Differensial fungsi sederhana

1. Dedy Riyanto, SE, M.Kom.
STIE PERTIWI

2. Materi
 Kuosien Differensiasi dan Derivatif
 Penotasian
 Kaidah-kaidah Diferensiasi
 Hakekat derivatif dan diferensial
 Derivatif dari derivatif
 Hubungan antara Fungsi dan derivatifnya
 Penerapan Ekonomi

3. TOKOH KALKULUS
Sir Isaac Newton Gottfried Wilhelm
Leibniz

5. Kuosien Differensiasi dan Derivatif
 y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar
 Maka :
)()(
)(
)(
)(
xfxxfy
yxxfy
xxfyy
xfy




(1)

6.  ∆ x adalah tambahan x, sedangkan ∆ y
adalah tambahan y akibat adanya
tambahan x. Jadi ∆y timbul karena
adanya ∆x.
 Apabila pada persamaan (1) ruas kiri dan
ruas kanan sama-sama dibagi ∆x, maka
diperoleh
x
xfxxf
x
y




 )()(
Kuosien Differensiasi dan Derivatif

7. Kuosien Differensiasi dan Derivatif
 Bentuk ∆y/ ∆x inilah yang disebut
sebagai hasil bagi perbedaan atau
kuosien diferensi (difference quotient),
yang mencerminkan tingkat perubahan
rata-rata variabel terikat y terhadap
perubahan variabel bebas x
 Proses penurunan fungsi disebut juga
proses diferensiasi  merupakan
penentuan limit suatu kuosien diferensi
(∆x sangat kecil)
 Hasil proses diferensiasi dinamakan
turunan atau derivatif (derivative).

8. Kuosien Differensiasi dan Derivatif
Jika y = f(x)
Maka kuosien diferensinya :
x
xfxxf
xx
y
x
x
xfxxf
x
y












)()(
0
lim
0
lim
)()(

10. Penotasian
 Cara penotasian dari turunan suatu fungsi dapat
dilakukan dengan beberapa macam :
dx
xdf
dx
dy
xfyxfy
x
y
x
xx
)(
)()('
0
lim '




10
∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x
Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari
garis kurva y = f(x)
Paling lazim
digunakan

12. Kaidah-kaidah diferensiasi
1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka
dy/dx = 0
contoh : y = 5  dy/dx = 0
2. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka
dy/dx = nxn-1
contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2

13. 3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan
fungsi
Jika y = kv, dimana v = h(x),
 dy/dx = k dv/dx
contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) = 15x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan
fungsi
jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
6
2
23
2
3
15
)(
)3(5
,
5
:
x
x
x
x
dx
dy
x
ycontoh 
Kaidah-kaidah diferensiasi

14. 5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka dy/dx = du/dx + dv/dx
contoh : y = 4x2 + x3  u = 4x2 du/dx = 8x
 v = x3 dv/dx = 3x2
dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
444322
32
20812)8)(()3)(4(
))(4(:
xxxxxxx
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy
xxycontoh
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy
maka




15. 7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
2
26
44
23
223
2
3
2
2
4
4128
)(
)3)(4()8)((
4
:












x
xx
xx
x
xxxx
v
dx
dv
u
dx
du
v
dx
dy
x
x
ycontoh
v
dx
dv
u
dx
du
v
dx
dy
maka

16. 8. Diferensiasi Fungsi Komposit
Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain
y=f{g(x)}, maka :
25232
2
2323
12096)12)(54(2)12(2
2,12
54:)54(:
xxxxxu
dx
du
du
dy
dx
dy
u
du
dy
x
dx
du
uyxumisalxycontoh
dx
du
du
dy
dx
dy





17. 9. Diferensiasi Fungsi Berpangkat
Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1
.(du/dx)
Contoh :
25231
2323
12096)12)(54(2
1254:,)54(
xxxx
dx
du
nu
dx
dy
x
dx
du
xumisalxy
n




18. 10. Diferensiasi Fungsi Logaritmik
Jika y = alog x, maka
5ln2
1
ln
1
,2log:
ln
1
5


axdx
dy
ycontoh
axdx
dy

19. 11. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier
Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x
Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5
12. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier
Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :
)6(
5
)2(
5
)3(
)2(1
)2(
5
)2(
)3(
:misalkan
2
3
ln:contoh
1
22
2






















xxxx
x
dx
du
udx
dy
xdx
du
x
x
u
x
x
y
dx
du
udx
dy

20. 13. Diferensiasi fungsi Komposit logaritmik
Jika y = nln x, maka dy/dx = 1/xln n
Contoh : y = 3ln 2, dy/dx = 1/x ln n = 1/ 2 ln 3
14. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-
Berpangkat
Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta,
maka :
 
