2. Ціле рівняння та його розв'язки
Рівняння називається цілим, якщо у
ньогол іва і права частина є цілими
виразами.
(3x + 7)(3x - 7) – 5 = 3x (3x+1).
Будь-яке рівняння можна замінити
рівносильним йому рівнянням, ліва
частина якого - многочлен
стандартного виду, а права – нуль.
𝑥2
16
−
𝑥
8
=
𝑥 + 1
3
↔
(3x2 – 22x – 16 =0)
Якщо рівняння з однією змінною
написано у вигляді P(x)=0, де P(x) -
многочлена стандартного виду, то
степінь цього многочлена називають
степенем рівняння.
Рівняння x2 - 2x3 + 1 = 0
є рівнянням третього степеня.
3. Деякі рівняння третього або більш високого степеня
легко розв'язати за допомогою розкладання
многочлена на множники.
Розв’язати рівняння.
x3 – 8x2 – x + 8 = (),
x3 (x - 8) – (x - 8) = 0,
(x - 8)(x - 1)(x + 1) = 0.
Рівняння має три розв’язки:
x1 = -8; x2 = 1; x3 = 8.
4. 1.Розв’язати рівняння. 16x3 – 32x2 - x + 2 = 0.
Розв'язання.
Розкладемо ліву частину
рівняння на множники.
(16x3 – 32x2) - (x - 2) = 0;
16x2 (x - 2) – (x - 2) = 0;
(x - 2)(16x2 - 1) = 0;
(x - 2)(4x - 1)(4x + 1) = 0;
х–2=0 або 4х–1=0 або
4х+1=0;
х=2 або 4х=1; або 4х=-1;
х=
𝟏
𝟒
; х=−
𝟏
𝟒
Відповідь:
1
4
; −
1
4
; 2.
2.Розв’язати рівняння. (х2+2х)(х2+2х-2)=3.
Розв’язання.
Позначимо х2+2х через у:
Тоді рівняння зведеться
до рівняння зі змінною у:
х2+2х=у;
у=у(у-2)=3; у2-2у-3=0, за теоремою Вієта: у1=-1,у2=3
Звідси х2+2х=-1, або х2+2х=3
х2+2х+1=0, або х2+2х-3=0
(х+1)2 = 0, х=-1; х1=-3; х2=1 (за теоремою Вієта).
Відповідь: -3; -1; 1.
Рівняння, степінь яких вище двох, іноді
розв'язуються уведенням деякої змінної або за
допомогою розкладання на множники.
5. Метод уведення нової змінної дозволяє легко розв'язувати рівняння
четвертого степеня, які мають вид ax4+bx2+c=0.
Рівняння виду ax4+bx2+c=0, де a≠0,що є квадратними відносно x2
називають біквадратними рівняннями.
3. Розв'язати біквадратне
рівняння. 4х4-5х2+1=0.
Розв'язання.
Введемо нову змінну,
позначивши х2 через
у:Отримаємо квадратне
рівняння зі змінною у:
х2=у.
4у4-5у+1=0. Розв’язавши його, знайдемо, що у1=
1
2
і у2=2.
Отже, х2=
1
2
або х2=2,
тоді х1= −√
1
2
; х2= √
1
2
; і х3= √2; х4=-√2.
Відповідь: −√
1
2
;-√2; √
1
2
; √2.
4.Розв'язати біквадратне
рівняння. х4-3х2-4=0.
Розв'язання.
За теоремою Вієта.
Нехай х2=у, отримаємо у2-3у-4=0.
у1=-1; у2=4, тоді х2=-1 – розв’язки немає,
х2=4; х1=-2; х2=2.
Відповідь: -2;2.
6. Системи рівнянь
з двома змінними
Розв'язком системи рівнянь з двома змінними є
пара значень змінних, які перетворюють кожне
рівняння системи у правильну числову рівність.
Системи рівнянь можна розв'язати трьома
способами.
1.Графічний спосіб.
2. Спосіб підстановки.
3. Спосіб додавання.
7. Розв'язати
систему рівнянь
способом
підстановки.
1)
ху + у2
= −2;
х − 2у = 7.
2)
х − у = 1.
1
у
−
1
х
=
1
6
.
Розв’язання
7 + 2у у = у2
= −2.
х = 7 + 2у.
2у2
+ 7у + у2
= −2,
х = 7 + 2у.
3у2+7у+2=0,
D=49-24=25=52,
у =
−7±5
3
; у1=-4; у2 = −
2
3
.
х1=2(-4)+7=-1,
х2=2*(−
2
3
) +7=5
2
3
.
Відповідь:(-1;-4); (5
2
3
;
х = 1 + у.
1
у
−
1
1+у
=
1
6
.
Підставимо
виражене значення ху друге
рівняння
системи
16(1+у)
у
-
16у
1+у
=
1у(1+у)
6
;
ОДЗ:
6у+6-6у=у(1+у); у(1+у)-6=0;
у2+у-6=0. D=1+24=25=52;
у =
−1±5
2
; у1=-3; у2=2;
х=1+у; х1=-2; х2=3
Відповідь: (-2;-3); (3;2).
у≠ 0; у≠ −1
