1. Основи
диференціального та
інтегрального
числення.
Диференціальні
рівняння.

2. План лекції
 Похідна функції.
 Диференціал функції.
 Основи інтегрального числення.
 Диференціальні рівняння
 Загальний та частковий розв'язок
диференціяльного рівняння
 Диференціальні рівняння з розділеними змінними
і зі змінними, які можна розділити.
 Диференціальні рівняння другого порядку.
Моделювання фізико-хімічних та біологічних
процесів лінійними однорідними
диференціальними рівняннями

3. Похідна функції.
 Похідною функції y=f(x) по
аргументу х називається границя
відношення приросту функції до
приросту аргументу, коли останній
прямує до нуля.
 Похідна функції y=f(x)
позначається через : у, у(х), f, f(x).

4.  Похідна від похідної називається
похідною другого порядку, або
другою похідною. Позначається
таким чином : y, y(2) , f(x), f(2)(x) .
 Подібним чином вводиться
поняття похідної n-ного порядку.

5. Таблиця формул диференціювання елементарних
функцій.

6. Продовження таблиці основних формул
диференціювання елементарних функцій.

8. Знаходження похідної функції,
використовуючи табличні похідні
та похідну добутку, суми і частки.

9. Визначення інтервалів
монотонності та екстремумів
функції.

10. Похідні складних функцій.
 Нехай у є функція відu: y=f(u), де
u є функція від аргументу х :
u=(x); тоді ми можемо записати
y=f((x)).
 Якщо для відповідних значень х і u
існують похідні, то існує і похідна від
у по х. причому має місце рівність :
y=f(u)u=f[((x)](x).

12. Знаходження числового
значення функції.

13. Основи інтегрального числення.
Невизначений інтеграл

14. Невизначений інтеграл

15. Властивості невизначеного
інтеграла
• 1. Похідна від невизначеного
інтеграла дорівнює
підінтегральній функції:
[∫f(x)dx]'=f(x).
• 2. Диференціала від
невизначеного інтеграла
дорівнює під інтегральному
виразу:
d [∫f(x)dx]=f(x)dx

16. Властивості невизначеного
інтеграла
• 3. Інтеграл від диференціала
первісної дорівнює цій
первісній:
∫d[F(x)+c]=Fx)+c
• 4. Сталий множник можна
виносити за знак інтеграла:
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

17. Властивості невизначеного
інтеграла
• 5. Інтеграл від алгебраїчної
суми функцій дорівнює
алгебраїчній сумі інтегралів
від кожного доданку зокрема:
∫[f1(x)±f2(x)]dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx

18. Основні формули інтегрування:

19. Основні формули інтегрування:

20. Методи інтегрування
Розрізняють три
найпростіших методи
інтегрування:
• безпосереднє інтегрування
• інтегрування методом заміни
змінної
• інтегрування частинами.

21. Метод безпосереднього
інтегрування
• Безпосереднім - називається
інтегрування при якому
шляхом алгебраїчних
перетворень і застосування
властивостей невизначеного
інтеграла зводять
підінтегральні вирази до
основних формул

22. Метод інтегрування
заміни змінної
• Інтегрування методом заміни
змінної полягає в переході від
заданої змінної інтегрування до
іншої змінної, для того, щоб звести
під інтегральний вираз до одного з
табличних.
• Вибір заміни змінної в кожному
конкретному випадку залежить від
підінтегрального виразу .

24. Метод інтегрування за частинами

26. Визначений інтеграл.

27. Основні властивості
визначеного інтеграла

29. Методи обчислення визначеного
інтеграла.

31. Визначення диференціального
рівняння
Звичайним диференціальним
рівнянням називається рівняння, яке
зв'язує незалежну змінну х, шукану
функцію )(xfу  і похідні цієї функції
n
yyyу  ,, , тобто рівняння виду:
0),,,,(  n
yyyyyxF  . (1)

32. Порядок диференціального рівняння
Порядком диференціального
рівняння називається порядок
найвищої похідної, яка входить у це
рівняння:
0),,( yyxF — диференціальне
рівняння першого порядку,
0),,,(  yyyxF — диференціальне
рівняння другого порядку і так
далі.

33. Загальний та частковий розв'язок
диференціяльного рівняння
 Загальним розв'язком
диференціального рівняння
називається функція, яка після
підстановки у диференціальне
рівняння перетворює його в
тотожність.

