1. รากที่สอง (Square Roots)
บทนิยาม ให้ a เป็นจานวนจริง โดยที่ a  0 รากที่สองของ a หมายถึง จานวนที่ยกกาลังสองแล้วได้เท่ากับ a
เช่น รากที่สองของ 25 คือ 5 และ -5
เพราะว่า 52 = 25 และ (-5)2 = 25
รากที่สองของ 169 คือ 13 และ -13
เพราะว่า 132 = 169 และ (-13)2 = 169
รากที่สองที่เป็นบวกของ a จะเขียนแทนด้วย a
รากที่สองที่เป็นลบของ a จะเขียนแทนด้วย - a
แบบฝึกหัดทดสอบฝีมือ
จงหารากที่สองของจานวนต่อไปนี้
1. 36 2. 49 3. 11 4. 23

2. 1. 36
เพราะว่า 62 = 36 และ (-6)2 = 36 ดังนั้น รากที่สองของ 36 คือ 6 และ -6
2. 49
เพราะว่า 72 = 49 และ (-7)2 = 49 ดังนั้น รากที่สองของ 49 คือ 7 และ -7
3. 11
เพราะว่า ( 11)2 = 11 และ (- 11)2 = 11 ดังนั้น รากที่สองของ 11 คือ 11 และ - 11
4. 23
เพราะว่า ( 23)2 = 23 และ (- 23)2 = 23 ดังนั้น รากที่สองของ 23 คือ 23 และ - 23
ข้อสังเกต
1. เนื่องจากจานวนจริงใดๆ ยกกาลังสองจะได้ผลลัพธ์เป็นจานวนบวกหรือศูนย์เท่านั้น
ดังนั้น รากที่สองของ a เมื่อ a < 0 จึงไม่มีในระบบจานวนจริง
2. รากที่สองของจานวนจริงจะเป็นจานวนตรรกยะ หรือจานวนอตรรกยะอย่างใดอย่างหนึ่ง
จงหาค่าต่อไปนี้
1. - 64 = - 82 = -8 2. 625 = 252 = 25 3. - −81
หาค่าไม่ได้ในระบบจานวนจริง
เพราะว่าไม่มีจานวนจริงที่ยกกาลังสองแล้วได้ -81

3. การบวก การลบ การคูณ การหาร
จานวนที่อยู่ในรูปรากที่สอง
การบวกและการลบ
จานวนที่อยู่ในรูปรากที่สองหรือจานวนที่ติดเครื่องหมาย จะสามารถบวกหรือลบกันได้ เมื่อจานวนจริงที่อยู่
ภายในเครื่องหมาย มีค่าเท่ากัน โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังตัวอย่างต่อไปนี้
1. 5 3 + 2 3 = (5+2) • 3 = 7 3
2. 4 5 - 9 5 - 5 = (4-9-1) • 5 = -6 5
การคูณและการหาร
การคูณและการหารจานวนที่อยู่ในรูปรากที่สองหรือจานวนที่ติดเครื่องหมาย จะสามารถคูณหรือหารกันได้
เหมือนกับการคูณหรือการหารจานวนจริงทั่วๆ ไป ซึ่งมีสมบัติดังนี้
1. a× b= a×b
a a
2. = เมื่อ b ≠ 0
b b

4. แบบฝึกหัดทดสอบฝีมือ
จงหาผลลัพธ์ต่อไปนี้
10 15 6
1. 2× 3 2. 5× 6× 2 3. 4.
2 5 2
เฉลย
1. 2× 3 = 2×3 = 6
2. 5× 6× 2 = 5×6×2 = 60
10 10
3. = = 5
2 2
15 6 15 6
4. = =3 3
5 2 5 2

5. สมบัติของ a เมื่อ a  0
ให้ a และ b เป็นจานวนใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0
2
1. a =a
2. a2 = a เมื่อ |a| แทนค่าสัมบูรณ์ของ a
2. a× b= a×b
a a
4.
b
= b
เมื่อ b ≠ 0
1
5. a= a 2