Модуль в рівняннях та нерівностях

1. Вплив властивостей модуля
на вибір раціональних
методів розв’язування
рівнянь, нерівностей та їх
систем
Колесникова Лідія Василівна

2. Що вмієте, того не
забувайте,
а чого не вмієте,
тому навчайтесь.
В. Мономах
05.01.2018 © Л.В. Колесникова 2

3. Основні поняття:
Означення: = a, a
= - а, а<0.
Властивості абсолютної величини
числа:
а ,0
а
;ваав  ;0,  в
в
а
в
а
;вава 
;вава  .вава 

4. Розв’язати рівняння:
Розв’язання
У цьому рівнянні користуватись методом інтервалів не
доцільно, а слід згадати, що два модулі будуть рівними,
якщо вирази під знаками модулів або рівні, або
протилежні. Тому маємо рівносильну сукупність рівнянь:
Відповідь.
.1322 22
 хххх






,1322
,1322
22
22
хххх
хххх







,0323
,014
2
2
хх
хх
 .2/101(;32 

5. Розв’язати рівняння:
Розв’язання
Використовуючи властивість рівності модулів,
отримаємо рівносильне рівняння даному:
Відповідь.
ххх  31
          


104322
3123131
22
22222
хххх
хххххххх
2 2
2 2
2
2( 2 3) 4 10,
2( 2 3) ( 4 10),
4 10 0.
х х х х
х х х х
х х
     

      

  
.4;2;
3
2
;4








6. Розв’язати рівняння :
Розв’язання
Метод інтервалів. Даному рівнянню
відповідає така система:
якщо Отже маємо:
або
Перша і друга системи не мають розв’язків.
Відповідь: не має розв’язків.
011223 22
 ххххх








,0233
,023
,0233
2
2
2
хх
хх
хх  
 
 .;2
,2;1
,1;



х
х
х
 
 










,;2
,1;
,0233 2
х
х
хх
 




.2;2
,0232
х
хх

7. Розв’язати рівняння:
Розв’язання
За означенням модуля, отримаємо сукупність
двох систем:
1.
Другий розв’язок рівняння не задовольняє
систему.
.
3
92



x
x
xx
























,74
,74
,3
,962
,3
,32
,0
2
12
x
x
x
xxx
x
xx
x

8. Розв’язати рівняння: (продовження)
2.
Відповідь:
.
3
92



x
x
xx
.3,30
,
3
9
0
,0
2 









xx
x
x
x





.74
,3
x
x

9. Лінійні рівняння, що містять змінну під знаком
модуля
ІІІІІІ.  
 .4;1.
).;4(;4;82;514;;4


хВідповідь
xxxxxx

10. Нерівності.
Дві нерівності A>B i C>D називаються нерівностями
однакового змісту. Дві нерівності A>B i C<D є
нерівностями протилежного змісту. Нерівності A>B i
C>D називаються строгими, а нерівності A B i
C D – нестрогими.
Деякі корисні нерівності.


., axaax 






.
,
,
ax
ax
ax

11. Розв’язати нерівність:
Розв’язання
Відмітивши на числовій осі ті значення х, при яких
вирази під знаками модуля перетворюються на нуль,
одержуємо три інтервали, на кожному з яких ці вирази
знакосталі:
Враховуючи, що на кожному з цих інтервалів вирази під модулем
не змінюють знак, складемо і розв’яжемо сукупність трьох систем
нерівностей, розкривши модулі за означенням на кожному з
інтервалів.
532  xхх
,2 x ,32  x  x3
.2
,
4
3
,2
,532
,2













x
x
x
xxx
x

12. Розв’язати нерівність: (продовження)
Таким чином, маємо сукупність трьох нерівностей:
Розв’язавши графічно, знайдемо об’єднання
розв’язків усіх трьох нерівностей.
Відповідь: х
532  xхх
.02
,0
,32
,532
,32












x
x
x
xxx
x
.6
,6
,3
,532
,3












x
x
x
xxx
x








.6
,02
,2
x
x
x
   .;60; 

13. Нерівності виду :
Такі нерівності зводяться до системи раціональних
нерівностей. У нерівності виду вираз g(x)
більший за невід’ємну величину , тому він повинен
набувати лише додатних значень, а нерівність даного виду
рівносильна системі нерівностей:
).()( xgxf 
)()( xgxf 
)(xf








).()(
),()(
,0)(
xgxf
xgxf
xg

14. Розв’язати нерівність:
Розв’язання
Права частина нерівності може набувати тільки
додатних значень, тому маємо систему нерівностей:
Друга нерівність виконується при всіх х R, бо
дискримінант: від’ємний.
Графічно знаходимо множини розв’язків системи
нерівностей.
Відповідь: (0;6).
.12142
 xхх





