34. Загальний розв'язок диференціяльного
рівняння 1-го порядку містить одну
довільну сталу ( ),( cxfу  ), 2-го
порядку — дві довільні сталі
( ),,( 21
ccxfy  ) і так далі.
Розв'язок, отриманий із загального
розв'язку диференціального рівняння
шляхом задання довільним сталим
певних числових значень називається
частковим.

35. Диференціальні рівняння типу ).(xfу 
Запишемо це рівняння у такому
вигляді:
)(xf
dx
dy
 ; dxxfdy )( .
Загальний розв'язок шукатимемо
методом інтегрування:
  cxFdxxfy )()( .

36. Приклад 1. Знайти загальний і
частковий розв'язки такого
диференціального рівняння xxу sin2
 ,
якщо при 0x ; 1y .
Розв’язування. Загальний розв'язок
має такий вигляд:
  Cx
x
dxxxу   cos
3
sin
3
2
.

37. Для знаходження часткового розв'язку
визначмо значення сталої С, виходячи
з заданих початкових умов:
Cсоs  001 ;  2C .
Частковий розв'язок даного рівняння
запишемо у такому вигляді:
2cos
3
3
 x
x
у

38. Диференціальні рівняння типу )(yfу  .
Запишемо це рівняння у такому
вигляді:
)(yf
dx
dy
 ; dx
yf
dy

)(
.
Загальний розв'язок має такий вигляд:
CxyF
yf
dy
 )(
)(
.

39. Приклад 2. Знайти загальний розв'язок
рівняння 0
1

y
y .
Розв’язування. Перепишемо рівняння у
такому вигляді:
ydx
dy 1
 або dxydy  .
Проінтегрувавши отримаємо:
  dxydy ,  Cx
y

2
2
або Cxy  2 .

40. Диференціальні рівняння з розділеними
змінними і зі змінними, які можна розділити.
а) Диференціальні рівняння типу
0)()(  dyydxxf  .
називається диференціальне рівняння з
розділеними змінними.
Загальний розв'язок такого рівняння
знаходиться інтегруванням:
   Cdyydxxf )()(  .

41. Приклад 3. Знайти загальний розв'язок
такого рівняння: 0cossin  ydyxdx .
Розв’язування. Cyx  sincos або
xCy cossin  .
Запишемо розв’язок у такому вигляді:
)cosarcsin( xcу  .

42. б) Диференціальні рівняння типу
0)()()()(  dyyfxdxyxf  .
Це рівняння можна привести до
рівняння з розділеними змінними ,
поділивши на )()( хy   .
0
)(
)(
)(
)(
 dx
y
yf
dx
x
xf

. 
Cdx
y
yf
dx
x
xf
 
)(
)(
)(
)(

.

43. Диференціальні рівняння другого порядку.
Диференціальні рівняння другого порядку, які
допускають зниження порядку.
Диференціальне рівняння виду )(xfу 
називається диференціальним
рівнянням другого порядку, яке
допускає пониженню порядку.

44. Для розв'язання рівняння такого типу
введемо нову функцію )(xuу  , тоді :
)()( xuyy 
або )()( xfxu  . Звідси
)(xf
dx
du
 .
Розділивши змінні і провівши операцію
інтегрування отримаємо:
dxxfdu )( ,    dxxfdu )( , або
  1
)()( Cdxxfxu .

45. Повертаючись до початкової зміни
маємо:
  1
)( Cdxxfу ,    1
)( Cdxxf
dx
dy
.
Розділивши змінні в цьому рівнянні і
провівши інтегрування отримаємо:
 dxCdxxfdy   1
)( , або
  21
)( CxCdxdxxfy    .
Останній вираз є загальним розв'язком
диференціяльного рівняння типу
)(xfy  .

46. Лінійні однорідні диференціальні рівняння
другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Рівняння типу 0 qyypу
називаються лінійними однорідними
диференціальними рівняннями другого
порядку зі сталими коефіцієнтами (р і q
– сталі).
Розв'язок такого рівняння шукатимемо
у такому виді:
kx
ey  , де k — деяке число.

47. Похідні від цієї функції kx
key  і
kx
eky  2
підставимо у диференціальне
рівняння:
02
 kxkxkx
qepkeek ,  02
 qрkk .
Цей многочлен називається
характеристичним рівнянням для
лінійного диференціального рівняння
другого порядку зі сталими
коефіцієнтами.
Корені цього рівняння знаходимо за
формулою:
q
pp
k 






2
2,1
22
.