 
 32
32
2
2
32
5ln
6
)10(5ln3
5
11
105:misalkan
5ln:contoh
1
x
x
xx
xdx
du
udu
dy
dx
dy
x
dx
du
xu
xy
dx
du
udu
dy
dx
dy






21. 15. Diferensiasi fungsi Eksponensial
Jika y = ax, dimana a adalah konstanta, maka :
1ln,/maka,
5ln5ln
5:contoh
ln




esebabedxdyeyhaldalam
aa
dx
dy
y
aa
dx
dy
xx
xx
x
x

22. 15. Diferensiasi fungsi Komposit - Eksponensial
Jika y = au, dimana u=g(x) dan a adalah konstanta, maka :
9ln9)6()6)(9(ln9ln
6/43
9:contoh
ln
4343
2
43
22
2






xxu
x
u
xx
dx
du
aa
dx
dy
xdxduxuMisalkan
y
dx
du
aa
dx
dy

23. 16. Diferensiasi fungsi Kompleks
Jika y = uv, dimana u=g(x) dan v=h(x), maka :
Contoh : y=4xx
3
Misalkan u = 4xdu/dx = 4
v = x3 dv/dx = 3x2
dx
dv
uu
dx
du
vu
dx
dy vv
 
ln1
)4ln34(4
4ln1216
)3(4ln4)4(4)(
ln
2
22
213
1
3
33
33
xx
xxx
xxxxx
dx
dv
uu
dx
du
vu
dx
dy
x
xx
xx
vv









24. 17. Diferensiasi fungsi Balikan
Jika y = f(x), dimana x=g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling
berbalikan(inverse function), maka
Contoh : x=5y+0.5y4
dydxdx
dy
/
1

3
3
25
1
/
1
25
ydydxdx
dy
y
dy
dx




25. Latihan
 Diferensialkan fungsi-fungsi berikut :
xxxya 742) 23

)62)(4() 2
 xxyb
62
4
)
2



x
x
yc
2
25
) 




 

x
x
yd
3
53
32
) 








x
x
ye
7
72
)
4


xx
yf
7
72
)
4


xx
yg

27. Kuosien diferensial tak lain adalah lereng dari
kurva y=f(x). Sedangkan derivatif dy/dx adalah lim( )
untuk x 0 . Jika x sangat kecil,
itu sendiri.
xy  /
xy  /
xyxyLim
x


/)/(
0
dx
dy
x
y
x
f(x)y
x
y







0
lim
kurvadarilereng
dy/dx  terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial
y, dx merupakan diferensial dari x.
Diferensial dari x : dx = ∆x
Diferensial dari y : dy=(dy/dx) ∆x
Variabel terikat

28.  dy/dx  lereng taksiran (approximated slope)
dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu.
 ∆y/∆x  lereng yang sesungguhnya (the true
slope)
 Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over
estimated), atau lebih kecil (under estimated),
atau sama dengan lereng sesungguhnya
(teragantung pada jenis fungsinya dan besar
kecilnya perubahan pada variabel bebas)

29.  Fungsi y = f(x) yang linier, lereng taksiran =
lereng sesungguhnya, berapapun ∆x  dy/dx
= ∆y/ ∆x
∆x = dx
P
Q
R
∆y = dy
y = f(x) Perubahan x = ∆x
Perubahan y = ∆y
Diferensial x = dx
Diferensial y = dy
Kuosien diferensi =
∆y/ ∆x
Derivatif = dy/dx
dy/dx = ∆y/ ∆x

30.  Fungsi y = f(x) yang non-linier
∆x = dx
P
S
R
Q
QS=dx
QR=∆y
P Q
R
S
∆x = dx
QR=dy
QS=∆x
(a) (b)
y y
x x0 0
dy > ∆y
Over-estimated
dy < ∆y
Under-estimated

32. Tergantung pada derajatnya, sesungguhnya setiap fungsi
dapat diturunkan lebih dari satu kali.
Fungsi awal
Turunan Pertama
Turunan Ketiga
Turunan Ke-n
)(xfy 
dx
xdf
dx
dy
xfy
)(
)('' 
2
2
2
2
)(
)(""
dx
xfd
dx
yd
xfy 
n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
yd
xfy
)(
)( 

33. Derivatif yang diperoleh dari derivatif sebuah fungsi
dinamakan derivatif berderajat lebih tinggi.
Besar kecilnya harga atau nilai derivatif pertama dan
kedua dapat digunakan untuk menentukan posisi-
posisi khusus dari kurva fungsi yang bersangkutan.
0/
6/'''
86/''
583/'
754)(
:
44'
33
22
2
23





dxydy
dxydy
xdxydy
xxdxdyy
xxxxfy
contoh
v

35.  Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan
derivatifnya  besarnya turunan pertama dan
turunan kedua  akan bisa dikenali bentuk gambar
dari fungsi tersebut
 Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun,
titik ekstrim dan juga titik beloknya.

