1

1. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ
Арифметична прогресія
Арифметичною прогресією називається числова послідовність, у якої різниця між
кожним членом, починаючи з другого, і попереднім є сталою величиною.
Арифметичну прогресію можна задати формулою: an+1 – an = d, n ∈ N
Число d називається різницею арифметичної прогресії.
Характеристична властивість арифметичної прогресії: ࢇ࢓ =
ࢇ࢓ష૚ାࢇ࢓శ૚
૛
Формула n-го члена арифметичної прогресії: an = a1 + d(n – 1)
Формули суми перших n членів арифметичної прогресії:
ࡿ࢔ = ࢔ࢇ૚ +
ሺ࢔ି૚ሻ࢔
૛
ࢊ =
࢔(૛ࢇ૚ାሺ࢔ି૚ሻࢊ
૛
, ࡿ࢔ =
ሺࢇ૚ାࢇ࢔ሻ࢔
૛
Геометрична прогресія
Геометричною прогресією називається числова послідовність відмінних від нуля
чисел, у якій частка від ділення будь-якого члена, починаючи з другого, на
попередній є сталою величиною.
Геометричну прогресію можна задати формулою:
ࢇ࢔శ૚
ࢇ࢔
= ࢗ , ‫ݍ‬ ≠ 0, ݊ ∈ ܰ,
q – знаменник геометричної прогресії.
Формула п-го члена геометричної прогресії: an = a1qn-1
Характеристична властивість геометричної прогресії:
ࢇ࢓
૛
= ࢇ࢓ି૚ࢇ࢓ା૚
Формула суми перших п членів геометричної прогресії: ࡿ࢔ =
ࢇ૚ିࢗࢇ࢔
૚ିࢗ
Нескінченна геометрична прогресія, у якої 0 < | q | < 1, називається нескінченно
спадною геометричною прогресією.
Сумою S нескінченно спадної геометричної прогресії називається границя, до якої
прямує послідовність сум перших п членів цієї прогресії при п→∞:
ࡿ = ‫ܕܑܔ‬
࢔→ஶ
ࡿ࢔
Сума нескінченно спадної геометричної прогресії визначається за формулою:
ࡿ =
ࢇ૚
૚ − ࢗ

2. ФУНКЦІОНАЛЬНА ЗАЛЕЖНІСТЬ. ЛІНІЙНІ, КВАДРАТИЧНІ ТА
СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ
ФУНКЦІОНАЛЬНА ЗАЛЕЖНІСТЬ. ЛІНІЙНІ, КВАДРАТИЧНІ ТА
СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ
ФУНКЦІОНАЛЬНА ЗАЛЕЖНІСТЬ. ЛІНІЙНІ, КВАДРАТИЧНІ ТА
СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ

9. ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ПОКАЗНИКОВОЇ ФУНКЦІЇ
Використовуючи степінь можна записати дві різні відповідності:
− між значенням степеня і значенням основи ( хп
);
− між значенням степеня і значенням показника степеня (ах
).
хп
– степінь із змінною основою і сталим показником.
ах
– степінь із сталою основою і змінним показником.
Функція, задана формулою y = ax
, де а > 0, a ≠ 1, називається показниковою
функцією за основою а.
Є два види показникової функції за основою а:
− показникова функція за основою 0 < a < 1;
− показникова функція за основою a > 1.
Вивчаючи функції, важливими є не тільки вміння досліджувати властивості різних
функцій і на основі їх будувати графіки, але важливими є і навики "читання" графіка
функції. Тому в процесі вивчення показникової функції ми спочатку побудуємо її
графіки, а потім, "читаючи" їх, визначимо її властивості.
Побудуємо графіки функцій:
x
y 





=
2
1
,
x
y 





=
3
2
, у = 2х
, у = 3х
.
y=2
x
y=3
x
y=0,5
x
y=(2/3)
x
x y x y x y x y
-3 0,1 -3 0,04 -3 8,0 -3 3,4
-2,5 0,2 -2,5 0,1 -2,5 5,7 -2,5 2,8
-2 0,3 -2 0,1 -2 4,0 -2 2,3
-1,5 0,4 -1,5 0,2 -1,5 2,8 -1,5 1,8
-1 0,5 -1 0,3 -1 2,0 -1 1,5
-0,5 0,7 -0,5 0,6 -0,5 1,4 -0,5 1,2
0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0
0,5 1,4 0,5 1,7 0,5 0,7 0,5 0,8
1 2,0 1 3,0 1 0,5 1 0,7
1,5 2,8 1,5 5,2 1,5 0,4 1,5 0,5
2 4,0 2 9,0 2 0,3 2 0,4
2,5 5,7 2,5 2,5 0,2 2,5 0,4
3 8,0 3 3 0,1 3 0,3

