони, якщо вони
суміщаються паралельним перенесенням.суміщаються паралельним перенесенням.
Властивості й ознаки рівних векторів:Властивості й ознаки рівних векторів:
1)1) Рівні вектори співнапрямлені і мають рівніРівні вектори співнапрямлені і мають рівні
довжини.довжини.
2)Якщо вектори співнапрямлені мають рівні2)Якщо вектори співнапрямлені мають рівні
довжини, то вони рівні.довжини, то вони рівні.
3)Від будь-якої точки можна відкласти вектор3)Від будь-якої точки можна відкласти вектор
що дорівнює даному, і притомущо дорівнює даному, і притому
тільки один.тільки один.
назад
6. Довжиною вектора АВ називаєтьсяДовжиною вектора АВ називається
відрізок АВ , що зображає вектор.відрізок АВ , що зображає вектор.
Довжина вектора а ( аДовжина вектора а ( а ;; аа ))
обчислюєтьсяобчислюється за формулою:за формулою:
а = а + аа = а + а 2
2
2
1
2
1
2
2
задача
назад
7. В С С1В С С1 Дано: АВСДано: АВСD –D –паралелогрампаралелограм
А1ВС1А1ВС1D-D- паралелогрампаралелограм
Довести:АА1=С1СДовести:АА1=С1С
А1 АА1 А DD
ДоведенняДоведення
За правилом трикутника:За правилом трикутника: BC+CC1+C1D=BDBC+CC1+C1D=BD
BA1+A1A+AD=BDBA1+A1A+AD=BD BC+CC1+C1D=BA1+A1A+AD.BC+CC1+C1D=BA1+A1A+AD.
Оскільки АВСОскільки АВСD-D- паралелограм, то ВС=Апаралелограм, то ВС=АDD
A1BC1D-A1BC1D- паралелограм, тому ВА1паралелограм, тому ВА1==C1DC1D,тому СС1=А1А,тому СС1=А1А; AA1=C1C; AA1=C1C
Що й треба було довести.Що й треба було довести.
назад
8. Сумою векторів а(а1;а2) іСумою векторів а(а1;а2) і b(b1;b2)b(b1;b2)
називається вектор с(с1;с2) зназивається вектор с(с1;с2) з
координатами скоординатами с11==a1+b1, c2=a2+b2.a1+b1, c2=a2+b2.
Властивості додавання векторів:Властивості додавання векторів:
Для будь-яких векторів а(а1;а2),Для будь-яких векторів а(а1;а2), b(b1;b2),b(b1;b2),
c(c1;c1):c(c1;c1):
1)a+b=b1)a+b=b +a;+a;
2)(a+b)+c=a2)(a+b)+c=a +(b+(b +c);+c);
3)a+0=a3)a+0=a
назад
9. Для будь - яких точокДля будь - яких точок А,В і С справджується векторна рівність:А,В і С справджується векторна рівність:
АВ+ВС=АС.АВ+ВС=АС.
ДоведенняДоведення
Нехай дано точки А(х1;у), В(х2;у2) і С(х3;у3). Виразивши координатиНехай дано точки А(х1;у), В(х2;у2) і С(х3;у3). Виразивши координати
векторів-доданків, маємо АВ(х2-х1;у2-у1), ВС(х3-х2;у3-у2). Завекторів-доданків, маємо АВ(х2-х1;у2-у1), ВС(х3-х2;у3-у2). За
означенням суми векторів для визначення координат вектора-сумиозначенням суми векторів для визначення координат вектора-суми
додамо відповідні координати векторів АВ і ВС:додамо відповідні координати векторів АВ і ВС:
х2-х1+х3-х2=х3-х1,х2-х1+х3-х2=х3-х1,
у2-у1+у3-у2=у3-у1.у2-у1+у3-у2=у3-у1.
Отже, координати вектора-суми збігаються з координатами вектораОтже, координати вектора-суми збігаються з координатами вектора
АС, тобто вектори АВ+ВС і АС рівні. Теорему доведено.АС, тобто вектори АВ+ВС і АС рівні. Теорему доведено.
назад
А(х1;у1)А(х1;у1)
С(х3;у3)С(х3;у3)
В(х2;у2)В(х2;у2)
11. Різницею векторівРізницею векторів aa (a(a1;а2) і1;а2) і b (b1b (b1;;b2)b2) називаєтьсяназивається
такий вектор с (с1;с2), який у сумі з векторомтакий вектор с (с1;с2), який у сумі з вектором bb даєдає
вектор авектор а
Протилежними векторамиПротилежними векторами називаються два протилежноназиваються два протилежно
напрямлені вектори однакової довжини.напрямлені вектори однакової довжини.
назадзадача
aa
bb +c+c = а= а
bb
MM NN
OO
..аа-- аа
АА ВВ
a-ba-b
12. назад
ВВ
АА СС
xx
≤
уу
хх
х+ух+у
x +yx +y
Довести:Довести: хх уу
Дано:Дано: ВекториВектори
та їх властивостіта їх властивості
ДоведенняДоведення
1) х і у не колінеарні.1) х і у не колінеарні.
х+у х + у , інакше трикутника не існує.х+у х + у , інакше трикутника не існує.
2) х у2) х у
АВ= х+у, х + у = х + уАВ= х+у, х + у = х + у
3) х у АВ = х, ВС = у3) х у АВ = х, ВС = у
х + у = АС, х+у х + ух + у = АС, х+у х + у
АА хх уу ВВ
СС АА ВВхх
уу
13. назад
Добутком вектораДобутком вектора a(a1a(a1;а2);а2) на числона число kk називаєтьсяназивається
векторвектор ka=(ka1ka=(ka1;;ka2)ka2)..
Властивості множення вектора на число:Властивості множення вектора на число:
Для будь-яких векторівДля будь-яких векторів aa іі bb та чиселта чисел kk,,mm::
1)1) ka= akka= ak;;
2) (km) a=k (ma)2) (km) a=k (ma);;
3)3) k0=0k0=0;;
4) 0a=04) 0a=0;;
5) (k +m) a= ka +ma5) (k +m) a= ka +ma;;
6) k6) k (a(a +b)=ka+b)=ka +kb+kb;;
Довжина вектораДовжина вектора kaka дорівнюєдорівнює k ak a .. Якщо аЯкщо а 0, то0, то
векторвектор kaka співнапрямлений з вектором а за умовиспівнапрямлений з вектором а за умови kk 00
і протилежно напрямлений з вектором а за умовиі протилежно напрямлений з вектором а за умови kk
00..
≠
14. Скалярним добуткомСкалярним добутком векторіввекторів а(а1;а2) іа(а1;а2) і b(b1b(b1;;b2)b2)
називається числоназивається число a1b1+a2b2a1b1+a2b2..
Властивості скалярного множення векторів:Властивості скалярного множення векторів:
Для будь-яких векторівДля будь-яких векторів aa,, bb, с та число, с та число kk::
1)1) ab=baab=ba ; В; В
2) (2) (ka) b=k (ab)ka) b=k (ab);;
3) (3) (a +b) c=ac+ bca +b) c=ac+ bc;; AA CC
Кутом між довільними ненульовими векторамиКутом між довільними ненульовими векторами aa іі bb
називається кут між векторами, що дорівнюютьназивається кут між векторами, що дорівнюють
даним і мають спільний початок.даним і мають спільний початок.
Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їхСкалярний добуток векторів дорівнює добутку їх
довжин на косинус кута між ними:довжин на косинус кута між ними:
ab= a b cos (aab= a b cos (a,,b)b)
назад