36. konstanta2/'''
linearfungsi82/''
kuadratfungsi58/'
kubikfungsi5124
3
1)(
:
33
22
2
23




dxydy
xdxydy
xxdxdyy
xxxxfy
contoh
Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-
masing turunannya

38.  Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat
digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi
yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan
tertentu.
Lereng
positif
fungsi
menaik
Lereng negatif
fungsi
menurun
Lereng nol
Lereng nol
y = f(x)
f’(a) > 0, y = f(x) menaik
f’(a) < 0, y = f(x)menurun

39. Uji Tanda
 Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti
y = f(x) berada di titik ekstrim
 Untuk menentukan apakah titik ekstrim
tersebut merupakan titik maksimum ataukah
minimum, maka perlu dilakukan uji tanda
terhadap f’(a) = 0.
 Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x >
a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum.
 Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x >
a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.

40. Titik ekstrim fungsi parabolik
 Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna
untuk menentukan letak titik ekstrimnya.
 Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui
jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
 Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-
turunannya, serta hubungan secara grafik.
y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik
y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear
y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta
 Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim –
dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4)
y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4  dimasukkan ke
dalam persamaan Parabola  didapat nilai y = -4

41. 42 6
-4
-8
2
12
(4,-4)
y” = 2
x
y
y’= 2x - 8
y = x2 – 8x + 12
0

42.  Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0
 Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah,
titik ekstrimnya adalah titik maksimum.
 Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik
ekstrimnya adalah titik minimum.

43. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
 Titik maksimum atau minimum fungsi kubik,
serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan
pertama dan kedua dari fungsi tersebut.
 Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut :
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubik
y’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik
y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear

44.  Jika y’ = 0,
x2 – 6x + 8 = 0
(x – 2)(x – 4) = 0  x1 = 2, x2 = 4
 Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik

maka y = 3.67 (2, 3.67)  titik ekstrim maksimum
 Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan
ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif)
 Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik

maka y = 2.33 (4, 2.33)  titik ekstrim minimum
 Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan
ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif)
 Jika y” = 0  2x – 6 = 0  x = 3, nilai x = 3
dimasukkan dalam persamaan kubik 
didapatkannilai y = 3  titik belok (3,3)

45. 32 4
-4
-6
2
8
(3,-1)
y” = 2
x
y
y’’= 2x – 6
y’ = x2 – 6x + 8
0
-2
3.67 y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3
(3,3)
(2,3.67)
(4,2.33)

46.  Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada
y’ = 0
 Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya
adalah titik maksimum
 Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya
adalah titik minimum
 Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y”
= 0

48. Permintaan Marjinal
 Apabila 2 macam barang mempunyai hubungan dalam
penggunaannya, maka permintaan atas masing-masing
barang akan fungsional terhadap harga kedua barang
tersebut
 Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka:



a
a
P
Qd
Permintaan marjinal
akan A berkenaan
dengan Pa



b
a
P
Qd
Permintaan marjinal
akan A berkenaan
dengan Pb



a
b
P
Qd
Permintaan marjinal
akan B berkenaan
dengan Pa



b
b
P
Qd
Permintaan marjinal
akan B berkenaan
dengan Pb

49. Elastisitas Permintaan Parsial
 Elastisitas permintaan (price elasticity of demand)
Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas
permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri:
1) Barang a
2) Barang b
b
b
b
b
b
b
b
Qd
P
P
Qd
P
Qd
d 






%
%

a
a
a
a
a
a
a
Qd
P
P
Qd
P
Qd
d 






%
%


50. Elastisitas Permintaan Parsial
 Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)
Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas
silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan
suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang
lainnya:
1) Elastisitas silang barang a dengan barang b
2) Elastisitas silang barang b dengan barang a
b
a
a
b
a
b
ba
Qd
P
P
Qd
P
Qd







%
%

a
b
b
a
b
a
ab
Qd
P
P
Qd
P
Qd







%
%


51. Elastisitas Permintaan Parsial
 Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)
 Jika dan < 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka
hubungan antara barang a dan barang b adalah saling
melengkapi (komplementer); karena kenaikan
harga salah satu barang akan diikuti penurunan
permintaan atas keduanya
 Jika dan > 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka
hubungan antara barang a dan barang b adalah saling
menggantikan (substitusi); karena kenaikan harga
salah satu barang akan diikuti kenaikan permintaan
barang lainnya
ab ba
ab ba

