Способи розвязування рівнянь з модулями

2. Записувати і розв'язувати рівняння почали араби в першому
тисячоліття нашої ери. До тих пір рішення завдань було виключно
арифметичним - з багатьох дій. У той момент, коли з'явилася блискуча
ідея знаходити невідоме з цих співвідношень, народилася алгебра.
Слово "алгебра" - арабського походження; великий учений
арабського світу Аль-Хорезмі називав перенесення членів з однієї
частини рівності в іншу так, щоб вони стали позитивними, слово "аль-
джебр" (відновлення), а словом "аль-мукабала" (протиставлення),
зниклим нині з математичної мови, називалося приведення подібних
членів, в результаті якого в рівнянні для кожного ступеня невідомого
залишається тільки один позитивний член.
У ті часи не було ще загальноприйнятих тепер позначень змінних
буквами, а дій - знаками. Рівняння записувалися словами. Але і в такій
"словесній формі" рівняння істотно полегшували життя. Арифметика (як
і класична геометрія) не знала спільних підходів до розв'язання завдань,
але для кожної нової задачі потрібно було підбирати нове рішення.
Застосування рівнянь спрощує розв'язання завдань; але саме
чудове те, що одним і тим же рівнянням можуть описуватися зовсім різні
ситуації. Навчившись розвязувати певний тип рівнянь, можна тим чином
впораться з цілими класами завдань,які описуються рівняннями цього
типу.

3. Нагадаємо спочатку означення модуля х:
Приведемо також основні властивості
модуля,які часто застосовуються при
розв’язуванні рівнянь.
1)|ab|=|a||b|;
2) |a|n=|an|;
3)
4)|x|=0, якщо x=0






0,
0,
xякщоx
xякщоx
x
aa 2

4. 1. Нехай маємо рівняння або нерівність ,що містять один
або декілька модулів. Першим чином потрібно
відокремити критичні точки. Під цим ми розуміємо всі
значення змінної,при яких один із модулів дорівнює нулю.
2. Наносимо одержану множину значень на вісь даної
змінної, наприклад Ox. Пряма розіб’ється на декілька
кінечних і два безкінечних інтервали. Кожен інтервал
відповідає знакопостійністю підмодульних виразів.
3. Розглянемо стільки випадків розв’язків, скільки
одержалось інтервалів. При цьому розкривати модулі
потрібно перевіряючи знак підмодульного виразу. Та
змінювати його на протилежний, якщо вираз від’ємний і
залишати його таким же,якщо він додатній. Важливо не
забути, що частковою відповіддю в кожному із одержаних
випадків є перетин інтервала і знайденого розв’язку.
4. Об’єднати одержані на кожному інтервалі відповіді в
одну.

6. Нанесемо на числову пряму значення x, при якому
x + 2 = 0 і значення x,
при якому x – 3 = 0.
Числова пряма розіб’ється на проміжки
(-∞; -2), [-2; 3], (3; +∞).
Розв’яжемо рівняння на кожному із цих інтервалів.
Розглянемо перший проміжок, щоб визначити знак
підмодульного виразу,
візьмемо контрольну точку x = 3,
підставимо її в наше рівняння –3 + 2 < 0 і -3 – 3 < 0.
Аналогічно розглянемо знаки підмодульних
виразів на другому та третьому проміжках.
X (-∞;-2) -2;3 (3;+∞)
X+2 - + +
X-3 - - +
-2 3

7. Розв’яжемо рівняння на кожному із цих проміжків, тобто розв’яжемо
рівносильну рівнянню сукупність змішаних систем:
1) 3)
–х – 2 – х + 3 = 5
–2х + 1 = 5
–2х = 4 х + 2 + х – 3 = 5,
х = –2 x = 3
–2 3
Не може бути коренем. Не може бути коренем.
2)
х + 2 – х + 3 = 5
0х = 0
x будь-яке число із [-2; 3].
Висновок: Розв’язування другої системи являється
об’єднанням розв’язків 3-х систем.
Відповідь: [-2;3].

8. Цей спосіб вже не стільки універсальний,щоб ним неможливо
було нехтувати,але він застосовується.. Часто рівняння або
нерівність з модулем містить тільки лінійні вирази відносно
змінної .В цьому випадку існує дуже простий рецепт побудови
графіків з модулями,що часто істотно полегшує розв’язувати
задачі. Він базується на простому зауваженні – графіки таких
виразів складаються із кусків ліній, так як. являються ломаними.
Метод полягає в наступному:
Знайти,як і раніше, всі критичні точки і нанести їх на вісь
абсцис. Знайти безпосередньо значення заданої функції в цих
точках (це зручно робити за допомогою окремої таблиці) і
нанести їх на координатну площину.
В кожному із кінцевих інтервалів,одержуємо після розбиття
критичними точками,являється графік прямої і може бути
простим з’єднанням нанесених в попередньому пункті точок на
координатній площині.
Вибрати дві зручні для обчислення точки, розташовані в
лівому і правому нескінченних інтервалах і аналогічно п.1 знайти
значення функцій на них. З’єднуємо побудовану ділянку графіка з
іншими двома точками, одержимо потрібний графік.

