1

1. ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ПОКАЗНИКОВОЇ ФУНКЦІЇ
Використовуючи степінь можна записати дві різні відповідності:
− між значенням степеня і значенням основи ( хп
);
− між значенням степеня і значенням показника степеня (ах
).
хп
– степінь із змінною основою і сталим показником.
ах
– степінь із сталою основою і змінним показником.
Функція, задана формулою y = ax
, де а > 0, a ≠ 1, називається показниковою функцією за
основою а.
Є два види показникової функції за основою а:
− показникова функція за основою 0 < a < 1;
− показникова функція за основою a > 1.
Вивчаючи функції, важливими є не тільки вміння досліджувати властивості різних функцій і на
основі їх будувати графіки, але важливими є і навики "читання" графіка функції. Тому в процесі
вивчення показникової функції ми спочатку побудуємо її графіки, а потім, "читаючи" їх, визначимо
її властивості.
Побудуємо графіки функцій:
x
y 





=
2
1
,
x
y 





=
3
2
, у = 2х
, у = 3х
.
y=2
x
y=3
x
y=0,5
x
y=(2/3)
x
x y x y x y x y
-3 0,1 -3 0,04 -3 8,0 -3 3,4
-2,5 0,2 -2,5 0,1 -2,5 5,7 -2,5 2,8
-2 0,3 -2 0,1 -2 4,0 -2 2,3
-1,5 0,4 -1,5 0,2 -1,5 2,8 -1,5 1,8
-1 0,5 -1 0,3 -1 2,0 -1 1,5
-0,5 0,7 -0,5 0,6 -0,5 1,4 -0,5 1,2
0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0
0,5 1,4 0,5 1,7 0,5 0,7 0,5 0,8
1 2,0 1 3,0 1 0,5 1 0,7
1,5 2,8 1,5 5,2 1,5 0,4 1,5 0,5
2 4,0 2 9,0 2 0,3 2 0,4
2,5 5,7 2,5 2,5 0,2 2,5 0,4
3 8,0 3 3 0,1 3 0,3
y = 2x
y = 3x
y = 0,5x
y = (2/3)x
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

2. Використовуючи схему дослідження функції та побудовані графіки, визначимо, які основні
властивості має показникова функція у = ах
:
1) область визначення: D(y) = (– ∞; +∞);
область значень: E(y) = (0; +∞).
2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна.
3) Перетин з осями: х = 0, у = 1 → (0; 1) – точка перетину з віссю ОY; точок перетину з віссю ОХ
немає.
4) Проміжки знакосталості: x > 0, y > 0 (I чверть), x < 0, y > 0 (ІІ чверть).
5) Проміжки монотонності: при а > 1, функція зростає на проміжку (– ∞; +∞);
при 0 < a < 1, функція спадає на проміжку (– ∞; +∞).
6) Екстремумів немає.
7) Характерна точка (0; 1)
Функція, обернена до показникової функції, називається логарифмічною функцією.
Графік показникової функції називається експонентою.
ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ
Кожному додатному числу х відповідає певне значення його логарифма logax. Отже logax при
заданому а (а > 0, а ≠ 1) є функцією від х на множині R+.
Функцію y = logax називають логарифмічною функцією за основою а (а > 0, а ≠ 1).
Оскільки рівності y = logax і х = ау
за означенням логарифма визначають один і той самий
зв′язок між змінними х і у, то показникові і логарифмічна функції є оберненими.
А графіки взаємно обернених функцій є симетричними відносно прямої у = х. Використаємо це для
побудови графіка логарифмічної функції.
Спочатку побудуємо графік логарифмічної функції y = log2х в такій послідовності: у
= 2х
(синій) → у = х (червоний) → у = log2x (зелений).
Аналогічно виконується побудова графіка логарифмічної функції y = log0,5x в такій
послідовності: у = 0,5х
(синій) → у = х (червоний) → у = log0,5x (зелений).

3. Виходячи з вище розглянутого, побудуємо графіки логарифмічної функції у = logax:
— а >1 –– 0<а<1
Використовуючи графіки логарифмічної функції, визначимо її властивості.
Властивості логарифмічної функції y = logax (а > 0, а ≠ 1)
1) область визначення: D(y) = (0; +∞);
область значень: E(y) =(- ∞; +∞).
2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна.
3) Перетин з осями: х = 1, у = 0 → (1; 0) – точка перетину з віссю ОХ; точок перетину з віссю
ОY немає.
4) Проміжки знакосталості: при a > 1: 0 < x < 1, y < 0 (IV чверть); x > 1, y > 0 (І чверть);
при 0 < a < 1: 0 < x < 1, y > 0 (І чверть); x > 1, y < 0 (IV чверть).
5) Проміжки монотонності: при а > 1, функція зростає на проміжку (0; +∞);
при 0 < a < 1, функція спадає на проміжку (0; +∞).
6) Екстремумів немає.
7) Характерна точка (1; 0)
ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
При побудові графіків тригонометричних функцій та при дослідженні цих функцій важливу роль
відіграє період функцій. Крім того, до поняття періоду приводять періодичні процеси, які
відбуваються в астрономії, техніці, природі. Тригонометричні функції використовуються до
моделювання закономірностей коливального руху, а саме моделювання рівномірного обертального
руху. Саме з цим походженням тригонометричних функцій пов′язана одна з головних їх
особливостей – періодичність.
Вивчення тригонометричних функцій розпочнемо з побудови графіка функції, а потім «читаючи»
графік, визначимо і запишемо властивості функції.
Побудувати графік будь-якої тригонометричної функції можна двома способами: геометричним і
аналітичним.
Геометричний спосіб побудови описано у підручнику:
/ Шкіль М.І. та ін.., Алгебра і початки аналізу, 10 – 11 кл., §6 с.38 – 39 /
Побудуємо графік функції y = sin x аналітичним способом.
Оскільки найменшим додатним періодом функції є число 2π, то побудуємо графік лише на
проміжку [-π; π].
х -π -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 π
у 0 -
2
2
-1 -
2
2
0
2
2
1
2
2
0