52. Contoh (1) Elastisitas 2 Barang
 Fungsi permintaan atas 2 barang ditunjukkan sbb:
Qda(Pa
2)(Pb
3) – 1 = 0
Qdb(Pa
3)(Pb) – 1 = 0
 Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang
dan bagaimanakah hubungan antara kedua barang
tersebut?
1) Elastisitas permintaan:
manipulasi bentuk persamaan permintaan:
32
32
1 


 ba
ba
a PP
PP
Qd 13
3
1 


 ba
ba
b PP
PP
Qd

53. Contoh (1) Elastisitas 2 Barang
1) Elastisitas permintaan:
cari Qda’ dan Qdb’:
bentuk persamaan elastisitas permintaannya:
Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter
33
2 



ba
a
a
PP
P
Qd 23 



ba
b
b
PP
P
Qd
22 32
33



 

ba
a
ba
a
a
a
a
a
PP
P
PP
Qd
P
P
Qd
d
113
23



 

ba
b
ba
b
b
b
b
b
PP
P
PP
Qd
P
P
Qd
d

54. Contoh (1) Elastisitas 2 Barang
2) Elastisitas silang:
cari turunan pertama atas a dan b:
bentuk persamaan elastisitas silangnya:
Hubungan kedua barang adalah komplementer
14
3 



ba
a
b
PP
P
Qd42
3 



ba
b
a
PP
P
Qd
33 32
42



 

ba
b
ba
a
b
b
a
ab
PP
P
PP
Qd
P
P
Qd

33 13
14



 

ba
a
ba
b
a
a
b
ba
PP
P
PP
Qd
P
P
Qd


55. Fungsi Biaya Gabungan
 Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A
dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang
dicerminkan oleh QA dan QB sedangkan fungsi biaya C =
f(QA, QB)
maka:
Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)
Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)
Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB)
 Fungsi keuntungannya:
П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)

56. Fungsi Biaya Gabungan
 Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:
 Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:
0


AQ
0


BQ
02
2



AQ
02
2



BQ

57. Contoh (2) Fungsi Biaya Gabungan
 Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg
memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:
C = QX
2 + 3QY
2 +QXQY
Harga jual per unit masing-masing barang adalah PX = 7
dan PY = 20
 Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar
keuntungan maksimum?
 Berapakah besarnya keuntungan maksimum?

58.  Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar
keuntungan maksimum?
RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY
R = 7QX + 20QY
П = 7QX + 20QY – QX
2 – 3QY
2 – QXQY
7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0
33 – 11QY = 0 → QY = 3
QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2
027 


YX
X
QQ
Q
0620 


XY
Y
QQ
Q
Contoh (2) Fungsi Biaya Gabungan

59. Contoh (2) Fungsi Biaya Gabungan
Jika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum:
 Besarnya keuntungan maksimum:
П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)
П = 37
 Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan
marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC:
MRX = MCX dan MRY = MCY
022
2



XQ
062
2



YQ

60. MU dan Keseimbangan Konsumsi
 Jika kepuasan konsumen U dan barang-barang yg
dikonsumsinya qi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka:
U = f(q1, q2, q3, …, qn )
 Seandainya untuk penyerderhanaan, diasumsikan bahwa
seorang konsumen hanya mengkonsumsi 2 macam
barang, X dan Y, maka fungsi utilitasnya:
U = f(x, y)
Fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan persamaan kurva
indiferensi (indifference curve)—kurva yg menunjukkan
berbagai kombinasi konsumsi X dan Y yang memberikan
tingkat kepuasan yang sama

61. MU dan Keseimbangan Konsumsi
 Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y merupakan
fungsi utilitas marjinal parsialnya:
 Budget Line (garis anggaran):
garis yang mencerminkan kemampuan konsumen
membeli berbagai macam barang berkenaan dgn harga
masing-masing barang dan pendapatan konsumen. Jika
M adalah pendapatan konsumen dan Px dan Py harga
barang X dan Y maka:
M = xPx + yPy



x
U
Utilitas marjinal
berkenaan dengan
barang X



y
U
Utilitas marjinal
berkenaan dengan
barang Y

62. MU dan Keseimbangan Konsumsi
 Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atau tingkat
kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan
tingkat kepuasan optimum—tercapai pada saat kurva
indiferensi bersinggungan (tangent) dengan budget line
konsumen
 Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk
persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:
L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)
  0, 