48. Можуть реалізовуватися такі
випадки:
1) корені 1
k і 2
k дійсні і різні, тоді
розв'язок запишеться у такому виді:
xkxk
eCeCy 21
21
 ,
де 1
C і 2
C — сталі величини;
2) корені 1
k і 2
k дійсні і рівні )( 21
kkk  ,
тоді розв'язок диференціального
рівняння має такий вид:
kx
eCxCy  )( 21
;

49. 1) якщо 0
2
2






q
p
, то корені
характеристичного рівняння уявні.
Тоді 2/p і
2
2







p
q і розв'язок
диференціального рівняння запишемо у
такому виді:
    xCxCey x

sincos 21
 .

50. Приклад 4. Знайти загальний розв'язок
диференціального рівняння:
034  yyy .
Розв'язуваня. Характеристичне
рівняння має такий вид:
0342
 kk .
Корені цього рівняння є такі 11
k і
32
k , тобто дійсні і різні числа.
Розв'язок рівняння запишемо у виді:
xx
eCeCу 3
21
 .

51. Моделювання фізико-хімічних та біологічних
процесів лінійними однорідними диференціальними
рівняннями
Радіоактивний розпад.
Нехай на момент часу 0t є 0
N ядер
радіоактивного ізотопу. Кількість
розпадів за одиницю часу називають
активністю. Експериментально
визначено, що активність пропорційна
числу ядер даного радіоактивного
ізотопу.

52. Тобто
N
dt
dN
 ,
де  — стала розпаду.
Дана формула є однорідним лінійним
диференційним рівнянням першого
порядку, яке має такий частинний
розв'язок:
t
eNN 
 0
,
Ця формула визначає основний закон
радіоактивного розпаду.

53. Закон поглинання іонізуючого
випромінювання середовищем.
Зменшення інтенсивності іонізуючого
випромінювання I при проходженні
через тонкий шар середовища
пропорційне інтенсивності І та
товщині шару x : xII   , де  —
коефіцієнт поглинання.

54. Замінивши прирости диференціалами
отримаємо диференціальне рівняння
закону поглинання:
IdxdI  .
Після інтегрування цього рівняння
отримуємо закон поглинання
іонізуючого випромінювання
середовищем:
x
eII 
 0
,
де І — інтенсивність іонізуючого
випромінювання після проходження
шару середовища завтовшки х,
  0
0 IxI  .

55. Закон розмноження бактерій.
Швидкість поділу бактерій
dt
dN
пропорційна до кількості бактерій N у
даний момент часу t. Диференціальне
рівняння закону розмноження має
такий вигляд:
kN
dt
dN
 ,
де k — коефіцієнт розмноження.
Інтегральний закон розмноження
бактерій описується такою формулою:
kt
eNN 0
 ,
де   0
0 NtN  .

56. Закон розчинення лікарської
речовини з таблетки.
Якщо швидкість розчинення
лікарської речовини з таблетки
dt
dm
пропорційна до кількості лікарської
речовини у таблетці m, то
km
dt
dm
 ,
де k — стала швидкості розчинення.
Закон розчинення лікарської речовини
з урахуванням початкової умови
  0
0 mtm  описується такою формулою:
kt
emm 
 0
.

57. Хімічні реакції першого порядку: А 
продукт реакції.
Нехай при 0t початкова концентрація
речовини А дорівнює а, за час t
концентрація речовини А стане  xa  .
Кінетика хімічних реакцій першого
порядку описується таким
диференційним рівнянням:
 xak
dt
dx
 1
,
де 1
k — константа швидкості реакції
першого порядку.
Розв’язок цього диференційного
рівняння записуємо у такому вигляді:
 tk
eax 1
1 
 .

58. Хімічні реакції другого порядку: А+В
продукт реакції.
Нехай а — початкова концентрація
речовини А; в — початкова
концентрація речовини В при 0t . За
час t відповідні концентрації стануть
такими:  xa  та  xв  .
Кінетика хімічних реакцій другого
порядку описується таким
диференціяльним рівнянням:
  xвxak
dt
dx
 2
,
де 2
k — константа швидкості хімічної
реакції другого порядку.

59. Якщо вa  , то розв’язок даного
рівняння має такий вигляд:








atk
ax
2
1
1
1 .
Якщо вa  , то розв’язок даного
рівняння записуємо так:
 
 
 
aвe
eaв
x tkaв
tkaв


 

2
2
1
.