Probabilitas adalah tingkat keyakinan terjadinya suatu peristiwa yang dihitung menggunakan pendekatan klasik, frekuensi relatif, dan subjektif. Terdapat tiga pendekatan untuk menghitung probabilitas yaitu pendekatan klasik, frekuensi relatif, dan subjektif.

1. PROBABILITAS

2. Probabilitas
adalah tingkat keyakinan seseorang untuk
menentukan terjadi atau tidak terjadinya
suatu kejadian (peristiwa).

3.  Pendekatan Klasik
Perhitungan probabilitas dengan pendekatan kalsik
diperoleh dari hasil bagi banyaknya peristiwa A
dengan seluruh peristiwa yang mungkin.
Rumus :
keterangan :
P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A
x = peristiwa yang dimaksud
n = banyak peristiwa yang mungkin
n
x
P(A) =

4.  Pendekatan Frekuensi relatif
Perhitungan probabilitas dengan pendekatan
frekuensi relatif ditentukan melalui percobaan.
Dari suatu percobaan yang dilakukan sebanyak
n kali, kalau nilai n makin besar mendekati tak
hingga maka nilai k/n cendrung konstan
mendekati nilai tertentu. Nilai tertentu inilah
peluang kejadian A
keterangan :
P(A) = probabilitas peristiwa A
k = frekuensi peristiwa A
n = banyaknya peristiwa terjadi
n
k
LimP(A) n ∞→
=

5.  Pendekatan Subjektif
Probabilitas dengan pendekatan subjektif
diperoleh dengan melihat tingkat kepercayaan
individu didasarkan pada peristiwa masa lalu
yang berupa terkaan saja.
1.1. PercobaanPercobaan
adalah proses pelaksanaan pengukuran / observasi
yang bersangkutan .

6. 2. Ruang sampel
adalah himpunan semua hasil yang
mungkin pada percobaan.
3. Titik sampel
adalah setiap anggota dari ruang
sampel.
4. Kejadian (peristiwa)
adalah himpunan bagian dari ruang
sampel pada suatu percobaan / hasil
dari percobaan.
5. Himpunan
adalah kumpulan objek yang
didefinisikan dengan jelas dan dapat
dibeda-bedakan.

7. Tabel Frekuensi adalah tabel yang menyajikan
hasil percobaan dengan seluruh kemungkinan
dinyatakan dengan variabel (angka-angka)
disertai dengan frekuensi dan nilai probabilitas.

8. Grafik distribusi probabilitas adalah grafik yang
menggambarkan hubungan antara nilaiseluruh
probabilitas dari masing-masing nilai variabel.

9.  Penulisan Himpunan
1. Cara pendaftaran
Unsur himpunan ditulis satu persatu /
didaftar.
Contoh : A = {a,i,u,e,o}
2. Cara pencirian
Unsur himpunan ditulis dengan
menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri
unsur tersebut.
Contoh : A = { x|x huruf vokal }

10.  Macam – Macam Himpunan
1. Himpunan Semesta
Lambang : S atau U
Himpunan yang memuat seluruh objek
pembicaraan.
2. Himpunan kosong
Lambang : { } atau Ø
Himpunan yang tidak memiliki
anggota.

11. 3. Himpunan Bagian
Lambang :
Rumus : Menghitung banyak
himpunan bagian dari suatu himpunan
sebesar n adalah 2n.
4. Himpunan Komplemen
Lambang : Ac
, A’
Himpunan semua unsur yang tidak
termasuk dalam himpunan yang
diberikan.
⊂

12.  Operasi Himpunan
1. Operasi Gabungan (union)
Lambang : A U B atau A + B
Gabungan dari himpunan A atau B adalah
semua unsur yang terdapat di A atau B
sekaligus.
2. Operasi Irisan (intersection)
Lambang : A ∩ B atau AB
Irisan dari himpunan A dan B adalah semua
unsur yang sama di dalam A dan B.
3. Operasi Selisih
Lambang : A – B atau A ∩ Bc
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan
semua unsur yang tidak termasuk di dalam B.