xx Pyxf
x
L
   0, 


yy Pyxf
y
L


63. MU dan Keseimbangan Konsumsi
 Manipulasi Lx dan Ly:
 Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:
Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi
utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya adalah
sama
   
x
x
xx
P
yxf
Pyxf
x
L ,
0, 



 
 
y
y
yy
P
yxf
Pyxf
y
L ,
0, 



   
y
y
x
x
P
yxf
P
yxf ,,

y
Y
x
X
P
MU
P
MU


64. Contoh (3) Utilitas Optimum
 Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang
X dan Y ditunjukkan oleh persamaan:
U = x2y3
Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan harga barang
X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50
 Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang
 Berapakah utilitas marjinal jika konsumen
mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?
 Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y
konsumen memaksimumkan utilitasnya?
Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akan
memberikan tingkat kepuasan optimum

65. Contoh (3) Utilitas Optimum
 Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang
 Berapakah utilitas marjinal jika konsumen
mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?
3
2xy
x
U


 22
3 yx
y
U



  6151613)14(2 3



x
U     9937213143 22



y
U

66. Contoh (3) Utilitas Optimum
 Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y
konsumen memaksimumkan utilitasnya?
 Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:
50
99372
25
61516

y
y
x
x
P
MU
P
MU
50
3
25
2 223
yxxy
P
MU
P
MU
y
y
x
x

  223223
34322 yxxyyxxy 
xy
x
x
y
y
4
3
4
3 2
2
3


67. Contoh (10) Utilitas Optimum
 Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:
 Substitusi nilai y = ¾ x kedalam persamaan λ:
x = 16, maka
Utilitas maksimum:
010005025 


yx
L

1601000
4
3
5025 





 xxx
  1216
4
3
 yy
    4423681216
3232
 yxu

68. MP dan Keseimbangan Produksi
 Jika jumlah keluaran P dan input yang digunakan xj = (j =
1, 2, 3, …, n) maka fungsi produksinya:
P = f(x1, x2, x3, …, xn )
 Seandainya diasumsikan bahwa seorang produsen hanya
menggunakan 2 macam input, K dan L, maka fungsi
produksinya:
P = f(k, l)
Fungsi produksi P = f(k, l) merupakan persamaan kurva
isoquant—kurva yg menunjukkan berbagai kombinasi
penggunaan input K dan L yang memberikan tingkat
produksi yang sama

69. MP dan Keseimbangan Produksi
 Derivatif pertama dari P terhadap K dan L merupakan
fungsi produk marjinal parsialnya:
 Isocost:
garis yang mencerminkan kemampuan produsen
membeli berbagai macam input berkenaan dgn harga
masing-masing input dan jumlah dana yg dimiliki. Jika M
adalah jumlah dana yg dianggarkan, PK dan PL harga
input K dan L maka:
M = K x PK + L x PL



k
P
Produksi marjinal
berkenaan dengan
input K



l
P
Produksi marjinal
berkenaan dengan
input Y

70. MP dan Keseimbangan Produksi
 Keseimbangan produksi—suatu keadaan atau tingkat
penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara
optimum, yakni tingkat produksi maksimum dengan
kombinasi biaya terendah (least cost combination)—
tercapai pada saat kurva isoquant bersinggungan
(tangent) dgn isocost
 Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk
persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:
Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M)
  0, 


KK PLKf
K
Z
   0, 


LL PLKf
L
Z


71. MP dan Keseimbangan Produksi
 Manipulasi Lx dan Ly:
 Utilitas marjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka:
Produksi optimum dgn kombinasi biaya terendah akan
tercapai jika hasibagi produk marginal masing-masing
input terhadap harganya adalah sama
   
K
K
KK
P
LKf
PLKf
K
Z ,
0, 



   
L
L
LL
P
LKf
PLKf
L
Z ,
0, 



   
L
L
K
K
P
LKf
P
LKf ,,

L
L
K
K
P
MU
P
MP


72. Fungsi Produksi Cobb-Douglas
 Dinyatakan dengan:
dimana:
A : Total factor productivity
K : Capital
L : Labor
α dan β : elastisitas output
 Jika:
α + β = 1 → constant return to scale
α + β > 1 → increasing return to scale
α + β < 1 → decreasing return to scale

LAKP 

73. Contoh (4) Utilitas Optimum
 Seorang produsen mencadangkan Rp 96 untuk membeli
input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah
dan input L adalah 3 rupiah. Jika fungsi produksi adalah
P = 12KL, berapa unit tiap input harus digunakan agar
produksi optimum dan berapakah produksi optimum
tersebut?

74. Sekian dan Trimakasih