111

1. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
ПЕРВІСНА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ
При вільному падінні тіла пройдений за час t шлях s у фізиці визначають за формулою:
2
2
qt
s =
Таку задачу можна розв'язати методом диференціювання.
Продиференціюємо дану формулу: s'(t) = v(t) = q·t (похідною шляху s по часу t є швидкість v по
часу t).
s(t) ⇒ s'(t) ⇒ v(t)=qt
Продиференціюємо отриману формулу: v'(t) = a(t) = q, q = const (похідною швидкості v по часу t
є прискорення q по часу t).
v(t) ⇒ v'(t) ⇒ q
Але частіше у фізиці зустрічається інша задача: за відомим прискоренням q визначити швидкість v
і шлях s.
q ⇒ v'(t) ⇒ v(t)
v(t) ⇒ s'(t) ⇒ s(t)
Розв'язування задач такого типу здійснюється методом інтегрування.
Інтегрування обернене до диференціювання.
д и ф е р е н ц і ю в а н н я
→ →
s(t) ← v(t) ← q
і н т е г р у в а н н я
Функція F називається первісною для функції f на заданому інтервалі, якщо для всіх х з цього
інтервалу виконується рівність: F'(x) = f(x).
Інше визначення первісної: первісною функції f називається функція F, похідна якої дорівнює
даній функції f.
Функція f може мати безліч первісних F. Усі первісні функції f записують так: F(x) + C
Основна властивість первісної
Будь-яку первісну для функції f на заданому інтервалі можна записати у вигляді F(x) + C, де F(x) –
одна із первісних для функції f(х) на заданому інтервалі, а С – довільна стала.
Геометричний зміст основної властивості первісних функції f полягає в тому, що графіки
первісних для функції f паралельні вздовж осі OY.
Т а б л и ц я п е р в і с н и х
Функція f Загальний вигляд первісних функції f
k = const kx + C
xn
, n ϵ Z, n ≠ 1 C
n
xn
+
+
+
1
1
x
1
Cx +2
ах
C
a
ах
+
ln
ех
ех
+С
sin x – cos x + C

2. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
cos x sin x + C
x2
cos
1
tg x + C
x2
sin
1
– ctg x + C
ІНТЕГРАЛ, ЙОГО ФІЗИЧНИЙ І ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ
Множина всіх первісних функції f(x) на деякому інтервалі називається невизначеним інтегралом
цієї функції.
Запис: ∫ dxxf )(
∫ – знак інтеграла
f(x) – підінтегральна функція
f(x)dx – підінтегральний вираз
х – змінна інтегрування
∫ += CxFdxxf )()(
Множина всіх первісних функції f(х) на інтервалі [a; b] називається визначеним інтегралом цієї
функції.
Запис: ∫
b
a
dxxf )(
∫ – знак інтеграла
a, b – межі інтегрування (a – нижня межа, b – верхня межа)
f(x) – підінтегральна функція
f(x)dx – підінтегральний вираз
х – змінна інтегрування
В математиці існує формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтеграла на проміжку
[a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x = b і x = a :
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==∫
Фізичний зміст інтеграла розкриває задача на знаходження маси неоднорідного стержня.
Формула обчислення маси неоднорідного стержня: ∫==
∞→
l
n
n
dxxmm
0
)(lim ρ
Геометричний зміст інтеграла розкриває задача на знаходження площі криволінійної трапеції.
Формула обчислення площі криволінійної трапеції: ∫==
∞→
b
a
n
n
dxxfSS )(lim

3. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
Криволінійна трапеція:
Криволінійна трапеція – це плоска фігура, обмежена графіком
функції y = f(x) і віссю ОХ на заданому інтервалі [a; b].
ABCD – криволінійна трапеція.
ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ІНТЕГРАЛА
Властивості невизначеного інтеграла:
1. ∫ += CxFdxxF )()('
2. ∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
3. ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()(
4. Якщо F(x) – первісна для f(x), k і b – деякі числа, k ≠ 0, то ∫ ++=+ CbkxF
k
dxbkxf )(
1
)(
Властивості визначеного інтеграла:
1. ∫ ∫∫ ±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
2. Rkdxxfkdxxkf
b
a
b
a
∈= ∫∫ ,)()(
3. ∫ ∫∫ +=
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
4. RkRpdttf
k
dxpkxf
b
a
pkb
pka
∈∈=+∫ ∫
+
+
,;)(
1
)(
5. ∫∫ <−=
a
b
b
a
badxxfdxxf )(,)()(
6. ∫ =
a
a
dxxf .0)(
ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛА
Таблиця основних інтегралів:
1. )0,1(,
1
1
>−≠+
+
=∫
+
xnC
n
x
dxx
n
n
2. ∫ ∈≠>+= ),1,0(,
ln
RxaaC
a
a
dxa
x
x
3. ∫ += ;Cedxe xx
4. ∫ ∈+−= )(,cossin RxCxxdx
5. ∫ ∈+= )(,sincos RxCxxdx
6. ∫ +≠+= )
2
(,
cos2
nxCxtg
x
dx
π
π

4. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
7. ∫ ≠+−= )(,
sin2
nxCxctg
x
dx
π
8. ∫ −∈+=
−
))1;1((,arcsin
1 2
xCx
x
dx
9. ∫ ∈+=
+
)(,
1 2
RxCxarctg
x
dx
10. )0(,ln ≠+=∫ xCx
x
dx
11. ∫ = ;0 Cdx
12. ∫ += ;Caxadx
13. ∫ += .Cxdx
Способи інтегрування:
1. Табличне інтегрування.
Для обчислення інтегралів використовуються табличні значення.
2 .Заміна змінної.
Використовується метод підстановки, який виражається формулою:
∫ ∫ == ).(,)('))(()( xtдеdxxxfdttf ϕϕϕ
3. Інтегрування частинами.
ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ ПЛОСКИХ ФІГУР
Розглянемо визначення площі S плоскої фігури ВСЕ.
Дана фігура обмежена графіками функцій y = f(x) і y = q(x) та
прямою x = b.
Нехай, S – шукана площа.
Введемо позначення:
S1 – площа криволінійної трапеції ABCD (утворена графіком функції y = f(x))
S2 – площа криволінійної трапеції ABED (утворена графіком функції y = q(x))
Тоді шукану площу можна визначити через різницю площ криволінійних трапецій: S = S1 – S2.
Оскільки площу криволінійної трапеції можна обчислити за формулою ∫=
b
a
dxxfS )( , тоді:
∫=
b
a
dxxfS )(1 і ∫=
b
a
dxxqS )(2 .
Звідси: ∫∫∫ −=−=
b
a
b
a
b
a
dxxqxfdxxqdxxfS ))()(()()(

5. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
Інші застосування інтеграла:
• у математиці:
Обчислення об'єму тіла: ∫=
b
a
dxxSV )(
Обчислення об'єму кулі радіуса R: dxxRdxxSV
R
R
R
R
∫ ∫− −
−== )()( 22
π
Обчислення об'єму кругового циліндра: ∫ ==
H
RSSdxV
0
2
, π
Обчислення об'єму піраміди: 2
2
2
0 0
2
)(,)( x
H
S
xSdxx
H
S
dxxSV
H H
=== ∫ ∫
S – площа основи піраміди, H – висота піраміди
Обчислення об'єму тіла обертання: ∫ ===
b
a
xSRxfdxxfV )()(,)( 222
πππ
Обчислення об'єму прямого кругового конуса: dxx
H
R
V
H
2
0
2
2
∫=
Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням параболічного сегмента з висотою Н і основою 2R
навколо осі симетрії: ∫=
H
xdx
H
R
V
0
2
π
• у фізиці:
Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості: ∫=
2
1
)(
t
t
dttvs
Обчислення роботи змінної сили: ∫ −=
b
a
силазміннаxFdxxFA )(,)(
Обчислення маси неоднорідного стержня та координати центра мас стержня:
∫=
2
1
)(
l
l
dllm ρ та ∫=
2
1
)(
1
'
l
l
dlll
m
x ρ
Обчислення кількості електрики: ∫=
2
1
)(
t
t
dttIQ