2. Дві прямі, які перетинаються у просторі визначають одну площину, тому означення
кута між прямими, які перетинаються у просторі переноситься і в стереометрію.
а в
М
ОзначенняОзначення . Менший з кутів, утворених при перетині двох прямих, називають
кутом між прямими.
Із означення слідує, що кут між двома перетинаючими прямими не може
перевищувати 900
,тобто
¶ ( 0 0
0 ;90a,b ∈
Якщо прямі паралельні, то величина кута між ними дорівнює 00
.
Якщо прямі перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 900.
3. A
B
C
D1
A1 C1
Приклад 1Приклад 1. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кути між прямими: 1) CC1 і BC1; 2) BC1
і CB1; 3) AA1 і CC1; 4) A1C1 і BC1.
B C
C1В1
Розв’язання
1) ∠BC1C=450
(за властивостями діагоналей квадрата);·
1 1CC ,BC =
2) ∠C1ОC=900
(за властивостями діагоналей квадрата);·
1 1BC ,CB =
О
О
3) 00
, тобто AA1║CC1;·
1 1AA ,CC =
4) ∠A1C1B=600
(за властивостями рівностороннього трикутника ΔA1C1B);·
1 1 1A C ,BC =
Відповідь: 1) 450
; 2) 900
; 3) 00
; 4) 600
.
4. ОзначенняОзначення. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які
перетинаються і відповідно паралельні мимобіжним:
а
в
в'
T
¶ ·a,b a,b′= a, b⊄, b║b', T∈a, b'
Зверніть увагу, що площина, яка утворилася прямими a і b′ паралельна прямій b
(за ознакою паралельності прямої і площини).
5. A
B
C
D1
A1
C1
ПрикладПриклад 22. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кути між прямими: 1) CC1 і АB; 2) AD1
і CB1; 3) AD1 і BA1; 4) AC1 і BB1; 5) AC1 і BD.
Розв’язання.
1) =900
(за означенням
квадрата);
· ·
1 1CC ,AB CC ,DC=
2) (за властивістю
діагоналей квадрата);
· · 0
1 1 1 1 90AD ,CB BC ,CB= =
3) (за властивістю
рівностороннього трикутника ΔA1C1B);
· · 0
1 1 1 1 60AD ,BA BC ,BA= =
4) = ∠AC1С.· ·
1 1 1 1AC ,BB AC ,CC=
У ΔACC1, ∠С=900
: СС1=а, АС= ,
AC1=
2a
3a
0
1 1
3 3
54 42
3 33
a
cos C C arccos
a
∠ = = ⇒ ∠ = ≈ ′.
5) , де О∈BD, AC і М – середина СС1.· ·
1AC ,BD OM ,BD MOB= = ∠
O
M
ΔBMD – рівнобедрений з основою BD, МО – медіана, а отже висота, тобто
∠MOB=900
.
D
6. ОзначенняОзначення. Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її
проекцією на площину.
т
α
n
K
· ·,m n,mα ϕ= = , где m∩α=K, m∩n=K, n⊂α ,
P∈m, F∈n, PF⊥α.
ϕ
P
F
Зверніть увагу, що поняття кута між мимобіжними прямими і кута між прямою і
площиною зводяться до поняття кута між прямими, які перетинаються.
7. A
C
D1
A1
Приклад 3Приклад 3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кути між : 1) BC1 і (АBC); 2) A1C1 і
(CBB1); 3) AC1 і (AA1D1).
B
C1
Розв’язання.
1) (за
властивістю діагоналей квадрата);
( )· · 0
1 1 45BC , ABC BC ,BC= =
2) (за
властивістю діагоналей квадрата);
( )· · 0
1 1 1 1 1 1 1 45A C , CBB A C ,B C= =
3) ( )· ·
1 1 1 1 1
2
2
AC , AA D AC ,AD arctg .= =
a
2a
Відповідь: 1) 450
; 2) 450
; 3) .
2
2
arctg