10. y = 2x
y = 3x
y = 0,5x
y = (2/3)x
Використовуючи схему дослідження функції та побудовані графіки, визначимо, які
основні властивості має показникова функція у = ах
:
1) область визначення: D(y) = (– ∞; +∞);
область значень: E(y) = (0; +∞).
2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна.
3) Перетин з осями: х = 0, у = 1 → (0; 1) – точка перетину з віссю ОY; точок
перетину з віссю ОХ немає.
4) Проміжки знакосталості: x > 0, y > 0 (I чверть), x < 0, y > 0 (ІІ чверть).
5) Проміжки монотонності: при а > 1, функція зростає на проміжку (– ∞; +∞);
при 0 < a < 1, функція спадає на проміжку (– ∞; +∞).
6) Екстремумів немає.
7) Характерна точка (0; 1)
Функція, обернена до показникової функції, називається логарифмічною
функцією.
Графік показникової функції називається експонентою.
ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ
Кожному додатному числу х відповідає певне значення його логарифма logax.
Отже logax при заданому а (а > 0, а ≠ 1) є функцією від х на множині R+.
Функцію y = logax називають логарифмічною функцією за основою а (а > 0, а ≠ 1).
Оскільки рівності y = logax і х = ау
за означенням логарифма визначають один
і той самий зв′язок між змінними х і у, то показникові і логарифмічна функції є
оберненими.
А графіки взаємно обернених функцій є симетричними відносно прямої у = х.
Використаємо це для побудови графіка логарифмічної функції.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

11. Спочатку побудуємо графік логарифмічної функції y = log2х в такій послідовності:
у = 2х
(синій) → у = х (червоний) → у = log2x (зелений).
Аналогічно виконується побудова графіка логарифмічної функції y = log0,5x в
такій послідовності: у = 0,5х
(синій) → у = х (червоний) → у = log0,5x
(зелений).
Виходячи з вище розглянутого, побудуємо графіки логарифмічної функції у =
logax:
— а >1 –– 0<а<1

12. Використовуючи графіки логарифмічної функції, визначимо її властивості.
Властивості логарифмічної функції y = logax (а > 0, а ≠ 1)
1) область визначення: D(y) = (0; +∞);
область значень: E(y) =(- ∞; +∞).
2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна.
3) Перетин з осями: х = 1, у = 0 → (1; 0) – точка перетину з віссю ОХ; точок перетину
з віссю
ОY немає.
4) Проміжки знакосталості: при a > 1: 0 < x < 1, y < 0 (IV чверть); x > 1, y > 0 (І
чверть);
при 0 < a < 1: 0 < x < 1, y > 0 (І чверть); x > 1, y < 0 (IV
чверть).
5) Проміжки монотонності: при а > 1, функція зростає на проміжку (0; +∞);
при 0 < a < 1, функція спадає на проміжку (0; +∞).
6) Екстремумів немає.
7) Характерна точка (1; 0)
ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
При побудові графіків тригонометричних функцій та при дослідженні цих функцій
важливу роль відіграє період функцій. Крім того, до поняття періоду приводять
періодичні процеси, які відбуваються в астрономії, техніці, природі. Тригонометричні
функції використовуються до моделювання закономірностей коливального руху, а
саме моделювання рівномірного обертального руху. Саме з цим походженням
тригонометричних функцій пов′язана одна з головних їх особливостей –
періодичність.
Вивчення тригонометричних функцій розпочнемо з побудови графіка функції, а потім
«читаючи» графік, визначимо і запишемо властивості функції.
Побудувати графік будь-якої тригонометричної функції можна двома способами:
геометричним і аналітичним.
Геометричний спосіб побудови описано у підручнику:
/ Шкіль М.І. та ін.., Алгебра і початки аналізу, 10 – 11 кл., §6 с.38 – 39 /
Побудуємо графік функції y = sin x аналітичним способом.
Оскільки найменшим додатним періодом функції є число 2π, то побудуємо графік
лише на проміжку [-π; π].
х -π
-
3π/4
-π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 π
у 0 -
2
2
-1 -
2
2
0
2
2
1
2
2
0