4. Побудова графіка функції.
Графік функції y = sin x називається синусоїдою.
Оскільки функція y = sin x періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити
відповідним паралельним перенесенням графіка y = sin x.
Побудова графіка функції y = cos x.
Для побудови графіка функції y = cos x застосувати формулу зведення 





+= xx
2
sincos
π
і
геометричне перетворення графіка. Графік функції y = cos x можна дістати з графіка функції y = sin x
паралельним перенесенням його вліво вздовж осі Ох на
2
π
одиниць.

5. Графік функції y = cos x називається косинусоїдою. Оскільки функція y = cos x періодична з періодом
2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити відповідним паралельним перенесенням графіка y =
cos x.
А ось так виглядає синусоїда (синій графік) і косинусоїда (червоний графік) в одній системі
координат.
Побудуємо графік функції y = tg x геометричним способом.
Графік функції y = tg x будують за допомогою лінії тангенсів на проміжку від 





−
2
;
2
ππ
.
Лінія тангенсів – це дотична до одиничного кола в точці Ро(1; 0).

6. Графік функції y = сtg x будують, використовуючи формулу зведення 





+−= xtgxctg
2
π
.
Згідно цієї формули до тангенсоїди застосовують таке перетворення: тангенсоїду переносять вліво
на
2
π
одиниць вздовж осі ОХ та будують симетричний відносно осі ОХ графік котангенсоїду. На
рисунку графік функції y = сtg x зображено синім кольором на інтервалі (- π; 0).
Властивості тригонометричних функцій
Функція
Властивість
y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x
1.Область
визначення D(y) ∈ R D(y) ∈ R
D(y) ∈ R,
x ≠ ̟/2 + ̟·n
D(y) ∈ R,
x ≠ ̟·n
2.Область
значень E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ R E(y) ∈ R
3.Парність
(непарність)
Н е п а р н а П а р н а Н е п а р н а
Н е п а р н а
4.Періодичність T = 2̟n, n ∈ Z T = 2̟n, n ∈ Z T = ̟n, n ∈ Z T = ̟n, n ∈ Z
5.Набуває
нульових
значень
sin x = 0, при
x = ̟n, n ∈ Z
cos x = 0, при
x = ̟/2 + ̟n, n∈Z
tg x = 0, при
x = ̟n, n ∈ Z
ctg x = 0, при
x = ̟/2 + ̟n, n∈Z
6.Проміжки
зростання
[ - ̟/2 + 2̟n;
̟/2 + 2̟n ]
[ - ̟ + 2̟n;
0 + 2̟n ]
[ - ̟/2 + ̟n;
̟/2 + ̟n ]
Н е м а є
7.Проміжки
спадання
[ ̟/2 + 2̟n;
3̟/2 + 2̟n ]
[ 0 + 2̟n;
̟ + 2̟n ]
Н е м а є
[ 0 + ̟n;
̟ + 2̟n ]
8.Набуває
додатних
значень
sin x > 0,
( 2̟n; ̟ + 2̟n)
cos x > 0,
( - ̟/2 + 2̟n;
̟/2 + 2̟n )
tg x > 0,
( 0 + ̟n;
̟/2 + ̟n )
ctg x > 0,
(0 + ̟n; ̟/2 + ̟n)

7. 9.Набуває
від’ємних
значень
sin x < 0,
(̟ +2̟n; 2̟ +2̟n)
cos x < 0,
( ̟/2 + 2̟n;
3̟/2 + 2̟n )
tg x < 0,
( - ̟/2 + ̟n;
0 + ̟n)
ctg x < 0,
(- ̟/2 +̟n; 0+̟n)
10.Найбільше
значення
sin x = 1, при
x = ̟/2 + 2̟n,
n ∈ Z
cos x = 1, при
x = 2 ̟n, n ∈ Z
Н е м а є Н е м а є
11.Найменше
значення
sin x = -1, при
x = 3̟/2 + 2̟n,
n ∈ Z
cos x = -1, при
x = ̟ + 2̟n, n ∈ Z
Н е м а є Н е м а є