13.  Beberapa Aturan dalam Himpunan
1. Hukum Komutatif
A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A
2. Hukum Asosiatif
(A U B) U C = A U (B U C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. Hukum Distributif
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

14. 4. Hukum Identitas
A ∩ S = A
A ∩ Ø = Ø
4. Hukum Komplementasi
A ∩ Ac
= Ø
A U Ac
= S
6. n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) +
n(ABC)
n(A) = jumlah anggota himpunan A

15. 1. Aturan Penjumlahan
a. Peristiwa Saling Lepas
adalah kejadian dimana jika sebuah
kejadian terjadi maka kejadian lain tidak
akan terjadi.
∑=
=
k
1i
ik321
)A(P)A...AAP(A 

16. b. Peristiwa Tidak Saling Lepas
adalah kejadian dimana jika sebuah
kejadian terjadi maka kejadian lain dapat
terjadi secara bersamaan.
P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1∩A2)

17. 2. Aturan Perkalian
a. Kejadian Saling Bebas (independen)
adalah kejadian dimana terjadinya peristiwa
yang satu tidak mempengaruhi terjadinya
peristiwa yang lain.
b. Kejadian Tidak saling Bebas (dependen)
adalah kejadian dimana jika terjadi
peristiwa yang satu dipengaruhi atau
bergantung pada peristiwa lainnya.
)A(Px)A(P)AP(A 2121
=
)A(P
)AA(P
)A|P(A
2
21
21

=

18. 3. PROBABILITAS MARGINAL
Probabilitas marginal adalah probabilitas yang
dihitung dari suatu kejadian yang terjadi bersamaan dan
saling mempengaruhi.
4. TEOREMA BAYES
Teorema Bayes adalah teorema yang menjelaskan
bahwa probabilitas dihitung berdasarkan informasi yang
diperoleh dari hasil observasi.
∑= )P(R/S)P(SP(R) ii
∑=
= k
1i
ii
ii
i
))P(A/AP(A
))P(A/AP(A
/A)P(A

19. Permutasi adalah suatu penyusunan atau
pengaturan beberapa objek ke dalam suatu
urutan tertentu.
Klasifikasi Permutasi :
1. Permutasi dari n objek tanpa pengembalian
a. Permutasi dari n objek seluruhnya
Rumus : nPn = n!
b. Permutasi sebanyak r dari n objek
Rumus :
c. Permutasi melingkar
Rumus : (n-1)!
rn
r)!-(n
n!
nPr ≥=

20. 2. Permutasi dari n objek dengan
pengembalian
3. Permutasi dari n objek yang sama
...!.n!n!n
n!
=,....nn,nPn
321
321
nPr = nr

21. Kombinasi adalah suatu penyusunan
beberapa objek tanpa memperhatikan
urutan objek tersebut.
HUBUNGAN PERMUTASI DENGAN KOMBINASI
atau
r)!-(nr!
n!
=Crn
rnrn
C!r=P
!r
P
C rn
rn
=

22.  1.Sebuah mesin otomatis pengisi kantong plastik
dengan campuran beberapa jenis sayuran
menunjukkan bahwa sebagian besar kantong plastik
berisi sayuran tersebut memuat berat yang benar.
Meskipun demikian, karena ada sedikit variasi
dalam ukuran sayuran yang ada, sebuah paket
kantong plastik mungkin sedikit lebih berat atau
lebih ringan dari berat standar. Pengecekan
terhadap 4000 paket menunjukan hasil sbb:

23. Berat Kejadian Jumlah
Paket
Probabilitas
Lebih ringan A 100 100/4000=0,025
Standar B 3600 3600/4000=0,900
Lebih berat C 300 300/4000=0,075
Jumlah 4000 1,000

24.  Hitung berapa probabilitas bahwa sebuah paket
tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat
dari berat standar?
 2. A dan B merupakan dua kejadian yang saling
meniadakan (mutually exclusive). Diketahui P(A) =
0,25 dan P(B) = 0,40. Cari masing-masing
probabilitas berikut :
 (a) P( )
 (b) P( )
 (c) P(A B)
 (d) P(A B)
∪
∩
A
B

25.  3. Berapa probabilitas bahwa sebuah kartu yang
dipilih secara acak dari satu set kartu yang berisi 52
kartu adalah kartu bergambar raja (King) atau
bergambar hati (Heart)?
 4. Sebuah perusahaan elektronik mengambil sampel
1000 rumah tangga dan responden yang ditanya
tentang apakah mereka merencanakan untuk
membeli televisi ukuran besar atau tidak. Setahun
berikutnya responden yang sama ditanya apakah
mereka benar-benar telah membeli televisi ukuran
besar tsb atau tidak. Hasilnya dapat dilihat pada
tabel berikut :