13. Побудова графіка функції.
Графік функції y = sin x називається синусоїдою.
Оскільки функція y = sin x періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції
можна продовжити відповідним паралельним перенесенням графіка y = sin x.
Побудова графіка функції y = cos x.
Для побудови графіка функції y = cos x застосувати формулу зведення






+= xx
2
sincos
π
і геометричне перетворення графіка. Графік функції y = cos x можна
дістати з графіка функції y = sin x паралельним перенесенням його вліво вздовж осі Ох
на
2
π
одиниць.

14. Графік функції y = cos x називається косинусоїдою. Оскільки функція y = cos x
періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити відповідним
паралельним перенесенням графіка y = cos x.
А ось так виглядає синусоїда (синій графік) і косинусоїда (червоний графік) в
одній системі координат.
Побудуємо графік функції y = tg x геометричним способом.
Графік функції y = tg x будують за допомогою лінії тангенсів на проміжку від






−
2
;
2
ππ
.
Лінія тангенсів – це дотична до одиничного кола в точці Ро(1; 0).

15. Графік функції y = сtg x будують, використовуючи формулу зведення






+−= xtgxctg
2
π
.
Згідно цієї формули до тангенсоїди застосовують таке перетворення: тангенсоїду
переносять вліво на
2
π
одиниць вздовж осі ОХ та будують симетричний відносно осі
ОХ графік котангенсоїду. На рисунку графік функції y = сtg x зображено синім
кольором на інтервалі (- π; 0).
Властивості тригонометричних функцій
Функція
Властивість
y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x
1.Область
визначення D(y) ∈ R D(y) ∈ R
D(y) ∈ R,
x ≠ ̟/2 + ̟·n
D(y) ∈ R,
x ≠ ̟·n
2.Область
значень E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ R E(y) ∈ R

16. 3.Парність
(непарність)
Н е п а р н а П а р н а Н е п а р н а
Н е п а р н а
4.Періодичність T = 2̟n, n ∈ Z T = 2̟n, n ∈ Z T = ̟n, n ∈ Z T = ̟n, n ∈ Z
5.Набуває
нульових
значень
sin x = 0, при
x = ̟n, n ∈ Z
cos x = 0, при
x = ̟/2 + ̟n, n∈Z
tg x = 0, при
x = ̟n, n ∈ Z
ctg x = 0, при
x = ̟/2 + ̟n, n∈Z
6.Проміжки
зростання
[ - ̟/2 + 2̟n;
̟/2 + 2̟n ]
[ - ̟ + 2̟n;
0 + 2̟n ]
[ - ̟/2 + ̟n;
̟/2 + ̟n ]
Н е м а є
7.Проміжки
спадання
[ ̟/2 + 2̟n;
3̟/2 + 2̟n ]
[ 0 + 2̟n;
̟ + 2̟n ]
Н е м а є
[ 0 + ̟n;
̟ + 2̟n ]
8.Набуває
додатних
значень
sin x > 0,
( 2̟n; ̟ + 2̟n)
cos x > 0,
( - ̟/2 + 2̟n;
̟/2 + 2̟n )
tg x > 0,
( 0 + ̟n;
̟/2 + ̟n )
ctg x > 0,
(0 + ̟n; ̟/2 + ̟n)
9.Набуває
від’ємних
значень
sin x < 0,
(̟ +2̟n; 2̟ +2̟n)
cos x < 0,
( ̟/2 + 2̟n;
3̟/2 + 2̟n )
tg x < 0,
( - ̟/2 + ̟n;
0 + ̟n)
ctg x < 0,
(- ̟/2 +̟n; 0+̟n)
10.Найбільше
значення
sin x = 1, при
x = ̟/2 + 2̟n,
n ∈ Z
cos x = 1, при
x = 2 ̟n, n ∈ Z
Н е м а є Н е м а є
11.Найменше
значення
sin x = -1, при
x = 3̟/2 + 2̟n,
n ∈ Z
cos x = -1, при
x = ̟ + 2̟n, n ∈ Z
Н е м а є Н е м а є