1. СТЕПЕНЕВІ, ПОКАЗНИКОВІ, ЛОГАРИФМІЧНІ, ТРИГОНОМЕТРИЧНІ
ВИРАЗИ ТА ЇХНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Степеневі вирази та їхні перетворення
Степеневими є вирази, які містять степені зі сталим показником і змінною
основою.
Запис такого степеня: xn
, x – змінна, n – стала.
Степеневі вирази перетворюють, використовуючи властивості степеня.
Види степенів:
• степінь з натуральним показником: 43421
разівn
n
xxxxx ⋅⋅⋅⋅= ... ;
• степінь з цілим показником: 43421
разівn
n
xxxxx ⋅⋅⋅⋅= ... , x0
= 1 або n
n
x
x
1
=−
;
• степінь з раціональним показником: n mn
m
xx = .
Основні властивості степеня:
1. xn
⋅xm
= xn+m
2. mn
m
n
mn
x
x
x
xx −
==:
3. ( ) mnmn
xx ⋅
=
4. ( ) nnn
yxyx ⋅=⋅
5. n
nn
y
x
y
x
=
6. n
n
x
x
1
=−
7. x0
= 1
8. x1
= x
9. 0n
= 0, n > 0
Показникові вирази та їхні перетворення
Показниковими є вирази, які містять степені зі сталою основою і змінним
показником.
Запис такого степеня: ах
, а – стала, х – змінна.
Показникові вирази перетворюють, використовуючи основні показникові
тотожності.
Основні показникові тотожності:
1. ܽ௫ା௬
= ܽ௫
∙ ܽ௬
;
2. ܽ௫ି௬
= ܽ௫
: ܽ௬
=
ೣ
;
3. ܽ௫௬
= ሺܽ௫ሻ௬
= ሺܽ௬ሻ௫
;
4. ܽ௫
∙ ܾ௫
= ሺܾܽሻ௫
;
5.
ೣ
ೣ
= ቀ
ቁ
௫
; ܾ ≠ 0;
6. ܽ
= 1; ܽ ≠ 0;
7. ܽଵ
= ܽ; ܽି
=
ଵ
; ܽ ≠ 0;
8. ܽ
= √ܽ
; ܽ > 0.
2. Логарифмічні вирази та їхні перетворення
Логарифмічними є вирази які містять логарифми.
Види логарифмів:
• звичайний логарифм log ;ݔ
• десятковий логарифм lg ;ݔ
• натуральний логарифм ln .ݔ
Логарифмічні вирази перетворюють, використовуючи властивості логарифмів.
Основні властивості логарифмів:
1) )0,0(loglog)(log >>+= qpqppq aaa
2) )0,0(logloglog >>−= qpqp
q
p
aaa
3) ),0(loglog Rppp aa ∈>= γγγ
4) )0,0(loglog >≠= ppp aa
β
β
γγ
β
Наслідки:
4*) якщо βγ = , то pp aa
loglog =γ
γ
4**) якщо 1=γ , то pp aa
log
1
log
β
β =
5) )1,0,0(
log
log
log ≠>>= qqp
q
p
p
a
a
q
Наслідок:
5*) якщо а = р, то
q
p
p
q
log
1
log =
6) )1,0,0,0(loglog
≠>>>= bbacca ac bb
Логарифм числа за основою 10 називається десятковим.
Запис: xx 10loglg =
Логарифм числа за основою е називається натуральним.
Запис: xx elogln = ...71828,2=e
Логарифм нуля і від′ємних чисел не існує, оскільки рівняння ах
= 0 і нерівність
ах
< 0 при а > 0 не мають розв′язків.
Логарифмування – це знаходження логарифму деякого виразу за певною основою.
Потенціювання – це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом
числа визначають саме число.
Обчислення логарифмів:
• будь-яке число а > 0 має тільки один логарифм;
• від′ємні числа і нуль логарифму не мають;
• логарифм одиниці дорівнює нулю: 01log =a ;
• логарифм основи дорівнює одиниці: 1log =aa .
Тригонометричні вирази та їхні перетворення
Тригонометричними є вирази, які містять тригонометричні функції.
3. Тригонометричні вирази перетворюють, використовуючи відповідні
тригонометричні формули.
Тригонометричні формули:
Основна тригонометрична тотожність: sin2
α + cos2
α = 1
Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу:
α
α
α
cos
sin
=tg , cos α ≠ 0
α
α
α
sin
cos
=ctg , sin α ≠ 0
1=⋅ αα ctgtg
α
α
tg
ctg
1
=
α
α
ctg
tg
1
=
α
α 2
2
cos
1
1 =+ tg
α
α 2
sin
1
1 =+ ctg
Формули зведення
Градусна міра кута Радіанна міра кута
α
90о
± α
180о
± α
270о
± α
360о
± α
α
π/2 ± α
π ± α
3π/2 ± α
2π ± α
Формули зведення – це формули перетворення тригонометричних функцій кутів
(90о
± α), (180о
± α), (270о
± α), (360о
± α) у тригонометричні функції гострого кута α.
Правило зведення:
- У правій частині рівності ставиться той знак, який має тригонометрична
функція, що зводиться;
4. - При зведенні тригонометричних функцій кутів (180о
± α), (360о
± α) їх назви не
змінюються, а кутів (90о
± α), (270о
± α) назви функцій змінюються: синус на
косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.
Формули зведення
sin (90о
– α) = cos α
sin (90о
+ α) = cos α
cos (90о
– α) = sin α
cos (90о
+ α) = –sin α
tg (90о
– α) = ctg α
tg (90о
+ α) = –ctg α
ctg (90о
– α) = tg α
ctg (90о
+ α) = –tg α
sin (180о
– α) = sin α
sin (180о
+ α) = –sin α
cos (180о
– α) = –cos α
cos (180о
+ α) = –cos α
tg (180о
– α) = –tg α
tg (180о
+ α) = tg α
ctg (180о
– α) = –ctg α
ctg (180о
+ α) = ctg α
sin (270о
– α) = –cos α
sin (270о
+ α) = –cos α
cos (270о
– α) = –sin α
cos (270о
+ α) = sin α
tg (270о
– α) = ctg α
tg (270о
+ α) = –ctg α
ctg (270о
– α) = tg α
ctg (270о
+ α) = –tg α
sin (360о
– α) = –sin α
sin (360о
+ α) = sin α
cos (360о
– α) = cos α
cos (360о
+ α) = cos α
tg (360о
– α) = –tg α
tg (360о
+ α) = tg α
ctg (360о
– α) = –ctg α
ctg (360о
+ α) = ctg α
Тригонометричні функції суми та різниці двох кутів :
cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β
βα
βα
βα
tgtg1
tgtg
)(tg
⋅−
+
=+
βα
βα
βα
tgtg1
tgtg
)(tg
⋅+
−
=−
Тригонометричні функції подвійних кутів:
sin 2α = 2sin α · cos α
cos 2α = cos2
α – sin2
α
cos 2α = 1 – 2sin2
α
cos 2α = 2cos2
α – 1
α
α
α 2
tg1
2tg
2tg
−
=
Тригонометричні функції половинних кутів:
2
cos1
2
sin
αα −
=
2
cos1
2
cos
αα +
=
α
αα
cos1
cos1
2 +
−
=tg
Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
−
⋅
+
=+
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
+
⋅
−
=−
2
cos
2
cos2coscos
βαβα
βα
−
⋅
+
=+