26. Merencanakan
untuk membeli
Benar-benar telah membeli Total
Ya Tidak
Ya 200 50 250
Tidak 100 650 750
Total 300 700 1000

27.  Hitung berapa probabilitas seseorang yaitu telah
merencanakan untuk membeli atau benar-benar
telah membeli?
 5. Menurut catatan yang ada pada Sekretariat
Fakultas Ekonomi suatu Universitas di Jakarta, ada
500 orang mahasiswa tingkat persiapan yang
mengambil mata kuliah Aljabar Linier(A),
Kalkulus(K) dan Pengantar Statistik(S) dengan
rincian sbb:
 - Aljabar Linier=329 orang
 - Kalkulus=186 orang
 - Pengantar Statistik = 295 orang

28.  -Aljabar Linier dan Kalkulus=83 orang
 -Aljabar linier dan Pengantar Statistik=217 orang
 -Kalkulus dan Pengantar Statistik=63 orang
 -Kalkulus, Pengantar Statistik, dan Aljabar
Linier=53 orang.
 Kalau kita memilih secara acak (random) seorang
mahasiswa dari daftar nama ke-500 orang
mahasiswa tsb, berapakah probabilitasnya jika
mahasiswa tsb:
 (a) mengambil ketiga mata kuliah tadi,
 (b) mengambil aljabar linier tetapi bukan pengantar
statistik,

29.  (c) mengambil kalkulus tetapi bukan aljabar linier,
 (d) mengambil mata kuliah pengantar statistik
tetapi bukan kalkulus,
 (e) mengambil mata kuliah aljabar linier atau
pengantar statistik tetapi bukan kalkulus,
 (f) dia mengambil aljabar linier tetapi bukan
kalkulus atau bukan pengantar statistik.
 6. Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak
dua kali, dan X adalah jumlah mata dadu dari
hasil lemparan tersebut.

30.  Kalau lemparan yang pertama keluar mata 2, dan
lemparan kedua keluar mata 4, maka X = 2+4=6.
Juga, kalau pada lemparan pertama yang keluar
adalah mata 3 dan yang kedua 5, X = 8, dst. Jika A =
{x|x<5} dan B = {x|x suatu bilangan ganjil}, hitunglah
P(A|B) dan P(B|A).
 7. Jumlah pelamar untuk menjadi dosen pada fakultas
ekonomi Universitas Gadjah Mada ada 100 orang.
Masing-masing pelamar mempunyai kesempatan yang
sama untuk diterima, yaitu mempunyai probabilitas
sebesar 0,01. Para pelamar ada yang bergelar doktor
dan ada yang tidak,

31.  ada yang menikah dan ada yang belum, ada pria
dan wanita. Berdasarkan data yang masuk ke
Sekretariat FE-UI, diperoleh rincian sbb:
 Misalkan W,M,D mewakili kejadian bahwa
pelamar yang terpilih wanita, menikah dan
bergelar Doktor, P(W),P(M),P(D),P( ), P( ), dan
P( ).
Bukan
Doktor
Sudah
Menika
h
Belum
Menika
h
Pria 3 10
Wanita 10 5
Doktor Sudah
Menika
h
Belum
Menika
h
Pria 40 10
Wanita 10 10
W M
D

32.  1. Kita mengambil secara acak 2 kartu berturut-
turut dari suatu set (kumpulan) kartu bridge.
Berapa probabilitasnya bahwa pengambilan kartu
pertama berupa kartu As, yang kedua juga kartu
As. Hasil pengambilan pertama tidak
dikembalikan lagi (without replacement). (Hasil
pengambilan kedua dipengaruhi oleh hasil
pengambilan pertama).

33.  2. Satu bola diambil secara acak dari satu kotak
yang berisi 6 bola merah, 4 putih, 5 biru. Cari
probabilitasnya bahwa bola yang terambil adalah
merah, putih, biru, bukan merah, merah atau
putih.
 3. Pada soal no. 2, jika 3 bola diambil secara
beruntun. Berapa probabilitasnya bahwa
pengambilan pertama merah, kedua putih, ketiga
biru, bila :
 (a) Bola dikembalikan setelah diambil.
 (b) Bola tidak dikembalikan setelah diambil.