.0)6(
,
,
2
1
.06
,022
,
2
1
.1214
,1412
,012
.1214)12(
,012
2
2
2
2
2
xx
Rx
x
xx
xx
x
xxx
xxx
x
xxxx
x

222
 xx

15. Нерівності виду :
Дана нерівність рівносильна такій сукупності:
)()( xgxf 

























).()(
,0)(
),()(
,0)(
,
,0)(
xgxf
xg
xgxf
xg
ОДЗx
xg

16. Розв’язати нерівність:
Розв’язання
Задана нерівність з модулем рівносильна сукупності
трьох систем нерівностей:
Розв’язок якої знаходимо об’єднанням проміжків, що є
розв’язками системи цієї сукупності.
Відповідь:
xхх  22
2
2
0,
,
0,
2 ,
0,
2 ,
x
x R
x
x x х
x
x x x
 


 
   



   



























,0)31)(31(
,0
,0)2)(2(
,0
,
,0
xx
x
xx
x
Rx
x
   .;231; 

17. Рівняння і нерівності з параметрами, що
містять знак абсолютної величини.
При яких значеннях параметра а серед коренів рівняння
є лише один додатній корінь?
Розв’язання
При а < дане рівняння розв’язків не має, оскільки ліва частина
рівняння набуває невід’ємних значень.
Нехай а . Тоді дане рівняння рівносильне сукупності
Перше рівняння має два розв’язки
причому
1212 22
 aaaxx
2
1
2
1

 
 












.22
,2
2112
,1212
2
2
22
22
aax
aax
aaaxx
aaaxx
,21 aax  ,22 aax 
.01 x

18. При яких значеннях параметра а серед
коренів рівняння
є лише один додатній корінь?(продовження)
Знайдемо а при яких Маємо:
Друге рівняння сукупності при а>1 розв’язків не має.
Отже, при дане рівняння має один додатній корінь. Нехай
В цьому випадку корені другого рівняння
сукупності. Оскільки то рівняння буде мати один додатній
корінь, якщо Маємо:
Тоді
Відповідь:
1212 22
 aaaxx
02 x
 
.2;
2
1
2
1
,02
2
1
,2
2
1
,2
2
1
,02 2



































a
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
 2;1a .1;
2
1




a
aaxaax 22;22 43 
,0,0 31  xx
.31 xx  .
2
1
222,31  aaaaaxx
.
2
1
;
2
3
4213  xxxx
 .2;1
2
1







a

19. Скільки розв’язків має рівняння
Розв’язання.
Застосуємо графічний метод перерізів. Для цього
побудуємо графіки функцій:
.
11
2
a
xx


 













.1,
1
;1;1,1
;1,
1
)(
111
2
)(
якщоx
x
aiyякщоx
якщоx
x
xf
x
xf

20. Рівняння має стільки розв’язків,
скільки спільних точок мають графіки
функцій. При або
горизонтальна пряма
у = a не має спільних точок з графіком
функції f(x). В цьому випадку
рівняння має порожню множину
розв’язків. При 0<a<1
графіки мають дві спільні точки А і В,
тобто рівняння має два розв’язки.
Нарешті, якщо а = 1, то рівняння має
безліч розв’язків
Відповідь: порожня множина, якщо
два корені, якщо
безліч коренів, якщо а = 1.
),10(,
,1
)1(,



aay
y
aay
0a 1a
 .1;1x
   ;;10; a
;10  a

21. При яких значеннях а система рівнянь
має два розв’язки:
Розв’язання
Зауважимо, що якщо пара є розв’язком даної системи,
То пари - також є розв’язками
системи. Звідси випливає, що якщо система має два
розв’язки, то вони мають вигляд .
Отже, умова є необхідною (але не достатньою)
умовою існування у даної системи двох
розв’язків. З цьому випадку маємо систему:






.16)(
,
2
22
yx
ayx
 yx;
     xyyxxy  ;,;,;
   xxxx  ;,;
yx 












.8
,4
,16)2(
,2 2
2
2
a
x
x
ax

22. Розв’язавши вихідну систему при а = 8,
переконаємося, що вона дійсно має два розв’язки, а
саме: (2; 2) , (-2; -2).
Відповідь: а = 8.

23. Завдання, що часто пропонують на
пробному тестуванні та у підготовці до
ЗНО на побудову графіків.
Побудувати графік функції
Перший модуль перетворюється на нуль, якщо ,
а другий – якщо . якщо ,
то ; якщо -2<x<0, то ;
якщо , то .
233  xxy
0x
2x 2x
6)2(33  xxy
66)2(33  xxxy
0x 6633  xxy

25. • Побудувати графік функцій :
; (Пробне тестування, 2008 р.)
12
2
2
2



xx
xx
y

26. Графіки функцій, що містять змінну під
знаком модуля
• Побудувати графік функції