9. Розв'язати рівняння графічним
методом
|x+2|+|x-3|=5

10. Проілюструємо це на прикладі побудови графіка рівняння |x+2|+|x-
3|=5. Побудуємо графік функції
у = |x + 2| + |x – 3| і y = 5
х + 2 = 0 x –3 = 0
x1 = –2 x2 = 3
Наносимо на вісь корні лінійних функцій,що стоять під знаком модуля.
На кожному із трьох проміжків знаки цих лінійних функцій постійні і ми
можемо позбавитися знака модуля.
Якщо x < – 2, то y =-(x + 2) – (x – 3) = –2x + 1
якщо –2 ≤ x ≤ 3, то y = +(x + 2) – (x – 3) = x + 2 – x + 3 = 5
якщо x > 3, то y = +(x + 2) + (x – 3) = 2x – 1
При побудові графіка проводимо вертикальні прямі x = –2 і x = 3, які
розіб’ють площину на три частини. В лівій частині треба провести пряму
y = –2x + 1, в центральній полосі y = 5 і в правій y = 2x – 1: (для
контролю треба слідити, щоб ломана була неперервною, тобто щоб
значення в розділяючих точках ізгину, обчислені по сусіднім формулам,
співпали). В нашому випадку при
x = 2 значення функції y = –2x + 1 співпадає зі значенням y = 5, точно
так же при x = 3 співпадають значення функції y = 5 і y = 2x – 1.
-2 3

11. Будуємо графіки та y = 5
1) y = –2x + 1 2) y=5 3) y=2x-1
Графіки y = |x + 2| + |x – 3| і y = 5 перетинаються на проміжку, якщо x
належить [–2; 3]
Відповідь: [–2; 3]
x -3 -4
y 7 9
x 4 5
y 7 9
3-2 0 x
y
5

12. Розкриття модуля за означенням.
|2x – 3| = x + 1

13. Розв’яжемо рівняння |2x – 3| = x + 1
1 спосіб
Це рівняння може бути розв’язано за означенням. При розв’язуванні одержимо
рівносильну рівнянню наступну сукупність змішаних систем.
1)
4 являється коренем рівняння
2)
2/3 являється коренем рівняння.
Відповідь: 2/3; 4.
2спосіб. Розв’язуємо рівняння за означенням модуля.
|2х-3| = х+1 | х+1≥0, х≥ -1
1.2х-3=х+1 2.2х-3=-х-1
2х-х=1+3 2х+-х=-1+3
Х=4 3х=2
Х=2/3
Відповідь: 2/3; 4.

14. Розвязування рівнянь методом
піднесення до квадрату
1. |х+3|=5
2. |2х-5| = 5-3х

15. 1. |х+3|=5
Підносимо обидві частини рівняння до квадрату.
(|х+3|)² = 5²
х²+6х+9 = 25
х²+6х+9-25 = 0
х²+6х-16=0
х=-8 або х=2
Відповідь: -8 ; 2
2. |2х-5| = 5-3х 5-3х≥0, х≤5/3
(|2х-5|)²=(5-3х)²
4х²-20х+25=25-30х+9х²
5х²-10х=0
5х(х-2)=0
х=0 або х=2- не корінь
Відповідь : 0.

16. Розвязування рівнянь, що містять
модуль під знаком модуля.
| |х-1|-5|=2

18. Застосування модуля при розв'язанні
рівнянь.
1. √х²-4х+4 + |х | = 8-2х
2. Скільки коренів має рівняння залежно від
параметра а.
|х+2| -3= а

19. 1.√х²-4х+4 + |х | = 8-2х
√(х-2)² + |х| = 8-2х
|х-2| + |х| = 8-2х
Розв’язуємо рівняння методом інтервалів.
1.Знаходимо нулі підмодульних виразів.
х-2=0 х=0
х=2
1). х<0
-х+2-х=8-2х
-х+2х=8-2
Х=6-не корінь, так як. 6 не належить проміжку (-∞;0)
2). 0 ≤ х≤2
-х+2+х=8-2х
2х=6
Х=3-не корінь, так як. 3 не належить проміжку (0;2)
3). х>2
х-2+х=8-2х
х+х+2х=8+2
4х=10
Х=2,5-корінь так як. 2,5 належить проміжку (2;+∞)
Відповідь:2,5.
0 2

20. 2.Скільки коренів має рівняння в залежності від параметра а.
|х+2| -3= а
1 . Побудуємо графіки лівої і правої частини рівняння.
а) у=|х+2|-3
Будуємо графік у=|х│ за допомогою паралельного переносу осей: ОХ на
3 одиниці вгору ,а вісь ОУ на 2 одиниці вправо.
б) у=а Графіком є пряма ,паралельна осі ОХ.
Відповідь:1) два кореня при а>-3,
2) один корінь при а=-3,
3) немає коренів при а<-3
y
x0 1
1
y=a