34.  1. Satu mata uang logam Rp 50 dilemparkan ke atas sebanyak
dua kali. Jika A1 adalah lemparan pertama yang mendapat
gambar burung (B), dan A2 adalah lemparan kedua yang
mendapatkan gambar burung (B), berapakah P(A1 A2)?
 2. Kita mengambil 2 lembar kartu berturut-turut secara acak dari
satu set kartu bridge. Sebelum pengambilan kedua, hasil
pengambilan pertama dikembalikan lagi sehingga hasil
pengambilan pertama tidak mempengaruhi hasil pengambilan
kedua. Kalau A1=kartu as wajik dan A2=kartu as hati. Berapa
P(A1 A2)?
∩
∩

35.  1. Misalkan kita memproduksi suatu jenis baterai di tiga pabrik yang
peralatan dan karyawannya berbeda. Produksi mingguan pabrik
pertama (S1 = 500), pabrik kedua(S2 = 2000) dan pabrik
ketiga(S3=1500). Dan besarnya nilai probabilitas barang rusak dari
pabrik pertama, P(R|S1) adalah 0,020, probabilitas barang rusak
dari pabrik kedua, P(R|S2) adalah 0,015, dan probabilitas barang
rusak dari pabrik ketiga, P(R|S3) adalah 0,030. Baterai yang
diproduksi oleh pabrik tsb digunakan untuk menyuplai pabrik mobil.
Kalau pemilik pabrik tsb mengambil 1 baterai secara acak
(random), berapa probabilitasnya bahwa baterai yang diambil olah
pemilik pabrik tsb rusak.
 Catatan : Baterai yang rusak tsb dapat berasal dari pabrik pertama,
pabrik kedua, atau pabrik ketiga.

36.  2. Suatu universitas mempunyai mahasiswa
sebanyak 1000 orang yang terdiri dari 4 fakultas,
yaitu Fe=400 mahasiswa, FH=200 mahasiswa,
FT=150 mahasiswa, dan FK=250 mahasiswa.
Dari mahasiswa tsb ada yang menjadi anggota
Menwa (Resimen Mahasiswa). Dari FE=200 org,
FH=50 org, dan FK=150 org. Kalau suatu saat
kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa
(anggap saja sebagai kejadian yang acak),
berapa probabilitas bahwa mahasiswa tsb
seorang anggota Menwa?

37.  1. Misalkan terdapat 3 kotak yang sama
ukurannya dan masing-masing berisi 2 bola.
Bolanya sama, hanya warnanya berlainan. Kotak
pertama berisi 2 bola merah (2M), kotak kedua
berisi 1 merah dan 1 putih (1M,1P), yang ketiga 2
putih (2 P). Jika diketahui bola yang terambil
merah, berapakah probabilitas bahwa bola tsb
berasal dari kotak pertama?

38.  2. Diterima tidaknya suatu usul pembuatan jembatan baru
di kota Jakarta tergantung kepada hasil pemilihan 4 calon
kepala Bappeda DKI Jaya, yaitu calon A1, A2, A3, A4,
dimana masing-masing mempunyai probabilitas untuk
terpilih sebesar P(A1)=0,30, P(A2)=0,20, P(A3)=0,40 dan
 P(A4) = 0,10.
 Kalau calon yang terpilih A1, A2,A3,A4, maka probabilitas
bahwa proyek tsb akan disetujui oleh para calon masing-
masing sebesar P(A|A1)=0,35, P(A|A2)=0,85,P(A|A3)=0,45
dan P(A|A4)=0,15.
 (a) Berapa besarnya P(A).
 (b) Jadi usul proyek diterima, berapa probabilitasnya
bahwa calon kedua yang terpilih?

39.  3. Suatu pabrik menggunakan 4 mesin untuk
memproduksi sejenis barang. Produksi harian
dari mesin pertama, kedua, ketiga dan keempat
masing-masing sebesar 1000,1200,1800 dan
2000 buah. Produksi dari mesin pertama, kedua,
ketiga dan keempat masing-masing mengalami
kerusakan sebanyak 1%, ½ %, ½%, 1%. Lalu
barang dipilih secara acak, ternyata rusak.
Berapa probabilitasnya bahwa barang tsb rusak
dari mesin pertama, dari mesin kedua, dari ketiga
dan dari mesin keempat?